Zählen und Wahrscheinlichkeit

◆ÜbenJetzt du

1. ○1

   Du hast die Ziffernkarten 2, 3, 9. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
   So fängst du an:

   Mit 2 vorne: 23, 29
   Lösung zeigen

   1. Mit 2 vorne: 23, 29
   2. Mit 3 vorne: 32, 39
   3. Mit 9 vorne: 92, 93
   4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen

   Ergebnis:

   23, 29, 32, 39, 92, 93 (6 Zahlen)
2. ●2

   Von zu Hause zum Bahnhof gibt es 3 Wege (Bus, Rad, zu Fuß), von dort zum Stadion 3 Wege (U-Bahn, S-Bahn, Tram). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
   Lösung zeigen

   1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn, Bus/Tram
   2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn, Rad/Tram
   3. Erst zu Fuß: zu Fuß/U-Bahn, zu Fuß/S-Bahn, zu Fuß/Tram
   4. Zusammen: 3 · 3 = 9

   Ergebnis:

   9 Wege
3. ★3

   Von zu Hause zum Bahnhof gibt es 3 Wege (Bus, Rad, zu Fuß), von dort zum Stadion 4 Wege (U-Bahn, S-Bahn, Tram, Roller). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
   Lösung zeigen

   1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn, Bus/Tram, Bus/Roller
   2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn, Rad/Tram, Rad/Roller
   3. Erst zu Fuß: zu Fuß/U-Bahn, zu Fuß/S-Bahn, zu Fuß/Tram, zu Fuß/Roller
   4. Zusammen: 3 · 4 = 12

   Ergebnis:

   12 Wege

◆ÜbenJetzt du

4. ○4

   Für ein Foto wählst du eins von 5 Shirts, eine von 3 Hosen und eins von 3 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
   So fängst du an:

   Stufen: 5 Shirts, 3 Hosen, 3 Paar Schuhe
   Lösung zeigen

   1. Stufen: 5 Shirts, 3 Hosen, 3 Paar Schuhe
   2. Produktregel: 5 · 3 · 3 = 45

   Ergebnis:

   45 Outfits
5. ●5

   Die Mensa bietet 4 Vorspeisen, 6 Hauptgerichte und 2 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
   Lösung zeigen

   1. Drei Stufen: 4, 6 und 2 Möglichkeiten
   2. Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
   3. 4 · 6 · 2 = 48

   Ergebnis:

   48 Menüs
6. ★6

   Ein Fahrradschloss hat 5 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 7. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
   Lösung zeigen

   1. Jeder Ring: 8 Möglichkeiten
   2. 8 · 8 · 8 · 8 · 8 = 32.768
   3. Zeit: 32.768 · 2 s = 65.536 s ≈ 1092 min

   Ergebnis:

   32.768 Einstellungen, etwa 1092 Minuten

◆ÜbenJetzt du

7. ○7

   Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von TRAUM legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
   So fängst du an:

   5 verschiedene Buchstaben
   Lösung zeigen

   1. 5 verschiedene Buchstaben
   2. Stelle für Stelle: 5, 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
   3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

   Ergebnis:

   120 Folgen
8. ●8

   3 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
   Lösung zeigen

   1. Platz 1: 3 Möglichkeiten, Platz 2: noch 2
   2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
   3. 3 · 2 · 1 = 6

   Ergebnis:

   6 Anordnungen
9. ★9

   Im Kino sitzen 7 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
   Lösung zeigen

   1. Linker Platz: 7 Kinder, nächster: 6
   2. 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
   3. Jede Sitzordnung ein Abend

   Ergebnis:

   5040 Abende

◆ÜbenJetzt du

10. ○10

    Ein Würfel wird 2-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
    So fängst du an:

    Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
    Lösung zeigen

    1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
    2. 6 · 6 = 36

    Ergebnis:

    36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
11. ●11

    Ein Code hat 3 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 6. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
    Lösung zeigen

    1. Doppelt erlaubt: 6 · 6 · 6 = 216
    2. Alle verschieden: 6 · 5 · 4 = 120
    3. Ohne Doppelte sind es 96 weniger

    Ergebnis:

    mit Wiederholung 216, ohne Wiederholung 120
12. ★12

    Ein Code hat 4 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 5. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
    Lösung zeigen

    1. Doppelt erlaubt: 5 · 5 · 5 · 5 = 625
    2. Alle verschieden: 5 · 4 · 3 · 2 = 120
    3. Ohne Doppelte sind es 505 weniger

    Ergebnis:

    mit Wiederholung 625, ohne Wiederholung 120

◆ÜbenJetzt du

13. ○13

    In einer Liga mit 10 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    So fängst du an:

    Jede Mannschaft hat 9 Gegner: 10 · 9 = 90
    Lösung zeigen

    1. Jede Mannschaft hat 9 Gegner: 10 · 9 = 90
    2. Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
    3. 90 : 2 = 45

    Ergebnis:

    45 Spiele
14. ●14

    In einer Liga mit 4 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    Lösung zeigen

    1. Jede Mannschaft hat 3 Gegner: 4 · 3 = 12
    2. Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
    3. 12 : 2 = 6

    Ergebnis:

    6 Spiele
15. ★15

    Aus 5 Kindern wird ein Team aus 3 Kindern für die Staffel gebildet. Wie viele Teams gibt es, wenn nur zählt, wer dabei ist?
    Lösung zeigen

    1. Mit Reihenfolge: 5 · 4 · 3 = 60
    2. Jedes Team lässt sich auf 3 · 2 · 1 = 6 Arten anordnen
    3. 60 : 6 = 10

    Ergebnis:

    10 Teams

◆ÜbenJetzt du

16. ○16

    Ein Glücksrad hat 10 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 10. Beschreibe das Ereignis „durch 3 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.
    So fängst du an:

    A = {3, 6, 9}
    Lösung zeigen

    1. A = {3, 6, 9}
    2. Gegenereignis: alle übrigen 7 Zahlen
    3. P(A) = 310

    Ergebnis:

    A = {3, 6, 9}, P(A) = 3/10, P(nicht A) = 710
17. ●17

    Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist eine ungerade Zahl.“ Wie groß ist P(A)?
    Lösung zeigen

    1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    2. A = {1, 3, 5}, das sind 3 Ergebnisse
    3. P(A) = 36 = 12

    Ergebnis:

    A = {1, 3, 5}, P(A) = 12
18. ★18

    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele Ergebnisse gibt es? Gib das Ereignis „Augensumme 9“ als Menge an. Wie groß ist P(A)?
    Lösung zeigen

    1. Ergebnisse: 6 · 6 = 36, jedes gleich wahrscheinlich
    2. A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}, das sind 4
    3. P(A) = 436 = 19

    Ergebnis:

    36 Ergebnisse; P(A) = 19

◆ÜbenJetzt du

19. ○19

    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 4?
    So fängst du an:

    36 gleich wahrscheinliche Paare
    Lösung zeigen

    1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
    2. Summe 4: (1|3) (2|2) (3|1), das sind 3
    3. P = 336 = 112 ≈ 8,3 %

    Ergebnis:

    112 ≈ 8,3 %
20. ●20

    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 6?
    Lösung zeigen

    1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
    2. Summe 6: (1|5) (2|4) (3|3) (4|2) …, das sind 5
    3. P = 536 ≈ 13,9 %

    Ergebnis:

    536 ≈ 13,9 %
21. ★21

    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden multipliziert. Wie wahrscheinlich ist ein gerades Produkt?
    Lösung zeigen

    1. Ungerade nur, wenn beide ungerade sind: 3 · 3 = 9 Paare
    2. Gerade: 36 − 9 = 27
    3. P = 2736 = 34 = 75 %

    Ergebnis:

    34 = 75 %

◆ÜbenJetzt du

22. ○22

    Bei 200 Versuchen (ein Glücksrad mit 4 gleichen Feldern, eines davon gewinnt) kam „Gewinn“ 61-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
    So fängst du an:

    Relative Häufigkeit: 61 : 200 ≈ 30,5 %
    Lösung zeigen

    1. Relative Häufigkeit: 61 : 200 ≈ 30,5 %
    2. Wahrscheinlichkeit: 14 ≈ 25 %
    3. Unterschied: 5,5 Prozentpunkte

    Ergebnis:

    30,5 % gegen 25 %
23. ●23

    Gedreht oder geworfen wird 240-mal: ein Glücksrad mit 4 gleichen Feldern, eines davon gewinnt. Wie oft erwartest du ungefähr „Gewinn“?
    Lösung zeigen

    1. P(Gewinn) = 14
    2. Erwartet: 240 · 14 = 60
    3. Das Ergebnis schwankt um diesen Wert

    Ergebnis:

    etwa 60-mal
24. ★24

    Ein Würfel, gezählt wird eine gerade Zahl. Wie viele Versuche brauchst du ungefähr, damit du etwa 10-mal „gerade Zahl“ erwarten kannst?
    Lösung zeigen

    1. P(gerade Zahl) = 12
    2. Versuche · 12 = 10
    3. Versuche = 10 · 2 : 1 = 20

    Ergebnis:

    etwa 20 Versuche