Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Zählen und Wahrscheinlichkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen werden lang und ungeordnet. Manche Zahlen stehen doppelt da, andere fehlen, und die Gruppen kommen auf verschiedene Anzahlen. Niemand kann beweisen, dass seine Liste vollständig ist. Wer sicher sein will, braucht eine Ordnung: Wir halten die erste Ziffer fest und schreiben alle Fortsetzungen auf, dann die nächste erste Ziffer. Als Bild ist das ein Baum – und seine Pfade kann man zählen, ohne eine Zahl zu vergessen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt: günstige durch mögliche.

●39
Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln.
Lösung zeigen
1. günstige : mögliche Ergebnisse
2. 1 : 6 = 0,167
Ergebnis:
16 ≈ 16,7 %
●40
Ein Reißnagel wurde 250-mal geworfen, er landete 26-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,104 = 10,4 %

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZählen heißt Stufe für Stufe wählen

Jede Möglichkeit ist ein Weg durch mehrere Entscheidungen: erst die erste Stelle, dann die zweite. Das Baumdiagramm zeigt jeden Weg als Pfad. Gleich viele Zweige an jedem Ast heißt: Die Anzahlen werden multipliziert.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Baum hat 3 Äste und an jedem Ast 4 Zweige. Warum hat er mehr Pfade, als Äste und Zweige zusammen gezeichnet sind?

1Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.

EntdeckenFrage

Wie lange dauert es, ein Zahlenschloss durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jeder Ring hat 10 Ziffern, also gibt es 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Einstellungen. Braucht jeder Versuch 2 Sekunden, dauert das Durchprobieren im schlimmsten Fall 20.000 Sekunden, also mehr als 5 Stunden.

MerkenSystematisch zählen

Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.

Erst die erste Stelle festhalten und alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste. Aus den Karten 1, 4 und 7 entstehen so 14, 17, 41, 47, 71 und 74.

BeispielMöglichkeiten systematisch auflisten

Tim hat Shirts in rot, blau, weiß und dazu Rock, Jeans. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?

Schritt für Schritt

Shirt rot: rot/Rock, rot/Jeans
Shirt blau: blau/Rock, blau/Jeans
Shirt weiß: weiß/Rock, weiß/Jeans
Zusammen: 3 · 2 = 6

Shirt rot: rot/Rock, rot/Jeans
Shirt blau: blau/Rock, blau/Jeans
Shirt weiß: weiß/Rock, weiß/Jeans
Zusammen: 3 · 2 = 6

Ergebnis:

6 Kombinationen

AchtungMöglichkeit vergessen oder doppelt gezählt

So nicht

Karten 1, 4, 7, zweistellige Zahlen: 14, 41, 17, 71, 47 → 5 Zahlen

So richtig

Mit 1 vorne: 14, 17; mit 4: 41, 47; mit 7: 71, 74 → 6 Zahlen

Ordnen: erste Stelle festhalten, alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste erste Stelle.

ÜbenJetzt du

○1
Sara hat Shirts in rot, blau, weiß und dazu Jeans, Shorts, Jogginghose. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
So fängst du an:
Shirt rot: rot/Jeans, rot/Shorts, rot/Jogginghose
Lösung zeigen
1. Shirt rot: rot/Jeans, rot/Shorts, rot/Jogginghose
2. Shirt blau: blau/Jeans, blau/Shorts, blau/Jogginghose
3. Shirt weiß: weiß/Jeans, weiß/Shorts, weiß/Jogginghose
4. Zusammen: 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Kombinationen
●2
Von zu Hause zum Bahnhof gibt es 2 Wege (Bus, Rad), von dort zum Stadion 3 Wege (U-Bahn, S-Bahn, Tram). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
Lösung zeigen
1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn, Bus/Tram
2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn, Rad/Tram
3. Zusammen: 2 · 3 = 6
Ergebnis:
6 Wege
★3
Von zu Hause zur Schule gibt es 2 Wege (Bus, Rad), von dort zum Kino 2 Wege (U-Bahn, S-Bahn). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
Lösung zeigen
1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn
2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn
3. Zusammen: 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Wege

2Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.

