Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Betonsockel hat die Form eines L. Unten ist er 8 dm lang, 3 dm breit und 2 dm hoch. Links steht darauf ein Teil mit 3 dm Länge und 4 dm Höhe. Wie viele Liter Beton braucht man? Länge mal Breite mal Höhe passt nicht.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Manche multiplizieren die größten Maße und kommen auf zu viel, andere nehmen irgendwelche drei Zahlen aus dem Bild. Es kommen fünf verschiedene Ergebnisse heraus, und niemand weiß, welche Länge zu welcher Höhe gehört. Eine Formel für das L gibt es nicht, aber zwei Quader. Wir ziehen eine Trennlinie, schreiben zu jedem Teil seine drei Maße und addieren. Wer anders zerlegt, muss auf dasselbe Ergebnis kommen – das ist die Probe.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Volumen zählt Würfel, Oberfläche zählt Quadrate auf der Hülle.

●39
Ein Quader hat die Kanten 4 cm, 2 cm und 3 cm. Berechne Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
V = 24 cm³
●40
Ein Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck mit Grundseite 9 cm und Höhe 6 cm. Das Prisma ist 13 cm hoch. Volumen?
Lösung zeigen
1. G = g · h : 2 = 9 · 6 : 2 = 27 cm²
2. V = G · h = 27 · 13 = 351 cm³
Ergebnis:
351 cm³

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Körper ist die Summe seiner Teile

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus Quadern und Prismen, die man kennt. Sein Volumen ist die Summe der Teilvolumen, und was fehlt, wird abgezogen. Die Oberfläche ist die Summe der Flächen, die man von außen sieht.

WeiterdenkenDenk nach

Warum wird die Oberfläche kleiner, wenn zwei Quader mit einer Fläche aneinanderstoßen, das Volumen aber nicht?

1Ich zerlege zusammengesetzte Körper in Quader und Prismen und berechne das Volumen.

EntdeckenFrage

Könntest du einen Würfel aus Wasser mit 1 m Kantenlänge hochheben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Würfel hat 1 m · 1 m · 1 m = 1 m³, das sind 1000 Liter. Ein Liter Wasser wiegt etwa 1 kg, der Würfel also rund 1000 kg, eine Tonne. So viel wiegt ein kleines Auto.

MerkenZerlegen in Teilkörper

Einen zusammengesetzten Körper zerlegt man in Quader und Prismen und addiert ihre Volumen.

Beispiel: 6 · 4 · 2 + 3 · 4 · 3 = 48 + 36 = 84 cm³.

BeispielVolumen durch Zerlegen in Quader

Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 5 dm · 4 dm · 2 dm, oben 3 dm · 4 dm · 2 dm. Berechne sein Volumen.

Schritt für Schritt

Unterer Quader: 5 · 4 · 2 = 40
Oberer Quader: 3 · 4 · 2 = 24
V = 40 + 24 = 64, also 64 dm³.

Unterer Quader: 5 · 4 · 2 = 40
Oberer Quader: 3 · 4 · 2 = 24
V = 40 + 24 = 64, also 64 dm³.

Ergebnis:

64 dm³

AchtungTeilkörper falsch zerlegt oder Dreieck nicht halbiert

So nicht

Haus 4 m breit, 6 m lang, Wände 3 m, Dach 2 m hoch: V = 4 · 6 · 3 + 4 · 2 · 6 = 120 m³

So richtig

Dach halbieren: 4 · 6 · 3 + 4 · 2 : 2 · 6 = 72 + 24 = 96 m³

Zeichne die Trennlinie ins Bild und schreibe zu jedem Teilkörper seine drei Maße. Beim Dreieck als Grundfläche durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

○1
Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 7 cm · 7 cm · 3 cm, oben 2 cm · 7 cm · 6 cm. Berechne sein Volumen.
So fängst du an:
Unterer Quader: 7 · 7 · 3 = 147
Lösung zeigen
1. Unterer Quader: 7 · 7 · 3 = 147
2. Oberer Quader: 2 · 7 · 6 = 84
3. V = 147 + 84 = 231, also 231 cm³.
Ergebnis:
231 cm³
●2
Ein Werkstück aus Holz hat die Form im Bild. Es ist 5 cm tief. Wie groß ist sein Volumen?
Lösung zeigen
1. Unterer Quader: 10 · 5 · 2 = 100
2. Oberer Quader: 6 · 5 · 2 = 60
3. V = 100 + 60 = 160, also 160 cm³.
Ergebnis:
160 cm³
★3
Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 11 dm · 3 dm · 3 dm, oben 9 dm · 3 dm · 6 dm. Berechne sein Volumen.
Lösung zeigen
1. Unterer Quader: 11 · 3 · 3 = 99
2. Oberer Quader: 9 · 3 · 6 = 162
3. V = 99 + 162 = 261, also 261 dm³.
Ergebnis:
261 dm³

2Ich berechne das Volumen von Körpern mit Aussparungen.

