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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 15 m in dm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 10 dm
    2. 15 · 10 = 150 dm
    Ergebnis:
    150 dm
  2. ●40
    Beim Laufen zur Schule zählt das Handy in 2 Minuten 240 Schritte. Wie lange dauern 960 Schritte?
    Lösung zeigen
    1. MinutenSchritte
    2. 2 Minuten→240 Schritte
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Minute→240 Schritte : 2 = 120 Schritte
    5. ↓ · 8↓ · 8960 Schritte : 120 Schritte = 8
    6. 8 Minuten→960 Schritte
    Ergebnis:
    8 Minuten

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Ein Paket wiegt 40 g. Gib die Angabe in mg an.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 40 · 1000 = 40.000
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 40 · 1000 = 40.000
Ergebnis:
40.000 mg

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Spritze fasst 40 ml. Gib die Angabe in cl an.
    So fängst du an:
    Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 10 = 4
    Ergebnis:
    4 cl
  2. ●2
    Rechne um: 1200 Wh in kWh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2
    Ergebnis:
    1,2 kWh
  3. ★3
    Rechne um: 45 kW in W.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 45 · 1000 = 45.000
    Ergebnis:
    45.000 W

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 25 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
gegebengesucht25 km/h6 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
  2. 21,6 km/h < 25 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
  2. 21,6 km/h < 25 km/h
Ergebnis:
Der Radfahrer ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht15 km/h8 m/s?
    So fängst du an:
    Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    2. 28,8 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
    gegebengesucht20 km/h6 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    2. 21,6 km/h > 20 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  3. ★6
    Rechne 80 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 80 : 3,6 ≈ 22,2
    Ergebnis:
    ≈ 22,2 m/s

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 8 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht8 W5 Stunden30 Tage32 ct?
Schritt für Schritt
  1. 8 W = 0,008 kW
  2. Energie: 0,008 · 5 · 30 = 1,2, also 1,2 kWh.
  3. Kosten: 1,2 · 32 = 38,4, also 38,4 ct ≈ 0,38 €.
  1. 8 W = 0,008 kW
  2. Energie: 0,008 · 5 · 30 = 1,2, also 1,2 kWh.
  3. Kosten: 1,2 · 32 = 38,4, also 38,4 ct ≈ 0,38 €.
Ergebnis:
≈ 0,38 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
    Ergebnis:
    125 Stunden
  2. ●8
    Eine Spielkonsole hat 150 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht150 W5 Stunden30 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 150 W = 0,15 kW
    2. Energie: 0,15 · 5 · 30 = 22,5, also 22,5 kWh.
    3. Kosten: 22,5 · 30 = 675, also 675 ct ≈ 6,75 €.
    Ergebnis:
    ≈ 6,75 €
  3. ★9
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 1,5 · 0,5 = 0,75, also 0,75 kWh.
    3. 0,75 · 40 = 30, also 30 ct.
    Ergebnis:
    0,75 kWh, 30 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 36 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 2. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 36 : 3 = 12, also 12 €.
  3. Mira: 1 · 12 = 12. Jonas: 2 · 12 = 24
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 36 : 3 = 12, also 12 €.
  3. Mira: 1 · 12 = 12. Jonas: 2 · 12 = 24
Ergebnis:
Mira 12 €, Jonas 24 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 250 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 1 zu 4. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 250 : 5 = 50, also 50 ml.
    3. Saft: 1 · 50 = 50. Wasser: 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    Saft 50 ml, Wasser 200 ml
  2. ●11
    Für 80 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 80 : 8 = 10, also 10 kg.
    3. Zement: 3 · 10 = 30. Sand: 5 · 10 = 50
    Ergebnis:
    Zement 30 kg, Sand 50 kg
  3. ★12
    Für 125 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 2 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 125 : 5 = 25, also 25 ml.
    3. Saft: 2 · 25 = 50. Wasser: 3 · 25 = 75
    Ergebnis:
    Saft 50 ml, Wasser 75 ml

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 4,5 m mal 4 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
gegebengesucht4,5 m4 m2 m²?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 4,5 · 4 = 18, also 18 m².
  2. Mit Verschnitt: 18 · 1,1 = 19,8
  3. Pakete: 19,8 : 2 ≈ 9,9 → aufrunden auf 10
  1. Fläche: 4,5 · 4 = 18, also 18 m².
  2. Mit Verschnitt: 18 · 1,1 = 19,8
  3. Pakete: 19,8 : 2 ≈ 9,9 → aufrunden auf 10
Ergebnis:
10 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 5 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m3 m10 %2 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 5 · 3 = 15, also 15 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 5 · 3 = 15, also 15 m².
    2. Mit Verschnitt: 15 · 1,1 = 16,5
    3. Pakete: 16,5 : 2 ≈ 8,25 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Pakete
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²10 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
    2. Liter: 54 : 10 = 5,4
    3. Eimer: 5,4 : 2,5 ≈ 2,16 → aufrunden auf 3
    Ergebnis:
    3 Eimer
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m3,5 m1 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 1 = 18
    2. Mit Verschnitt: 18 · 1,1 = 19,8
    3. Leisten: 19,8 : 2,5 ≈ 7,92 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

