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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Betonsockel hat die Form eines L. Unten ist er 8 dm lang, 3 dm breit und 2 dm hoch. Links steht darauf ein Teil mit 3 dm Länge und 4 dm Höhe. Wie viele Liter Beton braucht man? Länge mal Breite mal Höhe passt nicht.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Manche multiplizieren die größten Maße und kommen auf zu viel, andere nehmen irgendwelche drei Zahlen aus dem Bild. Es kommen fünf verschiedene Ergebnisse heraus, und niemand weiß, welche Länge zu welcher Höhe gehört. Eine Formel für das L gibt es nicht, aber zwei Quader. Wir ziehen eine Trennlinie, schreiben zu jedem Teil seine drei Maße und addieren. Wer anders zerlegt, muss auf dasselbe Ergebnis kommen – das ist die Probe.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Volumen zählt Würfel, Oberfläche zählt Quadrate auf der Hülle.

  1. ●39
    Ein Quader hat die Kanten 2 cm, 4 cm und 6 cm. Berechne Volumen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    V = 48 cm³
  2. ●40
    Ein Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck mit Grundseite 6 cm und Höhe 7 cm. Das Prisma ist 7 cm hoch. Volumen?
    Lösung zeigen
    1. G = g · h : 2 = 6 · 7 : 2 = 21 cm²
    2. V = G · h = 21 · 7 = 147 cm³
    Ergebnis:
    147 cm³

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Körper ist die Summe seiner Teile

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus Quadern und Prismen, die man kennt. Sein Volumen ist die Summe der Teilvolumen, und was fehlt, wird abgezogen. Die Oberfläche ist die Summe der Flächen, die man von außen sieht.

Ein Quader, aus dem ein kleiner Quader fehlt: Volumen ist großes Volumen minus fehlendesfehltgroßer QuaderV = V(groß)− V(fehlt)

WeiterdenkenDenk nach

Warum wird die Oberfläche kleiner, wenn zwei Quader mit einer Fläche aneinanderstoßen, das Volumen aber nicht?

1Ich zerlege zusammengesetzte Körper in Quader und Prismen und berechne das Volumen.

EntdeckenFrage

Könntest du einen Würfel aus Wasser mit 1 m Kantenlänge hochheben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Würfel hat 1 m · 1 m · 1 m = 1 m³, das sind 1000 Liter. Ein Liter Wasser wiegt etwa 1 kg, der Würfel also rund 1000 kg, eine Tonne. So viel wiegt ein kleines Auto.

MerkenZerlegen in Teilkörper

Einen zusammengesetzten Körper zerlegt man in Quader und Prismen und addiert ihre Volumen.

Beispiel: 6 · 4 · 2 + 3 · 4 · 3 = 48 + 36 = 84 cm³.

BeispielVolumen durch Zerlegen in Quader

Ein Werkstück aus Holz hat die Form im Bild. Es ist 8 dm tief. Wie groß ist sein Volumen?
5 dm8 dm4 dm3 dm6 dm?
Schritt für Schritt
  1. Unterer Quader: 5 · 8 · 4 = 160
  2. Oberer Quader: 3 · 8 · 6 = 144
  3. V = 160 + 144 = 304, also 304 dm³.
  1. Unterer Quader: 5 · 8 · 4 = 160
  2. Oberer Quader: 3 · 8 · 6 = 144
  3. V = 160 + 144 = 304, also 304 dm³.
Ergebnis:
304 dm³

AchtungTeilkörper falsch zerlegt oder Dreieck nicht halbiert

So nicht
Haus 4 m breit, 6 m lang, Wände 3 m, Dach 2 m hoch: V = 4 · 6 · 3 + 4 · 2 · 6 = 120 m³
So richtig
Dach halbieren: 4 · 6 · 3 + 4 · 2 : 2 · 6 = 72 + 24 = 96 m³

Zeichne die Trennlinie ins Bild und schreibe zu jedem Teilkörper seine drei Maße. Beim Dreieck als Grundfläche durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 10 cm · 3 cm · 2 cm, oben 4 cm · 3 cm · 3 cm. Berechne sein Volumen.
    10 cm3 cm2 cm4 cm3 cm?
    So fängst du an:
    Unterer Quader: 10 · 3 · 2 = 60
    Lösung zeigen
    1. Unterer Quader: 10 · 3 · 2 = 60
    2. Oberer Quader: 4 · 3 · 3 = 36
    3. V = 60 + 36 = 96, also 96 cm³.
    Ergebnis:
    96 cm³
  2. ●2
    Ein Werkstück aus Holz hat die Form im Bild. Es ist 7 cm tief. Wie groß ist sein Volumen?
    11 cm7 cm2 cm2 cm3 cm?
    Lösung zeigen
    1. Unterer Quader: 11 · 7 · 2 = 154
    2. Oberer Quader: 2 · 7 · 3 = 42
    3. V = 154 + 42 = 196, also 196 cm³.
    Ergebnis:
    196 cm³
  3. ★3
    Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 8 cm · 5 cm · 1 cm, oben 2 cm · 5 cm · 5 cm. Berechne sein Volumen.
    8 cm5 cm1 cm2 cm5 cm?
    Lösung zeigen
    1. Unterer Quader: 8 · 5 · 1 = 40
    2. Oberer Quader: 2 · 5 · 5 = 50
    3. V = 40 + 50 = 90, also 90 cm³.
    Ergebnis:
    90 cm³