EntdeckenFrage

Warum sieht man von einem Eisberg nur die Spitze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eis hat etwa die Dichte 0,92 g/cm³, Meerwasser etwa 1,03 g/cm³. Ein schwimmender Körper taucht so tief ein, bis das verdrängte Wasser so viel wiegt wie er selbst. 0,92 : 1,03 ≈ 0,89, also liegen fast 90 Prozent unter Wasser.

MerkenAussparungen abziehen

Fehlt ein Stück, rechnet man den vollen Quader und zieht das Stück ab.

Beispiel: 10 · 6 · 4 − 2 · 2 · 4 = 240 − 16 = 224 cm³.

BeispielVolumen mit Aussparung: ergänzen und abziehen

Ein Holzklotz ist 13 dm lang, 10 dm breit und 4 dm hoch. Senkrecht hindurch geht ein rechteckiges Loch, 4 dm mal 4 dm. Wie groß ist das Volumen des Klotzes?

Schritt für Schritt

Voller Quader: 13 · 10 · 4 = 520
Loch: 4 · 4 · 4 = 64
V = 520 − 64 = 456

Voller Quader: 13 · 10 · 4 = 520
Loch: 4 · 4 · 4 = 64
V = 520 − 64 = 456

Ergebnis:

456 dm³

AchtungAussparung oder Wandstärke falsch abgezogen

So nicht

Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 48 · 28 · 18 = 24.192 cm³

So richtig

Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 46 · 26 · 18 = 21.528 cm³

Voller Körper minus Loch. Bei Länge und Breite sind es zwei Wände, in der Höhe beim offenen Kasten nur der Boden.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Holzklotz ist 13 cm lang, 7 cm breit und 3 cm hoch. Senkrecht hindurch geht ein rechteckiges Loch, 2 cm mal 4 cm. Wie groß ist das Volumen des Klotzes?
So fängst du an:
Voller Quader: 13 · 7 · 3 = 273
Lösung zeigen
1. Voller Quader: 13 · 7 · 3 = 273
2. Loch: 2 · 4 · 3 = 24
3. V = 273 − 24 = 249
Ergebnis:
249 cm³
●5
Ein Holzklotz ist 13 cm lang, 6 cm breit und 5 cm hoch. Senkrecht hindurch geht ein rechteckiges Loch, 4 cm mal 2 cm. Wie groß ist das Volumen des Klotzes?
Lösung zeigen
1. Voller Quader: 13 · 6 · 5 = 390
2. Loch: 4 · 2 · 5 = 40
3. V = 390 − 40 = 350
Ergebnis:
350 cm³
★6
Ein Holzklotz ist 10 dm lang, 6 dm breit und 5 dm hoch. In der Mitte geht senkrecht ein Loch hindurch, 3 dm mal 3 dm. An einer Ecke ist ein Würfel mit der Kante 2 dm abgesägt. Welches Volumen bleibt?
Lösung zeigen
1. Voller Quader: 10 · 6 · 5 = 300
2. Loch: 3 · 3 · 5 = 45
3. Würfel: 2 · 2 · 2 = 8
4. V = 300 − 45 − 8 = 247
Ergebnis:
247 dm³

3Ich berechne die Oberfläche zusammengesetzter Körper.

EntdeckenFrage

Wie lange füllt ein Gartenschlauch ein Schwimmbecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Becken mit 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe fasst 2500 m³, also 2,5 Millionen Liter. Liefert der Schlauch 20 Liter in der Minute, dauert es 125.000 Minuten. Das sind fast 87 Tage ohne Pause.

MerkenOberfläche und Berührfläche

Addiere die Oberflächen der Teilkörper und ziehe die Berührfläche zweimal ab.

Sie ist bei beiden Teilen verschwunden. Beispiel: 184 + 24 − 2 · 4 = 200 cm².

