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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zählen und Wahrscheinlichkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen werden lang und ungeordnet. Manche Zahlen stehen doppelt da, andere fehlen, und die Gruppen kommen auf verschiedene Anzahlen. Niemand kann beweisen, dass seine Liste vollständig ist. Wer sicher sein will, braucht eine Ordnung: Wir halten die erste Ziffer fest und schreiben alle Fortsetzungen auf, dann die nächste erste Ziffer. Als Bild ist das ein Baum – und seine Pfade kann man zählen, ohne eine Zahl zu vergessen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt: günstige durch mögliche.

  1. ●39
    Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mehr als 4 zu würfeln.
    Lösung zeigen
    1. günstige : mögliche Ergebnisse
    2. 2 : 6 = 0,333
    Ergebnis:
    26 ≈ 33,3 %
  2. ●40
    Ein Reißnagel wurde 50-mal geworfen, er landete 11-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,22 = 22 %

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZählen heißt Stufe für Stufe wählen

Jede Möglichkeit ist ein Weg durch mehrere Entscheidungen: erst die erste Stelle, dann die zweite. Das Baumdiagramm zeigt jeden Weg als Pfad. Gleich viele Zweige an jedem Ast heißt: Die Anzahlen werden multipliziert.

Baumdiagramm für zwei Stellen mit je 3 Ziffern: 3 mal 3 sind 9 Wege1231231231233 · 3 = 9Stufe für Stufe

WeiterdenkenDenk nach

Ein Baum hat 3 Äste und an jedem Ast 4 Zweige. Warum hat er mehr Pfade, als Äste und Zweige zusammen gezeichnet sind?

1Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.

EntdeckenFrage

Wie lange dauert es, ein Zahlenschloss durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jeder Ring hat 10 Ziffern, also gibt es 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Einstellungen. Braucht jeder Versuch 2 Sekunden, dauert das Durchprobieren im schlimmsten Fall 20.000 Sekunden, also mehr als 5 Stunden.

MerkenSystematisch zählen

Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.

Erst die erste Stelle festhalten und alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste. Aus den Karten 1, 4 und 7 entstehen so 14, 17, 41, 47, 71 und 74.

BeispielMöglichkeiten systematisch auflisten

Du hast die Ziffernkarten 2, 4, 5. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
Schritt für Schritt
  1. Mit 2 vorne: 24, 25
  2. Mit 4 vorne: 42, 45
  3. Mit 5 vorne: 52, 54
  4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen
  1. Mit 2 vorne: 24, 25
  2. Mit 4 vorne: 42, 45
  3. Mit 5 vorne: 52, 54
  4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen
Ergebnis:
24, 25, 42, 45, 52, 54 (6 Zahlen)

AchtungMöglichkeit vergessen oder doppelt gezählt

So nicht
Karten 1, 4, 7, zweistellige Zahlen: 14, 41, 17, 71, 47 → 5 Zahlen
So richtig
Mit 1 vorne: 14, 17; mit 4: 41, 47; mit 7: 71, 74 → 6 Zahlen

Ordnen: erste Stelle festhalten, alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste erste Stelle.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Du hast die Ziffernkarten 3, 8, 9. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
    So fängst du an:
    Mit 3 vorne: 38, 39
    Lösung zeigen
    1. Mit 3 vorne: 38, 39
    2. Mit 8 vorne: 83, 89
    3. Mit 9 vorne: 93, 98
    4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen
    Ergebnis:
    38, 39, 83, 89, 93, 98 (6 Zahlen)
  2. ●2
    Von zu Hause zum Park gibt es 3 Wege (Bus, Rad, zu Fuß), von dort zum Schwimmbad 2 Wege (U-Bahn, S-Bahn). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
    gegebengesucht3 Wege2 Wege?
    Lösung zeigen
    1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn
    2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn
    3. Erst zu Fuß: zu Fuß/U-Bahn, zu Fuß/S-Bahn
    4. Zusammen: 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Wege
  3. ★3
    Jonas hat Shirts in rot, blau, weiß und dazu Jeans, Shorts, Jogginghose. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
    rotJeansShortsJogginghoseblau…weiß…?
    Lösung zeigen
    1. Shirt rot: rot/Jeans, rot/Shorts, rot/Jogginghose
    2. Shirt blau: blau/Jeans, blau/Shorts, blau/Jogginghose
    3. Shirt weiß: weiß/Jeans, weiß/Shorts, weiß/Jogginghose
    4. Zusammen: 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Kombinationen

2Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.

