Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Betonsockel hat die Form eines L. Unten ist er 8 dm lang, 3 dm breit und 2 dm hoch. Links steht darauf ein Teil mit 3 dm Länge und 4 dm Höhe. Wie viele Liter Beton braucht man? Länge mal Breite mal Höhe passt nicht.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Manche multiplizieren die größten Maße und kommen auf zu viel, andere nehmen irgendwelche drei Zahlen aus dem Bild. Es kommen fünf verschiedene Ergebnisse heraus, und niemand weiß, welche Länge zu welcher Höhe gehört. Eine Formel für das L gibt es nicht, aber zwei Quader. Wir ziehen eine Trennlinie, schreiben zu jedem Teil seine drei Maße und addieren. Wer anders zerlegt, muss auf dasselbe Ergebnis kommen – das ist die Probe.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Volumen zählt Würfel, Oberfläche zählt Quadrate auf der Hülle.

●39
Ein Quader hat die Kanten 2 cm, 5 cm und 9 cm. Berechne Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
V = 90 cm³
●40
Ein Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck mit Grundseite 5 cm und Höhe 8 cm. Das Prisma ist 15 cm hoch. Volumen?
Lösung zeigen
1. G = g · h : 2 = 5 · 8 : 2 = 20 cm²
2. V = G · h = 20 · 15 = 300 cm³
Ergebnis:
300 cm³

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Körper ist die Summe seiner Teile

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus Quadern und Prismen, die man kennt. Sein Volumen ist die Summe der Teilvolumen, und was fehlt, wird abgezogen. Die Oberfläche ist die Summe der Flächen, die man von außen sieht.

WeiterdenkenDenk nach

Warum wird die Oberfläche kleiner, wenn zwei Quader mit einer Fläche aneinanderstoßen, das Volumen aber nicht?

1Ich zerlege zusammengesetzte Körper in Quader und Prismen und berechne das Volumen.

EntdeckenFrage

Könntest du einen Würfel aus Wasser mit 1 m Kantenlänge hochheben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Würfel hat 1 m · 1 m · 1 m = 1 m³, das sind 1000 Liter. Ein Liter Wasser wiegt etwa 1 kg, der Würfel also rund 1000 kg, eine Tonne. So viel wiegt ein kleines Auto.

MerkenZerlegen in Teilkörper

Einen zusammengesetzten Körper zerlegt man in Quader und Prismen und addiert ihre Volumen.

Beispiel: 6 · 4 · 2 + 3 · 4 · 3 = 48 + 36 = 84 cm³.

BeispielVolumen durch Zerlegen in Quader

Ein Werkstück aus Holz hat die Form im Bild. Es ist 5 dm tief. Wie groß ist sein Volumen?

Schritt für Schritt

Unterer Quader: 6 · 5 · 1 = 30
Oberer Quader: 2 · 5 · 6 = 60
V = 30 + 60 = 90, also 90 dm³.

Unterer Quader: 6 · 5 · 1 = 30
Oberer Quader: 2 · 5 · 6 = 60
V = 30 + 60 = 90, also 90 dm³.

Ergebnis:

90 dm³

AchtungTeilkörper falsch zerlegt oder Dreieck nicht halbiert

So nicht

Haus 4 m breit, 6 m lang, Wände 3 m, Dach 2 m hoch: V = 4 · 6 · 3 + 4 · 2 · 6 = 120 m³

