Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele öffnen den Zirkel auf 12 cm : 5 = 2,4 cm und wundern sich, dass die Kreise viel zu groß werden und sich überschneiden. Andere probieren so lange, bis es ungefähr passt. Die Reihe besteht aus fünf Durchmessern: Jeder ist 2,4 cm lang. Der Zirkel wird aber auf den Radius geöffnet, und der ist halb so lang: 1,2 cm.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Zirkelöffnung ist der Radius, und der Durchmesser ist doppelt so lang.

●39
Ein Kreis hat den Radius 3 cm. Wie lang ist sein Durchmesser?
Lösung zeigen
1. Der Durchmesser geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand.
2. Er ist doppelt so lang wie der Radius.
3. 2 · 3 cm = 6 cm
Ergebnis:
6 cm
●40
Ein Kreis um M hat den Radius 3 cm. Der Punkt R ist 5 cm von M entfernt. Liegt R innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises?
Lösung zeigen
1. Vergleiche: R ist 5 cm entfernt, der Radius ist 3 cm.
2. 5 > 3: weiter weg als der Rand.
3. R liegt außerhalb des Kreises.
Ergebnis:
außerhalb des Kreises

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Kreis ist das Ganze: 360°

Ein Kreis lässt sich in Teile schneiden wie eine Torte. Jeder Teil ist ein Bruchteil des Ganzen und hat denselben Bruchteil von 360° als Winkel. Radius und Durchmesser bestimmen die Größe des Kreises, der Mittelpunktswinkel den Anteil.

WeiterdenkenDenk nach

Ist ein Viertel eines großen Kreises ein größerer Anteil als ein Viertel eines kleinen Kreises? Was ist gleich, was nicht?

1Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Seit wann zeichnen Menschen Zahlen als Tortenstücke in einen Kreis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das erste bekannte Kreisdiagramm veröffentlichte der Schotte William Playfair im Jahr 1801. Er zeigte damit, welcher Teil eines Reiches zu welchem Land gehörte. Seine Idee: Ein Anteil am Ganzen ist mit einem Blick zu sehen, wenn das Ganze ein Kreis ist.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenKreis und Kreismuster mit dem Zirkel

Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.

Eine Reihe sich berührender Kreise ist so lang wie alle Durchmesser zusammen.

BeispielKreismuster: Radius und Durchmesser nutzen

Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 3 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?

Schritt für Schritt

Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 2 cm.
Radius: 3 cm + 4 · 2 cm = 11 cm
Durchmesser: 2 · 11 cm = 22 cm

Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 2 cm.
Radius: 3 cm + 4 · 2 cm = 11 cm
Durchmesser: 2 · 11 cm = 22 cm

Ergebnis:

22 cm

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht

Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 8 cm = 11 cm

So richtig

Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 4 cm = 7 cm

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Erst prüfen, welcher gegeben ist.

ÜbenJetzt du

○1
Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 3 cm. Jeder weitere Radius ist 1 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 4. Kreis?
So fängst du an:
Vom 1. bis zum 4. Kreis wächst der Radius 3-mal um 1 cm.
Lösung zeigen
1. Vom 1. bis zum 4. Kreis wächst der Radius 3-mal um 1 cm.
2. Radius: 3 cm + 3 · 1 cm = 6 cm
3. Durchmesser: 2 · 6 cm = 12 cm
Ergebnis:
12 cm
●2
Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 4 cm, der andere den Durchmesser 14 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
Lösung zeigen
1. Radius des zweiten Kreises: 14 cm : 2 = 7 cm
2. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
3. Abstand: 4 cm + 7 cm = 11 cm
Ergebnis:
11 cm
★3
Ein Kreis mit dem Durchmesser 14 cm und ein Kreis mit dem Radius 2 cm berühren sich. Der kleine liegt innen im großen. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
Lösung zeigen
1. Radius des großen Kreises: 14 cm : 2 = 7 cm
2. Die Mittelpunkte liegen auf einer Linie mit dem Berührpunkt.
3. Abstand: 7 cm − 2 cm = 5 cm
Ergebnis:
5 cm

2Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

EntdeckenFrage

Warum hat ein voller Kreis ausgerechnet 360 Grad und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Einteilung geht vermutlich auf die Astronomen Babylons zurück, die im Sechzigersystem rechneten. 360 lässt sich durch sehr viele Zahlen teilen: durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 und mehr. Deshalb haben Halbkreis, Drittel, Viertel und Sechstel ganze Gradzahlen.

MerkenSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Ein Kreisausschnitt ist eine Fläche wie ein Tortenstück.

BeispielSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Eine Fläche wird von den Strecken MU und MV und dem Stück der Kreislinie von U bis V begrenzt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?

Schritt für Schritt

Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
Das heißt Kreisausschnitt.

Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
Das heißt Kreisausschnitt.

Ergebnis:

Kreisausschnitt

AchtungSehne, Bogen und Ausschnitt verwechselt

So nicht

Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Kreisbogen

So richtig

Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Sehne

Sehne: gerade Strecke. Kreisbogen: gebogene Linie. Kreisausschnitt: Fläche mit zwei Radien.

ÜbenJetzt du

○4
Eine Fläche wird von den Strecken MK und ML und dem Stück der Kreislinie von K bis L begrenzt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
So fängst du an:
Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
Lösung zeigen
1. Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
2. Das heißt Kreisausschnitt.
Ergebnis:
Kreisausschnitt
●5
Ist das rot markierte Teil eine Strecke, eine gebogene Linie oder eine Fläche? Wie heißt es?
Lösung zeigen
1. Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
2. Das heißt Durchmesser.
Ergebnis:
Durchmesser
★6
Eine Strecke verbindet die Punkte A und B auf dem Kreis und geht durch den Mittelpunkt M. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
Lösung zeigen
1. Es ist eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
2. Das heißt Durchmesser.
Ergebnis:
Durchmesser

3Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

EntdeckenFrage

Wie viel Grad liegen zwischen zwei Kapseln des Riesenrads London Eye?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das London Eye hat 32 Kapseln in gleichen Abständen: 360° : 32 = 11,25°. Für eine volle Umdrehung braucht das Rad etwa 30 Minuten, in jeder Minute dreht es sich also um etwa 12°.

MerkenAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.

So ist 1/4 des Kreises 360° : 4 = 90°, und 120° sind 120/360 = 1/3 des Kreises.

BeispielAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 144°. Welcher Anteil des Kreises ist das?

Schritt für Schritt

Der ganze Kreis hat 360°.
Anteil: 144360
Gekürzt: 144360 = 25

Der ganze Kreis hat 360°.
Anteil: 144360
Gekürzt: 144360 = 25

Ergebnis:

AchtungMit 100 statt 360 gerechnet

So nicht

1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°

So richtig

1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Kreisausschnitt ist 16 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
So fängst du an:
Der ganze Kreis hat 360°.
Lösung zeigen
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. 16 des Kreises: 360° : 6 = 60°
3. Der Mittelpunktswinkel ist 60°.
Ergebnis:
60°
●8
Ein Kreisausschnitt ist 1112 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
Lösung zeigen
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. 112 des Kreises: 360° : 12 = 30°
3. 1112 des Kreises: 11 · 30° = 330°
Ergebnis:
330°
★9
Ein Kreisausschnitt ist 49 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
Lösung zeigen
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. 19 des Kreises: 360° : 9 = 40°
3. 49 des Kreises: 4 · 40° = 160°
Ergebnis:
160°

4Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

EntdeckenFrage

Wie oft stehen Minutenzeiger und Stundenzeiger in zwölf Stunden genau übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur 11-mal, nicht 12-mal. Der Minutenzeiger dreht sich 6° je Minute, der Stundenzeiger nur 0,5°. Er holt also 5,5° je Minute auf und braucht für eine ganze Runde Vorsprung etwas mehr als eine Stunde. Zwischen 11 Uhr und 1 Uhr treffen sie sich deshalb nur einmal, um 12 Uhr.