EntdeckenFrage

Warum sperrt die Bankkarte nach drei falschen PIN-Eingaben – reicht das wirklich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine vierstellige PIN hat 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Möglichkeiten. Wer rät, hat bei drei Versuchen nur 3 von 10.000 Chancen, also 0,03 Prozent. Ohne Sperre könnte man dagegen alle durchprobieren.

MerkenProduktregel

Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.

Bei 3 Shirts, 2 Hosen und 2 Paar Schuhen gibt es 3 · 2 · 2 = 12 Outfits. Im Baumdiagramm ist das die Zahl der Pfade.

BeispielProduktregel: Stufe für Stufe multiplizieren

Die Mensa bietet 3 Vorspeisen, 3 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
gegebengesucht3 Vorspeisen3 Hauptgerichte3 Nachspeisen?
Schritt für Schritt
  1. Drei Stufen: 3, 3 und 3 Möglichkeiten
  2. Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
  3. 3 · 3 · 3 = 27
  1. Drei Stufen: 3, 3 und 3 Möglichkeiten
  2. Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
  3. 3 · 3 · 3 = 27
Ergebnis:
27 Menüs

AchtungAddiert statt multipliziert

So nicht
3 Shirts und 4 Hosen: 3 + 4 = 7 Outfits
So richtig
Zu jedem Shirt 4 Hosen: 3 · 4 = 12 Outfits

Jede Wahl der ersten Stufe passt zu jeder der zweiten: multiplizieren. Addiert wird nur, wenn die Äste verschieden sind.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 5. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
    gegebengesucht3 Ringe2 Sekunden?
    So fängst du an:
    Jeder Ring: 6 Möglichkeiten
    Lösung zeigen
    1. Jeder Ring: 6 Möglichkeiten
    2. 6 · 6 · 6 = 216
    3. Zeit: 216 · 2 s = 432 s ≈ 7 min
    Ergebnis:
    216 Einstellungen, etwa 7 Minuten
  2. ●5
    Die Mensa bietet 2 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 2 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
    gegebengesucht2 Vorspeisen4 Hauptgerichte2 Nachspeisen?
    Lösung zeigen
    1. Drei Stufen: 2, 4 und 2 Möglichkeiten
    2. Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
    3. 2 · 4 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16 Menüs
  3. ★6
    Ein Fahrradschloss hat 4 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 9. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
    gegebengesucht4 Ringe2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. Jeder Ring: 10 Möglichkeiten
    2. 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000
    3. Zeit: 10.000 · 2 s = 20.000 s ≈ 333 min
    Ergebnis:
    10.000 Einstellungen, etwa 333 Minuten

3Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine Saison der Fußball-Bundesliga?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

18 Mannschaften, jede spielt gegen jede andere ein Hinspiel und ein Rückspiel. Hier zählt die Reihenfolge, also 18 · 17 = 306 Spiele, verteilt auf 34 Spieltage mit je 9 Spielen.

MerkenAnordnungen

Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.

Jeder weitere Platz hat eine weniger. Vier Kinder stellen sich auf 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Arten auf.

BeispielAnordnungen in einer Reihe zählen

Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von LAMPE legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
Schritt für Schritt
  1. 5 verschiedene Buchstaben
  2. Stelle für Stelle: 5, 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
  3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
  1. 5 verschiedene Buchstaben
  2. Stelle für Stelle: 5, 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
  3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Ergebnis:
120 Folgen

AchtungWiederholung übersehen

So nicht
Code aus 3 verschiedenen Ziffern von 1 bis 5: 5 · 5 · 5 = 125
So richtig
Jede Ziffer nur einmal: 5 · 4 · 3 = 60

Darf ein Zeichen nur einmal vorkommen, hat jede weitere Stelle eine Möglichkeit weniger: 5 · 4 · 3 statt 5 · 5 · 5.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    4 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
    So fängst du an:
    Platz 1: 4 Möglichkeiten, Platz 2: noch 3
    Lösung zeigen
    1. Platz 1: 4 Möglichkeiten, Platz 2: noch 3
    2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
    3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
    Ergebnis:
    24 Anordnungen
  2. ●8
    3 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
    Lösung zeigen
    1. Platz 1: 3 Möglichkeiten, Platz 2: noch 2
    2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
    3. 3 · 2 · 1 = 6
    Ergebnis:
    6 Anordnungen
  3. ★9
    Im Kino sitzen 6 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
    Lösung zeigen
    1. Linker Platz: 6 Kinder, nächster: 5
    2. 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
    3. Jede Sitzordnung ein Abend
    Ergebnis:
    720 Abende

4Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.

