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Mathematik · Klasse 12 und 13 · Kapitel

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Integralrechnung

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Rohr liefert erst wenig, dann viel, dann wieder wenig – hier ist der Graph der Liter je Minute. Wie viel Wasser ist in 10 Minuten geflossen? Du kennst nur Rate mal Zeit.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Rate mal Zeit geht nur bei konstanter Rate; die Klasse zerlegt in Streifen und schätzt – jede Gruppe anders. Die Streifen sind schon die Idee, nur ohne Grenzwert. Immer schmalere Streifen, und die Summe wird zur Fläche unter dem Graphen – das Integral. Und mit der Stammfunktion rechnet man es ohne Streifen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Das Integral misst eine Fläche – zusammengesetzt aus sehr vielen schmalen Streifen.

  1. ●40
    Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 8 cm und c = 6 cm, Höhe h = 5 cm. Berechne den Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. A = (a + c) : 2 · h
    2. Mittellinie: (8 + 6) : 2 = 7 cm
    3. A = 7 · 5 = 35 cm²
    Ergebnis:
    35 cm²
  2. ●41
    Ein Quadrat hat die Seitenlänge x cm. Eine Seite wird um 5 cm länger, die andere um 4 cm kürzer. Gib die neue Fläche als Term an. Um wie viel ändert sie sich?
    x cm+ 5 cmx cm− 4 cm?
    Lösung zeigen
    1. Neue Fläche: (x + 5) · (x − 4)
    2. = x² + x − 20
    3. Änderung: x² + x − 20 − x² = x − 20
    Ergebnis:
    x² + x − 20; Änderung x − 20

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAufsummieren von Änderungen

Das Integral summiert unendlich viele kleine Beiträge. Steht f für eine Rate, ergibt das Integral den Bestand – deshalb ist es mehr als „Fläche unter der Kurve“.

Unter dem Graph einer Zuflussrate stehen schmale Streifen: Rate mal Zeit, aufsummiert, ergibt den BestandZeitRateRate mal Zeit, aufsummiert: der Bestand

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann ein Integral negativ sein, ein Flächeninhalt aber nicht?

1Ich rekonstruiere Bestände aus Änderungsraten (Flächen unter Graphen).

EntdeckenFrage

Wie misst man die Fläche eines Sees, der keine gerade Kante hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In schmale Streifen zerlegen, jeden Streifen als Rechteck nehmen, alle addieren – und die Streifen immer schmaler machen. Das ist das Integral; Archimedes hat so schon die Fläche unter der Parabel bestimmt.

Ausprobieren: Integral als Streifensumme

Die Fläche unter dem Graphen mit Streifen annähern – Unter- und Obersumme rücken zusammen.

MerkenRekonstruieren

Aus der Änderungsrate zurück zum Bestand: Fläche unter dem Graphen der Rate = Zunahme des Bestands.

Eselsbrücke: Umkehrung der Potenzregel: „Exponent plus eins, dann dadurch teilen“ – ∫xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1)

BeispielBestand aus der Änderungsrate

Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 9t − t² (in m³ je Stunde), 9 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
Schritt für Schritt
  1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀9(9t − t²) dt
  2. Stammfunktion: 4,5t² − t³/3
  3. = 364,5 − 243 = 121,5
  4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
  1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀9(9t − t²) dt
  2. Stammfunktion: 4,5t² − t³/3
  3. = 364,5 − 243 = 121,5
  4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
Ergebnis:
121,5 m³

AchtungF(a) vergessen

So nicht
∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) = 9
So richtig
∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8

Immer obere Grenze minus untere Grenze.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Tank wird betankt mit der Rate r(t) = 3t − t² (in Litern je Sekunde), 3 Sekunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
    So fängst du an:
    Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀3(3t − t²) dt
    Lösung zeigen
    1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀3(3t − t²) dt
    2. Stammfunktion: 1,5t² − t³/3
    3. = 13,5 − 9 = 4,5
    4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
    Ergebnis:
    4,5 Liter
  2. ●2
    In ein Becken fließt Wasser mit der Rate r(t) = 5t − t² (in Litern je Minute), 5 Minuten lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
    Lösung zeigen
    1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀5(5t − t²) dt
    2. Stammfunktion: 2,5t² − t³/3
    3. = 62,5 − 41,67 ≈ 20,83
    4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
    Ergebnis:
    ≈ 20,83 Liter
  3. ★3
    Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 6t − t² (in m³ je Stunde), 6 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
    Lösung zeigen
    1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀6(6t − t²) dt
    2. Stammfunktion: 3t² − t³/3
    3. = 108 − 72 = 36
    4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
    Ergebnis:
    36 m³

2Ich nähere Flächen mit Ober- und Untersummen an.

