Mathematik · Klasse 12 und 13 · Kapitel

Integralrechnung

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Rohr liefert erst wenig, dann viel, dann wieder wenig – hier ist der Graph der Liter je Minute. Wie viel Wasser ist in 10 Minuten geflossen? Du kennst nur Rate mal Zeit.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Rate mal Zeit geht nur bei konstanter Rate; die Klasse zerlegt in Streifen und schätzt – jede Gruppe anders. Die Streifen sind schon die Idee, nur ohne Grenzwert. Immer schmalere Streifen, und die Summe wird zur Fläche unter dem Graphen – das Integral. Und mit der Stammfunktion rechnet man es ohne Streifen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Das Integral misst eine Fläche – zusammengesetzt aus sehr vielen schmalen Streifen.

●40
Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 4 cm und c = 3 cm, Höhe h = 2 cm. Berechne den Flächeninhalt.
Lösung zeigen
1. A = (a + c) : 2 · h
2. Mittellinie: (4 + 3) : 2 = 3,5 cm
3. A = 3,5 · 2 = 7 cm²
Ergebnis:
7 cm²
●41
Ein Quadrat hat die Seitenlänge x cm. Eine Seite wird um 6 cm länger, die andere um 3 cm kürzer. Gib die neue Fläche als Term an. Um wie viel ändert sie sich?
Lösung zeigen
1. Neue Fläche: (x + 6) · (x − 3)
2. = x² + 3x − 18
3. Änderung: x² + 3x − 18 − x² = 3x − 18
Ergebnis:
x² + 3x − 18; Änderung 3x − 18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAufsummieren von Änderungen

Das Integral summiert unendlich viele kleine Beiträge. Steht f für eine Rate, ergibt das Integral den Bestand – deshalb ist es mehr als „Fläche unter der Kurve“.

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann ein Integral negativ sein, ein Flächeninhalt aber nicht?

1Ich rekonstruiere Bestände aus Änderungsraten (Flächen unter Graphen).

EntdeckenFrage

Wie misst man die Fläche eines Sees, der keine gerade Kante hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In schmale Streifen zerlegen, jeden Streifen als Rechteck nehmen, alle addieren – und die Streifen immer schmaler machen. Das ist das Integral; Archimedes hat so schon die Fläche unter der Parabel bestimmt.

Ausprobieren: Integral als Streifensumme

Die Fläche unter dem Graphen mit Streifen annähern – Unter- und Obersumme rücken zusammen.

MerkenRekonstruieren

Aus der Änderungsrate zurück zum Bestand: Fläche unter dem Graphen der Rate = Zunahme des Bestands.

Eselsbrücke: Umkehrung der Potenzregel: „Exponent plus eins, dann dadurch teilen“ – ∫xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1)

BeispielBestand aus der Änderungsrate

Ein Tank wird betankt mit der Rate r(t) = 10t − t² (in Litern je Sekunde), 10 Sekunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.

Schritt für Schritt

Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀¹⁰(10t − t²) dt
Stammfunktion: 5t² − t³/3
= 500 − 333,33 ≈ 166,67
Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.

Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀¹⁰(10t − t²) dt
Stammfunktion: 5t² − t³/3
= 500 − 333,33 ≈ 166,67
Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.

Ergebnis:

≈ 166,67 Liter

AchtungF(a) vergessen

So nicht

∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) = 9

So richtig

∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8

Immer obere Grenze minus untere Grenze.

ÜbenJetzt du

○1
In ein Becken fließt Wasser mit der Rate r(t) = 12t − t² (in Litern je Minute), 12 Minuten lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
So fängst du an:
Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀¹²(12t − t²) dt
Lösung zeigen
1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀¹²(12t − t²) dt
2. Stammfunktion: 6t² − t³/3
3. = 864 − 576 = 288
4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
Ergebnis:
288 Liter
●2
Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 9t − t² (in m³ je Stunde), 9 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
Lösung zeigen
1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀⁹(9t − t²) dt
2. Stammfunktion: 4,5t² − t³/3
3. = 364,5 − 243 = 121,5
4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
Ergebnis:
121,5 m³
★3
Ein Tank wird betankt mit der Rate r(t) = 3t − t² (in Litern je Sekunde), 3 Sekunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
Lösung zeigen
1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀³(3t − t²) dt
2. Stammfunktion: 1,5t² − t³/3
3. = 13,5 − 9 = 4,5
4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
Ergebnis:
4,5 Liter

2Ich nähere Flächen mit Ober- und Untersummen an.