So richtig

Dach halbieren: 4 · 6 · 3 + 4 · 2 : 2 · 6 = 72 + 24 = 96 m³

Zeichne die Trennlinie ins Bild und schreibe zu jedem Teilkörper seine drei Maße. Beim Dreieck als Grundfläche durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Werkstück aus Holz hat die Form im Bild. Es ist 4 cm tief. Wie groß ist sein Volumen?
So fängst du an:
Unterer Quader: 7 · 4 · 3 = 84
Lösung zeigen
1. Unterer Quader: 7 · 4 · 3 = 84
2. Oberer Quader: 4 · 4 · 6 = 96
3. V = 84 + 96 = 180, also 180 cm³.
Ergebnis:
180 cm³
●2
Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 9 cm · 7 cm · 1 cm, oben 3 cm · 7 cm · 5 cm. Berechne sein Volumen.
Lösung zeigen
1. Unterer Quader: 9 · 7 · 1 = 63
2. Oberer Quader: 3 · 7 · 5 = 105
3. V = 63 + 105 = 168, also 168 cm³.
Ergebnis:
168 cm³
★3
Eine Betontreppe hat drei Stufen. Jede Stufe ist 3 dm tief und 2 dm hoch, die Treppe ist 13 dm breit. Wie viele Liter Beton braucht man?
Lösung zeigen
1. Zerlegen in drei Quader nebeneinander: Höhen 2, 4 und 6
2. 3 · 13 · 2 + 3 · 13 · 4 + 3 · 13 · 6 = 78 + 156 + 234
3. V = 468, also 468 dm³ = 468 l.
Ergebnis:
468 l

2Ich berechne das Volumen von Körpern mit Aussparungen.

EntdeckenFrage

Warum sieht man von einem Eisberg nur die Spitze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eis hat etwa die Dichte 0,92 g/cm³, Meerwasser etwa 1,03 g/cm³. Ein schwimmender Körper taucht so tief ein, bis das verdrängte Wasser so viel wiegt wie er selbst. 0,92 : 1,03 ≈ 0,89, also liegen fast 90 Prozent unter Wasser.

MerkenAussparungen abziehen

Fehlt ein Stück, rechnet man den vollen Quader und zieht das Stück ab.

Beispiel: 10 · 6 · 4 − 2 · 2 · 4 = 240 − 16 = 224 cm³.

BeispielVolumen mit Aussparung: ergänzen und abziehen

Von einem Quader (8 dm lang, 8 dm breit, 6 dm hoch) wird an einer Ecke ein Würfel mit der Kante 2 dm abgesägt. Welches Volumen bleibt?

Schritt für Schritt

Quader: 8 · 8 · 6 = 384
Würfel: 2 · 2 · 2 = 8
V = 384 − 8 = 376

Quader: 8 · 8 · 6 = 384
Würfel: 2 · 2 · 2 = 8
V = 384 − 8 = 376

Ergebnis:

376 dm³

AchtungAussparung oder Wandstärke falsch abgezogen

So nicht

Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 48 · 28 · 18 = 24.192 cm³

So richtig

Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 46 · 26 · 18 = 21.528 cm³

Voller Körper minus Loch. Bei Länge und Breite sind es zwei Wände, in der Höhe beim offenen Kasten nur der Boden.

ÜbenJetzt du

○4
Von einem Quader (7 dm lang, 6 dm breit, 8 dm hoch) wird an einer Ecke ein Würfel mit der Kante 2 dm abgesägt. Welches Volumen bleibt?
So fängst du an:
Quader: 7 · 6 · 8 = 336
Lösung zeigen
1. Quader: 7 · 6 · 8 = 336
2. Würfel: 2 · 2 · 2 = 8
3. V = 336 − 8 = 328
Ergebnis:
328 dm³
●5
Ein Holzklotz ist 13 dm lang, 10 dm breit und 3 dm hoch. Senkrecht hindurch geht ein rechteckiges Loch, 3 dm mal 3 dm. Wie groß ist das Volumen des Klotzes?
Lösung zeigen
1. Voller Quader: 13 · 10 · 3 = 390
2. Loch: 3 · 3 · 3 = 27
3. V = 390 − 27 = 363
Ergebnis:
363 dm³
★6
Ein Holzklotz ist 10 cm lang, 8 cm breit und 5 cm hoch. Senkrecht hindurch geht ein rechteckiges Loch, 2 cm mal 4 cm. Wie groß ist das Volumen des Klotzes?
Lösung zeigen
1. Voller Quader: 10 · 8 · 5 = 400
2. Loch: 2 · 4 · 5 = 40
3. V = 400 − 40 = 360
Ergebnis:
360 cm³

3Ich berechne die Oberfläche zusammengesetzter Körper.

EntdeckenFrage

Wie lange füllt ein Gartenschlauch ein Schwimmbecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Becken mit 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe fasst 2500 m³, also 2,5 Millionen Liter. Liefert der Schlauch 20 Liter in der Minute, dauert es 125.000 Minuten. Das sind fast 87 Tage ohne Pause.

