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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Betonsockel hat die Form eines L. Unten ist er 8 dm lang, 3 dm breit und 2 dm hoch. Links steht darauf ein Teil mit 3 dm Länge und 4 dm Höhe. Wie viele Liter Beton braucht man? Länge mal Breite mal Höhe passt nicht.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Manche multiplizieren die größten Maße und kommen auf zu viel, andere nehmen irgendwelche drei Zahlen aus dem Bild. Es kommen fünf verschiedene Ergebnisse heraus, und niemand weiß, welche Länge zu welcher Höhe gehört. Eine Formel für das L gibt es nicht, aber zwei Quader. Wir ziehen eine Trennlinie, schreiben zu jedem Teil seine drei Maße und addieren. Wer anders zerlegt, muss auf dasselbe Ergebnis kommen – das ist die Probe.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Volumen zählt Würfel, Oberfläche zählt Quadrate auf der Hülle.

  1. ●39
    Ein Quader hat die Kanten 6 cm, 4 cm und 9 cm. Berechne Volumen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    V = 216 cm³
  2. ●40
    Ein Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck mit Grundseite 10 cm und Höhe 5 cm. Das Prisma ist 14 cm hoch. Volumen?
    Lösung zeigen
    1. G = g · h : 2 = 10 · 5 : 2 = 25 cm²
    2. V = G · h = 25 · 14 = 350 cm³
    Ergebnis:
    350 cm³

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Körper ist die Summe seiner Teile

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus Quadern und Prismen, die man kennt. Sein Volumen ist die Summe der Teilvolumen, und was fehlt, wird abgezogen. Die Oberfläche ist die Summe der Flächen, die man von außen sieht.

Ein Quader, aus dem ein kleiner Quader fehlt: Volumen ist großes Volumen minus fehlendesfehltgroßer QuaderV = V(groß)− V(fehlt)

WeiterdenkenDenk nach

Warum wird die Oberfläche kleiner, wenn zwei Quader mit einer Fläche aneinanderstoßen, das Volumen aber nicht?

1Ich zerlege zusammengesetzte Körper in Quader und Prismen und berechne das Volumen.

EntdeckenFrage

Könntest du einen Würfel aus Wasser mit 1 m Kantenlänge hochheben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Würfel hat 1 m · 1 m · 1 m = 1 m³, das sind 1000 Liter. Ein Liter Wasser wiegt etwa 1 kg, der Würfel also rund 1000 kg, eine Tonne. So viel wiegt ein kleines Auto.

MerkenZerlegen in Teilkörper

Einen zusammengesetzten Körper zerlegt man in Quader und Prismen und addiert ihre Volumen.

Beispiel: 6 · 4 · 2 + 3 · 4 · 3 = 48 + 36 = 84 cm³.

BeispielVolumen durch Zerlegen in Quader

Zerlege den Körper im Bild in zwei Quader und berechne das Volumen. Der untere ist 9 dm lang.
9 dm6 dm3 dm6 dm2 dm?
Schritt für Schritt
  1. Unterer Quader: 9 · 6 · 3 = 162
  2. Oberer Quader: 6 · 6 · 2 = 72
  3. V = 162 + 72 = 234, also 234 dm³.
  1. Unterer Quader: 9 · 6 · 3 = 162
  2. Oberer Quader: 6 · 6 · 2 = 72
  3. V = 162 + 72 = 234, also 234 dm³.
Ergebnis:
234 dm³

AchtungTeilkörper falsch zerlegt oder Dreieck nicht halbiert

So nicht
Haus 4 m breit, 6 m lang, Wände 3 m, Dach 2 m hoch: V = 4 · 6 · 3 + 4 · 2 · 6 = 120 m³
So richtig
Dach halbieren: 4 · 6 · 3 + 4 · 2 : 2 · 6 = 72 + 24 = 96 m³

Zeichne die Trennlinie ins Bild und schreibe zu jedem Teilkörper seine drei Maße. Beim Dreieck als Grundfläche durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zerlege den Körper im Bild in zwei Quader und berechne das Volumen. Der untere ist 6 dm lang.
    6 dm7 dm1 dm2 dm3 dm?
    So fängst du an:
    Unterer Quader: 6 · 7 · 1 = 42
    Lösung zeigen
    1. Unterer Quader: 6 · 7 · 1 = 42
    2. Oberer Quader: 2 · 7 · 3 = 42
    3. V = 42 + 42 = 84, also 84 dm³.
    Ergebnis:
    84 dm³
  2. ●2
    Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 7 cm · 8 cm · 1 cm, oben 4 cm · 8 cm · 3 cm. Berechne sein Volumen.
    7 cm8 cm1 cm4 cm3 cm?
    Lösung zeigen
    1. Unterer Quader: 7 · 8 · 1 = 56
    2. Oberer Quader: 4 · 8 · 3 = 96
    3. V = 56 + 96 = 152, also 152 cm³.
    Ergebnis:
    152 cm³
  3. ★3
    Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 10 cm · 3 cm · 4 cm, oben 4 cm · 3 cm · 2 cm. Berechne sein Volumen.
    10 cm3 cm4 cm4 cm2 cm?
    Lösung zeigen
    1. Unterer Quader: 10 · 3 · 4 = 120
    2. Oberer Quader: 4 · 3 · 2 = 24
    3. V = 120 + 24 = 144, also 144 cm³.
    Ergebnis:
    144 cm³