BeispielOberfläche zusammengesetzter Körper

Auf einem Quader (6 cm · 10 cm · 3 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 3 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.

Schritt für Schritt

Quader: 2 · (60 + 18 + 30) = 216
Würfel: 6 · 9 = 54
Berührfläche fällt zweimal weg: 216 + 54 − 2 · 9 = 252

Quader: 2 · (60 + 18 + 30) = 216
Würfel: 6 · 9 = 54
Berührfläche fällt zweimal weg: 216 + 54 − 2 · 9 = 252

Ergebnis:

252 cm²

AchtungTeilflächen vergessen oder zu viel gezählt

So nicht

Würfel (Kante 2 cm) auf Quader 8 · 6 · 2 cm: O = 152 + 24 − 4 = 172 cm²

So richtig

Berührfläche zweimal weg: O = 152 + 24 − 2 · 4 = 168 cm²

Zähle jede Fläche einzeln auf. Die Berührfläche fällt bei beiden Teilkörpern weg, beim offenen Kasten fehlt der Deckel.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Siegerpodest besteht aus einem Quader (7 dm · 7 dm · 4 dm) und einem Würfel (Kante 3 dm) obendrauf. Wie viel Fläche wird gestrichen, wenn auch der Boden Farbe bekommt?
So fängst du an:
Quader: 2 · (49 + 28 + 28) = 210
Lösung zeigen
1. Quader: 2 · (49 + 28 + 28) = 210
2. Würfel: 6 · 9 = 54
3. Berührfläche fällt zweimal weg: 210 + 54 − 2 · 9 = 246
Ergebnis:
246 dm²
●8
Auf einem Quader (7 cm · 9 cm · 2 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 5 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
Lösung zeigen
1. Quader: 2 · (63 + 14 + 18) = 190
2. Würfel: 6 · 25 = 150
3. Berührfläche fällt zweimal weg: 190 + 150 − 2 · 25 = 290
Ergebnis:
290 cm²
★9
Auf einem Quader (6 cm · 9 cm · 3 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 2 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
Lösung zeigen
1. Quader: 2 · (54 + 18 + 27) = 198
2. Würfel: 6 · 4 = 24
3. Berührfläche fällt zweimal weg: 198 + 24 − 2 · 4 = 214
Ergebnis:
214 cm²

4Ich berechne Prismen mit Trapez- und Dreiecksgrundfläche aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

Warum frieren kleine Tiere wie Mäuse schneller als große Tiere wie Elefanten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wärme geht über die Oberfläche verloren, gespeichert wird sie im Volumen. Denk dir die Tiere als Würfel: Kante mal 10 heißt Oberfläche mal 100, aber Volumen mal 1000. Das große Tier hat je Kubikzentimeter viel weniger Haut, durch die Wärme entweicht.

MerkenPrismen im Alltag

Bei jedem Prisma gilt: Grundfläche mal Höhe.

Die Grundfläche ist der Querschnitt, sie steht oft vorne und nicht unten. Graben: (2 + 4) : 2 · 1 = 3 m², mal 10 m Länge ergibt 30 m³.

BeispielPrismen im Alltag: Graben, Deich, Rampe, Dachrinne

Ein Deich ist unten 5 m breit, oben 4 m breit, 2 m hoch und 50 m lang. Wie viel Erde steckt im Deich?

Schritt für Schritt

Grundfläche ist ein Trapez: (4 + 5) : 2 · 2 = 9
V = G · Länge = 9 · 50 = 450

Grundfläche ist ein Trapez: (4 + 5) : 2 · 2 = 9
V = G · Länge = 9 · 50 = 450

Ergebnis:

450 m³

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht

0,3 · 0,2 = 0,6

So richtig

0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Deich ist unten 4 m breit, oben 3 m breit, 2 m hoch und 20 m lang. Wie viel Erde steckt im Deich?
So fängst du an:
Grundfläche ist ein Trapez: (3 + 4) : 2 · 2 = 7
Lösung zeigen
1. Grundfläche ist ein Trapez: (3 + 4) : 2 · 2 = 7
2. V = G · Länge = 7 · 20 = 140
Ergebnis:
140 m³
●11
Eine Rampe aus Beton hat als Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck: 2 m lang und 0,5 m hoch. Die Rampe ist 1 m breit. Wie viel Beton braucht man?
Lösung zeigen
1. Grundfläche: 2 · 0,5 : 2 = 0,5
2. V = 0,5 · 1 = 0,5
Ergebnis:
0,5 m³
★12
Eine Dachrinne hat als Querschnitt ein Trapez: unten 6 cm, oben 12 cm breit, 6 cm tief. Sie ist 4 m lang. Wie viele Liter Regenwasser passen hinein?
Lösung zeigen
1. Grundfläche: (6 + 12) : 2 · 6 = 54
2. Länge in cm: 400. V = 54 · 400 = 21.600, also 21.600 cm³.
3. 21.600 cm³ = 21,6 l
Ergebnis:
21,6 l

5Ich berechne Füllmengen und Füllzeiten.

EntdeckenFrage

Warum passen in einen Würfel mit 10 cm Kante genau 1000 Würfelzucker von 1 cm Kante?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In jeder Richtung liegen 10 Stück: 10 · 10 · 10 = 1000. Außen sieht man aber nur 6 · 100 = 600 kleine Quadrate. Die Kante wurde 10-mal so lang, das Volumen 1000-mal so groß und die Oberfläche nur 100-mal.

MerkenFüllmenge und Füllzeit

Die Füllzeit ist das Volumen geteilt durch den Zufluss je Minute.

Vorher umrechnen: 1 m³ = 1000 l und 1 dm³ = 1 l. Beispiel: 2000 l bei 40 l je Minute dauern 50 Minuten.

BeispielFüllmengen und Füllzeiten

Ein Planschbecken (Quader) ist 2 m lang, 2 m breit und wird 0,5 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 40 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?

Schritt für Schritt

V = 2 · 2 · 0,5 = 2, also 2 m³ = 2000 l.
Zeit: 2000 : 40 = 50 min
Das sind etwa 0 h 50 min.

V = 2 · 2 · 0,5 = 2, also 2 m³ = 2000 l.
Zeit: 2000 : 40 = 50 min
Das sind etwa 0 h 50 min.

Ergebnis:

etwa 0 h 50 min

AchtungEinheiten bei Liter, Zeit oder Dichte vermischt

So nicht

Becken 4 m · 2 m · 1 m, 20 l je Minute: 8 : 20 = 0,4 min

So richtig

8 m³ = 8000 l, also 8000 : 20 = 400 min

1 dm³ = 1 l und 1 m³ = 1000 l. Bei der Dichte müssen Volumen und Dichte dieselbe Einheit haben, cm³ zu g/cm³.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Planschbecken (Quader) ist 8 m lang, 4 m breit und wird 1,5 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 40 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?
So fängst du an:
V = 8 · 4 · 1,5 = 48, also 48 m³ = 48.000 l.
Lösung zeigen
1. V = 8 · 4 · 1,5 = 48, also 48 m³ = 48.000 l.
2. Zeit: 48.000 : 40 = 1200 min
3. Das sind etwa 20 h 0 min.
Ergebnis:
etwa 20 h 0 min
●14
Ein Planschbecken (Quader) ist 4 m lang, 2 m breit und wird 1 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 20 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?
Lösung zeigen
1. V = 4 · 2 · 1 = 8, also 8 m³ = 8000 l.
2. Zeit: 8000 : 20 = 400 min
3. Das sind etwa 6 h 40 min.
Ergebnis:
etwa 6 h 40 min
★15
Eine quaderförmige Regentonne ist innen 100 cm lang, 50 cm breit und 50 cm hoch. Bei Regen fließen 4 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
Lösung zeigen
1. V = 100 · 50 · 50 = 250.000, also 250.000 cm³ = 250 l.
2. 250 : 4 ≈ 62,5
Ergebnis:
etwa 62,5 min

6Ich berechne die Masse eines Körpers mit der Dichte.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Eimer voll Sand so viel schwerer als derselbe Eimer voll Wasser?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Volumen ist gleich, die Dichte nicht. Wasser hat etwa 1 kg je Liter, trockener Sand etwa 1,5 kg je Liter. Ein 10-Liter-Eimer wiegt mit Wasser etwa 10 kg, mit Sand etwa 15 kg.

MerkenMasse und Dichte

Die Masse ist Dichte mal Volumen.

Beton hat etwa 2,4 g/cm³, ein Stein mit 1000 cm³ wiegt also 2400 g. In g/cm³ und t/m³ steht dieselbe Zahl.