EntdeckenFrage

Wie hat Archimedes die Kreisfläche bestimmt, lange bevor es eine Formel gab?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er legte Vielecke innen und außen an den Kreis und erhöhte die Eckenzahl immer weiter. Die eine Fläche ist zu klein, die andere zu groß – dazwischen wird der Wert eingeschlossen.

MerkenOber- und Untersumme

Rechtecke unter und über dem Graphen – je feiner, desto näher am Integral.

BeispielOber- und Untersumme

Nähere die Fläche unter f(x) = 2x auf [0; 3] mit 4 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme.

Schritt für Schritt

Streifenbreite: 3 : 4 = 0,75.
Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 9, mal 0,75 ergibt 6,75.
Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 15, mal 0,75 ergibt 11,25.
Der Flächeninhalt liegt zwischen 6,75 und 11,25.

Streifenbreite: 3 : 4 = 0,75.
Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 9, mal 0,75 ergibt 6,75.
Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 15, mal 0,75 ergibt 11,25.
Der Flächeninhalt liegt zwischen 6,75 und 11,25.

Ergebnis:

U = 6,75, O = 11,25

AchtungAufgeleitet ohne durch den neuen Exponenten zu teilen

So nicht

3x² → 3x³

So richtig

3x² → x³

Teile durch den neuen Exponenten. Leite zur Probe ab.

ÜbenJetzt du

○4
Nähere die Fläche unter f(x) = x² + 1 auf [0; 4] mit 2 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme.
So fängst du an:
Streifenbreite: 4 : 2 = 2.
Lösung zeigen
1. Streifenbreite: 4 : 2 = 2.
2. Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 6, mal 2 ergibt 12.
3. Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 22, mal 2 ergibt 44.
4. Der Flächeninhalt liegt zwischen 12 und 44.
Ergebnis:
U = 12, O = 44
●5
Nähere die Fläche unter f(x) = 0,5x² auf [0; 3] mit 2 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme.
Lösung zeigen
1. Streifenbreite: 3 : 2 = 1,5.
2. Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 1,125, mal 1,5 ergibt 1,6875.
3. Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 5,625, mal 1,5 ergibt 8,4375.
4. Der Flächeninhalt liegt zwischen 1,6875 und 8,4375.
Ergebnis:
U = 1,6875, O = 8,4375
★6
Nähere die Fläche unter f(x) = 0,5x² auf [0; 4] mit 8 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme. Wie groß ist der Abstand zwischen beiden, und was passiert bei noch mehr Streifen?
Lösung zeigen
1. Streifenbreite: 4 : 8 = 0,5.
2. Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 17,5, mal 0,5 ergibt 8,75.
3. Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 25,5, mal 0,5 ergibt 12,75.
4. Der Flächeninhalt liegt zwischen 8,75 und 12,75.
5. Abstand O − U = 0,5 · (f(4) − f(0)) = 4. Doppelt so viele Streifen halbieren ihn.
Ergebnis:
U = 8,75, O = 12,75

3Ich bilde Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen.

EntdeckenFrage

Warum gibt es zu einer Ableitung unendlich viele Ausgangsfunktionen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil eine nach oben verschobene Kurve überall dieselbe Steigung hat. Der Höhenunterschied verschwindet beim Ableiten – deshalb steht bei jeder Stammfunktion ein Plus c.

MerkenStammfunktion

F' = f. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Konstante C ist frei.

BeispielStammfunktion bilden

Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 3x² + 2x − 1

Schritt für Schritt

Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1)
F(x) = x³ + x² − x + C

Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1)
F(x) = x³ + x² − x + C

Ergebnis:

F(x) = x³ + x² − x + C

AchtungAbgeleitet statt integriert

So nicht

∫ x^3 dx = 3x^2

So richtig

∫ x^3 dx = x^4 / 4 + C  (Exponent hoch, durch den neuen Exponenten)

Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen.

ÜbenJetzt du

○7
Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 9x² + 4x − 2
So fängst du an:
Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1)
Lösung zeigen
1. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1)
2. F(x) = 3x³ + 2x² − 2x + C
Ergebnis:
F(x) = 3x³ + 2x² − 2x + C
●8
Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 3x² − 4x + 1
Lösung zeigen
1. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1)
2. F(x) = x³ − 2x² + x + C
Ergebnis:
F(x) = x³ − 2x² + x + C
★9
Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 4x³ + 3x² + 5x − 1
Lösung zeigen
1. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1)
2. F(x) = x⁴ + x³ + 2,5x² − x + C
Ergebnis:
F(x) = x⁴ + x³ + 2,5x² − x + C

4Ich berechne bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz.