2Ich berechne das Volumen von Körpern mit Aussparungen.

EntdeckenFrage

Warum sieht man von einem Eisberg nur die Spitze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eis hat etwa die Dichte 0,92 g/cm³, Meerwasser etwa 1,03 g/cm³. Ein schwimmender Körper taucht so tief ein, bis das verdrängte Wasser so viel wiegt wie er selbst. 0,92 : 1,03 ≈ 0,89, also liegen fast 90 Prozent unter Wasser.

MerkenAussparungen abziehen

Fehlt ein Stück, rechnet man den vollen Quader und zieht das Stück ab.

Beispiel: 10 · 6 · 4 − 2 · 2 · 4 = 240 − 16 = 224 cm³.

BeispielVolumen mit Aussparung: ergänzen und abziehen

Ein Holzklotz ist 14 cm lang, 8 cm breit und 6 cm hoch. Senkrecht hindurch geht ein rechteckiges Loch, 4 cm mal 4 cm. Wie groß ist das Volumen des Klotzes?
gegebengesucht14 cm8 cm6 cm4 cm?
Schritt für Schritt
  1. Voller Quader: 14 · 8 · 6 = 672
  2. Loch: 4 · 4 · 6 = 96
  3. V = 672 − 96 = 576
  1. Voller Quader: 14 · 8 · 6 = 672
  2. Loch: 4 · 4 · 6 = 96
  3. V = 672 − 96 = 576
Ergebnis:
576 cm³

AchtungAussparung oder Wandstärke falsch abgezogen

So nicht
Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 48 · 28 · 18 = 24.192 cm³
So richtig
Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 46 · 26 · 18 = 21.528 cm³

Voller Körper minus Loch. Bei Länge und Breite sind es zwei Wände, in der Höhe beim offenen Kasten nur der Boden.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aus einem Quader (8 dm · 8 dm · 6 dm) wird an einer Ecke ein Stück herausgeschnitten, 3 dm breit und 4 dm hoch, durch die ganze Tiefe. Berechne das Volumen des Reststücks.
    8 dm8 dm6 dm?
    So fängst du an:
    Ergänzen zum großen Quader: 8 · 8 · 6 = 384
    Lösung zeigen
    1. Ergänzen zum großen Quader: 8 · 8 · 6 = 384
    2. Das fehlende Stück: 3 · 8 · 4 = 96
    3. V = 384 − 96 = 288
    Ergebnis:
    288 dm³
  2. ●5
    Ein Holzklotz ist 8 cm lang, 8 cm breit und 4 cm hoch. Senkrecht hindurch geht ein rechteckiges Loch, 4 cm mal 4 cm. Wie groß ist das Volumen des Klotzes?
    gegebengesucht8 cm4 cm?
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 8 · 8 · 4 = 256
    2. Loch: 4 · 4 · 4 = 64
    3. V = 256 − 64 = 192
    Ergebnis:
    192 cm³
  3. ★6
    Ein Holzklotz ist 14 dm lang, 6 dm breit und 5 dm hoch. In der Mitte geht senkrecht ein Loch hindurch, 3 dm mal 3 dm. An einer Ecke ist ein Würfel mit der Kante 3 dm abgesägt. Welches Volumen bleibt?
    gegebengesucht14 dm6 dm5 dm3 dm?
    Lösung zeigen
    1. Voller Quader: 14 · 6 · 5 = 420
    2. Loch: 3 · 3 · 5 = 45
    3. Würfel: 3 · 3 · 3 = 27
    4. V = 420 − 45 − 27 = 348
    Ergebnis:
    348 dm³

3Ich berechne die Oberfläche zusammengesetzter Körper.

EntdeckenFrage

Wie lange füllt ein Gartenschlauch ein Schwimmbecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Becken mit 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe fasst 2500 m³, also 2,5 Millionen Liter. Liefert der Schlauch 20 Liter in der Minute, dauert es 125.000 Minuten. Das sind fast 87 Tage ohne Pause.