EntdeckenFrage

Warum sperrt die Bankkarte nach drei falschen PIN-Eingaben – reicht das wirklich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine vierstellige PIN hat 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Möglichkeiten. Wer rät, hat bei drei Versuchen nur 3 von 10.000 Chancen, also 0,03 Prozent. Ohne Sperre könnte man dagegen alle durchprobieren.

MerkenProduktregel

Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.

Bei 3 Shirts, 2 Hosen und 2 Paar Schuhen gibt es 3 · 2 · 2 = 12 Outfits. Im Baumdiagramm ist das die Zahl der Pfade.

BeispielProduktregel: Stufe für Stufe multiplizieren

Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 5. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?

Schritt für Schritt

Jeder Ring: 6 Möglichkeiten
6 · 6 · 6 = 216
Zeit: 216 · 2 s = 432 s ≈ 7 min

Jeder Ring: 6 Möglichkeiten
6 · 6 · 6 = 216
Zeit: 216 · 2 s = 432 s ≈ 7 min

Ergebnis:

216 Einstellungen, etwa 7 Minuten

AchtungAddiert statt multipliziert

So nicht

3 Shirts und 4 Hosen: 3 + 4 = 7 Outfits

So richtig

Zu jedem Shirt 4 Hosen: 3 · 4 = 12 Outfits

Jede Wahl der ersten Stufe passt zu jeder der zweiten: multiplizieren. Addiert wird nur, wenn die Äste verschieden sind.

ÜbenJetzt du

○4
Für ein Foto wählst du eins von 4 Shirts, eine von 2 Hosen und eins von 3 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
So fängst du an:
Stufen: 4 Shirts, 2 Hosen, 3 Paar Schuhe
Lösung zeigen
1. Stufen: 4 Shirts, 2 Hosen, 3 Paar Schuhe
2. Produktregel: 4 · 2 · 3 = 24
Ergebnis:
24 Outfits
●5
Die Mensa bietet 2 Vorspeisen, 3 Hauptgerichte und 4 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
Lösung zeigen
1. Drei Stufen: 2, 3 und 4 Möglichkeiten
2. Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
3. 2 · 3 · 4 = 24
Ergebnis:
24 Menüs
★6
Für ein Foto wählst du eins von 2 Shirts, eine von 2 Hosen und eins von 3 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
Lösung zeigen
1. Stufen: 2 Shirts, 2 Hosen, 3 Paar Schuhe
2. Produktregel: 2 · 2 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Outfits

3Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine Saison der Fußball-Bundesliga?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

18 Mannschaften, jede spielt gegen jede andere ein Hinspiel und ein Rückspiel. Hier zählt die Reihenfolge, also 18 · 17 = 306 Spiele, verteilt auf 34 Spieltage mit je 9 Spielen.

MerkenAnordnungen

Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.

Jeder weitere Platz hat eine weniger. Vier Kinder stellen sich auf 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Arten auf.

BeispielAnordnungen in einer Reihe zählen

Im Kino sitzen 3 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?

Schritt für Schritt

Linker Platz: 3 Kinder, nächster: 2
3 · 2 · 1 = 6
Jede Sitzordnung ein Abend

Linker Platz: 3 Kinder, nächster: 2
3 · 2 · 1 = 6
Jede Sitzordnung ein Abend

Ergebnis:

6 Abende

AchtungWiederholung übersehen

So nicht

Code aus 3 verschiedenen Ziffern von 1 bis 5: 5 · 5 · 5 = 125

So richtig

Jede Ziffer nur einmal: 5 · 4 · 3 = 60

Darf ein Zeichen nur einmal vorkommen, hat jede weitere Stelle eine Möglichkeit weniger: 5 · 4 · 3 statt 5 · 5 · 5.