MerkenOberfläche und Berührfläche

Addiere die Oberflächen der Teilkörper und ziehe die Berührfläche zweimal ab.

Sie ist bei beiden Teilen verschwunden. Beispiel: 184 + 24 − 2 · 4 = 200 cm².

BeispielOberfläche zusammengesetzter Körper

Ein Siegerpodest besteht aus einem Quader (10 dm · 8 dm · 4 dm) und einem Würfel (Kante 2 dm) obendrauf. Wie viel Fläche wird gestrichen, wenn auch der Boden Farbe bekommt?

Schritt für Schritt

Quader: 2 · (80 + 40 + 32) = 304
Würfel: 6 · 4 = 24
Berührfläche fällt zweimal weg: 304 + 24 − 2 · 4 = 320

Quader: 2 · (80 + 40 + 32) = 304
Würfel: 6 · 4 = 24
Berührfläche fällt zweimal weg: 304 + 24 − 2 · 4 = 320

Ergebnis:

320 dm²

AchtungTeilflächen vergessen oder zu viel gezählt

So nicht

Würfel (Kante 2 cm) auf Quader 8 · 6 · 2 cm: O = 152 + 24 − 4 = 172 cm²

So richtig

Berührfläche zweimal weg: O = 152 + 24 − 2 · 4 = 168 cm²

Zähle jede Fläche einzeln auf. Die Berührfläche fällt bei beiden Teilkörpern weg, beim offenen Kasten fehlt der Deckel.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Siegerpodest besteht aus einem Quader (10 dm · 9 dm · 3 dm) und einem Würfel (Kante 6 dm) obendrauf. Wie viel Fläche wird gestrichen, wenn auch der Boden Farbe bekommt?
So fängst du an:
Quader: 2 · (90 + 30 + 27) = 294
Lösung zeigen
1. Quader: 2 · (90 + 30 + 27) = 294
2. Würfel: 6 · 36 = 216
3. Berührfläche fällt zweimal weg: 294 + 216 − 2 · 36 = 438
Ergebnis:
438 dm²
●8
Auf einem Quader (7 cm · 9 cm · 2 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 4 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
Lösung zeigen
1. Quader: 2 · (63 + 14 + 18) = 190
2. Würfel: 6 · 16 = 96
3. Berührfläche fällt zweimal weg: 190 + 96 − 2 · 16 = 254
Ergebnis:
254 cm²
★9
Auf einem Quader (10 cm · 10 cm · 2 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 6 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
Lösung zeigen
1. Quader: 2 · (100 + 20 + 20) = 280
2. Würfel: 6 · 36 = 216
3. Berührfläche fällt zweimal weg: 280 + 216 − 2 · 36 = 424
Ergebnis:
424 cm²

4Ich berechne Prismen mit Trapez- und Dreiecksgrundfläche aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

Warum frieren kleine Tiere wie Mäuse schneller als große Tiere wie Elefanten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wärme geht über die Oberfläche verloren, gespeichert wird sie im Volumen. Denk dir die Tiere als Würfel: Kante mal 10 heißt Oberfläche mal 100, aber Volumen mal 1000. Das große Tier hat je Kubikzentimeter viel weniger Haut, durch die Wärme entweicht.

MerkenPrismen im Alltag

Bei jedem Prisma gilt: Grundfläche mal Höhe.

Die Grundfläche ist der Querschnitt, sie steht oft vorne und nicht unten. Graben: (2 + 4) : 2 · 1 = 3 m², mal 10 m Länge ergibt 30 m³.

BeispielPrismen im Alltag: Graben, Deich, Rampe, Dachrinne

Ein Deich ist unten 3 m breit, oben 2 m breit, 2 m hoch und 50 m lang. Wie viel Erde steckt im Deich?