MerkenOberfläche und Berührfläche

Addiere die Oberflächen der Teilkörper und ziehe die Berührfläche zweimal ab.

Sie ist bei beiden Teilen verschwunden. Beispiel: 184 + 24 − 2 · 4 = 200 cm².

BeispielOberfläche zusammengesetzter Körper

Ein Siegerpodest besteht aus einem Quader (9 dm · 8 dm · 2 dm) und einem Würfel (Kante 5 dm) obendrauf. Wie viel Fläche wird gestrichen, wenn auch der Boden Farbe bekommt?
9825
Schritt für Schritt
  1. Quader: 2 · (72 + 18 + 16) = 212
  2. Würfel: 6 · 25 = 150
  3. Berührfläche fällt zweimal weg: 212 + 150 − 2 · 25 = 312
  1. Quader: 2 · (72 + 18 + 16) = 212
  2. Würfel: 6 · 25 = 150
  3. Berührfläche fällt zweimal weg: 212 + 150 − 2 · 25 = 312
Ergebnis:
312 dm²

AchtungTeilflächen vergessen oder zu viel gezählt

So nicht
Würfel (Kante 2 cm) auf Quader 8 · 6 · 2 cm: O = 152 + 24 − 4 = 172 cm²
So richtig
Berührfläche zweimal weg: O = 152 + 24 − 2 · 4 = 168 cm²

Zähle jede Fläche einzeln auf. Die Berührfläche fällt bei beiden Teilkörpern weg, beim offenen Kasten fehlt der Deckel.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Auf einem Quader (9 cm · 7 cm · 2 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 5 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
    9725
    So fängst du an:
    Quader: 2 · (63 + 18 + 14) = 190
    Lösung zeigen
    1. Quader: 2 · (63 + 18 + 14) = 190
    2. Würfel: 6 · 25 = 150
    3. Berührfläche fällt zweimal weg: 190 + 150 − 2 · 25 = 290
    Ergebnis:
    290 cm²
  2. ●8
    Ein Siegerpodest besteht aus einem Quader (8 dm · 7 dm · 4 dm) und einem Würfel (Kante 4 dm) obendrauf. Wie viel Fläche wird gestrichen, wenn auch der Boden Farbe bekommt?
    8744
    Lösung zeigen
    1. Quader: 2 · (56 + 32 + 28) = 232
    2. Würfel: 6 · 16 = 96
    3. Berührfläche fällt zweimal weg: 232 + 96 − 2 · 16 = 296
    Ergebnis:
    296 dm²
  3. ★9
    Zwei Quader gleicher Tiefe (4 cm) stehen dicht nebeneinander: 3 cm breit und 4 cm hoch, daneben 6 cm breit und 8 cm hoch. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
    36448
    Lösung zeigen
    1. Kleiner Quader: 2 · (12 + 12 + 16) = 80
    2. Großer Quader: 2 · (24 + 48 + 32) = 208
    3. Berührfläche 4 · 4 = 16 zweimal weg: 80 + 208 − 32 = 256
    Ergebnis:
    256 cm²

4Ich berechne Prismen mit Trapez- und Dreiecksgrundfläche aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

Warum frieren kleine Tiere wie Mäuse schneller als große Tiere wie Elefanten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wärme geht über die Oberfläche verloren, gespeichert wird sie im Volumen. Denk dir die Tiere als Würfel: Kante mal 10 heißt Oberfläche mal 100, aber Volumen mal 1000. Das große Tier hat je Kubikzentimeter viel weniger Haut, durch die Wärme entweicht.

MerkenPrismen im Alltag

Bei jedem Prisma gilt: Grundfläche mal Höhe.

Die Grundfläche ist der Querschnitt, sie steht oft vorne und nicht unten. Graben: (2 + 4) : 2 · 1 = 3 m², mal 10 m Länge ergibt 30 m³.

BeispielPrismen im Alltag: Graben, Deich, Rampe, Dachrinne

Eine Rampe aus Beton hat als Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck: 3 m lang und 1,5 m hoch. Die Rampe ist 1,5 m breit. Wie viel Beton braucht man?
3 m1,5 m1,5 m
Schritt für Schritt
  1. Grundfläche: 3 · 1,5 : 2 = 2,25
  2. V = 2,25 · 1,5 = 3,38
  1. Grundfläche: 3 · 1,5 : 2 = 2,25
  2. V = 2,25 · 1,5 = 3,38
Ergebnis:
3,38 m³

AchtungNoch einmal: Teilkörper falsch zerlegt oder Dreieck nicht halbiert

So nicht
Haus 4 m breit, 6 m lang, Wände 3 m, Dach 2 m hoch: V = 4 · 6 · 3 + 4 · 2 · 6 = 120 m³
So richtig
Dach halbieren: 4 · 6 · 3 + 4 · 2 : 2 · 6 = 72 + 24 = 96 m³

