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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 15 m in dm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 10 dm
    2. 15 · 10 = 150 dm
    Ergebnis:
    150 dm
  2. ●40
    Beim Training läuft Jamal 5 Runden und legt dabei 2000 m zurück. Wie viele Runden sind 3200 m?
    Lösung zeigen
    1. Rundenm
    2. 5 Runden→2000 m
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Runde→2000 m : 5 = 400 m
    5. ↓ · 8↓ · 83200 m : 400 m = 8
    6. 8 Runden→3200 m
    Ergebnis:
    8 Runden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 6 cl in l.
Schritt für Schritt
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 6 : 100 = 0,06
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 6 : 100 = 0,06
Ergebnis:
0,06 l

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Wie viele m sind 8 mm? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    So fängst du an:
    Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
    Ergebnis:
    0,008 m
  2. ●2
    Rechne um: 20 Wh in kWh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
    Ergebnis:
    0,02 kWh
  3. ★3
    Rechne um: 45 kWh in Wh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 45 · 1000 = 45.000
    Ergebnis:
    45.000 Wh

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Eine Drohne ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Schritt für Schritt
  1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
  3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
  1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
  3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
Ergebnis:
36 km/h

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne 36 km/h in m/s um.
    So fängst du an:
    1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 36 : 3,6 = 10
    Ergebnis:
    10 m/s
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
    gegebengesucht15 km/h6 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    2. 21,6 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  3. ★6
    Rechne 80 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 80 : 3,6 ≈ 22,2
    Ergebnis:
    ≈ 22,2 m/s

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Laptop hat 50 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht50 W3 Stunden30 Tage30 ct?
Schritt für Schritt
  1. 50 W = 0,05 kW
  2. Energie: 0,05 · 3 · 30 = 4,5, also 4,5 kWh.
  3. Kosten: 4,5 · 30 = 135, also 135 ct ≈ 1,35 €.
  1. 50 W = 0,05 kW
  2. Energie: 0,05 · 3 · 30 = 4,5, also 4,5 kWh.
  3. Kosten: 4,5 · 30 = 135, also 135 ct ≈ 1,35 €.
Ergebnis:
≈ 1,35 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW15 Minuten32 ct?
    So fängst du an:
    15 min = 0,25 h
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 2,5 · 0,25 = 0,625, also 0,625 kWh.
    3. 0,625 · 32 = 20, also 20 ct.
    Ergebnis:
    0,625 kWh, 20 ct
  2. ●8
    Eine Lampe hat 10 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht10 W5 Stunden30 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 10 W = 0,01 kW
    2. Energie: 0,01 · 5 · 30 = 1,5, also 1,5 kWh.
    3. Kosten: 1,5 · 30 = 45, also 45 ct ≈ 0,45 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,45 €
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 7 W ersetzt. Sie leuchtet 3 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W7 W3 Stunden32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 7 W = 53 W = 0,053 kW
    2. Im Jahr: 0,053 · 3 · 365 = 58,035, also 58,035 kWh.
    3. 58,035 · 32 ≈ 1857, also 1857 ct ≈ 18,57 €.
    Ergebnis:
    ≈ 18,57 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 30 ml Farbe?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 30 : 3 = 10, also 10 ml.
  3. Blau: 1 · 10 = 10. Weiß: 2 · 10 = 20
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 30 : 3 = 10, also 10 ml.
  3. Blau: 1 · 10 = 10. Weiß: 2 · 10 = 20
Ergebnis:
Blau 10 ml, Weiß 20 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Emre und Lea haben am Flohmarktstand 84 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 84 : 7 = 12, also 12 €.
    3. Emre: 2 · 12 = 24. Lea: 5 · 12 = 60
    Ergebnis:
    Emre 24 €, Lea 60 €
  2. ●11
    Für 400 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 400 : 4 = 100, also 100 ml.
    3. Saft: 1 · 100 = 100. Wasser: 3 · 100 = 300
    Ergebnis:
    Saft 100 ml, Wasser 300 ml
  3. ★12
    Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 2 : 3 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 90 kg Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 + 3 = 6
    2. Ein Teil: 90 : 6 = 15, also 15 kg.
    3. Zement 1 · 15 = 15, Sand 2 · 15 = 30, Kies 3 · 15 = 45
    Ergebnis:
    Zement 15 kg, Sand 30 kg, Kies 45 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 3 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
gegebengesucht3 m2 m1,5 m²?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 3 · 2 = 6, also 6 m².
  2. Mit Verschnitt: 6 · 1,05 = 6,3
  3. Pakete: 6,3 : 1,5 ≈ 4,2 → aufrunden auf 5
  1. Fläche: 3 · 2 = 6, also 6 m².
  2. Mit Verschnitt: 6 · 1,05 = 6,3
  3. Pakete: 6,3 : 1,5 ≈ 4,2 → aufrunden auf 5
Ergebnis:
5 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 4,5 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht4,5 m2,5 m10 %1,5 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 4,5 · 2,5 = 11,25, also 11,25 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 4,5 · 2,5 = 11,25, also 11,25 m².
    2. Mit Verschnitt: 11,25 · 1,1 = 12,375
    3. Pakete: 12,375 : 1,5 ≈ 8,25 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Pakete
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 28 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht28 m²8 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 28 · 1 = 28, also 28 m².
    2. Liter: 28 : 8 = 3,5
    3. Eimer: 3,5 : 2,5 ≈ 1,4 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  3. ★15
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 42 m². Sie werden zweimal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht42 m²8 m²5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 42 · 2 = 84, also 84 m².
    2. Liter: 84 : 8 = 10,5
    3. Eimer: 10,5 : 5 ≈ 2,1 → aufrunden auf 3
    Ergebnis:
    3 Eimer