2Ich berechne das Volumen von Körpern mit Aussparungen.

EntdeckenFrage

Warum sieht man von einem Eisberg nur die Spitze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eis hat etwa die Dichte 0,92 g/cm³, Meerwasser etwa 1,03 g/cm³. Ein schwimmender Körper taucht so tief ein, bis das verdrängte Wasser so viel wiegt wie er selbst. 0,92 : 1,03 ≈ 0,89, also liegen fast 90 Prozent unter Wasser.

MerkenAussparungen abziehen

Fehlt ein Stück, rechnet man den vollen Quader und zieht das Stück ab.

Beispiel: 10 · 6 · 4 − 2 · 2 · 4 = 240 − 16 = 224 cm³.

BeispielVolumen mit Aussparung: ergänzen und abziehen

Aus einem Quader (9 dm · 6 dm · 8 dm) wird an einer Ecke ein Stück herausgeschnitten, 6 dm breit und 5 dm hoch, durch die ganze Tiefe. Berechne das Volumen des Reststücks.
9 dm6 dm8 dm?
Schritt für Schritt
  1. Ergänzen zum großen Quader: 9 · 6 · 8 = 432
  2. Das fehlende Stück: 6 · 6 · 5 = 180
  3. V = 432 − 180 = 252
  1. Ergänzen zum großen Quader: 9 · 6 · 8 = 432
  2. Das fehlende Stück: 6 · 6 · 5 = 180
  3. V = 432 − 180 = 252
Ergebnis:
252 dm³

AchtungAussparung oder Wandstärke falsch abgezogen

So nicht
Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 48 · 28 · 18 = 24.192 cm³
So richtig
Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 46 · 26 · 18 = 21.528 cm³

Voller Körper minus Loch. Bei Länge und Breite sind es zwei Wände, in der Höhe beim offenen Kasten nur der Boden.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Von einem Quader (10 cm lang, 7 cm breit, 8 cm hoch) wird an einer Ecke ein Würfel mit der Kante 2 cm abgesägt. Welches Volumen bleibt?
    gegebengesucht10 cm7 cm8 cm2 cm?
    So fängst du an:
    Quader: 10 · 7 · 8 = 560
    Lösung zeigen
    1. Quader: 10 · 7 · 8 = 560
    2. Würfel: 2 · 2 · 2 = 8
    3. V = 560 − 8 = 552
    Ergebnis:
    552 cm³
  2. ●5
    Von einem Quader (8 cm lang, 8 cm breit, 9 cm hoch) wird an einer Ecke ein Würfel mit der Kante 3 cm abgesägt. Welches Volumen bleibt?
    gegebengesucht8 cm9 cm3 cm?
    Lösung zeigen
    1. Quader: 8 · 8 · 9 = 576
    2. Würfel: 3 · 3 · 3 = 27
    3. V = 576 − 27 = 549
    Ergebnis:
    549 cm³
  3. ★6
    Aus einem Quader (8 dm · 6 dm · 7 dm) wird an einer Ecke ein Stück herausgeschnitten, 5 dm breit und 5 dm hoch, durch die ganze Tiefe. Berechne das Volumen des Reststücks.
    8 dm6 dm7 dm?
    Lösung zeigen
    1. Ergänzen zum großen Quader: 8 · 6 · 7 = 336
    2. Das fehlende Stück: 5 · 6 · 5 = 150
    3. V = 336 − 150 = 186
    Ergebnis:
    186 dm³

3Ich berechne die Oberfläche zusammengesetzter Körper.

EntdeckenFrage

Wie lange füllt ein Gartenschlauch ein Schwimmbecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Becken mit 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe fasst 2500 m³, also 2,5 Millionen Liter. Liefert der Schlauch 20 Liter in der Minute, dauert es 125.000 Minuten. Das sind fast 87 Tage ohne Pause.

MerkenOberfläche und Berührfläche

Addiere die Oberflächen der Teilkörper und ziehe die Berührfläche zweimal ab.

Sie ist bei beiden Teilen verschwunden. Beispiel: 184 + 24 − 2 · 4 = 200 cm².