Zeichne die Trennlinie ins Bild und schreibe zu jedem Teilkörper seine drei Maße. Beim Dreieck als Grundfläche durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Eine Rampe aus Beton hat als Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck: 5 m lang und 1 m hoch. Die Rampe ist 3 m breit. Wie viel Beton braucht man?
    5 m1 m3 m
    So fängst du an:
    Grundfläche: 5 · 1 : 2 = 2,5
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche: 5 · 1 : 2 = 2,5
    2. V = 2,5 · 3 = 7,5
    Ergebnis:
    7,5 m³
  2. ●11
    Eine Rampe aus Beton hat als Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck: 4 m lang und 1 m hoch. Die Rampe ist 2 m breit. Wie viel Beton braucht man?
    4 m1 m2 m
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche: 4 · 1 : 2 = 2
    2. V = 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4 m³
  3. ★12
    Ein Graben ist oben 4 m breit, unten 3 m breit, 1,5 m tief und 50 m lang. Wie viel Erde wird ausgehoben?
    4 m3 m1,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche ist ein Trapez: (3 + 4) : 2 · 1,5 = 5,25
    2. V = G · Länge = 5,25 · 50 = 262,5
    Ergebnis:
    262,5 m³

5Ich berechne Füllmengen und Füllzeiten.

EntdeckenFrage

Warum passen in einen Würfel mit 10 cm Kante genau 1000 Würfelzucker von 1 cm Kante?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In jeder Richtung liegen 10 Stück: 10 · 10 · 10 = 1000. Außen sieht man aber nur 6 · 100 = 600 kleine Quadrate. Die Kante wurde 10-mal so lang, das Volumen 1000-mal so groß und die Oberfläche nur 100-mal.

MerkenFüllmenge und Füllzeit

Die Füllzeit ist das Volumen geteilt durch den Zufluss je Minute.

Vorher umrechnen: 1 m³ = 1000 l und 1 dm³ = 1 l. Beispiel: 2000 l bei 40 l je Minute dauern 50 Minuten.

BeispielFüllmengen und Füllzeiten

Ein Planschbecken (Quader) ist 3 m lang, 2 m breit und wird 0,5 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 40 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?
3 m2 m0,5 m
Schritt für Schritt
  1. V = 3 · 2 · 0,5 = 3, also 3 m³ = 3000 l.
  2. Zeit: 3000 : 40 = 75 min
  3. Das sind etwa 1 h 15 min.
  1. V = 3 · 2 · 0,5 = 3, also 3 m³ = 3000 l.
  2. Zeit: 3000 : 40 = 75 min
  3. Das sind etwa 1 h 15 min.
Ergebnis:
etwa 1 h 15 min

AchtungEinheiten bei Liter, Zeit oder Dichte vermischt

So nicht
Becken 4 m · 2 m · 1 m, 20 l je Minute: 8 : 20 = 0,4 min
So richtig
8 m³ = 8000 l, also 8000 : 20 = 400 min

1 dm³ = 1 l und 1 m³ = 1000 l. Bei der Dichte müssen Volumen und Dichte dieselbe Einheit haben, cm³ zu g/cm³.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Eine quaderförmige Regentonne ist innen 100 cm lang, 50 cm breit und 60 cm hoch. Bei Regen fließen 4 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
    gegebengesucht100 cm50 cm60 cm4 Liter?
    So fängst du an:
    V = 100 · 50 · 60 = 300.000, also 300.000 cm³ = 300 l.
    Lösung zeigen
    1. V = 100 · 50 · 60 = 300.000, also 300.000 cm³ = 300 l.
    2. 300 : 4 = 75
    Ergebnis:
    75 min
  2. ●14
    Eine quaderförmige Regentonne ist innen 80 cm lang, 40 cm breit und 50 cm hoch. Bei Regen fließen 4 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
    gegebengesucht80 cm50 cm4 Liter?
    Lösung zeigen
    1. V = 80 · 40 · 50 = 160.000, also 160.000 cm³ = 160 l.
    2. 160 : 4 = 40
    Ergebnis:
    40 min
  3. ★15
    Ein Planschbecken (Quader) ist 4 m lang, 2 m breit und wird 1 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 20 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?
    4 m2 m1 m
    Lösung zeigen
    1. V = 4 · 2 · 1 = 8, also 8 m³ = 8000 l.
    2. Zeit: 8000 : 20 = 400 min
    3. Das sind etwa 6 h 40 min.
    Ergebnis:
    etwa 6 h 40 min

6Ich berechne die Masse eines Körpers mit der Dichte.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Eimer voll Sand so viel schwerer als derselbe Eimer voll Wasser?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Volumen ist gleich, die Dichte nicht. Wasser hat etwa 1 kg je Liter, trockener Sand etwa 1,5 kg je Liter. Ein 10-Liter-Eimer wiegt mit Wasser etwa 10 kg, mit Sand etwa 15 kg.

