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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Zählen und Wahrscheinlichkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen werden lang und ungeordnet. Manche Zahlen stehen doppelt da, andere fehlen, und die Gruppen kommen auf verschiedene Anzahlen. Niemand kann beweisen, dass seine Liste vollständig ist. Wer sicher sein will, braucht eine Ordnung: Wir halten die erste Ziffer fest und schreiben alle Fortsetzungen auf, dann die nächste erste Ziffer. Als Bild ist das ein Baum – und seine Pfade kann man zählen, ohne eine Zahl zu vergessen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt: günstige durch mögliche.

  1. ●39
    Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne P(eine rote Karte).
    Lösung zeigen
    1. 16 günstige von 32
    2. 1632 = 0,5
    Ergebnis:
    1632 = 50 %
  2. ●40
    Ein Reißnagel wurde 250-mal geworfen, er landete 76-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,304 = 30,4 %

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZählen heißt Stufe für Stufe wählen

Jede Möglichkeit ist ein Weg durch mehrere Entscheidungen: erst die erste Stelle, dann die zweite. Das Baumdiagramm zeigt jeden Weg als Pfad. Gleich viele Zweige an jedem Ast heißt: Die Anzahlen werden multipliziert.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Baum hat 3 Äste und an jedem Ast 4 Zweige. Warum hat er mehr Pfade, als Äste und Zweige zusammen gezeichnet sind?

1Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.

EntdeckenFrage

Wie lange dauert es, ein Zahlenschloss durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jeder Ring hat 10 Ziffern, also gibt es 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Einstellungen. Braucht jeder Versuch 2 Sekunden, dauert das Durchprobieren im schlimmsten Fall 20.000 Sekunden, also mehr als 5 Stunden.

MerkenSystematisch zählen

Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.

Erst die erste Stelle festhalten und alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste. Aus den Karten 1, 4 und 7 entstehen so 14, 17, 41, 47, 71 und 74.

BeispielMöglichkeiten systematisch auflisten

Von zu Hause zur Bibliothek gibt es 2 Wege (Bus, Rad), von dort zum Jugendclub 3 Wege (U-Bahn, S-Bahn, Tram). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
gegebengesucht2 Wege3 Wege?
Schritt für Schritt
  1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn, Bus/Tram
  2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn, Rad/Tram
  3. Zusammen: 2 · 3 = 6
  1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn, Bus/Tram
  2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn, Rad/Tram
  3. Zusammen: 2 · 3 = 6
Ergebnis:
6 Wege

AchtungMöglichkeit vergessen oder doppelt gezählt

So nicht
Karten 1, 4, 7, zweistellige Zahlen: 14, 41, 17, 71, 47 → 5 Zahlen
So richtig
Mit 1 vorne: 14, 17; mit 4: 41, 47; mit 7: 71, 74 → 6 Zahlen

Ordnen: erste Stelle festhalten, alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste erste Stelle.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lukas hat Shirts in rot, blau, weiß und dazu Jeans, Jogginghose. Schreibe alle Kombinationen aus einem Shirt und einer Hose systematisch auf. Wie viele gibt es?
    rotJeansJogginghoseblau…weiß…?
    So fängst du an:
    Shirt rot: rot/Jeans, rot/Jogginghose
    Lösung zeigen
    1. Shirt rot: rot/Jeans, rot/Jogginghose
    2. Shirt blau: blau/Jeans, blau/Jogginghose
    3. Shirt weiß: weiß/Jeans, weiß/Jogginghose
    4. Zusammen: 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Kombinationen
  2. ●2
    Von zu Hause zum Bahnhof gibt es 2 Wege (Bus, Rad), von dort zum Stadion 2 Wege (U-Bahn, S-Bahn). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
    Lösung zeigen
    1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn
    2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn
    3. Zusammen: 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Wege
  3. ★3
    Von zu Hause zur Schule gibt es 3 Wege (Bus, Rad, zu Fuß), von dort zum Kino 4 Wege (U-Bahn, S-Bahn, Tram, Roller). Liste alle Gesamtwege auf und zähle sie.
    gegebengesucht3 Wege4 Wege?
    Lösung zeigen
    1. Erst Bus: Bus/U-Bahn, Bus/S-Bahn, Bus/Tram, Bus/Roller
    2. Erst Rad: Rad/U-Bahn, Rad/S-Bahn, Rad/Tram, Rad/Roller
    3. Erst zu Fuß: zu Fuß/U-Bahn, zu Fuß/S-Bahn, zu Fuß/Tram, zu Fuß/Roller
    4. Zusammen: 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    12 Wege

2Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.

EntdeckenFrage

Warum sperrt die Bankkarte nach drei falschen PIN-Eingaben – reicht das wirklich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine vierstellige PIN hat 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Möglichkeiten. Wer rät, hat bei drei Versuchen nur 3 von 10.000 Chancen, also 0,03 Prozent. Ohne Sperre könnte man dagegen alle durchprobieren.

MerkenProduktregel

Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.

Bei 3 Shirts, 2 Hosen und 2 Paar Schuhen gibt es 3 · 2 · 2 = 12 Outfits. Im Baumdiagramm ist das die Zahl der Pfade.

BeispielProduktregel: Stufe für Stufe multiplizieren

Ein Fahrradschloss hat 3 Ringe. Jeder Ring zeigt die Ziffern 0 bis 7. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange braucht man, um alle durchzuprobieren, wenn jede 2 Sekunden dauert?
gegebengesucht3 Ringe2 Sekunden?
Schritt für Schritt
  1. Jeder Ring: 8 Möglichkeiten
  2. 8 · 8 · 8 = 512
  3. Zeit: 512 · 2 s = 1024 s ≈ 17 min
  1. Jeder Ring: 8 Möglichkeiten
  2. 8 · 8 · 8 = 512
  3. Zeit: 512 · 2 s = 1024 s ≈ 17 min
Ergebnis:
512 Einstellungen, etwa 17 Minuten

AchtungAddiert statt multipliziert

So nicht
3 Shirts und 4 Hosen: 3 + 4 = 7 Outfits
So richtig
Zu jedem Shirt 4 Hosen: 3 · 4 = 12 Outfits

Jede Wahl der ersten Stufe passt zu jeder der zweiten: multiplizieren. Addiert wird nur, wenn die Äste verschieden sind.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Mensa bietet 4 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
    gegebengesucht4 Vorspeisen4 Hauptgerichte3 Nachspeisen?
    So fängst du an:
    Drei Stufen: 4, 4 und 3 Möglichkeiten
    Lösung zeigen
    1. Drei Stufen: 4, 4 und 3 Möglichkeiten
    2. Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
    3. 4 · 4 · 3 = 48
    Ergebnis:
    48 Menüs
  2. ●5
    Für ein Foto wählst du eins von 4 Shirts, eine von 3 Hosen und eins von 2 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
    Shirt4·Hose3·Schuhe2?
    Lösung zeigen
    1. Stufen: 4 Shirts, 3 Hosen, 2 Paar Schuhe
    2. Produktregel: 4 · 3 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24 Outfits
  3. ★6
    Ein Burger besteht aus einem Brot, einem Belag und einer Soße. Es gibt 3 Brote und 3 Soßen. Insgesamt sind 45 Burger möglich. Wie viele Beläge gibt es?
    gegebengesucht3 Brote3 Soßen45 Burger?
    Lösung zeigen
    1. Produktregel: 3 · ? · 3 = 45
    2. 3 · 3 = 9
    3. 45 : 9 = 5
    Ergebnis:
    5 Beläge

3Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine Saison der Fußball-Bundesliga?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

18 Mannschaften, jede spielt gegen jede andere ein Hinspiel und ein Rückspiel. Hier zählt die Reihenfolge, also 18 · 17 = 306 Spiele, verteilt auf 34 Spieltage mit je 9 Spielen.

MerkenAnordnungen

Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.