BeispielOberfläche zusammengesetzter Körper

Ein Siegerpodest besteht aus einem Quader (6 dm · 10 dm · 2 dm) und einem Würfel (Kante 3 dm) obendrauf. Wie viel Fläche wird gestrichen, wenn auch der Boden Farbe bekommt?
61023
Schritt für Schritt
  1. Quader: 2 · (60 + 12 + 20) = 184
  2. Würfel: 6 · 9 = 54
  3. Berührfläche fällt zweimal weg: 184 + 54 − 2 · 9 = 220
  1. Quader: 2 · (60 + 12 + 20) = 184
  2. Würfel: 6 · 9 = 54
  3. Berührfläche fällt zweimal weg: 184 + 54 − 2 · 9 = 220
Ergebnis:
220 dm²

AchtungTeilflächen vergessen oder zu viel gezählt

So nicht
Würfel (Kante 2 cm) auf Quader 8 · 6 · 2 cm: O = 152 + 24 − 4 = 172 cm²
So richtig
Berührfläche zweimal weg: O = 152 + 24 − 2 · 4 = 168 cm²

Zähle jede Fläche einzeln auf. Die Berührfläche fällt bei beiden Teilkörpern weg, beim offenen Kasten fehlt der Deckel.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Auf einem Quader (10 cm · 6 cm · 4 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 4 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
    10644
    So fängst du an:
    Quader: 2 · (60 + 40 + 24) = 248
    Lösung zeigen
    1. Quader: 2 · (60 + 40 + 24) = 248
    2. Würfel: 6 · 16 = 96
    3. Berührfläche fällt zweimal weg: 248 + 96 − 2 · 16 = 312
    Ergebnis:
    312 cm²
  2. ●8
    Ein Siegerpodest besteht aus einem Quader (8 dm · 6 dm · 3 dm) und einem Würfel (Kante 2 dm) obendrauf. Wie viel Fläche wird gestrichen, wenn auch der Boden Farbe bekommt?
    8632
    Lösung zeigen
    1. Quader: 2 · (48 + 24 + 18) = 180
    2. Würfel: 6 · 4 = 24
    3. Berührfläche fällt zweimal weg: 180 + 24 − 2 · 4 = 196
    Ergebnis:
    196 dm²
  3. ★9
    Zwei Quader gleicher Tiefe (5 cm) stehen dicht nebeneinander: 3 cm breit und 2 cm hoch, daneben 4 cm breit und 4 cm hoch. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
    34524
    Lösung zeigen
    1. Kleiner Quader: 2 · (15 + 6 + 10) = 62
    2. Großer Quader: 2 · (20 + 16 + 20) = 112
    3. Berührfläche 5 · 2 = 10 zweimal weg: 62 + 112 − 20 = 154
    Ergebnis:
    154 cm²

4Ich berechne Prismen mit Trapez- und Dreiecksgrundfläche aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

Warum frieren kleine Tiere wie Mäuse schneller als große Tiere wie Elefanten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wärme geht über die Oberfläche verloren, gespeichert wird sie im Volumen. Denk dir die Tiere als Würfel: Kante mal 10 heißt Oberfläche mal 100, aber Volumen mal 1000. Das große Tier hat je Kubikzentimeter viel weniger Haut, durch die Wärme entweicht.

MerkenPrismen im Alltag

Bei jedem Prisma gilt: Grundfläche mal Höhe.

Die Grundfläche ist der Querschnitt, sie steht oft vorne und nicht unten. Graben: (2 + 4) : 2 · 1 = 3 m², mal 10 m Länge ergibt 30 m³.

BeispielPrismen im Alltag: Graben, Deich, Rampe, Dachrinne

Ein Deich ist unten 5 m breit, oben 4 m breit, 2 m hoch und 10 m lang. Wie viel Erde steckt im Deich?
5 m4 m2 m?
Schritt für Schritt
  1. Grundfläche ist ein Trapez: (4 + 5) : 2 · 2 = 9
  2. V = G · Länge = 9 · 10 = 90
  1. Grundfläche ist ein Trapez: (4 + 5) : 2 · 2 = 9
  2. V = G · Länge = 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90 m³

AchtungNoch einmal: Teilkörper falsch zerlegt oder Dreieck nicht halbiert

So nicht
Haus 4 m breit, 6 m lang, Wände 3 m, Dach 2 m hoch: V = 4 · 6 · 3 + 4 · 2 · 6 = 120 m³
So richtig
Dach halbieren: 4 · 6 · 3 + 4 · 2 : 2 · 6 = 72 + 24 = 96 m³