MerkenMasse und Dichte

Die Masse ist Dichte mal Volumen.

Beton hat etwa 2,4 g/cm³, ein Stein mit 1000 cm³ wiegt also 2400 g. In g/cm³ und t/m³ steht dieselbe Zahl.

BeispielMasse eines Körpers aus Volumen und Dichte

Ein Quader aus Eis ist 4 cm · 2 cm · 20 cm groß. Eis hat die Dichte 0,9 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
4 cm2 cm20 cm
Schritt für Schritt
  1. V = 4 · 2 · 20 = 160, also 160 cm³.
  2. m = 0,9 · 160 = 144, also 144 g.
  1. V = 4 · 2 · 20 = 160, also 160 cm³.
  2. m = 0,9 · 160 = 144, also 144 g.
Ergebnis:
144 g

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Quader aus Glas ist 4 cm · 2 cm · 20 cm groß. Glas hat die Dichte 2,5 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
    4 cm2 cm20 cm
    So fängst du an:
    V = 4 · 2 · 20 = 160, also 160 cm³.
    Lösung zeigen
    1. V = 4 · 2 · 20 = 160, also 160 cm³.
    2. m = 2,5 · 160 = 400, also 400 g.
    Ergebnis:
    400 g
  2. ●17
    Ein Quader aus Fichtenholz ist 10 cm · 3 cm · 5 cm groß. Fichtenholz hat die Dichte 0,5 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
    10 cm3 cm5 cm
    Lösung zeigen
    1. V = 10 · 3 · 5 = 150, also 150 cm³.
    2. m = 0,5 · 150 = 75, also 75 g.
    Ergebnis:
    75 g
  3. ★18
    Ein Quader aus Stahl ist 2 cm · 2 cm · 2 cm groß. Stahl hat die Dichte 7,85 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
    2 cm2 cm2 cm
    Lösung zeigen
    1. V = 2 · 2 · 2 = 8, also 8 cm³.
    2. m = 7,85 · 8 = 62,8, also 62,8 g.
    Ergebnis:
    62,8 g

7Ich untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn die Kanten wachsen.

EntdeckenFrage

Ein Spielwürfel wird in jeder Richtung doppelt so groß gebaut. Braucht man dann doppelt so viel Kunststoff?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein, achtmal so viel. Das Volumen wächst mit 2 · 2 · 2 = 8. Die Oberfläche wächst nur mit 2 · 2 = 4. Wer den großen Würfel lackiert, braucht also viermal so viel Farbe.

MerkenKanten wachsen

Doppelte Kante heißt vierfache Oberfläche und achtfaches Volumen.

Die Fläche wächst in zwei Richtungen, das Volumen in drei. Dreifache Kante ergibt 9 und 27.

BeispielKanten wachsen: Oberfläche und Volumen

Ein Würfelzucker hat die Kante 1 cm. Aus Würfelzuckern wird ein großer Würfel mit der Kante 3 cm gebaut. Wie viele Stücke braucht man? Wie viel mehr Fläche hat er außen?
gegebengesucht1 cm3 cm?
Schritt für Schritt
  1. Stücke: 3 · 3 · 3 = 27
  2. Oberfläche klein: 6 · 1 = 6. Groß: 6 · 9 = 54
  3. 54 : 6 = 9
  1. Stücke: 3 · 3 · 3 = 27
  2. Oberfläche klein: 6 · 1 = 6. Groß: 6 · 9 = 54
  3. 54 : 6 = 9
Ergebnis:
27 Stücke; 9-mal so viel Fläche

AchtungMit der Kante nur verdoppelt statt quadriert oder hoch drei

So nicht
Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 27 cm³ · 2 = 54 cm³
So richtig
Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 6 · 6 · 6 = 216 cm³ = 27 cm³ · 8