BeispielMasse eines Körpers aus Volumen und Dichte

Ein Betonsockel besteht aus einem Quader (3 m · 1 m · 0,5 m) und einem Quader darauf (1 m · 1 m · 0,5 m). Beton hat etwa die Dichte 2,4 t/m³. Wie viele Tonnen wiegt der Sockel?

Schritt für Schritt

V = 3 · 1 · 0,5 + 1 · 1 · 0,5 = 2, also 2 m³.
m = 2,4 · 2 = 4,8, also 4,8 t.

V = 3 · 1 · 0,5 + 1 · 1 · 0,5 = 2, also 2 m³.
m = 2,4 · 2 = 4,8, also 4,8 t.

Ergebnis:

4,8 t

AchtungKomma trennt zwei Zahlen

So nicht

4,5 · 8 = 32,40

So richtig

4,5 · 8 = 45 · 8 : 10 = 36

Rechne ohne Komma. Setz das Komma am Ende.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Betonsockel besteht aus einem Quader (3 m · 2 m · 1 m) und einem Quader darauf (1 m · 2 m · 0,5 m). Beton hat etwa die Dichte 2,4 t/m³. Wie viele Tonnen wiegt der Sockel?
So fängst du an:
V = 3 · 2 · 1 + 1 · 2 · 0,5 = 7, also 7 m³.
Lösung zeigen
1. V = 3 · 2 · 1 + 1 · 2 · 0,5 = 7, also 7 m³.
2. m = 2,4 · 7 = 16,8, also 16,8 t.
Ergebnis:
16,8 t
●17
Ein Betonsockel besteht aus einem Quader (2 m · 2 m · 0,5 m) und einem Quader darauf (1 m · 2 m · 0,5 m). Beton hat etwa die Dichte 2,4 t/m³. Wie viele Tonnen wiegt der Sockel?
Lösung zeigen
1. V = 2 · 2 · 0,5 + 1 · 2 · 0,5 = 3, also 3 m³.
2. m = 2,4 · 3 = 7,2, also 7,2 t.
Ergebnis:
7,2 t
★18
Ein Quader ist 5 cm · 2 cm · 10 cm groß und wiegt 70 g. Aus welchem Stoff ist er? Zur Auswahl: Stahl 7,85 g/cm³, Aluminium 2,7 g/cm³, Beton 2,4 g/cm³, Eichenholz 0,7 g/cm³, Fichtenholz 0,5 g/cm³, Glas 2,5 g/cm³, Eis 0,9 g/cm³.
Lösung zeigen
1. V = 5 · 2 · 10 = 100, also 100 cm³.
2. Dichte: 70 : 100 = 0,7, also 0,7 g/cm³.
Ergebnis:
Eichenholz

7Ich untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn die Kanten wachsen.

EntdeckenFrage

Ein Spielwürfel wird in jeder Richtung doppelt so groß gebaut. Braucht man dann doppelt so viel Kunststoff?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein, achtmal so viel. Das Volumen wächst mit 2 · 2 · 2 = 8. Die Oberfläche wächst nur mit 2 · 2 = 4. Wer den großen Würfel lackiert, braucht also viermal so viel Farbe.

MerkenKanten wachsen

Doppelte Kante heißt vierfache Oberfläche und achtfaches Volumen.

Die Fläche wächst in zwei Richtungen, das Volumen in drei. Dreifache Kante ergibt 9 und 27.

BeispielKanten wachsen: Oberfläche und Volumen

Ben sagt: „3-fache Kanten, 3-faches Volumen.“ Prüfe am Quader 2 cm · 3 cm · 4 cm.

Schritt für Schritt

Vorher: O = 2 · (6 + 8 + 12) = 52, V = 2 · 3 · 4 = 24
Nachher: Kanten 6, 9, 12. O = 468, V = 648
Vergleich: 468 : 52 = 9 und 648 : 24 = 27

Vorher: O = 2 · (6 + 8 + 12) = 52, V = 2 · 3 · 4 = 24
Nachher: Kanten 6, 9, 12. O = 468, V = 648
Vergleich: 468 : 52 = 9 und 648 : 24 = 27

Ergebnis:

Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9

AchtungMit der Kante nur verdoppelt statt quadriert oder hoch drei

So nicht

Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 27 cm³ · 2 = 54 cm³

So richtig

Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 6 · 6 · 6 = 216 cm³ = 27 cm³ · 8