Zeichne die Trennlinie ins Bild und schreibe zu jedem Teilkörper seine drei Maße. Beim Dreieck als Grundfläche durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Deich ist unten 6 m breit, oben 5 m breit, 1 m hoch und 20 m lang. Wie viel Erde steckt im Deich?
    6 m5 m1 m?
    So fängst du an:
    Grundfläche ist ein Trapez: (5 + 6) : 2 · 1 = 5,5
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche ist ein Trapez: (5 + 6) : 2 · 1 = 5,5
    2. V = G · Länge = 5,5 · 20 = 110
    Ergebnis:
    110 m³
  2. ●11
    Ein Deich ist unten 3 m breit, oben 2 m breit, 1,5 m hoch und 10 m lang. Wie viel Erde steckt im Deich?
    3 m2 m1,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche ist ein Trapez: (2 + 3) : 2 · 1,5 = 3,75
    2. V = G · Länge = 3,75 · 10 = 37,5
    Ergebnis:
    37,5 m³
  3. ★12
    Eine Rampe aus Beton hat als Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck: 5 m lang und 0,5 m hoch. Die Rampe ist 1 m breit. Wie viel Beton braucht man?
    5 m0,5 m1 m
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche: 5 · 0,5 : 2 = 1,25
    2. V = 1,25 · 1 = 1,25
    Ergebnis:
    1,25 m³

5Ich berechne Füllmengen und Füllzeiten.

EntdeckenFrage

Warum passen in einen Würfel mit 10 cm Kante genau 1000 Würfelzucker von 1 cm Kante?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In jeder Richtung liegen 10 Stück: 10 · 10 · 10 = 1000. Außen sieht man aber nur 6 · 100 = 600 kleine Quadrate. Die Kante wurde 10-mal so lang, das Volumen 1000-mal so groß und die Oberfläche nur 100-mal.

MerkenFüllmenge und Füllzeit

Die Füllzeit ist das Volumen geteilt durch den Zufluss je Minute.

Vorher umrechnen: 1 m³ = 1000 l und 1 dm³ = 1 l. Beispiel: 2000 l bei 40 l je Minute dauern 50 Minuten.

BeispielFüllmengen und Füllzeiten

Eine quaderförmige Regentonne ist innen 60 cm lang, 50 cm breit und 80 cm hoch. Bei Regen fließen 2 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
gegebengesucht60 cm50 cm80 cm2 Liter?
Schritt für Schritt
  1. V = 60 · 50 · 80 = 240.000, also 240.000 cm³ = 240 l.
  2. 240 : 2 = 120
  1. V = 60 · 50 · 80 = 240.000, also 240.000 cm³ = 240 l.
  2. 240 : 2 = 120
Ergebnis:
120 min

AchtungEinheiten bei Liter, Zeit oder Dichte vermischt

So nicht
Becken 4 m · 2 m · 1 m, 20 l je Minute: 8 : 20 = 0,4 min
So richtig
8 m³ = 8000 l, also 8000 : 20 = 400 min

1 dm³ = 1 l und 1 m³ = 1000 l. Bei der Dichte müssen Volumen und Dichte dieselbe Einheit haben, cm³ zu g/cm³.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Planschbecken (Quader) ist 2 m lang, 2 m breit und wird 0,5 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 25 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?
    2 m2 m0,5 m
    So fängst du an:
    V = 2 · 2 · 0,5 = 2, also 2 m³ = 2000 l.
    Lösung zeigen
    1. V = 2 · 2 · 0,5 = 2, also 2 m³ = 2000 l.
    2. Zeit: 2000 : 25 = 80 min
    3. Das sind etwa 1 h 20 min.
    Ergebnis:
    etwa 1 h 20 min
  2. ●14
    Eine quaderförmige Regentonne ist innen 80 cm lang, 50 cm breit und 50 cm hoch. Bei Regen fließen 2 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
    gegebengesucht80 cm50 cm2 Liter?
    Lösung zeigen
    1. V = 80 · 50 · 50 = 200.000, also 200.000 cm³ = 200 l.
    2. 200 : 2 = 100
    Ergebnis:
    100 min
  3. ★15
    Eine quaderförmige Regentonne ist innen 80 cm lang, 40 cm breit und 60 cm hoch. Bei Regen fließen 5 Liter in der Minute hinein. Nach wie vielen Minuten ist sie voll?
    gegebengesucht80 cm40 cm60 cm5 Liter?
    Lösung zeigen
    1. V = 80 · 40 · 60 = 192.000, also 192.000 cm³ = 192 l.
    2. 192 : 5 ≈ 38,4
    Ergebnis:
    etwa 38,4 min

6Ich berechne die Masse eines Körpers mit der Dichte.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Eimer voll Sand so viel schwerer als derselbe Eimer voll Wasser?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Volumen ist gleich, die Dichte nicht. Wasser hat etwa 1 kg je Liter, trockener Sand etwa 1,5 kg je Liter. Ein 10-Liter-Eimer wiegt mit Wasser etwa 10 kg, mit Sand etwa 15 kg.