Jeder weitere Platz hat eine weniger. Vier Kinder stellen sich auf 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Arten auf.

BeispielAnordnungen in einer Reihe zählen

Im Kino sitzen 4 Kinder nebeneinander in einer Reihe. Jeden Abend tauschen sie die Plätze. Wie viele Abende dauert es, bis sie jede Sitzordnung einmal hatten?
Schritt für Schritt
  1. Linker Platz: 4 Kinder, nächster: 3
  2. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
  3. Jede Sitzordnung ein Abend
  1. Linker Platz: 4 Kinder, nächster: 3
  2. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
  3. Jede Sitzordnung ein Abend
Ergebnis:
24 Abende

AchtungWiederholung übersehen

So nicht
Code aus 3 verschiedenen Ziffern von 1 bis 5: 5 · 5 · 5 = 125
So richtig
Jede Ziffer nur einmal: 5 · 4 · 3 = 60

Darf ein Zeichen nur einmal vorkommen, hat jede weitere Stelle eine Möglichkeit weniger: 5 · 4 · 3 statt 5 · 5 · 5.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben von WOLKE legen, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommt?
    So fängst du an:
    5 verschiedene Buchstaben
    Lösung zeigen
    1. 5 verschiedene Buchstaben
    2. Stelle für Stelle: 5, 4, 3, 2, 1 Möglichkeiten
    3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
    Ergebnis:
    120 Folgen
  2. ●8
    4 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
    Lösung zeigen
    1. Platz 1: 4 Möglichkeiten, Platz 2: noch 3
    2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
    3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
    Ergebnis:
    24 Anordnungen
  3. ★9
    Beim Sportfest laufen 6 Kinder. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Plätze 1, 2 und 3 auf dem Siegertreppchen?
    Lösung zeigen
    1. Platz 1: 6 Möglichkeiten
    2. Platz 2: 5, Platz 3: 4
    3. 6 · 5 · 4 = 120
    Ergebnis:
    120 Möglichkeiten

4Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.

EntdeckenFrage

Warum kommt beim Werfen von zwei Würfeln die Augensumme 7 öfter als die 2 oder die 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Paare. Die 7 entsteht aus sechs davon: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 und umgekehrt. Die 2 entsteht nur aus 1 und 1, die 12 nur aus 6 und 6. Also 6/36 gegen 1/36.

MerkenDas Kapitel im Überblick

Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.

Diese Seite ist dein Spickzettel zum Wiederholen.

BeispielZählen mit und ohne Wiederholung

In einer Gruppe mit 9 Kindern werden Klassensprecher und Stellvertretung gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
Schritt für Schritt
  1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
  2. Klassensprecher: 9, danach Stellvertretung: 8
  3. 9 · 8 = 72
  1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
  2. Klassensprecher: 9, danach Stellvertretung: 8
  3. 9 · 8 = 72
Ergebnis:
72 Besetzungen (ohne Wiederholung)

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Würfel wird 3-mal geworfen, und die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Dürfen Zahlen doppelt vorkommen? Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es?
    So fängst du an:
    Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
    Lösung zeigen
    1. Jeder Wurf kann jede Zahl zeigen: mit Wiederholung
    2. 6 · 6 · 6 = 216
    Ergebnis:
    216 Ergebnisse (mit Wiederholung)
  2. ●11
    Ein Code hat 3 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 6. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
    Lösung zeigen
    1. Doppelt erlaubt: 6 · 6 · 6 = 216
    2. Alle verschieden: 6 · 5 · 4 = 120
    3. Ohne Doppelte sind es 96 weniger
    Ergebnis:
    mit Wiederholung 216, ohne Wiederholung 120
  3. ★12
    In einer Gruppe mit 11 Kindern werden Klassensprecher und Stellvertretung gewählt. Ein Kind kann nicht beide Ämter haben. Mit oder ohne Wiederholung? Wie viele Besetzungen gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Ein Kind nur einmal: ohne Wiederholung
    2. Klassensprecher: 11, danach Stellvertretung: 10
    3. 11 · 10 = 110
    Ergebnis:
    110 Besetzungen (ohne Wiederholung)

5Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

EntdeckenFrage

Wie viele Sitzordnungen gibt es für 25 Kinder in einem Klassenraum?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 · 24 · 23 · … · 2 · 1. Das ist eine Zahl mit 26 Stellen. Selbst wenn man jede Sekunde eine neue Sitzordnung ausprobierte, reichte das ganze Alter des Weltalls, rund 14 Milliarden Jahre, bei Weitem nicht.