EntdeckenFrage

Wie hat Archimedes die Kreisfläche bestimmt, lange bevor es eine Formel gab?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er legte Vielecke innen und außen an den Kreis und erhöhte die Eckenzahl immer weiter. Die eine Fläche ist zu klein, die andere zu groß – dazwischen wird der Wert eingeschlossen.

MerkenOber- und Untersumme

Rechtecke unter und über dem Graphen – je feiner, desto näher am Integral.

BeispielOber- und Untersumme

Nähere die Fläche unter f(x) = x² + 1 auf [0; 2] mit 4 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme.
20
Schritt für Schritt
  1. Streifenbreite: 2 : 4 = 0,5.
  2. Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 7,5, mal 0,5 ergibt 3,75.
  3. Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 11,5, mal 0,5 ergibt 5,75.
  4. Der Flächeninhalt liegt zwischen 3,75 und 5,75.
  1. Streifenbreite: 2 : 4 = 0,5.
  2. Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 7,5, mal 0,5 ergibt 3,75.
  3. Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 11,5, mal 0,5 ergibt 5,75.
  4. Der Flächeninhalt liegt zwischen 3,75 und 5,75.
Ergebnis:
U = 3,75, O = 5,75

AchtungAufgeleitet ohne durch den neuen Exponenten zu teilen

So nicht
3x² → 3x³
So richtig
3x² → x³

Teile durch den neuen Exponenten. Leite zur Probe ab.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Nähere die Fläche unter f(x) = x² + 1 auf [0; 3] mit 2 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme.
    30
    So fängst du an:
    Streifenbreite: 3 : 2 = 1,5.
    Lösung zeigen
    1. Streifenbreite: 3 : 2 = 1,5.
    2. Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 4,25, mal 1,5 ergibt 6,375.
    3. Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 13,25, mal 1,5 ergibt 19,875.
    4. Der Flächeninhalt liegt zwischen 6,375 und 19,875.
    Ergebnis:
    U = 6,375, O = 19,875
  2. ●5
    Nähere die Fläche unter f(x) = x² auf [0; 3] mit 4 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme.
    30
    Lösung zeigen
    1. Streifenbreite: 3 : 4 = 0,75.
    2. Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 7,875, mal 0,75 ergibt 5,9063.
    3. Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 16,875, mal 0,75 ergibt 12,6563.
    4. Der Flächeninhalt liegt zwischen 5,9063 und 12,6563.
    Ergebnis:
    U = 5,9063, O = 12,6563
  3. ★6
    Nähere die Fläche unter f(x) = 0,5x² auf [0; 3] mit 8 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme. Wie groß ist der Abstand zwischen beiden, und was passiert bei noch mehr Streifen?
    30
    Lösung zeigen
    1. Streifenbreite: 3 : 8 = 0,375.
    2. Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 9,8438, mal 0,375 ergibt 3,6914.
    3. Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 14,3438, mal 0,375 ergibt 5,3789.
    4. Der Flächeninhalt liegt zwischen 3,6914 und 5,3789.
    5. Abstand O − U = 0,375 · (f(3) − f(0)) = 1,6875. Doppelt so viele Streifen halbieren ihn.
    Ergebnis:
    U = 3,6914, O = 5,3789

3Ich bilde Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen.

EntdeckenFrage

Warum gibt es zu einer Ableitung unendlich viele Ausgangsfunktionen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil eine nach oben verschobene Kurve überall dieselbe Steigung hat. Der Höhenunterschied verschwindet beim Ableiten – deshalb steht bei jeder Stammfunktion ein Plus c.

MerkenStammfunktion

F' = f. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Konstante C ist frei.