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,63 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht4,3 m4,1 m17,63 m²?
Schritt für Schritt
  1. 4,3 · 4,1 = 17,63
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,63 ≈ 17,6
  1. 4,3 · 4,1 = 17,63
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,63 ≈ 17,6
Ergebnis:
≈ 17,6 m²

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,9 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    So fängst du an:
    8 : 0,9 ≈ 8,89
    Lösung zeigen
    1. 8 : 0,9 ≈ 8,89
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 8
    Ergebnis:
    8 Stücke
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 20,74 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m3,4 m20,74 m²?
    Lösung zeigen
    1. 6,1 · 3,4 = 20,74
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 20,74 ≈ 20,7
    Ergebnis:
    ≈ 20,7 m²
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 520 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 70 km/h. Der Rechner zeigt 7,42857 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht520 km70 km/h7,42857 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 520 : 70 ≈ 7,429
    2. 0,429 h · 60 ≈ 26 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 7 h 26 min
    Ergebnis:
    ≈ 7 h 26 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
gegebengesucht450 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
Schritt für Schritt
  1. Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
  2. Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
  3. 1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.
  1. Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
  2. Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
  3. 1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.
Ergebnis:
etwa 1,4 m

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m20 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
    3. Gerundet: etwa 4000
    Ergebnis:
    etwa 4000 Menschen
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht40 m20 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 40 · 20 = 800, also etwa 800 m².
    2. Menschen: 800 · 4 = 3200
    3. Gerundet: etwa 3000
    Ergebnis:
    etwa 3000 Menschen
  3. ★21
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
    2. 95.000 m = 95 km
    3. Gerundet: etwa 100 km
    Ergebnis:
    etwa 100 km

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 14,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
gegebengesucht5 h6 h3 h14,50 €?
Schritt für Schritt
  1. Stunden: 5 + 6 + 3 + 6 = 20
  2. Lohn: 20 · 14,5 = 290
  1. Stunden: 5 + 6 + 3 + 6 = 20
  2. Lohn: 20 · 14,5 = 290
Ergebnis:
290,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten18,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 18 = 144
    Ergebnis:
    144,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:00 bis 15:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14 = 112
    Ergebnis:
    112,00 €
  3. ★24
    Eine Schicht dauert 8 Stunden, davon 3 Stunden in der Nacht. Für Nachtstunden zahlt die Firma 25 % Zuschlag. Stundenlohn 16,00 €. Wie viel verdient man in dieser Schicht?
    gegebengesucht8 Stunden3 Stunden25 %16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Normale Stunden: 5 · 16 = 80
    2. Nachtstunden: 3 · 16 · 1,25 = 60
    3. Zusammen: 80 + 60 = 140
    Ergebnis:
    140,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele g sind 2 mg? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2 : 1000 = 0,002
    Ergebnis:
    0,002 g
  2. ●26
    Lea sagt: „800 ml ist mehr als 0,33 l, weil 800 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,33 l = 330 ml
    2. 330 ml < 800 ml
    Ergebnis:
    Ja, 800 ml ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 25 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
    gegebengesucht25 km/h5 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
    2. 18 km/h < 25 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  4. ●28
    Jemand fährt mit 36 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht36 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 36 km/h in m/s: 36 : 3,6 = 10
    2. In 2 s: 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20 m
  5. ●29
    Eine Spielkonsole hat 150 W und läuft 4 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht150 W4 Stunden7 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 150 W = 0,15 kW
    2. Energie: 0,15 · 4 · 7 = 4,2, also 4,2 kWh.
    3. Kosten: 4,2 · 30 = 126, also 126 ct ≈ 1,26 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,26 €
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 26.234 kWh, am Monatsende 26.384 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 35 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht26.234 kWh26.384 kWh35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 26.384 − 26.234 = 150, also 150 kWh.
    2. Kosten: 150 · 35 = 5250, also 5250 ct = 52,50 €.
    Ergebnis:
    52,50 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Eine Flasche Reiniger enthält 5 ml. Gib die Angabe in cl an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,5 cl

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 108 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    125 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 96 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mira 36 €, Jonas 60 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Boden von 5 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m3 m15 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Pakete

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    120 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,4. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht120 Kinder50 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m25 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 6000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 4 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h4 h5 h6 h16,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    288,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,008 m
  2. 0,02 kWh
  3. 45.000 Wh
  4. 10 m/s
  5. Die Läuferin ist schneller.
  6. ≈ 22,2 m/s
  7. 0,625 kWh, 20 ct
  8. ≈ 0,45 €
  9. ≈ 18,57 €
  10. Emre 24 €, Lea 60 €
  11. Saft 100 ml, Wasser 300 ml
  12. Zement 15 kg, Sand 30 kg, Kies 45 kg
  13. 9 Pakete
  14. 2 Eimer
  15. 3 Eimer
  16. 8 Stücke
  17. ≈ 20,7 m²
  18. ≈ 7 h 26 min
  19. etwa 4000 Menschen
  20. etwa 3000 Menschen
  21. etwa 100 km
  22. 144,00 €
  23. 112,00 €
  24. 140,00 €
  25. 0,002 g
  26. Ja, 800 ml ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. Der Radfahrer ist schneller.
  28. 20 m
  29. ≈ 1,26 €
  30. 52,50 €
  31. 0,5 cl
  32. 30 m/s
  33. 125 Stunden
  34. Mira 36 €, Jonas 60 €
  35. 12 Pakete
  36. 3 Busse
  37. etwa 6000 Menschen
  38. 288,00 €
  39. 150 dm
  40. 8 Runden