MerkenAuswahl ohne Reihenfolge

Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.

Dann teilt man durch die doppelt gezählten. Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.

BeispielAuswahlen ohne Reihenfolge zählen

9 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind reicht 8 anderen die Hand: 9 · 8 = 72
  2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
  3. 72 : 2 = 36
  1. Jedes Kind reicht 8 anderen die Hand: 9 · 8 = 72
  2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
  3. 72 : 2 = 36
Ergebnis:
36 Handschläge

AchtungReihenfolge mitgezählt, obwohl sie egal ist

So nicht
6 Kinder, jedes gibt jedem die Hand: 6 · 5 = 30 Handschläge
So richtig
Jeder Handschlag doppelt gezählt: 6 · 5 : 2 = 15 Handschläge

A mit B ist dasselbe Paar wie B mit A. Mit Reihenfolge zählen und dann durch 2 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 4 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
    So fängst du an:
    Erst mit Reihenfolge: 4 · 3 = 12
    Lösung zeigen
    1. Erst mit Reihenfolge: 4 · 3 = 12
    2. Jedes Paar ist doppelt dabei, einmal vorwärts, einmal rückwärts
    3. 12 : 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Pizzen
  2. ●14
    In einer Liga mit 9 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Jede Mannschaft hat 8 Gegner: 9 · 8 = 72
    2. Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
    3. 72 : 2 = 36
    Ergebnis:
    36 Spiele
  3. ★15
    11 Kinder begrüßen sich, jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind reicht 10 anderen die Hand: 11 · 10 = 110
    2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt
    3. 110 : 2 = 55
    Ergebnis:
    55 Handschläge

6Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.

EntdeckenFrage

Wie wahrscheinlich sind sechs Richtige im Lotto „6 aus 49“?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 13.983.816 Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist. Nur eine davon ist richtig. Die Chance ist also 1 zu knapp 14 Millionen – ohne die Superzahl.

MerkenErgebnismenge und Summenregel

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.

Ein Ereignis ist ein Teil davon, zum Beispiel A = {2, 4, 6} beim Würfel. Seine Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse.

BeispielErgebnismenge und Ereignis angeben

Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „genau einmal Kopf“. Wie wahrscheinlich ist es?
KKZZKZ?
Schritt für Schritt
  1. Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
  2. Ereignis: {KZ, ZK}
  3. P = 24 = 12
  1. Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
  2. Ereignis: {KZ, ZK}
  3. P = 24 = 12
Ergebnis:
{KZ, ZK}, P = 12

AchtungWahrscheinlichkeit falsch gedeutet

So nicht
Zwei Würfel, Summe 7: Summen 2 bis 12 sind 11 Ergebnisse, also P = 1/11
So richtig
Zwei Würfel, Summe 7: 6 von 36 Paaren, Summen 2 bis 12 verschieden oft, also P = 1/6

Günstig durch möglich gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Und die Wahrscheinlichkeit sagt die Häufigkeit nur ungefähr voraus.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „mindestens einmal Kopf“. Wie wahrscheinlich ist es?
    KKZZKZ?
    So fängst du an:
    Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
    Lösung zeigen
    1. Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
    2. Ereignis: {KK, KZ, ZK}
    3. P = 34
    Ergebnis:
    {KK, KZ, ZK}, P = 34
  2. ●17
    Ein Würfel wird einmal geworfen. Gib die Ergebnismenge an und das Ereignis A: „Die Augenzahl ist weniger als 3.“ Wie groß ist P(A)?
    Lösung zeigen
    1. Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    2. A = {1, 2}, das sind 2 Ergebnisse
    3. P(A) = 26 = 13
    Ergebnis:
    A = {1, 2}, P(A) = 13
  3. ★18
    Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „keinmal Kopf“. Wie wahrscheinlich ist es?
    KKZZKZ?
    Lösung zeigen
    1. Ergebnismenge: {KK, KZ, ZK, ZZ}, vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse
    2. Ereignis: {ZZ}
    3. P = 14
    Ergebnis:
    {ZZ}, P = 14

7Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.

