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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 2 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 2 · 100 = 200 cm
    Ergebnis:
    200 cm
  2. ●40
    Eine Playlist mit 3 Songs läuft 9 Minuten. Wie lange laufen 6 Songs?
    Lösung zeigen
    1. SongsMinuten
    2. 3 Songs→9 Minuten
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 Song→9 Minuten : 3 = 3 Minuten
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Songs→3 Minuten · 6 = 18 Minuten
    Ergebnis:
    18 Minuten

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele l sind 2,5 cl? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2,5 : 100 = 0,025
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2,5 : 100 = 0,025
Ergebnis:
0,025 l

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 750 cm in m.
    So fängst du an:
    Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 750 : 100 = 7,5
    Ergebnis:
    7,5 m
  2. ●2
    Eine Tablette enthält 1,5 g Wirkstoff. Gib die Angabe in mg an.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1,5 · 1000 = 1500
    Ergebnis:
    1500 mg
  3. ★3
    Ein Sack Zement wiegt 125 g. Gib die Angabe in kg an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 125 : 1000 = 0,125
    Ergebnis:
    0,125 kg

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
gegebengesucht20 km/h5 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
  2. 18 km/h < 20 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
  2. 18 km/h < 20 km/h
Ergebnis:
Der Radfahrer ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 7 m/s?
    gegebengesucht30 km/h7 m/s?
    So fängst du an:
    Die Läuferin in km/h: 7 · 3,6 = 25,2
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 7 · 3,6 = 25,2
    2. 25,2 km/h < 30 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  2. ●5
    Rechne 36 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 36 : 3,6 = 10
    Ergebnis:
    10 m/s
  3. ★6
    Ein ICE fährt 216 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 216 : 3,6 = 60, also 60 m in einer Sekunde.
    2. 60 · 60 = 3600, also 3600 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    60 m je Sekunde, 3600 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 40 = 25, also 25 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 40 = 25, also 25 Stunden.
Ergebnis:
25 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 5 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 5 = 200, also 200 Stunden.
    Ergebnis:
    200 Stunden
  2. ●8
    Eine Lampe hat 20 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 20 = 50, also 50 Stunden.
    Ergebnis:
    50 Stunden
  3. ★9
    Ein Fernseher hat 100 W und läuft 5 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht100 W5 Stunden7 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 100 W = 0,1 kW
    2. Energie: 0,1 · 5 · 7 = 3,5, also 3,5 kWh.
    3. Kosten: 3,5 · 35 = 122,5, also 122,5 ct ≈ 1,23 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,23 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Nina und Ali haben am Flohmarktstand 90 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 2. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 90 : 3 = 30, also 30 €.
  3. Nina: 1 · 30 = 30. Ali: 2 · 30 = 60
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 90 : 3 = 30, also 30 €.
  3. Nina: 1 · 30 = 30. Ali: 2 · 30 = 60
Ergebnis:
Nina 30 €, Ali 60 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 20 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 20 : 4 = 5, also 5 kg.
    3. Zement: 1 · 5 = 5. Sand: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    Zement 5 kg, Sand 15 kg
  2. ●11
    Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 60 ml Farbe?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 60 : 6 = 10, also 10 ml.
    3. Blau: 1 · 10 = 10. Weiß: 5 · 10 = 50
    Ergebnis:
    Blau 10 ml, Weiß 50 ml
  3. ★12
    Für 180 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 180 : 4 = 45, also 45 l.
    3. Kompost: 1 · 45 = 45. Sand: 3 · 45 = 135
    Ergebnis:
    Kompost 45 l, Sand 135 l

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 5 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
gegebengesucht5 m3 m5 %1 m²?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 5 · 3 = 15, also 15 m².
  2. Mit Verschnitt: 15 · 1,05 = 15,75
  3. Pakete: 15,75 : 1 ≈ 15,75 → aufrunden auf 16
  1. Fläche: 5 · 3 = 15, also 15 m².
  2. Mit Verschnitt: 15 · 1,05 = 15,75
  3. Pakete: 15,75 : 1 ≈ 15,75 → aufrunden auf 16
Ergebnis:
16 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 32 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht32 m²6 m²5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 32 · 1 = 32, also 32 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 32 · 1 = 32, also 32 m².
    2. Liter: 32 : 6 ≈ 5,33
    3. Eimer: 5,33 : 5 ≈ 1,07 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  2. ●14
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3,5 m1 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3,5) − 1 = 16
    2. Mit Verschnitt: 16 · 1,1 = 17,6
    3. Leisten: 17,6 : 2,5 ≈ 7,04 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten
  3. ★15
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden zweimal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht36 m²6 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 36 · 2 = 72, also 72 m².
    2. Liter: 72 : 6 = 12
    3. Eimer: 12 : 2,5 ≈ 4,8 → aufrunden auf 5
    Ergebnis:
    5 Eimer

