Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

●39
Rechne um: 4 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 4 · 1.000 = 4.000 m
Ergebnis:
4.000 m
●40
3 kg Äpfel kosten 7,50 €. Was kosten 8 kg Äpfel?
Lösung zeigen
1. kg Äpfel €
2. 3 kg Äpfel → 7,50 €
3. ↓ : 3 ↓ : 3
4. 1 kg Äpfel → 7,50 € : 3 = 2,50 €
5. ↓ · 8 ↓ · 8
6. 8 kg Äpfel → 2,50 € · 8 = 20,00 €
Ergebnis:
20,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele kWh sind 4 Wh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.

Schritt für Schritt

Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 1000 = 0,004

Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 1000 = 0,004

Ergebnis:

0,004 kWh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht

Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45

So richtig

0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Werkstatt hat an einem Tag 3 Wh verbraucht. Gib die Angabe in kWh an.
So fängst du an:
Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
Lösung zeigen
1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3 : 1000 = 0,003
Ergebnis:
0,003 kWh
●2
Der Kühlschrank braucht im Monat 1200 Wh. Gib die Angabe in kWh an.
Lösung zeigen
1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2
Ergebnis:
1,2 kWh
★3
Rechne um: 1500 ml in l.
Lösung zeigen
1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1500 : 1000 = 1,5
Ergebnis:
1,5 l

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 54 km/h in m/s um.

Schritt für Schritt

1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
Also durch 3,6 teilen: 54 : 3,6 = 15

1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
Also durch 3,6 teilen: 54 : 3,6 = 15

Ergebnis:

15 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht

72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s

So richtig

72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Sprinter ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
So fängst du an:
In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
Lösung zeigen
1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
Ergebnis:
90 km/h
●5
Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
Lösung zeigen
1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
2. 21,6 km/h > 20 km/h
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.
★6
Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
Lösung zeigen
1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
2. 18 km/h < 20 km/h
Ergebnis:
Der Radfahrer ist schneller.

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Fernseher hat 100 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?

Schritt für Schritt

100 W = 0,1 kW
Energie: 0,1 · 3 · 30 = 9, also 9 kWh.
Kosten: 9 · 35 = 315, also 315 ct ≈ 3,15 €.

100 W = 0,1 kW
Energie: 0,1 · 3 · 30 = 9, also 9 kWh.
Kosten: 9 · 35 = 315, also 315 ct ≈ 3,15 €.

Ergebnis:

≈ 3,15 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht

Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45

So richtig

0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
So fängst du an:
30 min = 0,5 h
Lösung zeigen
1. 30 min = 0,5 h
2. 2,5 · 0,5 = 1,25, also 1,25 kWh.
3. 1,25 · 32 = 40, also 40 ct.
Ergebnis:
1,25 kWh, 40 ct
●8
Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
Lösung zeigen
1. 45 min = 0,75 h
2. 2,5 · 0,75 = 1,875, also 1,875 kWh.
3. 1,875 · 35 = 65,63, also 65,63 ct.
Ergebnis:
1,875 kWh, 65,63 ct
★9
Eine Spielkonsole hat 150 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
Lösung zeigen
1. 150 W = 0,15 kW
2. Energie: 0,15 · 5 · 30 = 22,5, also 22,5 kWh.
3. Kosten: 22,5 · 35 = 787,5, also 787,5 ct ≈ 7,88 €.
Ergebnis:
≈ 7,88 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Apfelschorle wird aus Saft und Wasser im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Wie viel Saft und wie viel Wasser brauchst du für 200 ml Apfelschorle?

Schritt für Schritt

Teile: 1 + 3 = 4
Ein Teil: 200 : 4 = 50, also 50 ml.
Saft: 1 · 50 = 50. Wasser: 3 · 50 = 150

Teile: 1 + 3 = 4
Ein Teil: 200 : 4 = 50, also 50 ml.
Saft: 1 · 50 = 50. Wasser: 3 · 50 = 150

Ergebnis:

Saft 50 ml, Wasser 150 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht

400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml

So richtig

4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

○10
Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 15 l Blumenerde?
So fängst du an:
Teile: 1 + 2 = 3
Lösung zeigen
1. Teile: 1 + 2 = 3
2. Ein Teil: 15 : 3 = 5, also 5 l.
3. Kompost: 1 · 5 = 5. Sand: 2 · 5 = 10
Ergebnis:
Kompost 5 l, Sand 10 l
●11
Nina und Ali haben am Flohmarktstand 240 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Lösung zeigen
1. Teile: 3 + 5 = 8
2. Ein Teil: 240 : 8 = 30, also 30 €.
3. Nina: 3 · 30 = 90. Ali: 5 · 30 = 150
Ergebnis:
Nina 90 €, Ali 150 €
★12
Emre und Lea haben am Flohmarktstand 120 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
Lösung zeigen
1. Teile: 1 + 3 = 4
2. Ein Teil: 120 : 4 = 30, also 30 €.
3. Emre: 1 · 30 = 30. Lea: 3 · 30 = 90
Ergebnis:
Emre 30 €, Lea 90 €

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?

Schritt für Schritt

Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
Liter: 36 : 6 = 6
Eimer: 6 : 5 ≈ 1,2 → aufrunden auf 2

Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
Liter: 36 : 6 = 6
Eimer: 6 : 5 ≈ 1,2 → aufrunden auf 2

Ergebnis:

2 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse

So richtig

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Boden von 4,5 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
So fängst du an:
Fläche: 4,5 · 3 = 13,5, also 13,5 m².
Lösung zeigen
1. Fläche: 4,5 · 3 = 13,5, also 13,5 m².
2. Mit Verschnitt: 13,5 · 1,15 = 15,525
3. Pakete: 15,525 : 1 ≈ 15,53 → aufrunden auf 16
Ergebnis:
16 Pakete
●14
Ein Boden von 6 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
Lösung zeigen
1. Fläche: 6 · 2 = 12, also 12 m².
2. Mit Verschnitt: 12 · 1,1 = 13,2
3. Pakete: 13,2 : 1,5 ≈ 8,8 → aufrunden auf 9
Ergebnis:
9 Pakete
★15
Eine Wand im Bad ist 2 m breit und 2,5 m hoch. Das Fenster (1 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 18,00 €. Was kostet das?
Lösung zeigen
1. Wand: 2 · 2,5 = 5, ohne Fenster 4 m²
2. Mit Verschnitt: 4 · 1,1 = 4,4
3. Pakete: 4,4 : 2 ≈ 2,2 → aufrunden auf 3
4. Kosten: 3 · 18,00 € = 54,00 €
Ergebnis:
3 Pakete, 54,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 20,74 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.

Schritt für Schritt

6,1 · 3,4 = 20,74
Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 20,74 ≈ 20,7

6,1 · 3,4 = 20,74
Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 20,74 ≈ 20,7

Ergebnis:

≈ 20,7 m²

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse

So richtig

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

○16
Von einer 6 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,9 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
So fängst du an:
6 : 0,9 ≈ 6,67
Lösung zeigen
1. 6 : 0,9 ≈ 6,67
2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 6
Ergebnis:
6 Stücke
●17
Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,7 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,39 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
Lösung zeigen
1. 4,7 · 3,7 = 17,39
2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,39 ≈ 17,4
Ergebnis:
≈ 17,4 m²
★18
Eine Lkw-Fahrt ist 520 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 65 km/h. Der Rechner zeigt 8 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
Lösung zeigen
1. 520 : 65 ≈ 8
2. 0 h · 60 ≈ 0 min
3. Auf Minuten genau reicht: 8 h 0 min
Ergebnis:
≈ 8 h 0 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.

Schritt für Schritt

Blätter: 5 · 650 · 5 = 16.250
Höhe: 16.250 · 0,1 = 1625, also 1625 mm.
1625 mm = 162,5 cm, also etwa 1,6 m.

Blätter: 5 · 650 · 5 = 16.250
Höhe: 16.250 · 0,1 = 1625, also 1625 mm.
1625 mm = 162,5 cm, also etwa 1,6 m.

Ergebnis:

etwa 1,6 m

ÜbenJetzt du

○19
Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
So fängst du an:
Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
Lösung zeigen
1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 2.100.000 Liter
●20
Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
Lösung zeigen
1. Fläche: 60 · 20 = 1200, also etwa 1200 m².
2. Menschen: 1200 · 4 = 4800
3. Gerundet: etwa 5000
Ergebnis:
etwa 5000 Menschen
★21
Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 300 m am Tag, 190 Schultage.
Lösung zeigen
1. 300 · 190 = 57.000, also 57.000 m.
2. 57.000 m = 57 km
3. Gerundet: etwa 60 km
Ergebnis:
etwa 60 km

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 2 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 17,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?