EntdeckenFrage

Warum reicht es, zwei Zahlen einzusetzen, um eine ganze Fläche zu kennen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das ist die Aussage des Hauptsatzes: Die Fläche unter einer Kurve ist der Zuwachs ihrer Stammfunktion. Der gesamte Verlauf dazwischen steckt im Unterschied der beiden Randwerte.

MerkenHauptsatz: bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral ist eine Differenz zweier Stammfunktionswerte: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).

Obere Grenze einsetzen, untere abziehen.

BeispielBestimmtes Integral berechnen

Berechne ∫₀³ (6x²) dx

Schritt für Schritt

F(x) = 2x³
F(3) − F(0) = 54 − (0) = 54

F(x) = 2x³
F(3) − F(0) = 54 − (0) = 54

Ergebnis:

AchtungAbgeleitet statt aufgeleitet

So nicht

Berechne ∫_0^3 (6x^2) dx → 36

So richtig

Berechne ∫_0^3 (6x^2) dx → 54

Frag dich: Welche Funktion ergibt abgeleitet f? Das ist F.

ÜbenJetzt du

○10
Berechne ∫₀³ (6x² + 2x + 4) dx
So fängst du an:
F(x) = 2x³ + x² + 4x
Lösung zeigen
1. F(x) = 2x³ + x² + 4x
2. F(3) − F(0) = 75 − (0) = 75
Ergebnis:
75
●11
Berechne ∫₀¹ (3x² + 4) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = x³ + 4x
2. F(1) − F(0) = 5 − (0) = 5
Ergebnis:
5
★12
Berechne ∫₁³ (6x² + 4x) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = 2x³ + 2x²
2. F(3) − F(1) = 72 − (4) = 68
Ergebnis:
68

5Ich berechne Flächen zwischen Graph und x-Achse (Nullstellen beachten).

EntdeckenFrage

Warum kommt beim Rechnen manchmal eine negative Fläche heraus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Stücke unter der Achse mit umgekehrtem Vorzeichen zählen. Wer den Flächeninhalt will, teilt an den Nullstellen und nimmt die Beträge – sonst löschen sich zwei Stücke gegenseitig aus.

MerkenFläche und x-Achse

Integrale sind orientiert: Flächen unter der x-Achse zählen negativ.

Deshalb an Nullstellen aufteilen und Beträge addieren.

BeispielFläche zwischen Graph und x-Achse

Der Graph von f(x) = −x² + 9x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.

Schritt für Schritt

Nullstellen: x(9 − x) = 0 → x = 0 und x = 9
∫₀⁹ (−x² + 9x) dx = [−x³/3 + 4,5x²]₀⁹ = 121,5
Fläche = 121,5 FE

Nullstellen: x(9 − x) = 0 → x = 0 und x = 9
∫₀⁹ (−x² + 9x) dx = [−x³/3 + 4,5x²]₀⁹ = 121,5
Fläche = 121,5 FE

Ergebnis:

121,5 FE

AchtungVorzeichen bei Fläche

So nicht

Fläche von x^3 zwischen −1 und 1: ∫ = 0, also Fläche 0

So richtig

Fläche von x^3 zwischen −1 und 1 = 2 · ∫ von 0 bis 1 = 2 · 1/4 = 0,5

An Nullstellen aufteilen; unterhalb der x-Achse Betrag nehmen.

ÜbenJetzt du

○13
Der Graph von f(x) = −x² + 12x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
So fängst du an:
Nullstellen: x(12 − x) = 0 → x = 0 und x = 12
Lösung zeigen
1. Nullstellen: x(12 − x) = 0 → x = 0 und x = 12
2. ∫₀¹² (−x² + 12x) dx = [−x³/3 + 6x²]₀¹² = 288
3. Fläche = 288 FE
Ergebnis:
288 FE
●14
Der Graph von f(x) = −x² + 2x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
Lösung zeigen
1. Nullstellen: x(2 − x) = 0 → x = 0 und x = 2
2. ∫₀² (−x² + 2x) dx = [−x³/3 + x²]₀² = 1,33
3. Fläche ≈ 1,33 FE
Ergebnis:
≈ 1,33 FE
★15
Der Graph von f(x) = −x² + 6x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
Lösung zeigen
1. Nullstellen: x(6 − x) = 0 → x = 0 und x = 6
2. ∫₀⁶ (−x² + 6x) dx = [−x³/3 + 3x²]₀⁶ = 36
3. Fläche = 36 FE
Ergebnis:
36 FE

6Ich berechne Flächen zwischen zwei Graphen.