Schritt für Schritt

Grundfläche ist ein Trapez: (2 + 3) : 2 · 2 = 5
V = G · Länge = 5 · 50 = 250

Grundfläche ist ein Trapez: (2 + 3) : 2 · 2 = 5
V = G · Länge = 5 · 50 = 250

Ergebnis:

250 m³

ÜbenJetzt du

○10
Eine Rampe aus Beton hat als Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck: 4 m lang und 1,5 m hoch. Die Rampe ist 1,5 m breit. Wie viel Beton braucht man?
So fängst du an:
Grundfläche: 4 · 1,5 : 2 = 3
Lösung zeigen
1. Grundfläche: 4 · 1,5 : 2 = 3
2. V = 3 · 1,5 = 4,5
Ergebnis:
4,5 m³
●11
Ein Graben ist oben 6 m breit, unten 3 m breit, 1,5 m tief und 50 m lang. Wie viel Erde wird ausgehoben?
Lösung zeigen
1. Grundfläche ist ein Trapez: (3 + 6) : 2 · 1,5 = 6,75
2. V = G · Länge = 6,75 · 50 = 337,5
Ergebnis:
337,5 m³
★12
Eine Dachrinne hat als Querschnitt ein Trapez: unten 6 cm, oben 12 cm breit, 8 cm tief. Sie ist 3 m lang. Wie viele Liter Regenwasser passen hinein?
Lösung zeigen
1. Grundfläche: (6 + 12) : 2 · 8 = 72
2. Länge in cm: 300. V = 72 · 300 = 21.600, also 21.600 cm³.
3. 21.600 cm³ = 21,6 l
Ergebnis:
21,6 l

5Ich berechne Füllmengen und Füllzeiten.

EntdeckenFrage

Warum passen in einen Würfel mit 10 cm Kante genau 1000 Würfelzucker von 1 cm Kante?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In jeder Richtung liegen 10 Stück: 10 · 10 · 10 = 1000. Außen sieht man aber nur 6 · 100 = 600 kleine Quadrate. Die Kante wurde 10-mal so lang, das Volumen 1000-mal so groß und die Oberfläche nur 100-mal.

MerkenFüllmenge und Füllzeit

Die Füllzeit ist das Volumen geteilt durch den Zufluss je Minute.

Vorher umrechnen: 1 m³ = 1000 l und 1 dm³ = 1 l. Beispiel: 2000 l bei 40 l je Minute dauern 50 Minuten.

BeispielFüllmengen und Füllzeiten

Ein Planschbecken (Quader) ist 3 m lang, 2 m breit und wird 0,5 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 40 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?

Schritt für Schritt

V = 3 · 2 · 0,5 = 3, also 3 m³ = 3000 l.
Zeit: 3000 : 40 = 75 min
Das sind etwa 1 h 15 min.

V = 3 · 2 · 0,5 = 3, also 3 m³ = 3000 l.
Zeit: 3000 : 40 = 75 min
Das sind etwa 1 h 15 min.

Ergebnis:

etwa 1 h 15 min

AchtungEinheiten bei Liter, Zeit oder Dichte vermischt

So nicht

Becken 4 m · 2 m · 1 m, 20 l je Minute: 8 : 20 = 0,4 min

So richtig

8 m³ = 8000 l, also 8000 : 20 = 400 min

1 dm³ = 1 l und 1 m³ = 1000 l. Bei der Dichte müssen Volumen und Dichte dieselbe Einheit haben, cm³ zu g/cm³.

ÜbenJetzt du

○13
Eine quaderförmige Regentonne ist innen 100 cm lang, 40 cm breit und 80 cm hoch. Bei Regen fließen 2 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
So fängst du an:
V = 100 · 40 · 80 = 320.000, also 320.000 cm³ = 320 l.
Lösung zeigen
1. V = 100 · 40 · 80 = 320.000, also 320.000 cm³ = 320 l.
2. 320 : 2 = 160
Ergebnis:
160 min
●14
Eine quaderförmige Regentonne ist innen 80 cm lang, 40 cm breit und 60 cm hoch. Bei Regen fließen 5 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
Lösung zeigen
1. V = 80 · 40 · 60 = 192.000, also 192.000 cm³ = 192 l.
2. 192 : 5 ≈ 38,4
Ergebnis:
etwa 38,4 min
★15
Eine quaderförmige Regentonne ist innen 60 cm lang, 50 cm breit und 80 cm hoch. Bei Regen fließen 2 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
Lösung zeigen
1. V = 60 · 50 · 80 = 240.000, also 240.000 cm³ = 240 l.
2. 240 : 2 = 120
Ergebnis:
120 min

6Ich berechne die Masse eines Körpers mit der Dichte.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Eimer voll Sand so viel schwerer als derselbe Eimer voll Wasser?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Volumen ist gleich, die Dichte nicht. Wasser hat etwa 1 kg je Liter, trockener Sand etwa 1,5 kg je Liter. Ein 10-Liter-Eimer wiegt mit Wasser etwa 10 kg, mit Sand etwa 15 kg.