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

166 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,15. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht166 Kinder40 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 166 : 40 ≈ 4,15
  2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
  1. 166 : 40 ≈ 4,15
  2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
Ergebnis:
5 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    111 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,775. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht111 Kinder40 Plätze?
    So fängst du an:
    111 : 40 ≈ 2,78
    Lösung zeigen
    1. 111 : 40 ≈ 2,78
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse
  2. ●17
    213 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,26. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht213 Kinder50 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 213 : 50 ≈ 4,26
    2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
    Ergebnis:
    5 Busse
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 385 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 65 km/h. Der Rechner zeigt 5,92308 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht385 km65 km/h5,92308 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 385 : 65 ≈ 5,923
    2. 0,923 h · 60 ≈ 55 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 5 h 55 min
    Ergebnis:
    ≈ 5 h 55 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 400 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht400 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 400 · 190 = 76.000, also 76.000 m.
  2. 76.000 m = 76 km
  3. Gerundet: etwa 80 km
  1. 400 · 190 = 76.000, also 76.000 m.
  2. 76.000 m = 76 km
  3. Gerundet: etwa 80 km
Ergebnis:
etwa 80 km

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 300 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht300 m190 Schultage?
    So fängst du an:
    300 · 190 = 57.000, also 57.000 m.
    Lösung zeigen
    1. 300 · 190 = 57.000, also 57.000 m.
    2. 57.000 m = 57 km
    3. Gerundet: etwa 60 km
    Ergebnis:
    etwa 60 km
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m30 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 60 · 30 = 1800, also etwa 1800 m².
    2. Menschen: 1800 · 4 = 7200
    3. Gerundet: etwa 7000
    Ergebnis:
    etwa 7000 Menschen
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 5 · 450 · 5 = 11.250
    2. Höhe: 11.250 · 0,1 = 1125, also 1125 mm.
    3. 1125 mm = 112,5 cm, also etwa 1,1 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,1 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
Ergebnis:
120,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,50 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h45 min14,50 €?
    So fängst du an:
    45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    2. 7 h 45 min = 7,75 h
    3. 7,75 · 14,5 ≈ 112,38
    Ergebnis:
    7,75 h; ≈ 112,38 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h2 h5 h4 h18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 2 + 5 + 4 = 14
    2. Lohn: 14 · 18 = 252
    Ergebnis:
    252,00 €
  3. ★24
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 16,00 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h45 min16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    2. 7 h 45 min = 7,75 h
    3. 7,75 · 16 = 124
    Ergebnis:
    7,75 h; 124,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 8 g in mg.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 8 · 1000 = 8000
    Ergebnis:
    8000 mg
  2. ●26
    Zeynep sagt: „398 cm ist mehr als 0,6 m, weil 398 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,6 m = 60 cm
    2. 60 cm < 398 cm
    Ergebnis:
    Ja, 398 cm ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Ein Rennwagen ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  4. ●28
    Jemand fährt mit 18 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht18 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 2 s: 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW45 Minuten35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 2 · 0,75 = 1,5, also 1,5 kWh.
    3. 1,5 · 35 = 52,5, also 52,5 ct.
    Ergebnis:
    1,5 kWh, 52,5 ct
  6. ●30
    Ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb braucht dauernd 20 W, Tag und Nacht, das ganze Jahr. Wie viele Kilowattstunden sind das im Jahr, und was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht20 W32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Stunden im Jahr: 24 · 365 = 8760
    2. 20 · 8760 = 175.200, also 175.200 Wh = 175,2 kWh.
    3. 175,2 · 32 = 5606,4, also 5606,4 ct ≈ 56,06 €.
    Ergebnis:
    175,2 kWh, etwa 56,06 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele mg sind 40 g? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40.000 mg

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Ein Rennwagen ist 20 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 8 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht8 W3 Stunden30 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,23 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 50 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 4. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 10 kg, Sand 40 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m3 m0,9 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Leisten

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 5 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht5 m0,7 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht40 m25 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 4000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 6 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h6 h5 h18,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    360,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 7,5 m
  2. 1500 mg
  3. 0,125 kg
  4. Der Radfahrer ist schneller.
  5. 10 m/s
  6. 60 m je Sekunde, 3600 m je Minute
  7. 200 Stunden
  8. 50 Stunden
  9. ≈ 1,23 €
  10. Zement 5 kg, Sand 15 kg
  11. Blau 10 ml, Weiß 50 ml
  12. Kompost 45 l, Sand 135 l
  13. 2 Eimer
  14. 8 Leisten
  15. 5 Eimer
  16. 3 Busse
  17. 5 Busse
  18. ≈ 5 h 55 min
  19. etwa 60 km
  20. etwa 7000 Menschen
  21. etwa 1,1 m
  22. 7,75 h; ≈ 112,38 €
  23. 252,00 €
  24. 7,75 h; 124,00 €
  25. 8000 mg
  26. Ja, 398 cm ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 54 km/h
  28. 10 m
  29. 1,5 kWh, 52,5 ct
  30. 175,2 kWh, etwa 56,06 €
  31. 40.000 mg
  32. 72 km/h
  33. ≈ 0,23 €
  34. Zement 10 kg, Sand 40 kg
  35. 8 Leisten
  36. 7 Stücke
  37. etwa 4000 Menschen
  38. 360,00 €
  39. 200 cm
  40. 18 Minuten