MerkenDrehungen als Teil einer Umdrehung

Eine volle Umdrehung sind 360°.

Der Minutenzeiger schafft sie in 60 Minuten, also 6° je Minute. Der Stundenzeiger braucht 12 Stunden, also 30° je Stunde.

BeispielDrehungen: Zeiger und Karussell

Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 5 Uhr bis 9 Uhr?

Schritt für Schritt

In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
In 4 Stunden: 4 · 30° = 120°

In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
In 4 Stunden: 4 · 30° = 120°

Ergebnis:

120°

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Karussell macht 12 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
So fängst du an:
12 Umdrehung: 360° : 2 = 180°
Lösung zeigen
1. 12 Umdrehung: 360° : 2 = 180°
2. 12 Umdrehung: 1 · 180° = 180°
Ergebnis:
180°
●11
Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 5 Uhr bis 7 Uhr?
Lösung zeigen
1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
3. In 2 Stunden: 2 · 30° = 60°
Ergebnis:
60°
★12
Es ist 6 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 42 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
Lösung zeigen
1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
3. In 42 Minuten: 42 · 6° = 252°
Ergebnis:
252°

5Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man die fünf olympischen Ringe so, dass alle gleich groß sind und sich richtig überlappen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle fünf Ringe haben denselben Radius, also dieselbe Zirkelöffnung. Die Mittelpunkte der oberen drei liegen in gleichen Abständen nebeneinander, die unteren zwei genau dazwischen und etwas tiefer. Pierre de Coubertin entwarf das Zeichen 1913; die fünf Ringe stehen für die fünf Erdteile.

MerkenKreisdiagramm zeichnen

Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.

Erst den Winkel für eine Person ausrechnen, dann mal die Anzahl jeder Gruppe. Zur Probe ergeben alle Winkel 360°.

BeispielKreisdiagramm: Winkel aus Anzahlen

Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Wie kommst du zur Schule?“. Es wurden 36 Kinder befragt, davon antworteten 6 mit „Bus“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?

Schritt für Schritt

Alle 36 Kinder zusammen: 360°.
Ein Kind: 360° : 36 = 10°
Bus: 6 · 10° = 60°

Alle 36 Kinder zusammen: 360°.
Ein Kind: 360° : 36 = 10°
Bus: 6 · 10° = 60°

Ergebnis:

60°

AchtungWinkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht

24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°

So richtig

24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

○13
Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Wie kommst du zur Schule?“. Es wurden 18 Kinder befragt, davon antworteten 7 mit „Auto“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?
So fängst du an:
Alle 18 Kinder zusammen: 360°.
Lösung zeigen
1. Alle 18 Kinder zusammen: 360°.
2. Ein Kind: 360° : 18 = 20°
3. Auto: 7 · 20° = 140°
Ergebnis:
140°
●14
Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Wie kommst du zur Schule?“. Es wurden 20 Kinder befragt, davon antworteten 4 mit „Fahrrad“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?
Lösung zeigen
1. Alle 20 Kinder zusammen: 360°.
2. Ein Kind: 360° : 20 = 18°
3. Fahrrad: 4 · 18° = 72°
Ergebnis:
72°
★15
60 Kinder wurden gefragt: „Wo warst du in den Ferien?“ Die Antworten: zu Hause: 7, Ostsee: 32, Berge: 15, Ausland: 6. Berechne alle Winkel für ein Kreisdiagramm.
Lösung zeigen
1. Ein Kind: 360° : 60 = 6°
2. zu Hause: 7 · 6° = 42°
3. Ostsee: 32 · 6° = 192°
4. Berge: 15 · 6° = 90°
5. Ausland: 6 · 6° = 36°
Ergebnis:
zu Hause 42°, Ostsee 192°, Berge 90°, Ausland 36°

6Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

EntdeckenFrage

Warum sind Kanaldeckel auf der Straße meistens rund?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein runder Deckel kann nicht in sein eigenes Loch fallen. Jede Sehne quer durch den Kreis ist höchstens so lang wie der Durchmesser, und durch eine kürzere Öffnung passt er nicht. Ein quadratischer Deckel dagegen rutscht schräg hindurch, weil seine Diagonale länger ist als die Seite.