ÜbenJetzt du

○7
Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von MOND legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
So fängst du an:
4 verschiedene Buchstaben
Lösung zeigen
1. 4 verschiedene Buchstaben
2. Stelle für Stelle: 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ergebnis:
24 Folgen
●8
Im Kino sitzen 5 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
Lösung zeigen
1. Linker Platz: 5 Kinder, nächster: 4
2. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
3. Jede Sitzordnung ein Abend
Ergebnis:
120 Abende
★9
Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von KATZE legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
Lösung zeigen
1. 5 verschiedene Buchstaben
2. Stelle für Stelle: 5, 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Ergebnis:
120 Folgen

4Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.

EntdeckenFrage

Warum kommt beim Werfen von zwei Würfeln die Augensumme 7 öfter als die 2 oder die 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Paare. Die 7 entsteht aus sechs davon: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 und umgekehrt. Die 2 entsteht nur aus 1 und 1, die 12 nur aus 6 und 6. Also 6/36 gegen 1/36.

MerkenDas Kapitel im Überblick

Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.

Diese Seite ist dein Spickzettel zum Wiederholen.

BeispielZählen mit und ohne Wiederholung

Ein Code hat 2 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 4. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?

Schritt für Schritt

Doppelt erlaubt: 4 · 4 = 16
Alle verschieden: 4 · 3 = 12
Ohne Doppelte sind es 4 weniger

Doppelt erlaubt: 4 · 4 = 16
Alle verschieden: 4 · 3 = 12
Ohne Doppelte sind es 4 weniger

Ergebnis:

mit Wiederholung 16, ohne Wiederholung 12

AchtungNoch einmal: Wiederholung übersehen

So nicht

Code aus 3 verschiedenen Ziffern von 1 bis 5: 5 · 5 · 5 = 125

So richtig

Jede Ziffer nur einmal: 5 · 4 · 3 = 60

Darf ein Zeichen nur einmal vorkommen, hat jede weitere Stelle eine Möglichkeit weniger: 5 · 4 · 3 statt 5 · 5 · 5.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Würfel wird 3-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
So fängst du an:
Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
Lösung zeigen
1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
2. 6 · 6 · 6 = 216
Ergebnis:
216 Ergebnisse (mit Wiederholung)
●11
Ein Code hat 3 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 6. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
Lösung zeigen
1. Doppelt erlaubt: 6 · 6 · 6 = 216
2. Alle verschieden: 6 · 5 · 4 = 120
3. Ohne Doppelte sind es 96 weniger
Ergebnis:
mit Wiederholung 216, ohne Wiederholung 120
★12
Ein Code hat 4 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 5. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
Lösung zeigen
1. Doppelt erlaubt: 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Alle verschieden: 5 · 4 · 3 · 2 = 120
3. Ohne Doppelte sind es 505 weniger
Ergebnis:
mit Wiederholung 625, ohne Wiederholung 120

5Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

EntdeckenFrage

Wie viele Sitzordnungen gibt es für 25 Kinder in einem Klassenraum?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 · 24 · 23 · … · 2 · 1. Das ist eine Zahl mit 26 Stellen. Selbst wenn man jede Sekunde eine neue Sitzordnung ausprobierte, reichte das ganze Alter des Weltalls, rund 14 Milliarden Jahre, bei Weitem nicht.

MerkenAuswahl ohne Reihenfolge

Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.

Dann teilt man durch die doppelt gezählten. Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.

BeispielAuswahlen ohne Reihenfolge zählen

In einer Liga mit 5 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?

Schritt für Schritt

Jede Mannschaft hat 4 Gegner: 5 · 4 = 20
Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
20 : 2 = 10

Jede Mannschaft hat 4 Gegner: 5 · 4 = 20
Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
20 : 2 = 10

Ergebnis:

10 Spiele

AchtungReihenfolge mitgezählt, obwohl sie egal ist

So nicht

6 Kinder, jedes gibt jedem die Hand: 6 · 5 = 30 Handschläge

So richtig

Jeder Handschlag doppelt gezählt: 6 · 5 : 2 = 15 Handschläge

A mit B ist dasselbe Paar wie B mit A. Mit Reihenfolge zählen und dann durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 8 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
So fängst du an:
Erst mit Reihenfolge: 8 · 7 = 56
Lösung zeigen
1. Erst mit Reihenfolge: 8 · 7 = 56
2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
3. 56 : 2 = 28
Ergebnis:
28 Pizzen
●14
Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 10 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
Lösung zeigen
1. Erst mit Reihenfolge: 10 · 9 = 90
2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
3. 90 : 2 = 45
Ergebnis:
45 Pizzen
★15
13 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind reicht 12 anderen die Hand: 13 · 12 = 156
2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
3. 156 : 2 = 78
Ergebnis:
78 Handschläge

6Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.