BeispielStammfunktion bilden

Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 6x2 − 4x − 5
−22−8−6−4−224680fF
Schritt für Schritt
  1. Umkehrung der Potenzregel: xn → xn+1/(n+1)
  2. F(x) = 2x3 − 2x2 − 5x + C
  1. Umkehrung der Potenzregel: xn → xn+1/(n+1)
  2. F(x) = 2x3 − 2x2 − 5x + C
Ergebnis:
F(x) = 2x3 − 2x2 − 5x + C

AchtungAbgeleitet statt integriert

So nicht
∫ x^3 dx = 3x^2
So richtig
∫ x^3 dx = x^4 / 4 + C  (Exponent hoch, durch den neuen Exponenten)

Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 3x2 − 4x + 4
    So fängst du an:
    Umkehrung der Potenzregel: xn → xn+1/(n+1)
    Lösung zeigen
    1. Umkehrung der Potenzregel: xn → xn+1/(n+1)
    2. F(x) = x3 − 2x2 + 4x + C
    Ergebnis:
    F(x) = x3 − 2x2 + 4x + C
  2. ●8
    Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 6x2 + 4x − 2
    Lösung zeigen
    1. Umkehrung der Potenzregel: xn → xn+1/(n+1)
    2. F(x) = 2x3 + 2x2 − 2x + C
    Ergebnis:
    F(x) = 2x3 + 2x2 − 2x + C
  3. ★9
    Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 4x3 + 6x2 + 1
    Lösung zeigen
    1. Umkehrung der Potenzregel: xn → xn+1/(n+1)
    2. F(x) = x4 + 2x3 + x + C
    Ergebnis:
    F(x) = x4 + 2x3 + x + C

4Ich berechne bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz.

EntdeckenFrage

Warum reicht es, zwei Zahlen einzusetzen, um eine ganze Fläche zu kennen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das ist die Aussage des Hauptsatzes: Die Fläche unter einer Kurve ist der Zuwachs ihrer Stammfunktion. Der gesamte Verlauf dazwischen steckt im Unterschied der beiden Randwerte.

MerkenHauptsatz: bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral ist eine Differenz zweier Stammfunktionswerte: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).

Obere Grenze einsetzen, untere abziehen.

BeispielBestimmtes Integral berechnen

Berechne ∫03 (3x2 + 4x + 3) dx
−224−4−2246810120
Schritt für Schritt
  1. F(x) = x3 + 2x2 + 3x
  2. F(3) − F(0) = 54 − (0) = 54
  1. F(x) = x3 + 2x2 + 3x
  2. F(3) − F(0) = 54 − (0) = 54
Ergebnis:
54

AchtungAbgeleitet statt aufgeleitet

So nicht
Berechne ∫_0^3 (3x^2 + 4x + 3) dx → 18
So richtig
Berechne ∫_0^3 (3x^2 + 4x + 3) dx → 54

Frag dich: Welche Funktion ergibt abgeleitet f? Das ist F.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Berechne ∫04 (6x2 + 2x + 2) dx
    So fängst du an:
    F(x) = 2x3 + x2 + 2x
    Lösung zeigen
    1. F(x) = 2x3 + x2 + 2x
    2. F(4) − F(0) = 152 − (0) = 152
    Ergebnis:
    152
  2. ●11
    Berechne ∫02 (3x2 + 3) dx
    Lösung zeigen
    1. F(x) = x3 + 3x
    2. F(2) − F(0) = 14 − (0) = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★12
    Berechne ∫12 (6x2 + 2x + 2) dx
    Lösung zeigen
    1. F(x) = 2x3 + x2 + 2x
    2. F(2) − F(1) = 24 − (5) = 19
    Ergebnis:
    19

5Ich berechne Flächen zwischen Graph und x-Achse (Nullstellen beachten).

EntdeckenFrage

Warum kommt beim Rechnen manchmal eine negative Fläche heraus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Stücke unter der Achse mit umgekehrtem Vorzeichen zählen. Wer den Flächeninhalt will, teilt an den Nullstellen und nimmt die Beträge – sonst löschen sich zwei Stücke gegenseitig aus.