MerkenMasse und Dichte

Die Masse ist Dichte mal Volumen.

Beton hat etwa 2,4 g/cm³, ein Stein mit 1000 cm³ wiegt also 2400 g. In g/cm³ und t/m³ steht dieselbe Zahl.

BeispielMasse eines Körpers aus Volumen und Dichte

Ein Betonsockel besteht aus einem Quader (3 m · 2 m · 1 m) und einem Quader darauf (1 m · 2 m · 1 m). Beton hat etwa die Dichte 2,4 t/m³. Wie viele Tonnen wiegt der Sockel?

Schritt für Schritt

V = 3 · 2 · 1 + 1 · 2 · 1 = 8, also 8 m³.
m = 2,4 · 8 = 19,2, also 19,2 t.

V = 3 · 2 · 1 + 1 · 2 · 1 = 8, also 8 m³.
m = 2,4 · 8 = 19,2, also 19,2 t.

Ergebnis:

19,2 t

ÜbenJetzt du

○16
Ein Quader aus Aluminium ist 5 cm · 2 cm · 5 cm groß. Aluminium hat die Dichte 2,7 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
So fängst du an:
V = 5 · 2 · 5 = 50, also 50 cm³.
Lösung zeigen
1. V = 5 · 2 · 5 = 50, also 50 cm³.
2. m = 2,7 · 50 = 135, also 135 g.
Ergebnis:
135 g
●17
Ein Quader aus Beton ist 10 cm · 2 cm · 2 cm groß. Beton hat die Dichte 2,4 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
Lösung zeigen
1. V = 10 · 2 · 2 = 40, also 40 cm³.
2. m = 2,4 · 40 = 96, also 96 g.
Ergebnis:
96 g
★18
Ein Quader aus Eichenholz ist 10 cm · 2 cm · 20 cm groß. Eichenholz hat die Dichte 0,7 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
Lösung zeigen
1. V = 10 · 2 · 20 = 400, also 400 cm³.
2. m = 0,7 · 400 = 280, also 280 g.
Ergebnis:
280 g

7Ich untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn die Kanten wachsen.

EntdeckenFrage

Ein Spielwürfel wird in jeder Richtung doppelt so groß gebaut. Braucht man dann doppelt so viel Kunststoff?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein, achtmal so viel. Das Volumen wächst mit 2 · 2 · 2 = 8. Die Oberfläche wächst nur mit 2 · 2 = 4. Wer den großen Würfel lackiert, braucht also viermal so viel Farbe.

MerkenKanten wachsen

Doppelte Kante heißt vierfache Oberfläche und achtfaches Volumen.

Die Fläche wächst in zwei Richtungen, das Volumen in drei. Dreifache Kante ergibt 9 und 27.

BeispielKanten wachsen: Oberfläche und Volumen

Ein Quader ist 3 cm · 2 cm · 1 cm groß. Jede Kante wird 3-mal so lang. Wie ändern sich Oberfläche und Volumen?

Schritt für Schritt

Vorher: O = 2 · (6 + 3 + 2) = 22, V = 3 · 2 · 1 = 6
Nachher: Kanten 9, 6, 3. O = 198, V = 162
Vergleich: 198 : 22 = 9 und 162 : 6 = 27

Vorher: O = 2 · (6 + 3 + 2) = 22, V = 3 · 2 · 1 = 6
Nachher: Kanten 9, 6, 3. O = 198, V = 162
Vergleich: 198 : 22 = 9 und 162 : 6 = 27

Ergebnis:

Oberfläche mal 9, Volumen mal 27

AchtungMit der Kante nur verdoppelt statt quadriert oder hoch drei

So nicht

Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 27 cm³ · 2 = 54 cm³

So richtig

Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 6 · 6 · 6 = 216 cm³ = 27 cm³ · 8

Kante mal 2: Die Fläche wächst in zwei Richtungen, also mal 4. Das Volumen in drei, also mal 8.