Kante mal 2: Die Fläche wächst in zwei Richtungen, also mal 4. Das Volumen in drei, also mal 8.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Quader ist 3 cm · 3 cm · 1 cm groß. Jede Kante wird doppelt so lang. Wie ändern sich Oberfläche und Volumen?
So fängst du an:
Vorher: O = 2 · (9 + 3 + 3) = 30, V = 3 · 3 · 1 = 9
Lösung zeigen
1. Vorher: O = 2 · (9 + 3 + 3) = 30, V = 3 · 3 · 1 = 9
2. Nachher: Kanten 6, 6, 2. O = 120, V = 72
3. Vergleich: 120 : 30 = 4 und 72 : 9 = 8
Ergebnis:
Oberfläche mal 4, Volumen mal 8
●20
Ein Quader ist 4 cm · 3 cm · 2 cm groß. Jede Kante wird 3-mal so lang. Wie ändern sich Oberfläche und Volumen?
Lösung zeigen
1. Vorher: O = 2 · (12 + 8 + 6) = 52, V = 4 · 3 · 2 = 24
2. Nachher: Kanten 12, 9, 6. O = 468, V = 648
3. Vergleich: 468 : 52 = 9 und 648 : 24 = 27
Ergebnis:
Oberfläche mal 9, Volumen mal 27
★21
Ein Würfelzucker hat die Kante 1 cm. Aus Würfelzuckern wird ein großer Würfel mit der Kante 2 cm gebaut. Wie viele Stücke braucht man? Wie viel mehr Fläche hat er außen?
Lösung zeigen
1. Stücke: 2 · 2 · 2 = 8
2. Oberfläche klein: 6 · 1 = 6. Groß: 6 · 4 = 24
3. 24 : 6 = 4
Ergebnis:
8 Stücke; 4-mal so viel Fläche

8Ich vergleiche Verpackungen nach Volumen und Materialverbrauch.

EntdeckenFrage

Ein Liter Saft passt in einen Würfel mit 10 cm Kante oder in eine Schachtel mit 5 cm, 10 cm und 20 cm. Was braucht weniger Pappe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beide fassen 1000 cm³, also einen Liter. Der Würfel hat 6 · 100 = 600 cm² Oberfläche. Die schmale Schachtel hat 2 · (50 + 100 + 200) = 700 cm². Der Würfel spart ein Siebtel der Pappe.

MerkenSparsame Verpackung

Gleiches Volumen heißt nicht gleiche Oberfläche.

Je würfelähnlicher ein Quader ist, desto weniger Material braucht er. Bei 1000 cm³ braucht der Würfel 600 cm², der Quader 20 · 10 · 5 braucht 700 cm².

BeispielZwei Verpackungen mit gleichem Inhalt vergleichen

Zwei Versandkartons: A ist 6 cm · 6 cm · 6 cm, B ist 12 cm · 6 cm · 3 cm. Zeige, dass beide gleich viel fassen. Welche braucht weniger Pappe?

Schritt für Schritt

Volumen: 6 · 6 · 6 = 216 und 12 · 6 · 3 = 216
O(A) = 2 · (36 + 36 + 36) = 216
O(B) = 2 · (72 + 36 + 18) = 252

Volumen: 6 · 6 · 6 = 216 und 12 · 6 · 3 = 216
O(A) = 2 · (36 + 36 + 36) = 216
O(B) = 2 · (72 + 36 + 18) = 252

Ergebnis:

A braucht 36 cm² weniger Pappe

AchtungNoch einmal: Teilflächen vergessen oder zu viel gezählt

So nicht

Würfel (Kante 2 cm) auf Quader 8 · 6 · 2 cm: O = 152 + 24 − 4 = 172 cm²

So richtig

Berührfläche zweimal weg: O = 152 + 24 − 2 · 4 = 168 cm²

Zähle jede Fläche einzeln auf. Die Berührfläche fällt bei beiden Teilkörpern weg, beim offenen Kasten fehlt der Deckel.