EntdeckenFrage

Warum kommt beim Werfen von zwei Würfeln die Augensumme 7 öfter als die 2 oder die 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Paare. Die 7 entsteht aus sechs davon: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 und umgekehrt. Die 2 entsteht nur aus 1 und 1, die 12 nur aus 6 und 6. Also 6/36 gegen 1/36.

MerkenDas Kapitel im Überblick

Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.

Diese Seite ist dein Spickzettel zum Wiederholen.

BeispielZählen mit und ohne Wiederholung

In einer Gruppe mit 7 Kindern werden Kasse und Protokoll gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
Schritt für Schritt
  1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
  2. Kasse: 7, danach Protokoll: 6
  3. 7 · 6 = 42
  1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
  2. Kasse: 7, danach Protokoll: 6
  3. 7 · 6 = 42
Ergebnis:
42 Besetzungen (ohne Wiederholung)

AchtungNoch einmal: Wiederholung übersehen

So nicht
Code aus 3 verschiedenen Ziffern von 1 bis 5: 5 · 5 · 5 = 125
So richtig
Jede Ziffer nur einmal: 5 · 4 · 3 = 60

Darf ein Zeichen nur einmal vorkommen, hat jede weitere Stelle eine Möglichkeit weniger: 5 · 4 · 3 statt 5 · 5 · 5.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In einer Gruppe mit 9 Kindern werden Kasse und Protokoll gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
    So fängst du an:
    Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    Lösung zeigen
    1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    2. Kasse: 9, danach Protokoll: 8
    3. 9 · 8 = 72
    Ergebnis:
    72 Besetzungen (ohne Wiederholung)
  2. ●11
    Ein Code hat 3 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 4. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
    Lösung zeigen
    1. Doppelt erlaubt: 4 · 4 · 4 = 64
    2. Alle verschieden: 4 · 3 · 2 = 24
    3. Ohne Doppelte sind es 40 weniger
    Ergebnis:
    mit Wiederholung 64, ohne Wiederholung 24
  3. ★12
    Ein Code hat 4 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 8. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
    Lösung zeigen
    1. Doppelt erlaubt: 8 · 8 · 8 · 8 = 4096
    2. Alle verschieden: 8 · 7 · 6 · 5 = 1680
    3. Ohne Doppelte sind es 2416 weniger
    Ergebnis:
    mit Wiederholung 4096, ohne Wiederholung 1680

5Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

EntdeckenFrage

Wie viele Sitzordnungen gibt es für 25 Kinder in einem Klassenraum?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 · 24 · 23 · … · 2 · 1. Das ist eine Zahl mit 26 Stellen. Selbst wenn man jede Sekunde eine neue Sitzordnung ausprobierte, reichte das ganze Alter des Weltalls, rund 14 Milliarden Jahre, bei Weitem nicht.

MerkenAuswahl ohne Reihenfolge

Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.

Dann teilt man durch die doppelt gezählten. Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.

BeispielAuswahlen ohne Reihenfolge zählen

5 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind reicht 4 anderen die Hand: 5 · 4 = 20
  2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
  3. 20 : 2 = 10
  1. Jedes Kind reicht 4 anderen die Hand: 5 · 4 = 20
  2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
  3. 20 : 2 = 10
Ergebnis:
10 Handschläge

AchtungReihenfolge mitgezählt, obwohl sie egal ist

So nicht
6 Kinder, jedes gibt jedem die Hand: 6 · 5 = 30 Handschläge
So richtig
Jeder Handschlag doppelt gezählt: 6 · 5 : 2 = 15 Handschläge

A mit B ist dasselbe Paar wie B mit A. Mit Reihenfolge zählen und dann durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 5 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
    So fängst du an:
    Erst mit Reihenfolge: 5 · 4 = 20
    Lösung zeigen
    1. Erst mit Reihenfolge: 5 · 4 = 20
    2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
    3. 20 : 2 = 10
    Ergebnis:
    10 Pizzen
  2. ●14
    6 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind reicht 5 anderen die Hand: 6 · 5 = 30
    2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
    3. 30 : 2 = 15
    Ergebnis:
    15 Handschläge
  3. ★15
    Aus 7 Kindern wird ein Team aus 3 Kindern für die Staffel gebildet. Wie viele Teams gibt es, wenn nur zählt, wer dabei ist?
    gegebengesucht7 Kindern3 Kindern?
    Lösung zeigen
    1. Mit Reihenfolge: 7 · 6 · 5 = 210
    2. Jedes Team lässt sich auf 3 · 2 · 1 = 6 Arten anordnen
    3. 210 : 6 = 35
    Ergebnis:
    35 Teams

6Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.