62 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,0667. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht62 Kinder30 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 62 : 30 ≈ 2,07
  2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
  1. 62 : 30 ≈ 2,07
  2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
Ergebnis:
3 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,7 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,39 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,7 m3,7 m17,39 m²?
    So fängst du an:
    4,7 · 3,7 = 17,39
    Lösung zeigen
    1. 4,7 · 3,7 = 17,39
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,39 ≈ 17,4
    Ergebnis:
    ≈ 17,4 m²
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 12,92 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht3,8 m3,4 m12,92 m²?
    Lösung zeigen
    1. 3,8 · 3,4 = 12,92
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 12,92 ≈ 12,9
    Ergebnis:
    ≈ 12,9 m²
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 470 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 70 km/h. Der Rechner zeigt 6,71429 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht470 km70 km/h6,71429 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 470 : 70 ≈ 6,714
    2. 0,714 h · 60 ≈ 43 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 6 h 43 min
    Ergebnis:
    ≈ 6 h 43 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht40 m20 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 40 · 20 = 800, also etwa 800 m².
  2. Menschen: 800 · 4 = 3200
  3. Gerundet: etwa 3000
  1. Fläche: 40 · 20 = 800, also etwa 800 m².
  2. Menschen: 800 · 4 = 3200
  3. Gerundet: etwa 3000
Ergebnis:
etwa 3000 Menschen

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 500 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 Kinder6 Liter190 Schultage?
    So fängst du an:
    Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
    2. Im Jahr: 9000 · 190 = 1.710.000
    3. Das sind etwa 1710 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.700.000 Liter
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter
  3. ★21
    Wie oft schlägt dein Herz in einem Schuljahr, während du in der Schule bist? Annahmen: 70 Schläge in der Minute, 7 Stunden am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht70 Schläge7 Stunden190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 70 · 60 = 4200
    2. Am Tag: 4200 · 7 = 29.400
    3. Im Jahr: 29.400 · 190 = 5.586.000
    4. Gerundet: etwa 6 Millionen
    Ergebnis:
    etwa 6 Millionen

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 14 = 112
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 14 = 112
Ergebnis:
112,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 17,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten17,50 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
    Ergebnis:
    140,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14,5 = 116
    Ergebnis:
    116,00 €
  3. ★24
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 15 = 120
    Ergebnis:
    120,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele kWh sind 3 Wh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3 : 1000 = 0,003
    Ergebnis:
    0,003 kWh
  2. ●26
    Tim sagt: „1400 ml ist mehr als 2,25 l, weil 1400 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 2,25 l = 2250 ml
    2. 2250 ml > 1400 ml
    Ergebnis:
    Nein, 2,25 l ist mehr.
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
    gegebengesucht15 km/h6 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    2. 21,6 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  4. ●28
    Jemand fährt mit 54 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht54 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
    2. In 2 s: 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 1 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht1 kW30 Minuten35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 1 · 0,5 = 0,5, also 0,5 kWh.
    3. 0,5 · 35 = 17,5, also 17,5 ct.
    Ergebnis:
    0,5 kWh, 17,5 ct
  6. ●30
    Der Föhn (1500 W) läuft 0,25 Stunden am Tag, die Lampe (10 W) 5 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht1500 W0,25 Stunden10 W5 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Der Föhn: 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
    2. Die Lampe: 0,01 · 5 = 0,05, also 0,05 kWh.
    Ergebnis:
    Der Föhn braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Eine Tablette enthält 6 kg Wirkstoff. Gib die Angabe in g an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6000 g

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht20 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 80 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 30 kg, Sand 50 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m3,5 m1 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Leisten

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,7 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,98 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,7 m3,4 m15,98 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 16 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 300 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht300 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 60 km

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h3 h4 h14,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    261,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 4 cl
  2. 1,2 kWh
  3. 45.000 W
  4. Die Läuferin ist schneller.
  5. Die Läuferin ist schneller.
  6. ≈ 22,2 m/s
  7. 125 Stunden
  8. ≈ 6,75 €
  9. 0,75 kWh, 30 ct
  10. Saft 50 ml, Wasser 200 ml
  11. Zement 30 kg, Sand 50 kg
  12. Saft 50 ml, Wasser 75 ml
  13. 9 Pakete
  14. 3 Eimer
  15. 8 Leisten
  16. ≈ 17,4 m²
  17. ≈ 12,9 m²
  18. ≈ 6 h 43 min
  19. etwa 1.700.000 Liter
  20. etwa 2.400.000 Liter
  21. etwa 6 Millionen
  22. 140,00 €
  23. 116,00 €
  24. 120,00 €
  25. 0,003 kWh
  26. Nein, 2,25 l ist mehr.
  27. Die Läuferin ist schneller.
  28. 30 m
  29. 0,5 kWh, 17,5 ct
  30. Der Föhn braucht mehr.
  31. 6000 g
  32. Die Läuferin ist schneller.
  33. 20 Stunden
  34. Zement 30 kg, Sand 50 kg
  35. 8 Leisten
  36. ≈ 16 m²
  37. etwa 60 km
  38. 261,00 €
  39. 150 dm
  40. 8 Minuten