MerkenAus dem Kreisdiagramm ablesen

Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.

Denselben Anteil nimmt man von der Gesamtzahl.

BeispielKreisdiagramm lesen: Anzahlen berechnen

18 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „zu Hause“ oder „Ostsee“ zusammen?

Schritt für Schritt

Zusammen: 200° + 60° = 260°
Anteil: 1318
18 · 260 : 360 = 13

Zusammen: 200° + 60° = 260°
Anteil: 1318
18 · 260 : 360 = 13

Ergebnis:

AchtungNoch einmal: Winkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht

24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°

So richtig

24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

○16
30 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „zu Hause“ oder „Ausland“ zusammen?
So fängst du an:
Zusammen: 36° + 180° = 216°
Lösung zeigen
1. Zusammen: 36° + 180° = 216°
2. Anteil: 35
3. 30 · 216 : 360 = 18
Ergebnis:
18
●17
12 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „Banane“ oder „Apfel“ zusammen?
Lösung zeigen
1. Zusammen: 30° + 120° = 150°
2. Anteil: 512
3. 12 · 150 : 360 = 5
Ergebnis:
5
★18
Es wurden 40 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Ostsee“ als „Berge“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
Lösung zeigen
1. Ostsee: 40 · 243 : 360 = 27
2. Berge: 40 · 63 : 360 = 7
3. Unterschied: 27 − 7 = 20
Ergebnis:
20

7Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet der Wetterdienst die Monatstemperaturen von Berlin als Säulen oder Linie und nie als Tortendiagramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen, zusammen 360°. Die Temperaturen von zwölf Monaten ergeben zusammen kein sinnvolles Ganzes. Ein kalter Januar kann sogar unter 0 °C liegen, dafür gibt es kein Tortenstück. Säulen zeigen jeden Monat für sich und lassen sich vergleichen.

MerkenKreis oder Säulen?

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.

Ein Säulendiagramm vergleicht Werte nebeneinander. Ergeben die Werte zusammen kein Ganzes, wie Temperaturen oder Mehrfachnennungen, passt nur das Säulendiagramm.

BeispielKreisdiagramm oder Säulendiagramm?

Ein Verein schießt an vier Spieltagen 0, 0, 4, 1 Tore. Man will sehen, an welchem Spieltag es die meisten waren. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?

Schritt für Schritt

Die Tore je Spieltag sind kein Ganzes, das man aufteilt. Man vergleicht Höhen.
Ein Kreisdiagramm passt hier nicht: Das Säulendiagramm ist richtig.

Die Tore je Spieltag sind kein Ganzes, das man aufteilt. Man vergleicht Höhen.
Ein Kreisdiagramm passt hier nicht: Das Säulendiagramm ist richtig.

Ergebnis:

nein

AchtungKreisdiagramm für Werte ohne gemeinsames Ganzes

So nicht

Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → Kreisdiagramm

So richtig

Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → kein Ganzes → Säulendiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen. Temperaturen oder Mehrfachnennungen gehören in Säulen.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Verein schießt an vier Spieltagen 2, 2, 2, 2 Tore. Man will sehen, an welchem Spieltag es die meisten waren. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
So fängst du an:
Die Tore je Spieltag sind kein Ganzes, das man aufteilt. Man vergleicht Höhen.
Lösung zeigen
1. Die Tore je Spieltag sind kein Ganzes, das man aufteilt. Man vergleicht Höhen.
2. Ein Kreisdiagramm passt hier nicht: Das Säulendiagramm ist richtig.
Ergebnis:
nein
●20
Ein Verein schießt an vier Spieltagen 5, 2, 4, 4 Tore. Man will sehen, an welchem Spieltag es die meisten waren. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
Lösung zeigen
1. Die Tore je Spieltag sind kein Ganzes, das man aufteilt. Man vergleicht Höhen.
2. Ein Kreisdiagramm passt hier nicht: Das Säulendiagramm ist richtig.
Ergebnis:
nein
★21
Ein Verein schießt an vier Spieltagen 1, 4, 3, 5 Tore. Man will sehen, an welchem Spieltag es die meisten waren. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
Lösung zeigen
1. Die Tore je Spieltag sind kein Ganzes, das man aufteilt. Man vergleicht Höhen.
2. Ein Kreisdiagramm passt hier nicht: Das Säulendiagramm ist richtig.
Ergebnis:
nein

8Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

EntdeckenFrage

Passen zwei CDs nebeneinander auf ein A4-Blatt, ohne überzustehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine CD hat 12 cm Durchmesser. Zwei nebeneinander brauchen 24 cm Länge und 12 cm Breite. Ein A4-Blatt ist 21 cm breit und 29,7 cm lang. Quer passt es nicht, der Länge nach schon.

MerkenSachaufgaben rund um den Kreis

Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Der ganze Kreis hat 360°, ein Teil davon ist ein Bruchteil. Zur Probe ergeben alle Teile den ganzen Kreis.

BeispielSachaufgaben mit Kreisen

Eine Pizza wird in 12 gleich große Stücke geschnitten. 3 Kinder essen je 3 Stücke. Welcher Winkel ist von der Pizza noch übrig?

Schritt für Schritt

Ein Stück: 360° : 12 = 30°
Gegessen: 3 · 3 = 9 Stücke, übrig 3
3 · 30° = 90°

Ein Stück: 360° : 12 = 30°
Gegessen: 3 · 3 = 9 Stücke, übrig 3
3 · 30° = 90°

Ergebnis:

90°

AchtungNur den Stammbruch gerechnet, Zähler vergessen

So nicht

3/4 von 360° → 90°

So richtig

3/4 von 360° → 90° · 3 = 270°

Rechne erst ein Teil aus. Nimm es dann so oft, wie der Zähler sagt.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 150°, Blau hat 140°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
So fängst du an:
Rot und Blau: 150° + 140° = 290°
Lösung zeigen
1. Rot und Blau: 150° + 140° = 290°
2. Gelb: 360° − 290° = 70°
3. Anteil: 70360 = 736
Ergebnis:
70°, 736
●23
Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 70°, Blau hat 60°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
Lösung zeigen
1. Rot und Blau: 70° + 60° = 130°
2. Gelb: 360° − 130° = 230°
3. Anteil: 230360 = 2336
Ergebnis:
230°, 2336
★24
Paul teilt sein Taschengeld von 60,00 € in einem Kreisdiagramm auf. „Sparen“ hat einen Winkel von 36°. Wie viel Geld spart Paul?
Lösung zeigen
1. Anteil: 36360 = 110
2. 60,00 € : 360 · 36 = 6,00 €
Ergebnis:
6,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 6 cm, der andere den Durchmesser 12 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
Lösung zeigen
1. Radius des zweiten Kreises: 12 cm : 2 = 6 cm
2. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
3. Abstand: 6 cm + 6 cm = 12 cm
Ergebnis:
12 cm
●26
Ein Kreis um M hat den Radius 6 cm, ein Kreis um N den Durchmesser 4 cm. Der Abstand von M und N ist 8 cm. Wie liegen die Kreise zueinander?
Lösung zeigen
1. Radius um N: 4 cm : 2 = 2 cm
2. Beide Radien zusammen: 6 cm + 2 cm = 8 cm
3. 8 cm ist genau 8 cm: Die Kreise treffen sich in einem Punkt.
4. Die Kreise: berühren sich.
Ergebnis:
berühren sich
●27
Wie heißt das rot markierte Teil des Kreises?
Lösung zeigen
1. Schau auf die Form: eine Strecke von M zum Kreis.
2. Das heißt Radius.
Ergebnis:
Radius
●28
Kann eine Sehne in einem Kreis mit dem Durchmesser 14 cm genau 14 cm lang sein?
Lösung zeigen
1. Die längste Sehne ist der Durchmesser.
2. Der Durchmesser ist 14 cm lang.
3. 14 cm ist genau der Durchmesser: Das geht.
Ergebnis:
ja
●29
Im Bild ist ein Kreisausschnitt gefärbt. Sein Mittelpunktswinkel steht darin. Welchen Teil des ganzen Kreises bedeckt er?
Lösung zeigen
1. Der Ausschnitt hat 200° von 360°.
2. Anteil: 200360
3. Gekürzt: 200360 = 59
Ergebnis:
59
●30
Jedes Stück einer runden Torte hat an der Spitze einen Winkel von 36°. Alle Stücke sind gleich groß. Wie viele Stücke sind es?
Lösung zeigen
1. Die Winkel aller Stücke ergeben 360°.
2. Wie oft passt 36° in 360°?
3. 360° : 36° = 10
Ergebnis:
10 Stücke