MerkenFläche und x-Achse

Integrale sind orientiert: Flächen unter der x-Achse zählen negativ.

Deshalb an Nullstellen aufteilen und Beträge addieren.

BeispielFläche zwischen Graph und x-Achse

Der Graph von f(x) = −x2 + 4x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
Schritt für Schritt
  1. Nullstellen: x(4 − x) = 0 → x = 0 und x = 4
  2. ∫₀4 (−x2 + 4x) dx = [−x³/3 + 2x²]₀4 = 10,67
  3. Fläche ≈ 10,67 FE
  1. Nullstellen: x(4 − x) = 0 → x = 0 und x = 4
  2. ∫₀4 (−x2 + 4x) dx = [−x³/3 + 2x²]₀4 = 10,67
  3. Fläche ≈ 10,67 FE
Ergebnis:
≈ 10,67 FE

AchtungVorzeichen bei Fläche

So nicht
Fläche von x^3 zwischen −1 und 1: ∫ = 0, also Fläche 0
So richtig
Fläche von x^3 zwischen −1 und 1 = 2 · ∫ von 0 bis 1 = 2 · 1/4 = 0,5

An Nullstellen aufteilen; unterhalb der x-Achse Betrag nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Der Graph von f(x) = −x2 + 8x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
    So fängst du an:
    Nullstellen: x(8 − x) = 0 → x = 0 und x = 8
    Lösung zeigen
    1. Nullstellen: x(8 − x) = 0 → x = 0 und x = 8
    2. ∫₀8 (−x2 + 8x) dx = [−x³/3 + 4x²]₀8 = 85,33
    3. Fläche ≈ 85,33 FE
    Ergebnis:
    ≈ 85,33 FE
  2. ●14
    Der Graph von f(x) = −x2 + 12x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
    Lösung zeigen
    1. Nullstellen: x(12 − x) = 0 → x = 0 und x = 12
    2. ∫₀12 (−x2 + 12x) dx = [−x³/3 + 6x²]₀12 = 288
    3. Fläche = 288 FE
    Ergebnis:
    288 FE
  3. ★15
    Der Graph von f(x) = −x2 + 10x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
    Lösung zeigen
    1. Nullstellen: x(10 − x) = 0 → x = 0 und x = 10
    2. ∫₀10 (−x2 + 10x) dx = [−x³/3 + 5x²]₀10 = 166,67
    3. Fläche ≈ 166,67 FE
    Ergebnis:
    ≈ 166,67 FE

6Ich berechne Flächen zwischen zwei Graphen.

EntdeckenFrage

Archimedes behauptete, ein Parabelstück sei genau 4/3 so groß wie ein Dreieck darin. Stimmt das?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwischen y = 1 und y = x² liegt die Fläche von −1 bis 1. Das Integral von (1 − x²) ergibt 2 − 2/3 = 4/3. Das Dreieck mit den Ecken (−1|1), (1|1) und (0|0) hat die Fläche 1. Das Verhältnis ist genau 4/3.

MerkenFläche zwischen Graphen

Schnittstellen bestimmen, dann ∫ (oben − unten) dx.

BeispielFläche zwischen zwei Graphen

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 6x.
Schritt für Schritt
  1. Schnittstellen: x² = 6x → x(x − 6) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 6
  2. Zwischen 0 und 6 liegt g oben: A = ∫₀6(6x − x²) dx
  3. = [3x² − x³/3]₀6 = 108 − 72
  4. A = 36
  1. Schnittstellen: x² = 6x → x(x − 6) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 6
  2. Zwischen 0 und 6 liegt g oben: A = ∫₀6(6x − x²) dx
  3. = [3x² − x³/3]₀6 = 108 − 72
  4. A = 36
Ergebnis:
A = 36 FE

AchtungNoch einmal: Vorzeichen bei Fläche

So nicht
Fläche von x^3 zwischen −1 und 1: ∫ = 0, also Fläche 0
So richtig
Fläche von x^3 zwischen −1 und 1 = 2 · ∫ von 0 bis 1 = 2 · 1/4 = 0,5