EntdeckenFrage

Ein berühmter Mathematiker meinte, bei zwei Münzwürfen komme mit 2/3 mindestens einmal Kopf. Hatte er recht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Es gibt vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse: KK, KZ, ZK und ZZ. In drei davon kommt Kopf vor, also ist die Wahrscheinlichkeit 3/4. D'Alembert hatte nur drei Fälle gezählt, die nicht gleich wahrscheinlich sind.

MerkenWahrscheinlichkeit durch Abzählen

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.

Beide Zahlen werden gezählt. Bei zwei Würfeln gibt es 36 Paare, die Summe 7 kommt 6-mal vor, also 6/36 = 1/6.

BeispielZwei Würfel: Wahrscheinlichkeit durch Zählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 9?
112233445566rot \ blau?
Schritt für Schritt
  1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
  2. Summe 9: (3|6) (4|5) (5|4) (6|3), das sind 4
  3. P = 436 = 19 ≈ 11,1 %
  1. 36 gleich wahrscheinliche Paare
  2. Summe 9: (3|6) (4|5) (5|4) (6|3), das sind 4
  3. P = 436 = 19 ≈ 11,1 %
Ergebnis:
19 ≈ 11,1 %

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch, also zweimal dieselbe Augenzahl? Zähle die günstigen Paare.
    112233445566rot \ blau?
    So fängst du an:
    Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Mögliche Paare: 6 · 6 = 36
    2. Pasch: (1|1), (2|2) bis (6|6), das sind 6
    3. P = 636 = 16
    Ergebnis:
    16 ≈ 16,7 %
  2. ●20
    Du wettest bei zwei Würfeln auf eine Augensumme. Ist die Summe 3 oder die Summe 7 die bessere Wahl? Begründe mit Zählen.
    112233445566rot \ blau?
    Lösung zeigen
    1. Summe 3: 2 von 36 Paaren
    2. Summe 7: 6 von 36 Paaren
    3. 6 > 2
    Ergebnis:
    Summe 7
  3. ★21
    Du wettest bei zwei Würfeln auf eine Augensumme. Ist die Summe 12 oder die Summe 8 die bessere Wahl? Begründe mit Zählen.
    112233445566rot \ blau?
    Lösung zeigen
    1. Summe 12: 1 von 36 Paaren
    2. Summe 8: 5 von 36 Paaren
    3. 5 > 1
    Ergebnis:
    Summe 8

8Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.

EntdeckenFrage

Buffon warf eine Münze 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. War die Münze verdächtig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Erwartet sind 4040 · 0,5 = 2020-mal Kopf. Es kamen 28 mehr, die relative Häufigkeit ist 2048 : 4040 ≈ 0,507. Bei so vielen Würfen sind Abweichungen von einigen Dutzend ganz normal. Die Münze war also nicht verdächtig.

MerkenVorhersage und Abweichung

Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Das Ergebnis schwankt darum. Bei wenigen Versuchen sind große Abweichungen normal, bei vielen selten.