ÜbenJetzt du

○19
Emre sagt: „3-fache Kanten, 3-faches Volumen.“ Prüfe am Quader 4 cm · 1 cm · 4 cm.
So fängst du an:
Vorher: O = 2 · (4 + 16 + 4) = 48, V = 4 · 1 · 4 = 16
Lösung zeigen
1. Vorher: O = 2 · (4 + 16 + 4) = 48, V = 4 · 1 · 4 = 16
2. Nachher: Kanten 12, 3, 12. O = 432, V = 432
3. Vergleich: 432 : 48 = 9 und 432 : 16 = 27
Ergebnis:
Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9
●20
Mira sagt: „3-fache Kanten, 3-faches Volumen.“ Prüfe am Quader 4 cm · 1 cm · 2 cm.
Lösung zeigen
1. Vorher: O = 2 · (4 + 8 + 2) = 28, V = 4 · 1 · 2 = 8
2. Nachher: Kanten 12, 3, 6. O = 252, V = 216
3. Vergleich: 252 : 28 = 9 und 216 : 8 = 27
Ergebnis:
Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9
★21
Ein Würfelzucker hat die Kante 1 cm. Aus Würfelzuckern wird ein großer Würfel mit der Kante 4 cm gebaut. Wie viele Stücke braucht man? Wie viel mehr Fläche hat er außen?
Lösung zeigen
1. Stücke: 4 · 4 · 4 = 64
2. Oberfläche klein: 6 · 1 = 6. Groß: 6 · 16 = 96
3. 96 : 6 = 16
Ergebnis:
64 Stücke; 16-mal so viel Fläche

8Ich vergleiche Verpackungen nach Volumen und Materialverbrauch.

EntdeckenFrage

Ein Liter Saft passt in einen Würfel mit 10 cm Kante oder in eine Schachtel mit 5 cm, 10 cm und 20 cm. Was braucht weniger Pappe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beide fassen 1000 cm³, also einen Liter. Der Würfel hat 6 · 100 = 600 cm² Oberfläche. Die schmale Schachtel hat 2 · (50 + 100 + 200) = 700 cm². Der Würfel spart ein Siebtel der Pappe.

MerkenSparsame Verpackung

Gleiches Volumen heißt nicht gleiche Oberfläche.

Je würfelähnlicher ein Quader ist, desto weniger Material braucht er. Bei 1000 cm³ braucht der Würfel 600 cm², der Quader 20 · 10 · 5 braucht 700 cm².

BeispielZwei Verpackungen mit gleichem Inhalt vergleichen

Welche Versandkarton hat bei gleichem Inhalt die kleinere Oberfläche: A (20 cm · 5 cm · 4 cm) oder B (10 cm · 8 cm · 5 cm)? Um wie viel?

Schritt für Schritt

Volumen: 20 · 5 · 4 = 400 und 10 · 8 · 5 = 400
O(A) = 2 · (100 + 80 + 20) = 400
O(B) = 2 · (80 + 50 + 40) = 340

Volumen: 20 · 5 · 4 = 400 und 10 · 8 · 5 = 400
O(A) = 2 · (100 + 80 + 20) = 400
O(B) = 2 · (80 + 50 + 40) = 340

Ergebnis:

B braucht 60 cm² weniger Pappe

ÜbenJetzt du

○22
Eine Firma will Pappe sparen. Sie vergleicht zwei Formen für dieselbe Müslipackung: A 6 · 6 · 6 und B 12 · 6 · 3, alles in cm. Welche Form nimmt sie?
So fängst du an:
Volumen: 6 · 6 · 6 = 216 und 12 · 6 · 3 = 216
Lösung zeigen
1. Volumen: 6 · 6 · 6 = 216 und 12 · 6 · 3 = 216
2. O(A) = 2 · (36 + 36 + 36) = 216
3. O(B) = 2 · (72 + 36 + 18) = 252
Ergebnis:
A braucht 36 cm² weniger Pappe
●23
Eine Firma will Pappe sparen. Sie vergleicht zwei Formen für denselben Saftkarton: A 6 · 6 · 6 und B 12 · 6 · 3, alles in cm. Welche Form nimmt sie?
Lösung zeigen
1. Volumen: 6 · 6 · 6 = 216 und 12 · 6 · 3 = 216
2. O(A) = 2 · (36 + 36 + 36) = 216
3. O(B) = 2 · (72 + 36 + 18) = 252
Ergebnis:
A braucht 36 cm² weniger Pappe
★24
Eine Firma will Pappe sparen. Sie vergleicht zwei Formen für denselben Saftkarton: A 8 · 8 · 8 und B 16 · 8 · 4, alles in cm. Welche Form nimmt sie?
Lösung zeigen
1. Volumen: 8 · 8 · 8 = 512 und 16 · 8 · 4 = 512
2. O(A) = 2 · (64 + 64 + 64) = 384
3. O(B) = 2 · (128 + 64 + 32) = 448
Ergebnis:
A braucht 64 cm² weniger Pappe

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Zerlege den Körper im Bild in zwei Quader und berechne das Volumen. Der untere ist 8 cm lang.
Lösung zeigen
1. Unterer Quader: 8 · 7 · 3 = 168
2. Oberer Quader: 4 · 7 · 6 = 168
3. V = 168 + 168 = 336, also 336 cm³.
Ergebnis:
336 cm³
●26
Ein Spielhaus ist 6 dm breit, 6 dm lang und bis zum Dach 4 dm hoch. Das Dach ist 2 dm hoch. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
1. Quader: 6 · 6 · 4 = 144
2. Dach: Grundfläche 6 · 2 : 2 = 6, Volumen 6 · 6 = 36
3. V = 144 + 36 = 180, also 180 dm³.
Ergebnis:
180 dm³
●27
Ein Holzklotz ist 11 dm lang, 9 dm breit und 6 dm hoch. Senkrecht hindurch geht ein rechteckiges Loch, 2 dm mal 3 dm. Wie groß ist das Volumen des Klotzes?
Lösung zeigen
1. Voller Quader: 11 · 9 · 6 = 594
2. Loch: 2 · 3 · 6 = 36
3. V = 594 − 36 = 558
Ergebnis:
558 dm³
●28
Ein Holzkiste ist außen 50 cm lang, 24 cm breit und 30 cm hoch, oben offen. Wände und Boden sind 5 cm dick. Wie viele Liter Erde passen hinein?
Lösung zeigen
1. Innen: 50 − 2 · 5 = 40, 24 − 2 · 5 = 14, 30 − 5 = 25
2. Innenvolumen: 40 · 14 · 25 = 14.000, also 14.000 cm³.
3. 14.000 cm³ = 14 l
Ergebnis:
14 l
●29
Auf einem Quader (9 cm · 6 cm · 3 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 4 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
Lösung zeigen
1. Quader: 2 · (54 + 27 + 18) = 198
2. Würfel: 6 · 16 = 96
3. Berührfläche fällt zweimal weg: 198 + 96 − 2 · 16 = 262
Ergebnis:
262 cm²
●30
Eine Schachtel ohne Deckel wird aus Pappe gefaltet: 22 cm lang, 17 cm breit, 17 cm hoch. Wie viel Pappe braucht man ohne Klebelaschen?
Lösung zeigen
1. Boden: 22 · 17 = 374
2. Wände: 2 · 22 · 17 + 2 · 17 · 17 = 1326
3. Pappe: 374 + 1326 = 1700
Ergebnis:
1700 cm²