An Nullstellen aufteilen; unterhalb der x-Achse Betrag nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 2x.
    So fängst du an:
    Schnittstellen: x² = 2x → x(x − 2) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 2
    Lösung zeigen
    1. Schnittstellen: x² = 2x → x(x − 2) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 2
    2. Zwischen 0 und 2 liegt g oben: A = ∫₀2(2x − x²) dx
    3. = [1x² − x³/3]₀2 = 4 − 2,67
    4. A ≈ 1,33
    Ergebnis:
    A ≈ 1,33 FE
  2. ●17
    Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und der Geraden g(x) = 1.
    Lösung zeigen
    1. Schnittstellen: x² = 1 → x = ±1
    2. Zwischen −1 und 1 liegt g oben: A = ∫₋11(1 − x²) dx
    3. = [1x − x³/3]₋11 = 2 · (1 − 0,333)
    4. A ≈ 1,33
    Ergebnis:
    A ≈ 1,33 FE
  3. ★18
    Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 4x.
    Lösung zeigen
    1. Schnittstellen: x² = 4x → x(x − 4) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 4
    2. Zwischen 0 und 4 liegt g oben: A = ∫₀4(4x − x²) dx
    3. = [2x² − x³/3]₀4 = 32 − 21,33
    4. A ≈ 10,67
    Ergebnis:
    A ≈ 10,67 FE

7Ich deute Integrale in Sachzusammenhängen (Gesamtmenge, Weg).

EntdeckenFrage

Ein Auto bremst in 4 Sekunden gleichmäßig von 36 km/h bis zum Stand. Wie weit rollt es dabei noch?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

36 km/h sind 10 m/s. Das Tempo ist v(t) = 10 − 2,5t. Der Weg ist das Integral von 0 bis 4: 40 − 20 = 20 m. Das ist die Dreiecksfläche unter dem Graphen.

MerkenDeutung

Rate mal Zeit = Menge: ∫ v(t) dt ist der zurückgelegte Weg.

BeispielBestand aus der Änderungsrate

Ein Tank wird betankt mit der Rate r(t) = 5t − t² (in Litern je Sekunde), 5 Sekunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
Schritt für Schritt
  1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀5(5t − t²) dt
  2. Stammfunktion: 2,5t² − t³/3
  3. = 62,5 − 41,67 ≈ 20,83
  4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
  1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀5(5t − t²) dt
  2. Stammfunktion: 2,5t² − t³/3
  3. = 62,5 − 41,67 ≈ 20,83
  4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
Ergebnis:
≈ 20,83 Liter

AchtungNoch einmal: F(a) vergessen

So nicht
∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) = 9
So richtig
∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8

Immer obere Grenze minus untere Grenze.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 12t − t² (in m³ je Stunde), 12 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
    So fängst du an:
    Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀12(12t − t²) dt
    Lösung zeigen
    1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀12(12t − t²) dt
    2. Stammfunktion: 6t² − t³/3
    3. = 864 − 576 = 288
    4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
    Ergebnis:
    288 m³
  2. ●20
    Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 8t − t² (in m³ je Stunde), 8 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
    Lösung zeigen
    1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀8(8t − t²) dt
    2. Stammfunktion: 4t² − t³/3
    3. = 256 − 170,67 ≈ 85,33
    4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
    Ergebnis:
    ≈ 85,33 m³
  3. ★21
    Ein Tank wird betankt mit der Rate r(t) = 10t − t² (in Litern je Sekunde), 10 Sekunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
    Lösung zeigen
    1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀10(10t − t²) dt
    2. Stammfunktion: 5t² − t³/3
    3. = 500 − 333,33 ≈ 166,67
    4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
    Ergebnis:
    ≈ 166,67 Liter

8Ich berechne Mittelwerte und Rotationsvolumen (Vertiefung).

EntdeckenFrage

Warum fasst ein Kegel genau ein Drittel eines gleich hohen Zylinders mit gleichem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man dreht die Gerade y = r : h · x von 0 bis h um die x-Achse. Das Volumen ist π mal das Integral von (r : h · x)². Das ergibt π · r² : h² · h³ : 3 = π r² h : 3. Der Zylinder hat π r² h.

MerkenMittelwert und Rotation

Mittelwert von f auf [a; b]: 1/(b − a) · ∫ f(x) dx.