BeispielHäufigkeiten vorhersagen und Abweichungen beurteilen

Bei 600 Versuchen (ein Würfel, gezählt wird die 6) kam „Sechs“ 78-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
Schritt für Schritt
  1. Relative Häufigkeit: 78 : 600 ≈ 13 %
  2. Wahrscheinlichkeit: 16 ≈ 16,7 %
  3. Unterschied: 3,7 Prozentpunkte
  1. Relative Häufigkeit: 78 : 600 ≈ 13 %
  2. Wahrscheinlichkeit: 16 ≈ 16,7 %
  3. Unterschied: 3,7 Prozentpunkte
Ergebnis:
13 % gegen 16,7 %

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Gedreht oder geworfen wird 360-mal: zwei Würfel, gezählt wird ein Pasch. Wie oft erwartest du ungefähr „Pasch“?
    So fängst du an:
    P(Pasch) = 16
    Lösung zeigen
    1. P(Pasch) = 16
    2. Erwartet: 360 · 16 = 60
    3. Das Ergebnis schwankt um diesen Wert
    Ergebnis:
    etwa 60-mal
  2. ●23
    Bei 20 Versuchen (ein Würfel, gezählt wird eine gerade Zahl) kam „gerade Zahl“ 11-mal vor. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der Wahrscheinlichkeit.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: 11 : 20 ≈ 55 %
    2. Wahrscheinlichkeit: 12 ≈ 50 %
    3. Unterschied: 5 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    55 % gegen 50 %
  3. ★24
    Zwei Würfel, gezählt wird ein Pasch. Wie viele Versuche brauchst du ungefähr, damit du etwa 30-mal „Pasch“ erwarten kannst?
    Lösung zeigen
    1. P(Pasch) = 16
    2. Versuche · 16 = 30
    3. Versuche = 30 · 6 : 1 = 180
    Ergebnis:
    etwa 180 Versuche

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Du hast die Ziffernkarten 2, 7, 8. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
    Lösung zeigen
    1. Mit 2 vorne: 27, 28
    2. Mit 7 vorne: 72, 78
    3. Mit 8 vorne: 82, 87
    4. Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen
    Ergebnis:
    27, 28, 72, 78, 82, 87 (6 Zahlen)
  2. ●26
    Eis: erst Waffel oder Becher, dann eine Sorte. Zur Wahl stehen Waffel, Becher und danach Vanille, Schoko, Erdbeere. Wie viele Pfade hat das Baumdiagramm? Der erste Ast ist gezeichnet.
    WaffelVanilleSchokoErdbeereBecher…?
    Lösung zeigen
    1. Stufe 1: 2 Äste
    2. An jedem Ast 3 Zweige
    3. Pfade: 2 · 3 = 6
    Ergebnis:
    6 Möglichkeiten
  3. ●27
    Für ein Foto wählst du eins von 2 Shirts, eine von 2 Hosen und eins von 2 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
    Shirt2·Hose2·Schuhe2?
    Lösung zeigen
    1. Stufen: 2 Shirts, 2 Hosen, 2 Paar Schuhe
    2. Produktregel: 2 · 2 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8 Outfits
  4. ●28
    5 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
    Lösung zeigen
    1. Platz 1: 5 Möglichkeiten, Platz 2: noch 4
    2. Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
    3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
    Ergebnis:
    120 Anordnungen
  5. ●29
    Ein Code hat 3 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 4. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
    Lösung zeigen
    1. Doppelt erlaubt: 4 · 4 · 4 = 64
    2. Alle verschieden: 4 · 3 · 2 = 24
    3. Ohne Doppelte sind es 40 weniger
    Ergebnis:
    mit Wiederholung 64, ohne Wiederholung 24
  6. ●30
    In einer Liga mit 8 Mannschaften spielt jede genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Jede Mannschaft hat 7 Gegner: 8 · 7 = 56
    2. Jedes Spiel gehört zu zwei Mannschaften
    3. 56 : 2 = 28
    Ergebnis:
    28 Spiele

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Systematisch zählen
Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.
Produktregel
Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.
Anordnungen
Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.
Das Kapitel im Überblick
Alle Merksätze des Kapitels auf eine Seite: Begriffe, Regeln, ein Beispiel je Regel.
Auswahl ohne Reihenfolge
Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.
Ergebnismenge und Summenregel
Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.
Wahrscheinlichkeit durch Abzählen
Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.
Vorhersage und Abweichung
Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.

