Zählen und Wahrscheinlichkeit

◆ÜbenJetzt du

1. ○1

   Du hast die Ziffernkarten 1, 4, 8. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
   So fängst du an:

   Mit 1 vorne: 14, 18
   Lösung zeigen

   1. Mit 1 vorne: 14, 18
   2. Mit 4 vorne: 41, 48
   3. Mit 8 vorne: 81, 84
   4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen

   Ergebnis:

   14, 18, 41, 48, 81, 84 (6 Zahlen)
2. ●2

   Du hast die Ziffernkarten 3, 5, 6. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
   Lösung zeigen

   1. Mit 3 vorne: 35, 36
   2. Mit 5 vorne: 53, 56
   3. Mit 6 vorne: 63, 65
   4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen

   Ergebnis:

   35, 36, 53, 56, 63, 65 (6 Zahlen)
3. ★3

   Von zu Hause zur Bibliothek gibt es 2 Wege (Bus, Rad), von dort zum Jugendclub 2 Wege (U-Bahn, S-Bahn). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
   Lösung zeigen

   1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn
   2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn
   3. Zusammen: 2 · 2 = 4

   Ergebnis:

   4 Wege

◆ÜbenJetzt du

4. ○4

   Für ein Foto wählst du eins von 5 Shirts, eine von 2 Hosen und eins von 2 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
   So fängst du an:

   Stufen: 5 Shirts, 2 Hosen, 2 Paar Schuhe
   Lösung zeigen

   1. Stufen: 5 Shirts, 2 Hosen, 2 Paar Schuhe
   2. Produktregel: 5 · 2 · 2 = 20

   Ergebnis:

   20 Outfits
5. ●5

   Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 9. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
   Lösung zeigen

   1. Jeder Ring: 10 Möglichkeiten
   2. 10 · 10 · 10 = 1000
   3. Zeit: 1000 · 2 s = 2000 s ≈ 33 min

   Ergebnis:

   1000 Einstellungen, etwa 33 Minuten
6. ★6

   Für ein Foto wählst du eins von 2 Shirts, eine von 2 Hosen und eins von 3 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
   Lösung zeigen

   1. Stufen: 2 Shirts, 2 Hosen, 3 Paar Schuhe
   2. Produktregel: 2 · 2 · 3 = 12

   Ergebnis:

   12 Outfits

◆ÜbenJetzt du

7. ○7

   Im Kino sitzen 3 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
   So fängst du an:

   Linker Platz: 3 Kinder, nächster: 2
   Lösung zeigen

   1. Linker Platz: 3 Kinder, nächster: 2
   2. 3 · 2 · 1 = 6
   3. Jede Sitzordnung ein Abend

   Ergebnis:

   6 Abende
8. ●8

   4 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
   Lösung zeigen

   1. Platz 1: 4 Möglichkeiten, Platz 2: noch 3
   2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
   3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24

   Ergebnis:

   24 Anordnungen
9. ★9

   Im Kino sitzen 7 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
   Lösung zeigen

   1. Linker Platz: 7 Kinder, nächster: 6
   2. 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
   3. Jede Sitzordnung ein Abend

   Ergebnis:

   5040 Abende

◆ÜbenJetzt du

10. ○10

    Ein Code hat 2 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 6. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
    So fängst du an:

    Doppelt erlaubt: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen

    1. Doppelt erlaubt: 6 · 6 = 36
    2. Alle verschieden: 6 · 5 = 30
    3. Ohne Doppelte sind es 6 weniger

    Ergebnis:

    mit Wiederholung 36, ohne Wiederholung 30
11. ●11

    In einer Gruppe mit 6 Kindern werden Kasse und Protokoll gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
    Lösung zeigen

    1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    2. Kasse: 6, danach Protokoll: 5
    3. 6 · 5 = 30

    Ergebnis:

    30 Besetzungen (ohne Wiederholung)
12. ★12

    Ein Würfel wird 3-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
    Lösung zeigen

    1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
    2. 6 · 6 · 6 = 216

    Ergebnis:

    216 Ergebnisse (mit Wiederholung)

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13. ○13

    4 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
    So fängst du an:

    Jedes Kind reicht 3 anderen die Hand: 4 · 3 = 12
    Lösung zeigen

    1. Jedes Kind reicht 3 anderen die Hand: 4 · 3 = 12
    2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
    3. 12 : 2 = 6

    Ergebnis:

    6 Handschläge
14. ●14

    Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 8 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
    Lösung zeigen

    1. Erst mit Reihenfolge: 8 · 7 = 56
    2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
    3. 56 : 2 = 28

    Ergebnis:

    28 Pizzen
15. ★15

    Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 15 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
    Lösung zeigen

    1. Erst mit Reihenfolge: 15 · 14 = 210
    2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
    3. 210 : 2 = 105

    Ergebnis:

    105 Pizzen

◆ÜbenJetzt du

16. ○16

    Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist höchstens 2.“ Wie groß ist P(A)?
    So fängst du an:

    Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    Lösung zeigen

    1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    2. A = {1, 2}, das sind 2 Ergebnisse
    3. P(A) = 26 = 13

    Ergebnis:

    A = {1, 2}, P(A) = 13
17. ●17

    Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist keine 6.“ Wie groß ist P(A)?
    Lösung zeigen

    1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    2. A = {1, 2, 3, 4, 5}, das sind 5 Ergebnisse
    3. P(A) = 56

    Ergebnis:

    A = {1, 2, 3, 4, 5}, P(A) = 56
18. ★18

    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele Ergebnisse gibt es? Gib das Ereignis „Augensumme 10“ als Menge an. Wie groß ist P(A)?
    Lösung zeigen

    1. Ergebnisse: 6 · 6 = 36, jedes gleich wahrscheinlich
    2. A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}, das sind 3
    3. P(A) = 336 = 112

    Ergebnis:

    36 Ergebnisse; P(A) = 112

◆ÜbenJetzt du

19. ○19

    Zwei Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch, also zweimal dieselbe Augenzahl? Zähle die günstigen Paare.
    So fängst du an:

    Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen

    1. Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
    2. Pasch: (1|1), (2|2) bis (6|6), das sind 6
    3. P = 636 = 16

    Ergebnis:

    16 ≈ 16,7 %
20. ●20

    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 7?
    Lösung zeigen

    1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
    2. Summe 7: (1|6) (2|5) (3|4) (4|3) …, das sind 6
    3. P = 636 = 16 ≈ 16,7 %

    Ergebnis:

    16 ≈ 16,7 %
21. ★21

    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden multipliziert. Wie wahrscheinlich ist ein gerades Produkt?
    Lösung zeigen

    1. Ungerade nur, wenn beide ungerade sind: 3 · 3 = 9 Paare
    2. Gerade: 36 − 9 = 27
    3. P = 2736 = 34 = 75 %

    Ergebnis:

    34 = 75 %

◆ÜbenJetzt du

22. ○22

    Ein Glücksrad mit 5 gleichen Feldern, zwei davon gewinnen. Versuch A: 16-mal „Gewinn“ bei 25 Versuchen. Versuch B: 160-mal bei 250 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
    So fängst du an:

    Erwartet: A 10-mal, B 100-mal
    Lösung zeigen

    1. Erwartet: A 10-mal, B 100-mal
    2. Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
    3. Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten

    Ergebnis:

    Versuch B
23. ●23

    Bei 120 Versuchen (ein Würfel, gezählt wird die 6) kam „Sechs“ 17-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
    Lösung zeigen

    1. Relative Häufigkeit: 17 : 120 ≈ 14,2 %
    2. Wahrscheinlichkeit: 16 ≈ 16,7 %
    3. Unterschied: 2,5 Prozentpunkte

    Ergebnis:

    14,2 % gegen 16,7 %
24. ★24

    Zwei Würfel, gezählt wird ein Pasch. Versuch A: 8-mal „Pasch“ bei 30 Versuchen. Versuch B: 80-mal bei 300 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
    Lösung zeigen

    1. Erwartet: A 5-mal, B 50-mal
    2. Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
    3. Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten

    Ergebnis:

    Versuch B