Schritt für Schritt

Stunden: 3 + 2 + 3 + 6 = 14
Lohn: 14 · 17,5 = 245

Stunden: 3 + 2 + 3 + 6 = 14
Lohn: 14 · 17,5 = 245

Ergebnis:

245,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht

7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €

So richtig

45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

○22
Auf dem Stundenzettel steht 7 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl. Berechne danach den Lohn bei 14,00 € je Stunde.
So fängst du an:
45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
Lösung zeigen
1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
2. 7 h 45 min = 7,75 h
3. 7,75 · 14 = 108,5
Ergebnis:
7,75 h; 108,50 €
●23
Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
Lösung zeigen
1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
2. Lohn: 8 · 18 = 144
Ergebnis:
144,00 €
★24
Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl. Berechne danach den Lohn bei 16,00 € je Stunde.
Lösung zeigen
1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
2. 8 h 30 min = 8,5 h
3. 8,5 · 16 = 136
Ergebnis:
8,5 h; 136,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne um: 750 m in cm.
Lösung zeigen
1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
2. Größere Einheit in kleinere: mal. 750 · 100 = 75.000
Ergebnis:
75.000 cm
●26
Noah sagt: „800 ml ist mehr als 2,25 l, weil 800 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. In dieselbe Einheit: 2,25 l = 2250 ml
2. 2250 ml > 800 ml
Ergebnis:
Nein, 2,25 l ist mehr.
●27
Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
Lösung zeigen
1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
2. 18 km/h > 15 km/h
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.
●28
Jemand fährt mit 36 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
Lösung zeigen
1. 36 km/h in m/s: 36 : 3,6 = 10
2. In 1 s: 10 · 1 = 10
Ergebnis:
10 m
●29
Eine Spielkonsole hat 150 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
Lösung zeigen
1. 150 W = 0,15 kW
2. Energie: 0,15 · 4 · 30 = 18, also 18 kWh.
3. Kosten: 18 · 32 = 576, also 576 ct ≈ 5,76 €.
Ergebnis:
≈ 5,76 €
●30
Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 28.318 kWh, am Monatsende 28.468 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 32 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
Lösung zeigen
1. Verbrauch: 28.468 − 28.318 = 150, also 150 kWh.
2. Kosten: 150 · 32 = 4800, also 4800 ct = 48,00 €.
Ergebnis:
48,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s: Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten: Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis: Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden: Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit: Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte: Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge: Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.
31
Die Fliesenfuge ist 4 mm breit. Gib die Angabe in cm an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,4 cm
Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.
32
Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.
Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.
33
Ein Fernseher hat 100 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 0,63 €
Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.
34
Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 140 kg Mörtel?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Zement 40 kg, Sand 100 kg
Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.
35
Die Wände eines Zimmers haben zusammen 32 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Eimer
Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.
36
107 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,14. Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Busse
Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.
37
Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 3000 Menschen
Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.
38
Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl. Berechne danach den Lohn bei 14,50 € je Stunde.
Lösung zeigen
Ergebnis:
7,25 h; ≈ 105,13 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

0,003 kWh
1,2 kWh
1,5 l
90 km/h
Die Läuferin ist schneller.
Der Radfahrer ist schneller.
1,25 kWh, 40 ct
1,875 kWh, 65,63 ct
≈ 7,88 €
Kompost 5 l, Sand 10 l
Nina 90 €, Ali 150 €
Emre 30 €, Lea 90 €
16 Pakete
9 Pakete
3 Pakete, 54,00 €
6 Stücke
≈ 17,4 m²
≈ 8 h 0 min
etwa 2.100.000 Liter
etwa 5000 Menschen
etwa 60 km
7,75 h; 108,50 €
144,00 €
8,5 h; 136,00 €
75.000 cm
Nein, 2,25 l ist mehr.
Die Läuferin ist schneller.
10 m
≈ 5,76 €
48,00 €
0,4 cm
Die Läuferin ist schneller.
≈ 0,63 €
Zement 40 kg, Sand 100 kg
2 Eimer
3 Busse
etwa 3000 Menschen
7,25 h; ≈ 105,13 €
4.000 m
20,00 €