Rotationsvolumen um die x-Achse: V = π · ∫ (f(x))² dx.

BeispielMittelwert einer Funktion

Berechne den Mittelwert von f(x) = 3x² auf dem Intervall [0; 6].
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐb f(x) dx
  2. ∫₀63x² dx = [x³]₀6 = 216
  3. Mittelwert = 2166 = 36
  1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐb f(x) dx
  2. ∫₀63x² dx = [x³]₀6 = 216
  3. Mittelwert = 2166 = 36
Ergebnis:
36

AchtungRechenart verwechselt

So nicht
Berechne den Mittelwert von f(x) = 3x² auf dem Intervall [0; 6] → 1.296
So richtig
Berechne den Mittelwert von f(x) = 3x² auf dem Intervall [0; 6] → 36

Frag dich zuerst: Wird es mehr oder weniger? Dann weißt du, ob mal oder geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Berechne den Mittelwert von f(x) = 3x² auf dem Intervall [0; 4].
    So fängst du an:
    Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐb f(x) dx
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐb f(x) dx
    2. ∫₀43x² dx = [x³]₀4 = 64
    3. Mittelwert = 644 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●23
    Berechne den Mittelwert von f(x) = 2x² auf dem Intervall [0; 3].
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐb f(x) dx
    2. ∫₀32x² dx = [0,67x³]₀3 = 18
    3. Mittelwert = 183 = 6
    Ergebnis:
    6
  3. ★24
    Berechne den Mittelwert von f(x) = x² auf dem Intervall [0; 6].
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐb f(x) dx
    2. ∫₀6x² dx = [0,33x³]₀6 = 72
    3. Mittelwert = 726 = 12
    Ergebnis:
    12

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 6x2 + 2x − 4
    Lösung zeigen
    1. Umkehrung der Potenzregel: xn → xn+1/(n+1)
    2. F(x) = 2x3 + x2 − 4x + C
    Ergebnis:
    F(x) = 2x3 + x2 − 4x + C
  2. ●26
    Berechne ∫04 (3x2 + 2x + 1) dx
    Lösung zeigen
    1. F(x) = x3 + x2 + x
    2. F(4) − F(0) = 84 − (0) = 84
    Ergebnis:
    84
  3. ●27
    Der Graph von f(x) = −x2 + 9x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
    Lösung zeigen
    1. Nullstellen: x(9 − x) = 0 → x = 0 und x = 9
    2. ∫₀9 (−x2 + 9x) dx = [−x³/3 + 4,5x²]₀9 = 121,5
    3. Fläche = 121,5 FE
    Ergebnis:
    121,5 FE
  4. ●28
    Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 5t − t² (in m³ je Stunde), 5 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
    Lösung zeigen
    1. Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀5(5t − t²) dt
    2. Stammfunktion: 2,5t² − t³/3
    3. = 62,5 − 41,67 ≈ 20,83
    4. Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
    Ergebnis:
    ≈ 20,83 m³
  5. ●29
    Berechne den Mittelwert von f(x) = x² auf dem Intervall [0; 3].
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = 1/(b − a) · ∫ₐb f(x) dx
    2. ∫₀3x² dx = [0,33x³]₀3 = 9
    3. Mittelwert = 93 = 3
    Ergebnis:
    3
  6. ●30
    Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 3x2 − 4x + 1
    Lösung zeigen
    1. Umkehrung der Potenzregel: xn → xn+1/(n+1)
    2. F(x) = x3 − 2x2 + x + C
    Ergebnis:
    F(x) = x3 − 2x2 + x + C

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Rekonstruieren
Aus der Änderungsrate zurück zum Bestand: Fläche unter dem Graphen der Rate = Zunahme des Bestands.
Ober- und Untersumme
Rechtecke unter und über dem Graphen – je feiner, desto näher am Integral.
Stammfunktion
F' = f. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Konstante C ist frei.
Hauptsatz: bestimmtes Integral
Das bestimmte Integral ist eine Differenz zweier Stammfunktionswerte: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
Fläche und x-Achse
Integrale sind orientiert: Flächen unter der x-Achse zählen negativ.
Fläche zwischen Graphen
Schnittstellen bestimmen, dann ∫ (oben − unten) dx.
Deutung
Rate mal Zeit = Menge: ∫ v(t) dt ist der zurückgelegte Weg.
Mittelwert und Rotation
Mittelwert von f auf [a; b]: 1/(b − a) · ∫ f(x) dx.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rekonstruiere Bestände aus Änderungsraten (Flächen unter Graphen).