MerkenMasse und Dichte

Die Masse ist Dichte mal Volumen.

Beton hat etwa 2,4 g/cm³, ein Stein mit 1000 cm³ wiegt also 2400 g. In g/cm³ und t/m³ steht dieselbe Zahl.

BeispielMasse eines Körpers aus Volumen und Dichte

Ein Quader aus Glas ist 10 cm · 2 cm · 4 cm groß. Glas hat die Dichte 2,5 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
10 cm2 cm4 cm
Schritt für Schritt
  1. V = 10 · 2 · 4 = 80, also 80 cm³.
  2. m = 2,5 · 80 = 200, also 200 g.
  1. V = 10 · 2 · 4 = 80, also 80 cm³.
  2. m = 2,5 · 80 = 200, also 200 g.
Ergebnis:
200 g

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Betonsockel besteht aus einem Quader (4 m · 1 m · 0,5 m) und einem Quader darauf (1 m · 1 m · 1 m). Beton hat etwa die Dichte 2,4 t/m³. Wie viele Tonnen wiegt der Sockel?
    gegebengesucht4 m1 m0,5 m2,4 t?
    So fängst du an:
    V = 4 · 1 · 0,5 + 1 · 1 · 1 = 3, also 3 m³.
    Lösung zeigen
    1. V = 4 · 1 · 0,5 + 1 · 1 · 1 = 3, also 3 m³.
    2. m = 2,4 · 3 = 7,2, also 7,2 t.
    Ergebnis:
    7,2 t
  2. ●17
    Ein Quader aus Beton ist 4 cm · 5 cm · 20 cm groß. Beton hat die Dichte 2,4 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
    4 cm5 cm20 cm
    Lösung zeigen
    1. V = 4 · 5 · 20 = 400, also 400 cm³.
    2. m = 2,4 · 400 = 960, also 960 g.
    Ergebnis:
    960 g
  3. ★18
    Ein Quader aus Fichtenholz ist 10 cm · 5 cm · 20 cm groß. Fichtenholz hat die Dichte 0,5 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
    10 cm5 cm20 cm
    Lösung zeigen
    1. V = 10 · 5 · 20 = 1000, also 1000 cm³.
    2. m = 0,5 · 1000 = 500, also 500 g.
    Ergebnis:
    500 g

7Ich untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn die Kanten wachsen.

EntdeckenFrage

Ein Spielwürfel wird in jeder Richtung doppelt so groß gebaut. Braucht man dann doppelt so viel Kunststoff?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein, achtmal so viel. Das Volumen wächst mit 2 · 2 · 2 = 8. Die Oberfläche wächst nur mit 2 · 2 = 4. Wer den großen Würfel lackiert, braucht also viermal so viel Farbe.

MerkenKanten wachsen

Doppelte Kante heißt vierfache Oberfläche und achtfaches Volumen.

Die Fläche wächst in zwei Richtungen, das Volumen in drei. Dreifache Kante ergibt 9 und 27.

BeispielKanten wachsen: Oberfläche und Volumen

Sara sagt: „3-fache Kanten, 3-faches Volumen.“ Prüfe am Quader 4 cm · 1 cm · 3 cm.
gegebengesucht4 cm1 cm3 cm?
Schritt für Schritt
  1. Vorher: O = 2 · (4 + 12 + 3) = 38, V = 4 · 1 · 3 = 12
  2. Nachher: Kanten 12, 3, 9. O = 342, V = 324
  3. Vergleich: 342 : 38 = 9 und 324 : 12 = 27
  1. Vorher: O = 2 · (4 + 12 + 3) = 38, V = 4 · 1 · 3 = 12
  2. Nachher: Kanten 12, 3, 9. O = 342, V = 324
  3. Vergleich: 342 : 38 = 9 und 324 : 12 = 27
Ergebnis:
Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9

AchtungMit der Kante nur verdoppelt statt quadriert oder hoch drei

So nicht
Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 27 cm³ · 2 = 54 cm³
So richtig
Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 6 · 6 · 6 = 216 cm³ = 27 cm³ · 8