Kante mal 2: Die Fläche wächst in zwei Richtungen, also mal 4. Das Volumen in drei, also mal 8.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zeynep sagt: „3-fache Kanten, 3-faches Volumen.“ Prüfe am Quader 3 cm · 3 cm · 4 cm.
    gegebengesucht3 cm4 cm?
    So fängst du an:
    Vorher: O = 2 · (9 + 12 + 12) = 66, V = 3 · 3 · 4 = 36
    Lösung zeigen
    1. Vorher: O = 2 · (9 + 12 + 12) = 66, V = 3 · 3 · 4 = 36
    2. Nachher: Kanten 9, 9, 12. O = 594, V = 972
    3. Vergleich: 594 : 66 = 9 und 972 : 36 = 27
    Ergebnis:
    Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9
  2. ●20
    Ein Quader ist 3 cm · 3 cm · 5 cm groß. Jede Kante wird doppelt so lang. Wie ändern sich Oberfläche und Volumen?
    gegebengesucht3 cm5 cm?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: O = 2 · (9 + 15 + 15) = 78, V = 3 · 3 · 5 = 45
    2. Nachher: Kanten 6, 6, 10. O = 312, V = 360
    3. Vergleich: 312 : 78 = 4 und 360 : 45 = 8
    Ergebnis:
    Oberfläche mal 4, Volumen mal 8
  3. ★21
    Mila sagt: „10-fache Kanten, 10-faches Volumen.“ Prüfe am Quader 2 cm · 1 cm · 5 cm.
    gegebengesucht2 cm1 cm5 cm?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: O = 2 · (2 + 10 + 5) = 34, V = 2 · 1 · 5 = 10
    2. Nachher: Kanten 20, 10, 50. O = 3400, V = 10.000
    3. Vergleich: 3400 : 34 = 100 und 10.000 : 10 = 1000
    Ergebnis:
    Nein: Volumen mal 1000, Oberfläche mal 100

8Ich vergleiche Verpackungen nach Volumen und Materialverbrauch.

EntdeckenFrage

Ein Liter Saft passt in einen Würfel mit 10 cm Kante oder in eine Schachtel mit 5 cm, 10 cm und 20 cm. Was braucht weniger Pappe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beide fassen 1000 cm³, also einen Liter. Der Würfel hat 6 · 100 = 600 cm² Oberfläche. Die schmale Schachtel hat 2 · (50 + 100 + 200) = 700 cm². Der Würfel spart ein Siebtel der Pappe.

MerkenSparsame Verpackung

Gleiches Volumen heißt nicht gleiche Oberfläche.

Je würfelähnlicher ein Quader ist, desto weniger Material braucht er. Bei 1000 cm³ braucht der Würfel 600 cm², der Quader 20 · 10 · 5 braucht 700 cm².

BeispielZwei Verpackungen mit gleichem Inhalt vergleichen

Zwei Versandkartons: A ist 12 cm · 6 cm · 5 cm, B ist 10 cm · 9 cm · 4 cm. Zeige, dass beide gleich viel fassen. Welche braucht weniger Pappe?
gegebengesucht12 cm6 cm5 cm10 cm9 cm?
Schritt für Schritt
  1. Volumen: 12 · 6 · 5 = 360 und 10 · 9 · 4 = 360
  2. O(A) = 2 · (72 + 60 + 30) = 324
  3. O(B) = 2 · (90 + 40 + 36) = 332
  1. Volumen: 12 · 6 · 5 = 360 und 10 · 9 · 4 = 360
  2. O(A) = 2 · (72 + 60 + 30) = 324
  3. O(B) = 2 · (90 + 40 + 36) = 332
Ergebnis:
A braucht 8 cm² weniger Pappe

AchtungNoch einmal: Teilflächen vergessen oder zu viel gezählt

So nicht
Würfel (Kante 2 cm) auf Quader 8 · 6 · 2 cm: O = 152 + 24 − 4 = 172 cm²
So richtig
Berührfläche zweimal weg: O = 152 + 24 − 2 · 4 = 168 cm²

Zähle jede Fläche einzeln auf. Die Berührfläche fällt bei beiden Teilkörpern weg, beim offenen Kasten fehlt der Deckel.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Müslipackung hat bei gleichem Inhalt die kleinere Oberfläche: A (8 cm · 8 cm · 8 cm) oder B (16 cm · 8 cm · 4 cm)? Um wie viel?
    gegebengesucht8 cm16 cm4 cm?
    So fängst du an:
    Volumen: 8 · 8 · 8 = 512 und 16 · 8 · 4 = 512
    Lösung zeigen
    1. Volumen: 8 · 8 · 8 = 512 und 16 · 8 · 4 = 512
    2. O(A) = 2 · (64 + 64 + 64) = 384
    3. O(B) = 2 · (128 + 64 + 32) = 448
    Ergebnis:
    A braucht 64 cm² weniger Pappe
  2. ●23
    Zwei Saftkartons: A ist 10 cm · 10 cm · 10 cm, B ist 20 cm · 10 cm · 5 cm. Zeige, dass beide gleich viel fassen. Welche braucht weniger Pappe?
    gegebengesucht10 cm20 cm5 cm?
    Lösung zeigen
    1. Volumen: 10 · 10 · 10 = 1000 und 20 · 10 · 5 = 1000
    2. O(A) = 2 · (100 + 100 + 100) = 600
    3. O(B) = 2 · (200 + 100 + 50) = 700
    Ergebnis:
    A braucht 100 cm² weniger Pappe
  3. ★24
    Welche Müslipackung hat bei gleichem Inhalt die kleinere Oberfläche: A (10 cm · 10 cm · 4 cm) oder B (20 cm · 5 cm · 4 cm)? Um wie viel?
    gegebengesucht10 cm4 cm20 cm5 cm?
    Lösung zeigen
    1. Volumen: 10 · 10 · 4 = 400 und 20 · 5 · 4 = 400
    2. O(A) = 2 · (100 + 40 + 40) = 360
    3. O(B) = 2 · (100 + 80 + 20) = 400
    Ergebnis:
    A braucht 40 cm² weniger Pappe