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zerlegen in Teilkörper: Einen zusammengesetzten Körper zerlegt man in Quader und Prismen und addiert ihre Volumen.
Aussparungen abziehen: Fehlt ein Stück, rechnet man den vollen Quader und zieht das Stück ab.
Oberfläche und Berührfläche: Addiere die Oberflächen der Teilkörper und ziehe die Berührfläche zweimal ab.
Prismen im Alltag: Bei jedem Prisma gilt: Grundfläche mal Höhe.
Füllmenge und Füllzeit: Die Füllzeit ist das Volumen geteilt durch den Zufluss je Minute.
Masse und Dichte: Die Masse ist Dichte mal Volumen.
Kanten wachsen: Doppelte Kante heißt vierfache Oberfläche und achtfaches Volumen.
Sparsame Verpackung: Gleiches Volumen heißt nicht gleiche Oberfläche.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich zerlege zusammengesetzte Körper in Quader und Prismen und berechne das Volumen.
31
Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 7 cm · 5 cm · 2 cm, oben 2 cm · 5 cm · 2 cm. Berechne sein Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
90 cm³
Ich berechne das Volumen von Körpern mit Aussparungen.
32
Von einem Quader (8 dm lang, 7 dm breit, 6 dm hoch) wird an einer Ecke ein Würfel mit der Kante 3 dm abgesägt. Welches Volumen bleibt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
309 dm³
Ich berechne die Oberfläche zusammengesetzter Körper.
33
Ein Siegerpodest besteht aus einem Quader (6 dm · 6 dm · 2 dm) und einem Würfel (Kante 3 dm) obendrauf. Wie viel Fläche wird gestrichen, wenn auch der Boden Farbe bekommt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
156 dm²
Ich berechne Prismen mit Trapez- und Dreiecksgrundfläche aus dem Alltag.
34
Ein Graben ist oben 4 m breit, unten 3 m breit, 1 m tief und 10 m lang. Wie viel Erde wird ausgehoben?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 m³
Ich berechne Füllmengen und Füllzeiten.
35
Eine quaderförmige Regentonne ist innen 80 cm lang, 40 cm breit und 80 cm hoch. Bei Regen fließen 2 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
Lösung zeigen
Ergebnis:
128 min
Ich berechne die Masse eines Körpers mit der Dichte.
36
Ein Betonsockel besteht aus einem Quader (2 m · 2 m · 1 m) und einem Quader darauf (1 m · 2 m · 1 m). Beton hat etwa die Dichte 2,4 t/m³. Wie viele Tonnen wiegt der Sockel?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14,4 t
Ich untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn die Kanten wachsen.
37
Ein Quader ist 2 cm · 1 cm · 1 cm groß. Jede Kante wird 3-mal so lang. Wie ändern sich Oberfläche und Volumen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Oberfläche mal 9, Volumen mal 27
Ich vergleiche Verpackungen nach Volumen und Materialverbrauch.
38
Welche Geschenkschachtel hat bei gleichem Inhalt die kleinere Oberfläche: A (10 cm · 10 cm · 10 cm) oder B (20 cm · 10 cm · 5 cm)? Um wie viel?
Lösung zeigen
Ergebnis:
A braucht 100 cm² weniger Pappe

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Zerlegen: Der Körper wird in Quader geteilt, deren Volumen man kennt.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Planschbecken füllen, Umzugskartons packen und das Hochbeet mit Erde füllen. Beruf: Beton bestellen auf dem Bau, Verpackungen entwerfen, Ladung im Lager und in der Spedition berechnen.

Wörter

Grundfläche: die Fläche, auf der der Körper steht
Oberfläche: alle Außenseiten zusammen
Volumen: wie viel hineinpasst

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Körper zeichnen und berechnen, Flächeninhalt und Volumen, Größen im Beruf, Zusammengesetzte Körper

Lösungen

180 cm³
168 cm³
468 l
328 dm³
363 dm³
360 cm³
438 dm²
254 cm²
424 cm²
4,5 m³
337,5 m³
21,6 l
160 min
etwa 38,4 min
120 min
135 g
96 g
280 g
Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9
Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9
64 Stücke; 16-mal so viel Fläche
A braucht 36 cm² weniger Pappe
A braucht 36 cm² weniger Pappe
A braucht 64 cm² weniger Pappe
336 cm³
180 dm³
558 dm³
14 l
262 cm²
1700 cm²
90 cm³
309 dm³
156 dm²
35 m³
128 min
14,4 t
Oberfläche mal 9, Volumen mal 27
A braucht 100 cm² weniger Pappe
V = 90 cm³
300 cm³