Kante mal 2: Die Fläche wächst in zwei Richtungen, also mal 4. Das Volumen in drei, also mal 8.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ben sagt: „3-fache Kanten, 3-faches Volumen.“ Prüfe am Quader 3 cm · 1 cm · 3 cm.
    gegebengesucht3 cm1 cm?
    So fängst du an:
    Vorher: O = 2 · (3 + 9 + 3) = 30, V = 3 · 1 · 3 = 9
    Lösung zeigen
    1. Vorher: O = 2 · (3 + 9 + 3) = 30, V = 3 · 1 · 3 = 9
    2. Nachher: Kanten 9, 3, 9. O = 270, V = 243
    3. Vergleich: 270 : 30 = 9 und 243 : 9 = 27
    Ergebnis:
    Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9
  2. ●20
    Ein Quader ist 4 cm · 1 cm · 4 cm groß. Jede Kante wird doppelt so lang. Wie ändern sich Oberfläche und Volumen?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: O = 2 · (4 + 16 + 4) = 48, V = 4 · 1 · 4 = 16
    2. Nachher: Kanten 8, 2, 8. O = 192, V = 128
    3. Vergleich: 192 : 48 = 4 und 128 : 16 = 8
    Ergebnis:
    Oberfläche mal 4, Volumen mal 8
  3. ★21
    Ben sagt: „10-fache Kanten, 10-faches Volumen.“ Prüfe am Quader 3 cm · 3 cm · 3 cm.
    Lösung zeigen
    1. Vorher: O = 2 · (9 + 9 + 9) = 54, V = 3 · 3 · 3 = 27
    2. Nachher: Kanten 30, 30, 30. O = 5400, V = 27.000
    3. Vergleich: 5400 : 54 = 100 und 27.000 : 27 = 1000
    Ergebnis:
    Nein: Volumen mal 1000, Oberfläche mal 100

8Ich vergleiche Verpackungen nach Volumen und Materialverbrauch.

EntdeckenFrage

Ein Liter Saft passt in einen Würfel mit 10 cm Kante oder in eine Schachtel mit 5 cm, 10 cm und 20 cm. Was braucht weniger Pappe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beide fassen 1000 cm³, also einen Liter. Der Würfel hat 6 · 100 = 600 cm² Oberfläche. Die schmale Schachtel hat 2 · (50 + 100 + 200) = 700 cm². Der Würfel spart ein Siebtel der Pappe.

MerkenSparsame Verpackung

Gleiches Volumen heißt nicht gleiche Oberfläche.

Je würfelähnlicher ein Quader ist, desto weniger Material braucht er. Bei 1000 cm³ braucht der Würfel 600 cm², der Quader 20 · 10 · 5 braucht 700 cm².

BeispielZwei Verpackungen mit gleichem Inhalt vergleichen

Zwei Versandkartons: A ist 8 cm · 8 cm · 8 cm, B ist 16 cm · 8 cm · 4 cm. Zeige, dass beide gleich viel fassen. Welche braucht weniger Pappe?
gegebengesucht8 cm16 cm4 cm?
Schritt für Schritt
  1. Volumen: 8 · 8 · 8 = 512 und 16 · 8 · 4 = 512
  2. O(A) = 2 · (64 + 64 + 64) = 384
  3. O(B) = 2 · (128 + 64 + 32) = 448
  1. Volumen: 8 · 8 · 8 = 512 und 16 · 8 · 4 = 512
  2. O(A) = 2 · (64 + 64 + 64) = 384
  3. O(B) = 2 · (128 + 64 + 32) = 448
Ergebnis:
A braucht 64 cm² weniger Pappe

AchtungNoch einmal: Teilflächen vergessen oder zu viel gezählt

So nicht
Würfel (Kante 2 cm) auf Quader 8 · 6 · 2 cm: O = 152 + 24 − 4 = 172 cm²
So richtig
Berührfläche zweimal weg: O = 152 + 24 − 2 · 4 = 168 cm²