EntdeckenFrage

Wie wahrscheinlich sind sechs Richtige im Lotto „6 aus 49“?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 13.983.816 Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist. Nur eine davon ist richtig. Die Chance ist also 1 zu knapp 14 Millionen – ohne die Superzahl.

MerkenErgebnismenge und Summenregel

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.

Ein Ereignis ist ein Teil davon, zum Beispiel A = {2, 4, 6} beim Würfel. Seine Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse.

BeispielErgebnismenge und Ereignis angeben

Ein Glücksrad hat 12 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 12. Beschreibe das Ereignis „durch 3 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.

Schritt für Schritt

A = {3, 6, 9, 12}
Gegenereignis: alle übrigen 8 Zahlen
P(A) = 412 = 13

A = {3, 6, 9, 12}
Gegenereignis: alle übrigen 8 Zahlen
P(A) = 412 = 13

Ergebnis:

A = {3, 6, 9, 12}, P(A) = 1/3, P(nicht A) = 23

AchtungWahrscheinlichkeit falsch gedeutet

So nicht

Zwei Würfel, Summe 7: Summen 2 bis 12 sind 11 Ergebnisse, also P = 1/11

So richtig

Zwei Würfel, Summe 7: 6 von 36 Paaren, Summen 2 bis 12 verschieden oft, also P = 1/6

Günstig durch möglich gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Und die Wahrscheinlichkeit sagt die Häufigkeit nur ungefähr voraus.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „mindestens einmal Kopf“. Wie wahrscheinlich ist es?
So fängst du an:
Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
Lösung zeigen
1. Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
2. Ereignis: {KK, KZ, ZK}
3. P = 34
Ergebnis:
{KK, KZ, ZK}, P = 34
●17
Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist eine Zahl, die durch 3 teilbar ist.“ Wie groß ist P(A)?
Lösung zeigen
1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. A = {3, 6}, das sind 2 Ergebnisse
3. P(A) = 26 = 13
Ergebnis:
A = {3, 6}, P(A) = 13
★18
Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „genau einmal Kopf“. Wie wahrscheinlich ist es?
Lösung zeigen
1. Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
2. Ereignis: {KZ, ZK}
3. P = 24 = 12
Ergebnis:
{KZ, ZK}, P = 12

7Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.

EntdeckenFrage

Ein berühmter Mathematiker meinte, bei zwei Münzwürfen komme mit 2/3 mindestens einmal Kopf. Hatte er recht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Es gibt vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse: KK, KZ, ZK und ZZ. In drei davon kommt Kopf vor, also ist die Wahrscheinlichkeit 3/4. D'Alembert hatte nur drei Fälle gezählt, die nicht gleich wahrscheinlich sind.

MerkenWahrscheinlichkeit durch Abzählen

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.

Beide Zahlen werden gezählt. Bei zwei Würfeln gibt es 36 Paare, die Summe 7 kommt 6-mal vor, also 6/36 = 1/6.

BeispielZwei Würfel: Wahrscheinlichkeit durch Zählen

Du wettest bei zwei Würfeln auf eine Augensumme. Ist die Summe 8 oder die Summe 3 die bessere Wahl? Begründe mit Zählen.

Schritt für Schritt

Summe 8: 5 von 36 Paaren
Summe 3: 2 von 36 Paaren
5 > 2

Summe 8: 5 von 36 Paaren
Summe 3: 2 von 36 Paaren
5 > 2

Ergebnis:

Summe 8

AchtungNoch einmal: Wahrscheinlichkeit falsch gedeutet

So nicht

Zwei Würfel, Summe 7: Summen 2 bis 12 sind 11 Ergebnisse, also P = 1/11

So richtig

Zwei Würfel, Summe 7: 6 von 36 Paaren, Summen 2 bis 12 verschieden oft, also P = 1/6

Günstig durch möglich gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Und die Wahrscheinlichkeit sagt die Häufigkeit nur ungefähr voraus.