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 12 dm · 4 dm · 2 dm, oben 5 dm · 4 dm · 2 dm. Berechne sein Volumen.
    12 dm4 dm2 dm5 dm2 dm?
    Lösung zeigen
    1. Unterer Quader: 12 · 4 · 2 = 96
    2. Oberer Quader: 5 · 4 · 2 = 40
    3. V = 96 + 40 = 136, also 136 dm³.
    Ergebnis:
    136 dm³
  2. ●26
    Ein Gartenhaus ist 3 m breit, 3 m lang und bis zum Dach 4 m hoch. Das Dach ist 2 m hoch. Berechne das Volumen.
    3 m3 m4 m2 m?
    Lösung zeigen
    1. Quader: 3 · 3 · 4 = 36
    2. Dach: Grundfläche 3 · 2 : 2 = 3, Volumen 3 · 3 = 9
    3. V = 36 + 9 = 45, also 45 m³.
    Ergebnis:
    45 m³
  3. ●27
    Aus einem Quader (10 cm · 4 cm · 8 cm) wird an einer Ecke ein Stück herausgeschnitten, 3 cm breit und 5 cm hoch, durch die ganze Tiefe. Berechne das Volumen des Reststücks.
    10 cm4 cm8 cm?
    Lösung zeigen
    1. Ergänzen zum großen Quader: 10 · 4 · 8 = 320
    2. Das fehlende Stück: 3 · 4 · 5 = 60
    3. V = 320 − 60 = 260
    Ergebnis:
    260 cm³
  4. ●28
    Ein Blumenkasten ist außen 80 cm lang, 30 cm breit und 20 cm hoch, oben offen. Wände und Boden sind 4 cm dick. Wie viele Liter Erde passen hinein?
    gegebengesucht80 cm30 cm20 cm4 cm?
    Lösung zeigen
    1. Innen: 80 − 2 · 4 = 72, 30 − 2 · 4 = 22, 20 − 4 = 16
    2. Innenvolumen: 72 · 22 · 16 = 25.344, also 25.344 cm³.
    3. 25.344 cm³ = 25,34 l
    Ergebnis:
    25,34 l
  5. ●29
    Auf einem Quader (9 cm · 10 cm · 4 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 6 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
    91046
    Lösung zeigen
    1. Quader: 2 · (90 + 36 + 40) = 332
    2. Würfel: 6 · 36 = 216
    3. Berührfläche fällt zweimal weg: 332 + 216 − 2 · 36 = 476
    Ergebnis:
    476 cm²
  6. ●30
    Ein Aquarium ohne Deckel ist 40 cm lang, 40 cm breit und 45 cm hoch. Wie viel Glas braucht man?
    40 cm40 cm45 cm
    Lösung zeigen
    1. Boden: 40 · 40 = 1600
    2. Vorne und hinten: 2 · 40 · 45 = 3600. Seiten: 2 · 40 · 45 = 3600
    3. Glas: 1600 + 3600 + 3600 = 8800, also 8800 cm².
    Ergebnis:
    8800 cm²

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zerlegen in Teilkörper
Einen zusammengesetzten Körper zerlegt man in Quader und Prismen und addiert ihre Volumen.
Aussparungen abziehen
Fehlt ein Stück, rechnet man den vollen Quader und zieht das Stück ab.
Oberfläche und Berührfläche
Addiere die Oberflächen der Teilkörper und ziehe die Berührfläche zweimal ab.
Prismen im Alltag
Bei jedem Prisma gilt: Grundfläche mal Höhe.
Füllmenge und Füllzeit
Die Füllzeit ist das Volumen geteilt durch den Zufluss je Minute.
Masse und Dichte
Die Masse ist Dichte mal Volumen.
Kanten wachsen
Doppelte Kante heißt vierfache Oberfläche und achtfaches Volumen.
Sparsame Verpackung
Gleiches Volumen heißt nicht gleiche Oberfläche.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zerlege zusammengesetzte Körper in Quader und Prismen und berechne das Volumen.