    31
    Du hast die Ziffernkarten 1, 6, 9. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16, 19, 61, 69, 91, 96 (6 Zahlen)

  2. Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.

    32
    Für ein Foto wählst du eins von 2 Shirts, eine von 4 Hosen und eins von 2 Paar Schuhen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
    Shirt2·Hose4·Schuhe2?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Outfits

  3. Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.

    33
    5 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    120 Anordnungen

  4. Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.

    34
    Ein Code hat 3 Stellen, jede Stelle ist eine der Ziffern 1 bis 4. Wie viele Codes gibt es, wenn Ziffern doppelt vorkommen dürfen? Wie viele, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    mit Wiederholung 64, ohne Wiederholung 24

  5. Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

    35
    Für die Pizza darfst du 2 verschiedene Beläge aus 9 Sorten wählen. Wie viele Pizzen sind möglich? Die Reihenfolge der Beläge ist egal.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 Pizzen

  6. Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.

    36
    Eine Münze wird zweimal geworfen (K für Kopf, Z für Zahl). Gib alle Ergebnisse an und das Ereignis „mindestens einmal Kopf“. Wie wahrscheinlich ist es?
    KKZZKZ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    {KK, KZ, ZK}, P = 34

  7. Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.

    37
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch, also zweimal dieselbe Augenzahl? Zähle die günstigen Paare.
    112233445566rot \ blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 ≈ 16,7 %

  8. Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.

    38
    Ein Würfel, gezählt wird eine gerade Zahl. Versuch A: 10-mal „gerade Zahl“ bei 12 Versuchen. Versuch B: 100-mal bei 120 Versuchen. Welcher Versuch lässt eher an einem fairen Gerät zweifeln?
    gegebengesucht12 Versuchen120 Versuchen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Versuch B

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mit den Ziffernkarten 2, 5, 7 und 9 legst du dreistellige Zahlen, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? Schreib sie auf, bis du sicher bist, dass keine fehlt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Systematisches Zählen mit dem Baumdiagramm: erst die erste Stelle festhalten.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Zahlenschloss, Outfits, Turnierpläne und Würfelspiele. Beruf: Sicherheit von Passwörtern in der IT, Varianten in der Produktion, Schichtpläne.

Wörter

Ereignis
das, was passieren kann
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Wahrscheinlichkeit
wie sicher etwas passiert
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Wahrscheinlichkeit, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Wahrscheinlichkeit

Lösungen

  1. 6 Kombinationen
  2. 4 Wege
  3. 12 Wege
  4. 48 Menüs
  5. 24 Outfits
  6. 5 Beläge
  7. 120 Folgen
  8. 24 Anordnungen
  9. 120 Möglichkeiten
  10. 216 Ergebnisse (mit Wiederholung)
  11. mit Wiederholung 216, ohne Wiederholung 120
  12. 110 Besetzungen (ohne Wiederholung)
  13. 6 Pizzen
  14. 36 Spiele
  15. 55 Handschläge
  16. {KK, KZ, ZK}, P = 34
  17. A = {1, 2}, P(A) = 13
  18. {ZZ}, P = 14
  19. 16 ≈ 16,7 %
  20. Summe 7
  21. Summe 8
  22. etwa 60-mal
  23. 55 % gegen 50 %
  24. etwa 180 Versuche
  25. 27, 28, 72, 78, 82, 87 (6 Zahlen)
  26. 6 Möglichkeiten
  27. 8 Outfits
  28. 120 Anordnungen
  29. mit Wiederholung 64, ohne Wiederholung 24
  30. 28 Spiele
  31. 16, 19, 61, 69, 91, 96 (6 Zahlen)
  32. 16 Outfits
  33. 120 Anordnungen
  34. mit Wiederholung 64, ohne Wiederholung 24
  35. 36 Pizzen
  36. {KK, KZ, ZK}, P = 34
  37. 16 ≈ 16,7 %
  38. Versuch B
  39. 1632 = 50 %
  40. 0,304 = 30,4 %