ÜbenJetzt du

○19
Zwei Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch, also zweimal dieselbe Augenzahl? Zähle die günstigen Paare.
So fängst du an:
Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
Lösung zeigen
1. Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
2. Pasch: (1|1), (2|2) bis (6|6), das sind 6
3. P = 636 = 16
Ergebnis:
16 ≈ 16,7 %
●20
Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 7?
Lösung zeigen
1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
2. Summe 7: (1|6) (2|5) (3|4) (4|3) …, das sind 6
3. P = 636 = 16 ≈ 16,7 %
Ergebnis:
16 ≈ 16,7 %
★21
Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden multipliziert. Wie wahrscheinlich ist ein gerades Produkt?
Lösung zeigen
1. Ungerade nur, wenn beide ungerade sind: 3 · 3 = 9 Paare
2. Gerade: 36 − 9 = 27
3. P = 2736 = 34 = 75 %
Ergebnis:
34 = 75 %

8Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.

EntdeckenFrage

Buffon warf eine Münze 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. War die Münze verdächtig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Erwartet sind 4040 · 0,5 = 2020-mal Kopf. Es kamen 28 mehr, die relative Häufigkeit ist 2048 : 4040 ≈ 0,507. Bei so vielen Würfen sind Abweichungen von einigen Dutzend ganz normal. Die Münze war also nicht verdächtig.

MerkenVorhersage und Abweichung

Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Das Ergebnis schwankt darum. Bei wenigen Versuchen sind große Abweichungen normal, bei vielen selten.

BeispielHäufigkeiten vorhersagen und Abweichungen beurteilen

Ein Glücksrad mit 5 gleichen Feldern, zwei davon gewinnen. Versuch A: 18-mal „Gewinn“ bei 30 Versuchen. Versuch B: 180-mal bei 300 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?

Schritt für Schritt

Erwartet: A 12-mal, B 120-mal
Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten

Erwartet: A 12-mal, B 120-mal
Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten

Ergebnis:

Versuch B

ÜbenJetzt du

○22
Zwei Würfel, gezählt wird ein Pasch. Versuch A: 10-mal „Pasch“ bei 36 Versuchen. Versuch B: 100-mal bei 360 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
So fängst du an:
Erwartet: A 6-mal, B 60-mal
Lösung zeigen
1. Erwartet: A 6-mal, B 60-mal
2. Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
3. Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten
Ergebnis:
Versuch B
●23
Bei 10 Versuchen (ein Würfel, gezählt wird eine gerade Zahl) kam „gerade Zahl“ 6-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
Lösung zeigen
1. Relative Häufigkeit: 6 : 10 ≈ 60 %
2. Wahrscheinlichkeit: 12 ≈ 50 %
3. Unterschied: 10 Prozentpunkte
Ergebnis:
60 % gegen 50 %
★24
Bei 200 Versuchen (ein Würfel, gezählt wird eine gerade Zahl) kam „gerade Zahl“ 71-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
Lösung zeigen
1. Relative Häufigkeit: 71 : 200 ≈ 35,5 %
2. Wahrscheinlichkeit: 12 ≈ 50 %
3. Unterschied: 14,5 Prozentpunkte
Ergebnis:
35,5 % gegen 50 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Von zu Hause zum Park gibt es 2 Wege (Bus, Rad), von dort zum Schwimmbad 3 Wege (U-Bahn, S-Bahn, Tram). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
Lösung zeigen
1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn, Bus/Tram
2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn, Rad/Tram
3. Zusammen: 2 · 3 = 6
Ergebnis:
6 Wege
●26
Handyhülle: erst eine Farbe, dann ein Motiv. Zur Wahl stehen schwarz, weiß, rot und danach Streifen, Sterne. Wie viele Pfade hat das Baumdiagramm? Der erste Ast ist gezeichnet.
Lösung zeigen
1. Stufe 1: 3 Äste
2. An jedem Ast 2 Zweige
3. Pfade: 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6 Möglichkeiten
●27
Für ein Foto wählst du eins von 4 Shirts, eine von 2 Hosen und eins von 2 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
Lösung zeigen
1. Stufen: 4 Shirts, 2 Hosen, 2 Paar Schuhe
2. Produktregel: 4 · 2 · 2 = 16
Ergebnis:
16 Outfits
●28
4 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
Lösung zeigen
1. Platz 1: 4 Möglichkeiten, Platz 2: noch 3
2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ergebnis:
24 Anordnungen
●29
Ein Würfel wird 2-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
Lösung zeigen
1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
2. 6 · 6 = 36
Ergebnis:
36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
●30
Ein Turnier hat 10 Mannschaften. Jede spielt gegen jede genau einmal. Tim rechnet 10 · 9 = 90 Spiele. Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Hier ist A gegen B dasselbe Spiel wie B gegen A
2. Tim zählt jedes Spiel doppelt
3. 90 : 2 = 45
Ergebnis:
nein, 45 Spiele