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kreis und Kreismuster mit dem Zirkel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Sehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt: Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Anteil und Mittelpunktswinkel: Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.
Drehungen als Teil einer Umdrehung: Eine volle Umdrehung sind 360°.
Kreisdiagramm zeichnen: Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.
Aus dem Kreisdiagramm ablesen: Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.
Kreis oder Säulen?: Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.
Sachaufgaben rund um den Kreis: Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.
31
Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 2 cm, der andere den Durchmesser 8 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 cm
Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.
32
Eine Strecke verbindet die Punkte A und B auf dem Kreis. Sie geht nicht durch den Mittelpunkt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Sehne
Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.
33
Im Bild ist ein Kreisausschnitt gefärbt. Sein Mittelpunktswinkel steht darin. Welchen Teil des ganzen Kreises bedeckt er?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16
Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).
34
Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 8 Uhr bis 10 Uhr?
Lösung zeigen
Ergebnis:
60°
Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.
35
Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Welches Obst isst du am liebsten?“. Es wurden 24 Kinder befragt, davon antworteten 5 mit „Apfel“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
75°
Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.
36
Es wurden 30 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Fische“ als „Katze“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
Lösung zeigen
Ergebnis:
15
Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.
37
Ein Verein schießt an vier Spieltagen 1, 2, 1, 4 Tore. Man will sehen, an welchem Spieltag es die meisten waren. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein
Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.
38
Ein Rasensprenger dreht sich um 270° hin und her. Welchen Teil einer vollen Runde bewässert er?
Lösung zeigen
Ergebnis:
34

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, eine Reihe besteht aus Durchmessern.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tortenstücke, Uhren, Riesenrad, Umfragen in der Klasse. Beruf: Marktforschung und Zeitungsgrafik, Maschinenbau, Konditorei.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Durchmesser: einmal quer durch den Kreis
Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Brüche und Dezimalzahlen, Winkel an Geraden und in Figuren

Darauf baut auf: Kreis und Zylinder

Lösungen

12 cm
11 cm
5 cm
Kreisausschnitt
Durchmesser
Durchmesser
60°
330°
160°
180°
60°
252°
140°
72°
zu Hause 42°, Ostsee 192°, Berge 90°, Ausland 36°
18
5
20
nein
nein
nein
70°, 736
230°, 2336
6,00 €
12 cm
berühren sich
Radius
ja
59
10 Stücke
6 cm
Sehne
16
60°
75°
15
nein
34
6 cm
außerhalb des Kreises