EntdeckenFrage

Archimedes behauptete, ein Parabelstück sei genau 4/3 so groß wie ein Dreieck darin. Stimmt das?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwischen y = 1 und y = x² liegt die Fläche von −1 bis 1. Das Integral von (1 − x²) ergibt 2 − 2/3 = 4/3. Das Dreieck mit den Ecken (−1|1), (1|1) und (0|0) hat die Fläche 1. Das Verhältnis ist genau 4/3.

MerkenFläche zwischen Graphen

Schnittstellen bestimmen, dann ∫ (oben − unten) dx.

BeispielFläche zwischen zwei Graphen

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 2x.

Schritt für Schritt

Schnittstellen: x² = 2x → x(x − 2) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 2
Zwischen 0 und 2 liegt g oben: A = ∫₀²(2x − x²) dx
= [1x² − x³/3]₀² = 4 − 2,67
A ≈ 1,33

Schnittstellen: x² = 2x → x(x − 2) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 2
Zwischen 0 und 2 liegt g oben: A = ∫₀²(2x − x²) dx
= [1x² − x³/3]₀² = 4 − 2,67
A ≈ 1,33

Ergebnis:

A ≈ 1,33 FE

AchtungNoch einmal: Vorzeichen bei Fläche

So nicht

Fläche von x^3 zwischen −1 und 1: ∫ = 0, also Fläche 0

So richtig

Fläche von x^3 zwischen −1 und 1 = 2 · ∫ von 0 bis 1 = 2 · 1/4 = 0,5

An Nullstellen aufteilen; unterhalb der x-Achse Betrag nehmen.

ÜbenJetzt du

○16
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 6x.
So fängst du an:
Schnittstellen: x² = 6x → x(x − 6) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 6
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 6x → x(x − 6) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 6
2. Zwischen 0 und 6 liegt g oben: A = ∫₀⁶(6x − x²) dx
3. = [3x² − x³/3]₀⁶ = 108 − 72
4. A = 36
Ergebnis:
A = 36 FE
●17
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 3x.
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 3x → x(x − 3) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 3
2. Zwischen 0 und 3 liegt g oben: A = ∫₀³(3x − x²) dx
3. = [1,5x² − x³/3]₀³ = 13,5 − 9
4. A = 4,5
Ergebnis:
A = 4,5 FE
★18
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 8x.
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 8x → x(x − 8) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 8
2. Zwischen 0 und 8 liegt g oben: A = ∫₀⁸(8x − x²) dx
3. = [4x² − x³/3]₀⁸ = 256 − 170,67
4. A ≈ 85,33
Ergebnis:
A ≈ 85,33 FE

7Ich deute Integrale in Sachzusammenhängen (Gesamtmenge, Weg).

EntdeckenFrage

Ein Auto bremst in 4 Sekunden gleichmäßig von 36 km/h bis zum Stand. Wie weit rollt es dabei noch?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

36 km/h sind 10 m/s. Das Tempo ist v(t) = 10 − 2,5t. Der Weg ist das Integral von 0 bis 4: 40 − 20 = 20 m. Das ist die Dreiecksfläche unter dem Graphen.

MerkenDeutung

Rate mal Zeit = Menge: ∫ v(t) dt ist der zurückgelegte Weg.

BeispielBestand aus der Änderungsrate

Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 3t − t² (in m³ je Stunde), 3 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.

Schritt für Schritt

Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀³(3t − t²) dt
Stammfunktion: 1,5t² − t³/3
= 13,5 − 9 = 4,5
Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.

Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀³(3t − t²) dt
Stammfunktion: 1,5t² − t³/3
= 13,5 − 9 = 4,5
Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.

Ergebnis:

4,5 m³

AchtungNoch einmal: F(a) vergessen

So nicht

∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) = 9

So richtig

∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8

Immer obere Grenze minus untere Grenze.