    31
    Durch einen Filter strömt Luft mit der Rate r(t) = 6t − t² (in m³ je Stunde), 6 Stunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 m³

  2. Ich nähere Flächen mit Ober- und Untersummen an.

    32
    Nähere die Fläche unter f(x) = 0,5x² auf [0; 4] mit 4 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme.
    40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    U = 7, O = 15

  3. Ich bilde Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen.

    33
    Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 9x2 + 2x + 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    F(x) = 3x3 + x2 + 2x + C

  4. Ich berechne bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz.

    34
    Berechne ∫04 (3x2 + 3) dx
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  5. Ich berechne Flächen zwischen Graph und x-Achse (Nullstellen beachten).

    35
    Der Graph von f(x) = −x2 + 9x schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechne sie.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    121,5 FE

  6. Ich berechne Flächen zwischen zwei Graphen.

    36
    Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = 6x.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A = 36 FE

  7. Ich deute Integrale in Sachzusammenhängen (Gesamtmenge, Weg).

    37
    Ein Tank wird betankt mit der Rate r(t) = 6t − t² (in Litern je Sekunde), 6 Sekunden lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 Liter

  8. Ich berechne Mittelwerte und Rotationsvolumen (Vertiefung).

    38
    Berechne den Mittelwert von f(x) = x² auf dem Intervall [0; 4].
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 5,33

  9. Ich bereite die Klausur vor.

    39
    Gib eine Stammfunktion an: f(x) = 9x2 + 4x + 1
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    F(x) = 3x3 + 2x2 + x + C

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Rohr liefert erst wenig, dann viel, dann wieder wenig – hier ist der Graph der Liter je Minute. Wie viel Wasser ist in 10 Minuten geflossen? Du kennst nur Rate mal Zeit.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Das Integral: der Bestand aus der Änderungsrate.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Aus Geschwindigkeit die Strecke, Fläche unter der Kurve. Beruf: Physik, Bauwesen (Volumen), Wirtschaft.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Funktion
eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Integral
die Fläche unter dem Graphen
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Nullstelle
wo der Graph die x-Achse trifft
Stammfunktion
die Funktion, deren Ableitung die gegebene ist

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Einführung in die Differenzialrechnung, Flächeninhalt und Volumen

Darauf baut auf: e-Funktion und Logarithmus

Lösungen

  1. 4,5 Liter
  2. ≈ 20,83 Liter
  3. 36 m³
  4. U = 6,375, O = 19,875
  5. U = 5,9063, O = 12,6563
  6. U = 3,6914, O = 5,3789
  7. F(x) = x3 − 2x2 + 4x + C
  8. F(x) = 2x3 + 2x2 − 2x + C
  9. F(x) = x4 + 2x3 + x + C
  10. 152
  11. 14
  12. 19
  13. ≈ 85,33 FE
  14. 288 FE
  15. ≈ 166,67 FE
  16. A ≈ 1,33 FE
  17. A ≈ 1,33 FE
  18. A ≈ 10,67 FE
  19. 288 m³
  20. ≈ 85,33 m³
  21. ≈ 166,67 Liter
  22. 16
  23. 6
  24. 12
  25. F(x) = 2x3 + x2 − 4x + C
  26. 84
  27. 121,5 FE
  28. ≈ 20,83 m³
  29. 3
  30. F(x) = x3 − 2x2 + x + C
  31. 36 m³
  32. U = 7, O = 15
  33. F(x) = 3x3 + x2 + 2x + C
  34. 76
  35. 121,5 FE
  36. A = 36 FE
  37. 36 Liter
  38. ≈ 5,33
  39. F(x) = 3x3 + 2x2 + x + C
  40. 35 cm²
  41. x² + x − 20; Änderung x − 20