ÜbenJetzt du

○22
Eine Firma will Pappe sparen. Sie vergleicht zwei Formen für denselben Versandkarton: A 20 · 5 · 4 und B 10 · 8 · 5, alles in cm. Welche Form nimmt sie?
So fängst du an:
Volumen: 20 · 5 · 4 = 400 und 10 · 8 · 5 = 400
Lösung zeigen
1. Volumen: 20 · 5 · 4 = 400 und 10 · 8 · 5 = 400
2. O(A) = 2 · (100 + 80 + 20) = 400
3. O(B) = 2 · (80 + 50 + 40) = 340
Ergebnis:
B braucht 60 cm² weniger Pappe
●23
Zwei Versandkartons: A ist 15 cm · 8 cm · 5 cm, B ist 12 cm · 10 cm · 5 cm. Zeige, dass beide gleich viel fassen. Welche braucht weniger Pappe?
Lösung zeigen
1. Volumen: 15 · 8 · 5 = 600 und 12 · 10 · 5 = 600
2. O(A) = 2 · (120 + 75 + 40) = 470
3. O(B) = 2 · (120 + 60 + 50) = 460
Ergebnis:
B braucht 10 cm² weniger Pappe
★24
Eine Firma will Pappe sparen. Sie vergleicht zwei Formen für denselben Versandkarton: A 20 · 10 · 5 und B 25 · 8 · 5, alles in cm. Welche Form nimmt sie?
Lösung zeigen
1. Volumen: 20 · 10 · 5 = 1000 und 25 · 8 · 5 = 1000
2. O(A) = 2 · (200 + 100 + 50) = 700
3. O(B) = 2 · (200 + 125 + 40) = 730
Ergebnis:
A braucht 30 cm² weniger Pappe

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Zerlege den Körper im Bild in zwei Quader und berechne das Volumen. Der untere ist 6 dm lang.
Lösung zeigen
1. Unterer Quader: 6 · 4 · 3 = 72
2. Oberer Quader: 3 · 4 · 3 = 36
3. V = 72 + 36 = 108, also 108 dm³.
Ergebnis:
108 dm³
●26
Ein Gartenhaus ist 4 m breit, 3 m lang und bis zum Dach 4 m hoch. Das Dach ist 1 m hoch. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
1. Quader: 4 · 3 · 4 = 48
2. Dach: Grundfläche 4 · 1 : 2 = 2, Volumen 2 · 3 = 6
3. V = 48 + 6 = 54, also 54 m³.
Ergebnis:
54 m³
●27
Aus einem Quader (12 dm · 8 dm · 7 dm) wird an einer Ecke ein Stück herausgeschnitten, 3 dm breit und 3 dm hoch, durch die ganze Tiefe. Berechne das Volumen des Reststücks.
Lösung zeigen
1. Ergänzen zum großen Quader: 12 · 8 · 7 = 672
2. Das fehlende Stück: 3 · 8 · 3 = 72
3. V = 672 − 72 = 600
Ergebnis:
600 dm³
●28
Ein Pflanzkübel ist außen 100 cm lang, 24 cm breit und 30 cm hoch, oben offen. Wände und Boden sind 4 cm dick. Wie viel Material steckt in den Wänden und im Boden?
Lösung zeigen
1. Außen: 100 · 24 · 30 = 72.000
2. Innen: 100 − 2 · 4 = 92, 24 − 2 · 4 = 16, 30 − 4 = 26
3. Material: 72.000 − 92 · 16 · 26 = 72.000 − 38.272 = 33.728
Ergebnis:
33.728 cm³
●29
Auf einem Quader (9 cm · 9 cm · 3 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 2 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
Lösung zeigen
1. Quader: 2 · (81 + 27 + 27) = 270
2. Würfel: 6 · 4 = 24
3. Berührfläche fällt zweimal weg: 270 + 24 − 2 · 4 = 286
Ergebnis:
286 cm²
●30
Eine Schachtel ohne Deckel wird aus Pappe gefaltet: 33 cm lang, 21 cm breit, 20 cm hoch. Wie viel Pappe braucht man ohne Klebelaschen?
Lösung zeigen
1. Boden: 33 · 21 = 693
2. Wände: 2 · 33 · 20 + 2 · 21 · 20 = 2160
3. Pappe: 693 + 2160 = 2853
Ergebnis:
2853 cm²