ÜbenJetzt du

○19
Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 6t − t² (in m³ je Stunde), 6 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
So fängst du an:
Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀⁶(6t − t²) dt
Lösung zeigen
1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀⁶(6t − t²) dt
2. Stammfunktion: 3t² − t³/3
3. = 108 − 72 = 36
4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
Ergebnis:
36 m³
●20
Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 12t − t² (in m³ je Stunde), 12 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
Lösung zeigen
1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀¹²(12t − t²) dt
2. Stammfunktion: 6t² − t³/3
3. = 864 − 576 = 288
4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
Ergebnis:
288 m³
★21
In ein Becken fließt Wasser mit der Rate r(t) = 5t − t² (in Litern je Minute), 5 Minuten lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
Lösung zeigen
1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀⁵(5t − t²) dt
2. Stammfunktion: 2,5t² − t³/3
3. = 62,5 − 41,67 ≈ 20,83
4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
Ergebnis:
≈ 20,83 Liter

8Ich berechne Mittelwerte und Rotationsvolumen (Vertiefung).

EntdeckenFrage

Warum fasst ein Kegel genau ein Drittel eines gleich hohen Zylinders mit gleichem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man dreht die Gerade y = r : h · x von 0 bis h um die x-Achse. Das Volumen ist π mal das Integral von (r : h · x)². Das ergibt π · r² : h² · h³ : 3 = π r² h : 3. Der Zylinder hat π r² h.

MerkenMittelwert und Rotation

Mittelwert von f auf [a; b]: 1/(b − a) · ∫ f(x) dx.

Rotationsvolumen um die x-Achse: V = π · ∫ (f(x))² dx.

BeispielMittelwert einer Funktion

Berechne den Mittelwert von f(x) = x² auf dem Intervall [0; 4].

Schritt für Schritt

Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐ^b f(x) dx
∫₀⁴x² dx = [0,33x³]₀⁴ = 21,33
Mittelwert = 21,33 / 4 ≈ 5,33

Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐ^b f(x) dx
∫₀⁴x² dx = [0,33x³]₀⁴ = 21,33
Mittelwert = 21,33 / 4 ≈ 5,33

Ergebnis:

≈ 5,33

AchtungRechenart verwechselt

So nicht

Berechne den Mittelwert von f(x) = 2x² auf dem Intervall [0; 6] → 864

So richtig

Berechne den Mittelwert von f(x) = 2x² auf dem Intervall [0; 6] → 24

Frag dich zuerst: Wird es mehr oder weniger? Dann weißt du, ob mal oder geteilt.

ÜbenJetzt du

○22
Berechne den Mittelwert von f(x) = 2x² auf dem Intervall [0; 6].
So fängst du an:
Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐ^b f(x) dx
Lösung zeigen
1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐ^b f(x) dx
2. ∫₀⁶2x² dx = [0,67x³]₀⁶ = 144
3. Mittelwert = 1446 = 24
Ergebnis:
24
●23
Berechne den Mittelwert von f(x) = x² auf dem Intervall [0; 3].
Lösung zeigen
1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐ^b f(x) dx
2. ∫₀³x² dx = [0,33x³]₀³ = 9
3. Mittelwert = 93 = 3
Ergebnis:
3
★24
Berechne den Mittelwert von f(x) = 2x² auf dem Intervall [0; 2].
Lösung zeigen
1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐ^b f(x) dx
2. ∫₀²2x² dx = [0,67x³]₀² = 5,33
3. Mittelwert = 5,33 / 2 ≈ 2,67
Ergebnis:
≈ 2,67

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 6x² + 2x + 1
Lösung zeigen
1. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1)
2. F(x) = 2x³ + x² + x + C
Ergebnis:
F(x) = 2x³ + x² + x + C
●26
Berechne ∫₀⁴ (3x² + 4x + 3) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = x³ + 2x² + 3x
2. F(4) − F(0) = 108 − (0) = 108
Ergebnis:
108
●27
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und der Geraden g(x) = 1.
Lösung zeigen
1. Schnittstellen: x² = 1 → x = ±1
2. Zwischen −1 und 1 liegt g oben: A = ∫₋1¹(1 − x²) dx
3. = [1x − x³/3]₋1¹ = 2 · (1 − 0,333)
4. A ≈ 1,33
Ergebnis:
A ≈ 1,33 FE
●28
Berechne den Mittelwert von f(x) = 3x² auf dem Intervall [0; 3].
Lösung zeigen
1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐ^b f(x) dx
2. ∫₀³3x² dx = [x³]₀³ = 27
3. Mittelwert = 273 = 9
Ergebnis:
9
●29
Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 6x² + 4x − 5
Lösung zeigen
1. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1)
2. F(x) = 2x³ + 2x² − 5x + C
Ergebnis:
F(x) = 2x³ + 2x² − 5x + C
●30
Berechne ∫₀¹ (6x² + 4x + 4) dx
Lösung zeigen
1. F(x) = 2x³ + 2x² + 4x
2. F(1) − F(0) = 8 − (0) = 8
Ergebnis:
8