Zähle jede Fläche einzeln auf. Die Berührfläche fällt bei beiden Teilkörpern weg, beim offenen Kasten fehlt der Deckel.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschenkschachtel hat bei gleichem Inhalt die kleinere Oberfläche: A (20 cm · 5 cm · 4 cm) oder B (10 cm · 8 cm · 5 cm)? Um wie viel?
    gegebengesucht20 cm5 cm4 cm10 cm8 cm?
    So fängst du an:
    Volumen: 20 · 5 · 4 = 400 und 10 · 8 · 5 = 400
    Lösung zeigen
    1. Volumen: 20 · 5 · 4 = 400 und 10 · 8 · 5 = 400
    2. O(A) = 2 · (100 + 80 + 20) = 400
    3. O(B) = 2 · (80 + 50 + 40) = 340
    Ergebnis:
    B braucht 60 cm² weniger Pappe
  2. ●23
    Zwei Geschenkschachteln: A ist 10 cm · 10 cm · 10 cm, B ist 20 cm · 10 cm · 5 cm. Zeige, dass beide gleich viel fassen. Welche braucht weniger Pappe?
    gegebengesucht10 cm20 cm5 cm?
    Lösung zeigen
    1. Volumen: 10 · 10 · 10 = 1000 und 20 · 10 · 5 = 1000
    2. O(A) = 2 · (100 + 100 + 100) = 600
    3. O(B) = 2 · (200 + 100 + 50) = 700
    Ergebnis:
    A braucht 100 cm² weniger Pappe
  3. ★24
    Eine Firma braucht 50.000 Versandkartons. Form A ist 8 cm · 8 cm · 8 cm, Form B 16 cm · 8 cm · 4 cm. 1 m² Pappe kostet 0,50 €. Wie viel Geld spart sie mit der besseren Form?
    gegebengesucht50.000 Versandkartons8 cm16 cm4 cm1 m²?
    Lösung zeigen
    1. O(A) = 2 · (64 + 64 + 64) = 384
    2. O(B) = 2 · (128 + 64 + 32) = 448
    3. Je Stück 64 cm² weniger: 64 · 50.000 = 3.200.000, also 320 m².
    4. 320 · 0,50 € = 160,00 €
    Ergebnis:
    Form A, sie spart 160,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zerlege den Körper im Bild in zwei Quader und berechne das Volumen. Der untere ist 6 dm lang.
    6 dm3 dm1 dm2 dm5 dm?
    Lösung zeigen
    1. Unterer Quader: 6 · 3 · 1 = 18
    2. Oberer Quader: 2 · 3 · 5 = 30
    3. V = 18 + 30 = 48, also 48 dm³.
    Ergebnis:
    48 dm³
  2. ●26
    Ein Vogelhaus ist 6 cm breit, 18 cm lang und bis zum Dach 12 cm hoch. Das Dach ist 6 cm hoch. Berechne das Volumen.
    6 cm18 cm12 cm6 cm?
    Lösung zeigen
    1. Quader: 6 · 18 · 12 = 1296
    2. Dach: Grundfläche 6 · 6 : 2 = 18, Volumen 18 · 18 = 324
    3. V = 1296 + 324 = 1620, also 1620 cm³.
    Ergebnis:
    1620 cm³
  3. ●27
    Aus einem Quader (7 cm · 5 cm · 6 cm) wird an einer Ecke ein Stück herausgeschnitten, 4 cm breit und 2 cm hoch, durch die ganze Tiefe. Berechne das Volumen des Reststücks.
    7 cm5 cm6 cm?
    Lösung zeigen
    1. Ergänzen zum großen Quader: 7 · 5 · 6 = 210
    2. Das fehlende Stück: 4 · 5 · 2 = 40
    3. V = 210 − 40 = 170
    Ergebnis:
    170 cm³
  4. ●28
    Ein Pflanzkübel ist außen 50 cm lang, 30 cm breit und 30 cm hoch, oben offen. Wände und Boden sind 3 cm dick. Wie viele Liter Erde passen hinein?
    gegebengesucht50 cm30 cm3 cm?
    Lösung zeigen
    1. Innen: 50 − 2 · 3 = 44, 30 − 2 · 3 = 24, 30 − 3 = 27
    2. Innenvolumen: 44 · 24 · 27 = 28.512, also 28.512 cm³.
    3. 28.512 cm³ = 28,51 l
    Ergebnis:
    28,51 l
  5. ●29
    Auf einem Quader (7 cm · 7 cm · 2 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 3 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
    7723
    Lösung zeigen
    1. Quader: 2 · (49 + 14 + 14) = 154
    2. Würfel: 6 · 9 = 54
    3. Berührfläche fällt zweimal weg: 154 + 54 − 2 · 9 = 190
    Ergebnis:
    190 cm²
  6. ●30
    Eine Schachtel ohne Deckel wird aus Pappe gefaltet: 32 cm lang, 29 cm breit, 9 cm hoch. Wie viel Pappe braucht man ohne Klebelaschen?
    gegebengesucht32 cm29 cm9 cm?
    Lösung zeigen
    1. Boden: 32 · 29 = 928
    2. Wände: 2 · 32 · 9 + 2 · 29 · 9 = 1098
    3. Pappe: 928 + 1098 = 2026
    Ergebnis:
    2026 cm²

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zerlegen in Teilkörper
Einen zusammengesetzten Körper zerlegt man in Quader und Prismen und addiert ihre Volumen.
Aussparungen abziehen
Fehlt ein Stück, rechnet man den vollen Quader und zieht das Stück ab.
Oberfläche und Berührfläche
Addiere die Oberflächen der Teilkörper und ziehe die Berührfläche zweimal ab.
Prismen im Alltag
Bei jedem Prisma gilt: Grundfläche mal Höhe.
Füllmenge und Füllzeit
Die Füllzeit ist das Volumen geteilt durch den Zufluss je Minute.
Masse und Dichte
Die Masse ist Dichte mal Volumen.
Kanten wachsen
Doppelte Kante heißt vierfache Oberfläche und achtfaches Volumen.
Sparsame Verpackung
Gleiches Volumen heißt nicht gleiche Oberfläche.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zerlege zusammengesetzte Körper in Quader und Prismen und berechne das Volumen.