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Systematisch zählen: Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.
Produktregel: Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.
Anordnungen: Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.
Das Kapitel im Überblick: Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.
Auswahl ohne Reihenfolge: Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.
Ergebnismenge und Summenregel: Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.
Wahrscheinlichkeit durch Abzählen: Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.
Vorhersage und Abweichung: Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.
31
Von zu Hause zum Park gibt es 2 Wege (Bus, Rad), von dort zum Schwimmbad 3 Wege (U-Bahn, S-Bahn, Tram). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Wege
Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.
32
Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 5. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
Lösung zeigen
Ergebnis:
216 Einstellungen, etwa 7 Minuten
Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.
33
4 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
24 Anordnungen
Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.
34
Ein Würfel wird 2-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.
35
Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 4 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Pizzen
Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.
36
Ein Glücksrad hat 12 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 12. Beschreibe das Ereignis „durch 4 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
A = {4, 8, 12}, P(A) = 1/4, P(nicht A) = 34
Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.
37
Zwei Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch, also zweimal dieselbe Augenzahl? Zähle die günstigen Paare.
Lösung zeigen
Ergebnis:
16 ≈ 16,7 %
Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.
38
Ein Glücksrad mit 5 gleichen Feldern, zwei davon gewinnen. Versuch A: 17-mal „Gewinn“ bei 30 Versuchen. Versuch B: 170-mal bei 300 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Versuch B

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Systematisches Zählen mit dem Baumdiagramm: erst die erste Stelle festhalten.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Zahlenschloss, Outfits, Turnierpläne und Würfelspiele. Beruf: Sicherheit von Passwörtern in der IT, Varianten in der Produktion, Schichtpläne.

Wörter

Ereignis: das, was passieren kann
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Wahrscheinlichkeit, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Wahrscheinlichkeit

Lösungen

9 Kombinationen
6 Wege
4 Wege
24 Outfits
24 Menüs
12 Outfits
24 Folgen
120 Abende
120 Folgen
216 Ergebnisse (mit Wiederholung)
mit Wiederholung 216, ohne Wiederholung 120
mit Wiederholung 625, ohne Wiederholung 120
28 Pizzen
45 Pizzen
78 Handschläge
{KK, KZ, ZK}, P = 34
A = {3, 6}, P(A) = 13
{KZ, ZK}, P = 12
16 ≈ 16,7 %
16 ≈ 16,7 %
34 = 75 %
Versuch B
60 % gegen 50 %
35,5 % gegen 50 %
6 Wege
6 Möglichkeiten
16 Outfits
24 Anordnungen
36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
nein, 45 Spiele
6 Wege
216 Einstellungen, etwa 7 Minuten
24 Anordnungen
36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
6 Pizzen
A = {4, 8, 12}, P(A) = 1/4, P(nicht A) = 34
16 ≈ 16,7 %
Versuch B
16 ≈ 16,7 %
0,104 = 10,4 %