    31
    Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 8 cm · 8 cm · 4 cm, oben 4 cm · 8 cm · 2 cm. Berechne sein Volumen.
    8 cm8 cm4 cm4 cm2 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    320 cm³

  2. Ich berechne das Volumen von Körpern mit Aussparungen.

    32
    Aus einem Quader (12 cm · 5 cm · 5 cm) wird an einer Ecke ein Stück herausgeschnitten, 4 cm breit und 3 cm hoch, durch die ganze Tiefe. Berechne das Volumen des Reststücks.
    12 cm5 cm5 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    240 cm³

  3. Ich berechne die Oberfläche zusammengesetzter Körper.

    33
    Auf einem Quader (7 cm · 6 cm · 3 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 2 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
    7632
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    178 cm²

  4. Ich berechne Prismen mit Trapez- und Dreiecksgrundfläche aus dem Alltag.

    34
    Ein Deich ist unten 3 m breit, oben 2 m breit, 2 m hoch und 20 m lang. Wie viel Erde steckt im Deich?
    3 m2 m2 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    100 m³

  5. Ich berechne Füllmengen und Füllzeiten.

    35
    Ein Planschbecken (Quader) ist 3 m lang, 2 m breit und wird 0,5 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 25 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?
    3 m2 m0,5 m
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 2 h 0 min

  6. Ich berechne die Masse eines Körpers mit der Dichte.

    36
    Ein Betonsockel besteht aus einem Quader (2 m · 1 m · 0,5 m) und einem Quader darauf (1 m · 1 m · 1 m). Beton hat etwa die Dichte 2,4 t/m³. Wie viele Tonnen wiegt der Sockel?
    gegebengesucht2 m1 m0,5 m2,4 t?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4,8 t

  7. Ich untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn die Kanten wachsen.

    37
    Ein Würfelzucker hat die Kante 1 cm. Aus Würfelzuckern wird ein großer Würfel mit der Kante 2 cm gebaut. Wie viele Stücke braucht man? Wie viel mehr Fläche hat er außen?
    gegebengesucht1 cm2 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Stücke; 4-mal so viel Fläche

  8. Ich vergleiche Verpackungen nach Volumen und Materialverbrauch.

    38
    Eine Firma will Pappe sparen. Sie vergleicht zwei Formen für dieselbe Müslipackung: A 6 · 6 · 6 und B 12 · 6 · 3, alles in cm. Welche Form nimmt sie?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A braucht 36 cm² weniger Pappe

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Betonsockel hat die Form eines L. Unten ist er 8 dm lang, 3 dm breit und 2 dm hoch. Links steht darauf ein Teil mit 3 dm Länge und 4 dm Höhe. Wie viele Liter Beton braucht man? Länge mal Breite mal Höhe passt nicht.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Zerlegen: Der Körper wird in Quader geteilt, deren Volumen man kennt.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Planschbecken füllen, Umzugskartons packen und das Hochbeet mit Erde füllen. Beruf: Beton bestellen auf dem Bau, Verpackungen entwerfen, Ladung im Lager und in der Spedition berechnen.

Wörter

Grundfläche
die Fläche, auf der der Körper steht
Oberfläche
alle Außenseiten zusammen
Volumen
wie viel hineinpasst

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Körper zeichnen und berechnen, Flächeninhalt und Volumen, Größen im Beruf, Zusammengesetzte Körper

Lösungen

  1. 84 dm³
  2. 152 cm³
  3. 144 cm³
  4. 288 dm³
  5. 192 cm³
  6. 348 dm³
  7. 290 cm²
  8. 296 dm²
  9. 256 cm²
  10. 7,5 m³
  11. 4 m³
  12. 262,5 m³
  13. 75 min
  14. 40 min
  15. etwa 6 h 40 min
  16. 400 g
  17. 75 g
  18. 62,8 g
  19. Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9
  20. Oberfläche mal 4, Volumen mal 8
  21. Nein: Volumen mal 1000, Oberfläche mal 100
  22. A braucht 64 cm² weniger Pappe
  23. A braucht 100 cm² weniger Pappe
  24. A braucht 40 cm² weniger Pappe
  25. 136 dm³
  26. 45 m³
  27. 260 cm³
  28. 25,34 l
  29. 476 cm²
  30. 8800 cm²
  31. 320 cm³
  32. 240 cm³
  33. 178 cm²
  34. 100 m³
  35. etwa 2 h 0 min
  36. 4,8 t
  37. 8 Stücke; 4-mal so viel Fläche
  38. A braucht 36 cm² weniger Pappe
  39. V = 216 cm³
  40. 350 cm³