    31
    Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 9 cm · 5 cm · 2 cm, oben 5 cm · 5 cm · 6 cm. Berechne sein Volumen.
    9 cm5 cm2 cm5 cm6 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    240 cm³

  2. Ich berechne das Volumen von Körpern mit Aussparungen.

    32
    Aus einem Quader (6 cm · 6 cm · 5 cm) wird an einer Ecke ein Stück herausgeschnitten, 3 cm breit und 2 cm hoch, durch die ganze Tiefe. Berechne das Volumen des Reststücks.
    6 cm6 cm5 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    144 cm³

  3. Ich berechne die Oberfläche zusammengesetzter Körper.

    33
    Auf einem Quader (6 cm · 8 cm · 3 cm) steht mittig ein Würfel mit der Kante 2 cm. Berechne die Oberfläche des ganzen Körpers.
    6832
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    196 cm²

  4. Ich berechne Prismen mit Trapez- und Dreiecksgrundfläche aus dem Alltag.

    34
    Ein Deich ist unten 5 m breit, oben 4 m breit, 1 m hoch und 10 m lang. Wie viel Erde steckt im Deich?
    5 m4 m1 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45 m³

  5. Ich berechne Füllmengen und Füllzeiten.

    35
    Ein Planschbecken (Quader) ist 3 m lang, 2 m breit und wird 0,5 m hoch gefüllt. Der Gartenschlauch liefert 50 Liter in der Minute. Wie lange dauert das Füllen?
    3 m2 m0,5 m
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1 h 0 min

  6. Ich berechne die Masse eines Körpers mit der Dichte.

    36
    Ein Quader aus Eichenholz ist 2 cm · 5 cm · 2 cm groß. Eichenholz hat die Dichte 0,7 g/cm³. Wie schwer ist der Quader?
    2 cm5 cm2 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 g

  7. Ich untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn die Kanten wachsen.

    37
    Ein Quader ist 1 cm · 4 cm · 1 cm groß. Jede Kante wird 3-mal so lang. Wie ändern sich Oberfläche und Volumen?
    gegebengesucht1 cm4 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Oberfläche mal 9, Volumen mal 27

  8. Ich vergleiche Verpackungen nach Volumen und Materialverbrauch.

    38
    Welche Geschenkschachtel hat bei gleichem Inhalt die kleinere Oberfläche: A (20 cm · 5 cm · 4 cm) oder B (10 cm · 8 cm · 5 cm)? Um wie viel?
    gegebengesucht20 cm5 cm4 cm10 cm8 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B braucht 60 cm² weniger Pappe

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Betonsockel hat die Form eines L. Unten ist er 8 dm lang, 3 dm breit und 2 dm hoch. Links steht darauf ein Teil mit 3 dm Länge und 4 dm Höhe. Wie viele Liter Beton braucht man? Länge mal Breite mal Höhe passt nicht.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Zerlegen: Der Körper wird in Quader geteilt, deren Volumen man kennt.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Planschbecken füllen, Umzugskartons packen und das Hochbeet mit Erde füllen. Beruf: Beton bestellen auf dem Bau, Verpackungen entwerfen, Ladung im Lager und in der Spedition berechnen.

Wörter

Grundfläche
die Fläche, auf der der Körper steht
Oberfläche
alle Außenseiten zusammen
Volumen
wie viel hineinpasst

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Körper zeichnen und berechnen, Flächeninhalt und Volumen, Größen im Beruf, Zusammengesetzte Körper

Lösungen

  1. 96 cm³
  2. 196 cm³
  3. 90 cm³
  4. 552 cm³
  5. 549 cm³
  6. 186 dm³
  7. 312 cm²
  8. 196 dm²
  9. 154 cm²
  10. 110 m³
  11. 37,5 m³
  12. 1,25 m³
  13. etwa 1 h 20 min
  14. 100 min
  15. etwa 38,4 min
  16. 7,2 t
  17. 960 g
  18. 500 g
  19. Nein: Volumen mal 27, Oberfläche mal 9
  20. Oberfläche mal 4, Volumen mal 8
  21. Nein: Volumen mal 1000, Oberfläche mal 100
  22. B braucht 60 cm² weniger Pappe
  23. A braucht 100 cm² weniger Pappe
  24. Form A, sie spart 160,00 €
  25. 48 dm³
  26. 1620 cm³
  27. 170 cm³
  28. 28,51 l
  29. 190 cm²
  30. 2026 cm²
  31. 240 cm³
  32. 144 cm³
  33. 196 cm²
  34. 45 m³
  35. etwa 1 h 0 min
  36. 14 g
  37. Oberfläche mal 9, Volumen mal 27
  38. B braucht 60 cm² weniger Pappe
  39. V = 48 cm³
  40. 147 cm³