EntdeckenFrage

Wie wahrscheinlich sind sechs Richtige im Lotto „6 aus 49“?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 13.983.816 Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist. Nur eine davon ist richtig. Die Chance ist also 1 zu knapp 14 Millionen – ohne die Superzahl.

MerkenErgebnismenge und Summenregel

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.

Ein Ereignis ist ein Teil davon, zum Beispiel A = {2, 4, 6} beim Würfel. Seine Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse.

BeispielErgebnismenge und Ereignis angeben

Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist eine Primzahl.“ Wie groß ist P(A)?
Schritt für Schritt
  1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  2. A = {2, 3, 5}, das sind 3 Ergebnisse
  3. P(A) = 36 = 12
  1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  2. A = {2, 3, 5}, das sind 3 Ergebnisse
  3. P(A) = 36 = 12
Ergebnis:
A = {2, 3, 5}, P(A) = 12

AchtungWahrscheinlichkeit falsch gedeutet

So nicht
Zwei Würfel, Summe 7: Summen 2 bis 12 sind 11 Ergebnisse, also P = 1/11
So richtig
Zwei Würfel, Summe 7: 6 von 36 Paaren, Summen 2 bis 12 verschieden oft, also P = 1/6

Günstig durch möglich gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Und die Wahrscheinlichkeit sagt die Häufigkeit nur ungefähr voraus.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist mehr als 4.“ Wie groß ist P(A)?
    So fängst du an:
    Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    Lösung zeigen
    1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    2. A = {5, 6}, das sind 2 Ergebnisse
    3. P(A) = 26 = 13
    Ergebnis:
    A = {5, 6}, P(A) = 13
  2. ●17
    Ein Glücksrad hat 10 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 10. Beschreibe das Ereignis „durch 3 teilbar“ als Menge. Gib auch das Gegenereignis an.
    Lösung zeigen
    1. A = {3, 6, 9}
    2. Gegenereignis: alle übrigen 7 Zahlen
    3. P(A) = 310
    Ergebnis:
    A = {3, 6, 9}, P(A) = 3/10, P(nicht A) = 710
  3. ★18
    Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „keinmal Kopf“. Wie wahrscheinlich ist es?
    KKZZKZ?
    Lösung zeigen
    1. Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
    2. Ereignis: {ZZ}
    3. P = 14
    Ergebnis:
    {ZZ}, P = 14

7Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.

EntdeckenFrage

Ein berühmter Mathematiker meinte, bei zwei Münzwürfen komme mit 2/3 mindestens einmal Kopf. Hatte er recht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Es gibt vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse: KK, KZ, ZK und ZZ. In drei davon kommt Kopf vor, also ist die Wahrscheinlichkeit 3/4. D'Alembert hatte nur drei Fälle gezählt, die nicht gleich wahrscheinlich sind.

MerkenWahrscheinlichkeit durch Abzählen

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.

Beide Zahlen werden gezählt. Bei zwei Würfeln gibt es 36 Paare, die Summe 7 kommt 6-mal vor, also 6/36 = 1/6.

BeispielZwei Würfel: Wahrscheinlichkeit durch Zählen

Du wettest bei zwei Würfeln auf eine Augensumme. Ist die Summe 8 oder die Summe 10 die bessere Wahl? Begründe mit Zählen.
112233445566rot \ blau?
Schritt für Schritt
  1. Summe 8: 5 von 36 Paaren
  2. Summe 10: 3 von 36 Paaren
  3. 5 > 3
  1. Summe 8: 5 von 36 Paaren
  2. Summe 10: 3 von 36 Paaren
  3. 5 > 3
Ergebnis:
Summe 8

AchtungNoch einmal: Wahrscheinlichkeit falsch gedeutet

So nicht
Zwei Würfel, Summe 7: Summen 2 bis 12 sind 11 Ergebnisse, also P = 1/11
So richtig
Zwei Würfel, Summe 7: 6 von 36 Paaren, Summen 2 bis 12 verschieden oft, also P = 1/6

