Zählen und Wahrscheinlichkeit

◆ÜbenJetzt du

1. ○1

   Du hast die Ziffernkarten 2, 4, 7. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
   So fängst du an:

   Mit 2 vorne: 24, 27
   Lösung zeigen

   1. Mit 2 vorne: 24, 27
   2. Mit 4 vorne: 42, 47
   3. Mit 7 vorne: 72, 74
   4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen

   Ergebnis:

   24, 27, 42, 47, 72, 74 (6 Zahlen)
2. ●2

   Du hast die Ziffernkarten 3, 4, 7. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
   Lösung zeigen

   1. Mit 3 vorne: 34, 37
   2. Mit 4 vorne: 43, 47
   3. Mit 7 vorne: 73, 74
   4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen

   Ergebnis:

   34, 37, 43, 47, 73, 74 (6 Zahlen)
3. ★3

   Du hast die Ziffernkarten 2, 6, 7, 8. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
   Lösung zeigen

   1. Mit 2 vorne: 26, 27, 28
   2. Mit 6 vorne: 62, 67, 68
   3. Mit 7 vorne: 72, 76, 78
   4. Mit 8 vorne: 82, 86, 87
   5. Zusammen: 4 · 3 = 12 Zahlen

   Ergebnis:

   26, 27, 28, 62, 67, 68, 72, 76, 78, 82, 86, 87 (12 Zahlen)

◆ÜbenJetzt du

4. ○4

   Die Mensa bietet 2 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 2 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
   So fängst du an:

   Drei Stufen: 2, 4 und 2 Möglichkeiten
   Lösung zeigen

   1. Drei Stufen: 2, 4 und 2 Möglichkeiten
   2. Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
   3. 2 · 4 · 2 = 16

   Ergebnis:

   16 Menüs
5. ●5

   Die Mensa bietet 3 Vorspeisen, 6 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
   Lösung zeigen

   1. Drei Stufen: 3, 6 und 3 Möglichkeiten
   2. Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
   3. 3 · 6 · 3 = 54

   Ergebnis:

   54 Menüs
6. ★6

   Ein Burger besteht aus einem Brot, einem Belag und einer Soße. Es gibt 5 Brote und 4 Soßen. Insgesamt sind 80 Burger möglich. Wie viele Beläge gibt es?
   Lösung zeigen

   1. Produktregel: 5 · ? · 4 = 80
   2. 5 · 4 = 20
   3. 80 : 20 = 4

   Ergebnis:

   4 Beläge

◆ÜbenJetzt du

7. ○7

   Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von TRAUM legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
   So fängst du an:

   5 verschiedene Buchstaben
   Lösung zeigen

   1. 5 verschiedene Buchstaben
   2. Stelle für Stelle: 5, 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
   3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

   Ergebnis:

   120 Folgen
8. ●8

   5 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
   Lösung zeigen

   1. Platz 1: 5 Möglichkeiten, Platz 2: noch 4
   2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
   3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

   Ergebnis:

   120 Anordnungen
9. ★9

   Beim Sportfest laufen 9 Kinder. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Plätze 1, 2 und 3 auf dem Siegertreppchen?
   Lösung zeigen

   1. Platz 1: 9 Möglichkeiten
   2. Platz 2: 8, Platz 3: 7
   3. 9 · 8 · 7 = 504

   Ergebnis:

   504 Möglichkeiten

◆ÜbenJetzt du

10. ○10

    In einer Gruppe mit 9 Kindern werden Klassensprecher und Stellvertretung gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
    So fängst du an:

    Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    Lösung zeigen

    1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    2. Klassensprecher: 9, danach Stellvertretung: 8
    3. 9 · 8 = 72

    Ergebnis:

    72 Besetzungen (ohne Wiederholung)
11. ●11

    In einer Gruppe mit 5 Kindern werden Kasse und Protokoll gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
    Lösung zeigen

    1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    2. Kasse: 5, danach Protokoll: 4
    3. 5 · 4 = 20

    Ergebnis:

    20 Besetzungen (ohne Wiederholung)
12. ★12

    Ein Würfel wird 3-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
    Lösung zeigen

    1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
    2. 6 · 6 · 6 = 216

    Ergebnis:

    216 Ergebnisse (mit Wiederholung)

◆ÜbenJetzt du

13. ○13

    Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 5 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
    So fängst du an:

    Erst mit Reihenfolge: 5 · 4 = 20
    Lösung zeigen

    1. Erst mit Reihenfolge: 5 · 4 = 20
    2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
    3. 20 : 2 = 10

    Ergebnis:

    10 Pizzen
14. ●14

    Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 8 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
    Lösung zeigen

    1. Erst mit Reihenfolge: 8 · 7 = 56
    2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
    3. 56 : 2 = 28

    Ergebnis:

    28 Pizzen
15. ★15

    13 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
    Lösung zeigen

    1. Jedes Kind reicht 12 anderen die Hand: 13 · 12 = 156
    2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
    3. 156 : 2 = 78

    Ergebnis:

    78 Handschläge

◆ÜbenJetzt du

16. ○16

    Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist eine gerade Zahl.“ Wie groß ist P(A)?
    So fängst du an:

    Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    Lösung zeigen

    1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    2. A = {2, 4, 6}, das sind 3 Ergebnisse
    3. P(A) = 36 = 12

    Ergebnis:

    A = {2, 4, 6}, P(A) = 12
17. ●17

    Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist eine ungerade Zahl.“ Wie groß ist P(A)?
    Lösung zeigen

    1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    2. A = {1, 3, 5}, das sind 3 Ergebnisse
    3. P(A) = 36 = 12

    Ergebnis:

    A = {1, 3, 5}, P(A) = 12
18. ★18

    Ein Glücksrad hat 10 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 10. Beschreibe das Ereignis „durch 3 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.
    Lösung zeigen

    1. A = {3, 6, 9}
    2. Gegenereignis: alle übrigen 7 Zahlen
    3. P(A) = 310

    Ergebnis:

    A = {3, 6, 9}, P(A) = 3/10, P(nicht A) = 710

◆ÜbenJetzt du

19. ○19

    Zwei Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch, also zweimal dieselbe Augenzahl? Zähle die günstigen Paare.
    So fängst du an:

    Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen

    1. Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
    2. Pasch: (1|1), (2|2) bis (6|6), das sind 6
    3. P = 636 = 16

    Ergebnis:

    16 ≈ 16,7 %
20. ●20

    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 5?
    Lösung zeigen

    1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
    2. Summe 5: (1|4) (2|3) (3|2) (4|1), das sind 4
    3. P = 436 = 19 ≈ 11,1 %

    Ergebnis:

    19 ≈ 11,1 %
21. ★21

    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden multipliziert. Wie wahrscheinlich ist ein gerades Produkt?
    Lösung zeigen

    1. Ungerade nur, wenn beide ungerade sind: 3 · 3 = 9 Paare
    2. Gerade: 36 − 9 = 27
    3. P = 2736 = 34 = 75 %

    Ergebnis:

    34 = 75 %

◆ÜbenJetzt du

22. ○22

    Bei 200 Versuchen (ein Würfel, gezählt wird eine gerade Zahl) kam „gerade Zahl“ 116-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
    So fängst du an:

    Relative Häufigkeit: 116 : 200 ≈ 58 %
    Lösung zeigen

    1. Relative Häufigkeit: 116 : 200 ≈ 58 %
    2. Wahrscheinlichkeit: 12 ≈ 50 %
    3. Unterschied: 8 Prozentpunkte

    Ergebnis:

    58 % gegen 50 %
23. ●23

    Gedreht oder geworfen wird 60-mal: zwei Würfel, gezählt wird ein Pasch. Wie oft erwartest du ungefähr „Pasch“?
    Lösung zeigen

    1. P(Pasch) = 16
    2. Erwartet: 60 · 16 = 10
    3. Das Ergebnis schwankt um diesen Wert

    Ergebnis:

    etwa 10-mal
24. ★24

    Ein Glücksrad mit 5 gleichen Feldern, zwei davon gewinnen. Wie viele Versuche brauchst du ungefähr, damit du etwa 60-mal „Gewinn“ erwarten kannst?
    Lösung zeigen

    1. P(Gewinn) = 25
    2. Versuche · 25 = 60
    3. Versuche = 60 · 5 : 2 = 150

    Ergebnis:

    etwa 150 Versuche