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zerlegen in Teilkörper: Einen zusammengesetzten Körper zerlegt man in Quader und Prismen und addiert ihre Volumen.
Aussparungen abziehen: Fehlt ein Stück, rechnet man den vollen Quader und zieht das Stück ab.
Oberfläche und Berührfläche: Addiere die Oberflächen der Teilkörper und ziehe die Berührfläche zweimal ab.
Prismen im Alltag: Bei jedem Prisma gilt: Grundfläche mal Höhe.
Füllmenge und Füllzeit: Die Füllzeit ist das Volumen geteilt durch den Zufluss je Minute.
Masse und Dichte: Die Masse ist Dichte mal Volumen.
Kanten wachsen: Doppelte Kante heißt vierfache Oberfläche und achtfaches Volumen.
Sparsame Verpackung: Gleiches Volumen heißt nicht gleiche Oberfläche.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich zerlege zusammengesetzte Körper in Quader und Prismen und berechne das Volumen.
31
Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 12 cm · 4 cm · 3 cm, oben 3 cm · 4 cm · 3 cm. Berechne sein Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
180 cm³
Ich berechne das Volumen von Körpern mit Aussparungen.
32
Ein Holzklotz ist 13 cm lang, 8 cm breit und 6 cm hoch. Senkrecht hindurch geht ein rechteckiges Loch, 3 cm mal 4 cm. Wie groß ist das Volumen des Klotzes?
Lösung zeigen
Ergebnis:
552 cm³
Ich berechne die Oberfläche zusammengesetzter Körper.
33
Auf einem Quader (8 cm · 6 cm · 4 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 3 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
Lösung zeigen
Ergebnis:
244 cm²
Ich berechne Prismen mit Trapez- und Dreiecksgrundfläche aus dem Alltag.
34
Eine Rampe aus Beton hat als Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck: 2 m lang und 1,5 m hoch. Die Rampe ist 1 m breit. Wie viel Beton braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,5 m³
Ich berechne Füllmengen und Füllzeiten.
35
Ein Planschbecken (Quader) ist 8 m lang, 4 m breit und wird 1,5 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 25 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 32 h 0 min
Ich berechne die Masse eines Körpers mit der Dichte.
36
Ein Betonsockel besteht aus einem Quader (3 m · 2 m · 1 m) und einem Quader darauf (1 m · 2 m · 1 m). Beton hat etwa die Dichte 2,4 t/m³. Wie viele Tonnen wiegt der Sockel?
Lösung zeigen
Ergebnis:
19,2 t
Ich untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn die Kanten wachsen.
37
Tim sagt: „Doppelte Kanten, doppeltes Volumen.“ Prüfe am Quader 1 cm · 4 cm · 4 cm.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein: Volumen mal 8, Oberfläche mal 4
Ich vergleiche Verpackungen nach Volumen und Materialverbrauch.
38
Zwei Saftkartons: A ist 12 cm · 6 cm · 5 cm, B ist 10 cm · 9 cm · 4 cm. Zeige, dass beide gleich viel fassen. Welche braucht weniger Pappe?
Lösung zeigen
Ergebnis:
A braucht 8 cm² weniger Pappe

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Zerlegen: Der Körper wird in Quader geteilt, deren Volumen man kennt.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Planschbecken füllen, Umzugskartons packen und das Hochbeet mit Erde füllen. Beruf: Beton bestellen auf dem Bau, Verpackungen entwerfen, Ladung im Lager und in der Spedition berechnen.

Wörter

Grundfläche: die Fläche, auf der der Körper steht
Oberfläche: alle Außenseiten zusammen
Volumen: wie viel hineinpasst

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Körper zeichnen und berechnen, Flächeninhalt und Volumen, Größen im Beruf, Zusammengesetzte Körper

Lösungen

231 cm³
160 cm³
261 dm³
249 cm³
350 cm³
247 dm³
246 dm²
290 cm²
214 cm²
140 m³
0,5 m³
21,6 l
etwa 20 h 0 min
etwa 6 h 40 min
etwa 62,5 min
16,8 t
7,2 t
Eichenholz
Oberfläche mal 4, Volumen mal 8
Oberfläche mal 9, Volumen mal 27
8 Stücke; 4-mal so viel Fläche
B braucht 60 cm² weniger Pappe
B braucht 10 cm² weniger Pappe
A braucht 30 cm² weniger Pappe
108 dm³
54 m³
600 dm³
33.728 cm³
286 cm²
2853 cm²
180 cm³
552 cm³
244 cm²
1,5 m³
etwa 32 h 0 min
19,2 t
Nein: Volumen mal 8, Oberfläche mal 4
A braucht 8 cm² weniger Pappe
V = 24 cm³
351 cm³