Günstig durch möglich gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Und die Wahrscheinlichkeit sagt die Häufigkeit nur ungefähr voraus.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 4?
    112233445566rot \ blau?
    So fängst du an:
    36 gleich wahrscheinliche Paare
    Lösung zeigen
    1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
    2. Summe 4: (1|3) (2|2) (3|1), das sind 3
    3. P = 336 = 112 ≈ 8,3 %
    Ergebnis:
    112 ≈ 8,3 %
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 9?
    112233445566rot \ blau?
    Lösung zeigen
    1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
    2. Summe 9: (3|6) (4|5) (5|4) (6|3), das sind 4
    3. P = 436 = 19 ≈ 11,1 %
    Ergebnis:
    19 ≈ 11,1 %
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden multipliziert. Wie wahrscheinlich ist ein gerades Produkt?
    Lösung zeigen
    1. Ungerade nur, wenn beide ungerade sind: 3 · 3 = 9 Paare
    2. Gerade: 36 − 9 = 27
    3. P = 2736 = 34 = 75 %
    Ergebnis:
    34 = 75 %

8Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.

EntdeckenFrage

Buffon warf eine Münze 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. War die Münze verdächtig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Erwartet sind 4040 · 0,5 = 2020-mal Kopf. Es kamen 28 mehr, die relative Häufigkeit ist 2048 : 4040 ≈ 0,507. Bei so vielen Würfen sind Abweichungen von einigen Dutzend ganz normal. Die Münze war also nicht verdächtig.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenVorhersage und Abweichung

Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Das Ergebnis schwankt darum. Bei wenigen Versuchen sind große Abweichungen normal, bei vielen selten.

BeispielHäufigkeiten vorhersagen und Abweichungen beurteilen

Ein Glücksrad mit 4 gleichen Feldern, eines davon gewinnt. Versuch A: 8-mal „Gewinn“ bei 20 Versuchen. Versuch B: 80-mal bei 200 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
gegebengesucht20 Versuchen200 Versuchen?
Schritt für Schritt
  1. Erwartet: A 5-mal, B 50-mal
  2. Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
  3. Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten
  1. Erwartet: A 5-mal, B 50-mal
  2. Beide liegen gleich weit über der Erwartung, relativ gesehen
  3. Bei vielen Versuchen sind so große Abweichungen selten
Ergebnis:
Versuch B

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Bei 200 Versuchen (ein Würfel, gezählt wird eine gerade Zahl) kam „gerade Zahl“ 110-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
    So fängst du an:
    Relative Häufigkeit: 110 : 200 ≈ 55 %
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: 110 : 200 ≈ 55 %
    2. Wahrscheinlichkeit: 12 ≈ 50 %
    3. Unterschied: 5 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    55 % gegen 50 %
  2. ●23
    Bei 25 Versuchen (ein Glücksrad mit 5 gleichen Feldern, zwei davon gewinnen) kam „Gewinn“ 11-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: 11 : 25 ≈ 44 %
    2. Wahrscheinlichkeit: 25 ≈ 40 %
    3. Unterschied: 4 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    44 % gegen 40 %
  3. ★24
    Bei 120 Versuchen (ein Würfel, gezählt wird die 6) kam „Sechs“ 24-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: 24 : 120 ≈ 20 %
    2. Wahrscheinlichkeit: 16 ≈ 16,7 %
    3. Unterschied: 3,3 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    20 % gegen 16,7 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Von zu Hause zum Park gibt es 2 Wege (Bus, Rad), von dort zum Schwimmbad 3 Wege (U-Bahn, S-Bahn, Tram). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
    gegebengesucht2 Wege3 Wege?
    Lösung zeigen
    1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn, Bus/Tram
    2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn, Rad/Tram
    3. Zusammen: 2 · 3 = 6
    Ergebnis:
    6 Wege
  2. ●26
    Handyhülle: erst eine Farbe, dann ein Motiv. Zur Wahl stehen schwarz, weiß, rot und danach Streifen, Sterne, Punkte, ohne. Wie viele Pfade hat das Baumdiagramm? Der erste Ast ist gezeichnet.
    schwarzStreifenSternePunkteohneweiß…rot…?
    Lösung zeigen
    1. Stufe 1: 3 Äste
    2. An jedem Ast 4 Zweige
    3. Pfade: 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    12 Möglichkeiten
  3. ●27
    Für ein Foto wählst du eins von 4 Shirts, eine von 2 Hosen und eins von 3 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
    Shirt4·Hose2·Schuhe3?
    Lösung zeigen
    1. Stufen: 4 Shirts, 2 Hosen, 3 Paar Schuhe
    2. Produktregel: 4 · 2 · 3 = 24
    Ergebnis:
    24 Outfits
  4. ●28
    Im Kino sitzen 3 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
    Lösung zeigen
    1. Linker Platz: 3 Kinder, nächster: 2
    2. 3 · 2 · 1 = 6
    3. Jede Sitzordnung ein Abend
    Ergebnis:
    6 Abende
  5. ●29
    Ein Würfel wird 2-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
    2. 6 · 6 = 36
    Ergebnis:
    36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
  6. ●30
    In einer Liga mit 4 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Jede Mannschaft hat 3 Gegner: 4 · 3 = 12
    2. Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
    3. 12 : 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Spiele