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Rekonstruieren: Aus der Änderungsrate zurück zum Bestand: Fläche unter dem Graphen der Rate = Zunahme des Bestands.
Ober- und Untersumme: Rechtecke unter und über dem Graphen – je feiner, desto näher am Integral.
Stammfunktion: F' = f. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Konstante C ist frei.
Hauptsatz: bestimmtes Integral: Das bestimmte Integral ist eine Differenz zweier Stammfunktionswerte: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
Fläche und x-Achse: Integrale sind orientiert: Flächen unter der x-Achse zählen negativ.
Fläche zwischen Graphen: Schnittstellen bestimmen, dann ∫ (oben − unten) dx.
Deutung: Rate mal Zeit = Menge: ∫ v(t) dt ist der zurückgelegte Weg.
Mittelwert und Rotation: Mittelwert von f auf [a; b]: 1/(b − a) · ∫ f(x) dx.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rekonstruiere Bestände aus Änderungsraten (Flächen unter Graphen).
31
In ein Becken fließt Wasser mit der Rate r(t) = 12t − t² (in Litern je Minute), 12 Minuten lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
Lösung zeigen
Ergebnis:
288 Liter
Ich nähere Flächen mit Ober- und Untersummen an.
32
Nähere die Fläche unter f(x) = x² + 1 auf [0; 4] mit 4 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme.
Lösung zeigen
Ergebnis:
U = 18, O = 34
Ich bilde Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen.
33
Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 3x² − 4x + 2
Lösung zeigen
Ergebnis:
F(x) = x³ − 2x² + 2x + C
Ich berechne bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz.
34
Berechne ∫₀³ (6x² + 2) dx
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Ergebnis:
60
Ich berechne Flächen zwischen Graph und x-Achse (Nullstellen beachten).
35
Der Graph von f(x) = −x² + 5x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 20,83 FE
Ich berechne Flächen zwischen zwei Graphen.
36
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 6x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
A = 36 FE
Ich deute Integrale in Sachzusammenhängen (Gesamtmenge, Weg).
37
Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 6t − t² (in m³ je Stunde), 6 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 m³
Ich berechne Mittelwerte und Rotationsvolumen (Vertiefung).
38
Berechne den Mittelwert von f(x) = 2x² auf dem Intervall [0; 4].
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 10,67
Ich bereite die Klausur vor.
39
Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 9x² + 2x − 4
Lösung zeigen
Ergebnis:
F(x) = 3x³ + x² − 4x + C

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Rohr liefert erst wenig, dann viel, dann wieder wenig – hier ist der Graph der Liter je Minute. Wie viel Wasser ist in 10 Minuten geflossen? Du kennst nur Rate mal Zeit.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Das Integral: der Bestand aus der Änderungsrate.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Aus Geschwindigkeit die Strecke, Fläche unter der Kurve. Beruf: Physik, Bauwesen (Volumen), Wirtschaft.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Integral: die Fläche unter dem Graphen
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Nullstelle: wo der Graph die x-Achse trifft
Stammfunktion: die Funktion, deren Ableitung die gegebene ist

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Einführung in die Differenzialrechnung, Flächeninhalt und Volumen

Darauf baut auf: e-Funktion und Logarithmus

Lösungen

288 Liter
121,5 m³
4,5 Liter
U = 12, O = 44
U = 1,6875, O = 8,4375
U = 8,75, O = 12,75
F(x) = 3x³ + 2x² − 2x + C
F(x) = x³ − 2x² + x + C
F(x) = x⁴ + x³ + 2,5x² − x + C
75
5
68
288 FE
≈ 1,33 FE
36 FE
A = 36 FE
A = 4,5 FE
A ≈ 85,33 FE
36 m³
288 m³
≈ 20,83 Liter
24
3
≈ 2,67
F(x) = 2x³ + x² + x + C
108
A ≈ 1,33 FE
9
F(x) = 2x³ + 2x² − 5x + C
8
288 Liter
U = 18, O = 34
F(x) = x³ − 2x² + 2x + C
60
≈ 20,83 FE
A = 36 FE
36 m³
≈ 10,67
F(x) = 3x³ + x² − 4x + C
7 cm²
x² + 3x − 18; Änderung 3x − 18