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Systematisch zählen
Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.
Produktregel
Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.
Anordnungen
Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.
Das Kapitel im Überblick
Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.
Auswahl ohne Reihenfolge
Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.
Ergebnismenge und Summenregel
Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.
Wahrscheinlichkeit durch Abzählen
Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.
Vorhersage und Abweichung
Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.

    31
    Du hast die Ziffernkarten 6, 7, 9. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67, 69, 76, 79, 96, 97 (6 Zahlen)

  2. Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.

    32
    Die Mensa bietet 2 Vorspeisen, 6 Hauptgerichte und 4 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
    gegebengesucht2 Vorspeisen6 Hauptgerichte4 Nachspeisen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48 Menüs

  3. Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.

    33
    Im Kino sitzen 3 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Abende

  4. Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.

    34
    Ein Würfel wird 2-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 Ergebnisse (mit Wiederholung)

  5. Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

    35
    Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 8 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 Pizzen

  6. Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.

    36
    Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist eine Primzahl.“ Wie groß ist P(A)?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A = {2, 3, 5}, P(A) = 12

  7. Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.

    37
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 11?
    112233445566rot \ blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    118 ≈ 5,6 %

  8. Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.

    38
    Gedreht oder geworfen wird 50-mal: ein Glücksrad mit 5 gleichen Feldern, zwei davon gewinnen. Wie oft erwartest du ungefähr „Gewinn“?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 20-mal

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Systematisches Zählen mit dem Baumdiagramm: erst die erste Stelle festhalten.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Zahlenschloss, Outfits, Turnierpläne und Würfelspiele. Beruf: Sicherheit von Passwörtern in der IT, Varianten in der Produktion, Schichtpläne.

Wörter

Ereignis
das, was passieren kann
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Wahrscheinlichkeit
wie sicher etwas passiert
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Wahrscheinlichkeit, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Wahrscheinlichkeit

Lösungen

  1. 38, 39, 83, 89, 93, 98 (6 Zahlen)
  2. 6 Wege
  3. 9 Kombinationen
  4. 216 Einstellungen, etwa 7 Minuten
  5. 16 Menüs
  6. 10.000 Einstellungen, etwa 333 Minuten
  7. 24 Anordnungen
  8. 6 Anordnungen
  9. 720 Abende
  10. 72 Besetzungen (ohne Wiederholung)
  11. mit Wiederholung 64, ohne Wiederholung 24
  12. mit Wiederholung 4096, ohne Wiederholung 1680
  13. 10 Pizzen
  14. 15 Handschläge
  15. 35 Teams
  16. A = {5, 6}, P(A) = 13
  17. A = {3, 6, 9}, P(A) = 3/10, P(nicht A) = 710
  18. {ZZ}, P = 14
  19. 112 ≈ 8,3 %
  20. 19 ≈ 11,1 %
  21. 34 = 75 %
  22. 55 % gegen 50 %
  23. 44 % gegen 40 %
  24. 20 % gegen 16,7 %
  25. 6 Wege
  26. 12 Möglichkeiten
  27. 24 Outfits
  28. 6 Abende
  29. 36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
  30. 6 Spiele
  31. 67, 69, 76, 79, 96, 97 (6 Zahlen)
  32. 48 Menüs
  33. 6 Abende
  34. 36 Ergebnisse (mit Wiederholung)
  35. 28 Pizzen
  36. A = {2, 3, 5}, P(A) = 12
  37. 118 ≈ 5,6 %
  38. etwa 20-mal
  39. 26 ≈ 33,3 %
  40. 0,22 = 22 %