Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele öffnen den Zirkel auf 12 cm : 5 = 2,4 cm und wundern sich, dass die Kreise viel zu groß werden und sich überschneiden. Andere probieren so lange, bis es ungefähr passt. Die Reihe besteht aus fünf Durchmessern: Jeder ist 2,4 cm lang. Der Zirkel wird aber auf den Radius geöffnet, und der ist halb so lang: 1,2 cm.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Zirkelöffnung ist der Radius, und der Durchmesser ist doppelt so lang.

●39
Wie viele Kreise mit dem Radius 3 cm passen nebeneinander auf eine Strecke von 36 cm?
Lösung zeigen
1. Ein Kreis braucht seinen Durchmesser: 2 · 3 cm = 6 cm.
2. 36 cm : 6 cm = 6
3. Es passen 6 Kreise nebeneinander.
Ergebnis:
6 Kreise
●40
Lea steckt den Zirkel in M und öffnet ihn 3 cm weit. Der Punkt P liegt 1 cm von M entfernt. Trifft der Kreis den Punkt P, oder liegt P innen oder außen?
Lösung zeigen
1. Vergleiche: P ist 1 cm entfernt, der Radius ist 3 cm.
2. 1 < 3: näher an M als der Rand.
3. P liegt innerhalb des Kreises.
Ergebnis:
innerhalb des Kreises

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Kreis ist das Ganze: 360°

Ein Kreis lässt sich in Teile schneiden wie eine Torte. Jeder Teil ist ein Bruchteil des Ganzen und hat denselben Bruchteil von 360° als Winkel. Radius und Durchmesser bestimmen die Größe des Kreises, der Mittelpunktswinkel den Anteil.

WeiterdenkenDenk nach

Ist ein Viertel eines großen Kreises ein größerer Anteil als ein Viertel eines kleinen Kreises? Was ist gleich, was nicht?

1Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Seit wann zeichnen Menschen Zahlen als Tortenstücke in einen Kreis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das erste bekannte Kreisdiagramm veröffentlichte der Schotte William Playfair im Jahr 1801. Er zeigte damit, welcher Teil eines Reiches zu welchem Land gehörte. Seine Idee: Ein Anteil am Ganzen ist mit einem Blick zu sehen, wenn das Ganze ein Kreis ist.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenKreis und Kreismuster mit dem Zirkel

Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.

Eine Reihe sich berührender Kreise ist so lang wie alle Durchmesser zusammen.

BeispielKreismuster: Radius und Durchmesser nutzen

Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 3 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?

Schritt für Schritt

Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 2 cm.
Radius: 3 cm + 4 · 2 cm = 11 cm
Durchmesser: 2 · 11 cm = 22 cm

Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 2 cm.
Radius: 3 cm + 4 · 2 cm = 11 cm
Durchmesser: 2 · 11 cm = 22 cm

Ergebnis:

22 cm

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht

Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 8 cm = 11 cm

So richtig

Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 4 cm = 7 cm

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Erst prüfen, welcher gegeben ist.

ÜbenJetzt du

○1
6 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 36 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
So fängst du an:
Die Reihe besteht aus 6 Durchmessern.
Lösung zeigen
1. Die Reihe besteht aus 6 Durchmessern.
2. Durchmesser: 36 cm : 6 = 6 cm
3. Radius: 6 cm : 2 = 3 cm
Ergebnis:
3 cm
●2
4 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 16 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
Lösung zeigen
1. Die Reihe besteht aus 4 Durchmessern.
2. Durchmesser: 16 cm : 4 = 4 cm
3. Radius: 4 cm : 2 = 2 cm
Ergebnis:
2 cm
★3
Ein Kreis mit dem Durchmesser 16 cm und ein Kreis mit dem Radius 5 cm berühren sich. Der kleine liegt innen im großen. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
Lösung zeigen
1. Radius des großen Kreises: 16 cm : 2 = 8 cm
2. Die Mittelpunkte liegen auf einer Linie mit dem Berührpunkt.
3. Abstand: 8 cm − 5 cm = 3 cm
Ergebnis:
3 cm

2Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

EntdeckenFrage

Warum hat ein voller Kreis ausgerechnet 360 Grad und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Einteilung geht vermutlich auf die Astronomen Babylons zurück, die im Sechzigersystem rechneten. 360 lässt sich durch sehr viele Zahlen teilen: durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 und mehr. Deshalb haben Halbkreis, Drittel, Viertel und Sechstel ganze Gradzahlen.

MerkenSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Ein Kreisausschnitt ist eine Fläche wie ein Tortenstück.

BeispielSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Wie heißt das rot markierte Teil des Kreises?

Schritt für Schritt

Schau auf die Form: eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Das heißt Sehne.

Schau auf die Form: eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Das heißt Sehne.

Ergebnis:

Sehne

AchtungSehne, Bogen und Ausschnitt verwechselt

So nicht

Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Kreisbogen

So richtig

Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Sehne

Sehne: gerade Strecke. Kreisbogen: gebogene Linie. Kreisausschnitt: Fläche mit zwei Radien.

ÜbenJetzt du

○4
Ein gebogenes Stück der Kreislinie reicht von A bis B. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
So fängst du an:
Es ist eine gebogene Linie, ein Stück vom Kreis.
Lösung zeigen
1. Es ist eine gebogene Linie, ein Stück vom Kreis.
2. Das heißt Kreisbogen.
Ergebnis:
Kreisbogen
●5
Eine Strecke verbindet die Punkte C und D auf dem Kreis und geht durch den Mittelpunkt M. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
Lösung zeigen
1. Es ist eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
2. Das heißt Durchmesser.
Ergebnis:
Durchmesser
★6
Ist das rot markierte Teil eine Strecke, eine gebogene Linie oder eine Fläche? Wie heißt es?
Lösung zeigen
1. Schau auf die Form: eine Strecke von M zum Kreis.
2. Das heißt Radius.
Ergebnis:
Radius

3Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

EntdeckenFrage

Wie viel Grad liegen zwischen zwei Kapseln des Riesenrads London Eye?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das London Eye hat 32 Kapseln in gleichen Abständen: 360° : 32 = 11,25°. Für eine volle Umdrehung braucht das Rad etwa 30 Minuten, in jeder Minute dreht es sich also um etwa 12°.

MerkenAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.

So ist 1/4 des Kreises 360° : 4 = 90°, und 120° sind 120/360 = 1/3 des Kreises.

BeispielAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 280°. Welcher Anteil des Kreises ist das?

Schritt für Schritt

Der ganze Kreis hat 360°.
Anteil: 280360
Gekürzt: 280360 = 79

Der ganze Kreis hat 360°.
Anteil: 280360
Gekürzt: 280360 = 79

Ergebnis:

AchtungMit 100 statt 360 gerechnet

So nicht

1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°

So richtig

1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Kreisausschnitt ist 25 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
So fängst du an:
Der ganze Kreis hat 360°.
Lösung zeigen
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. 15 des Kreises: 360° : 5 = 72°
3. 25 des Kreises: 2 · 72° = 144°
Ergebnis:
144°
●8
Ein Kreisausschnitt ist 712 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
Lösung zeigen
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. 112 des Kreises: 360° : 12 = 30°
3. 712 des Kreises: 7 · 30° = 210°
Ergebnis:
210°
★9
Was ist größer: 1718 eines Kreises oder ein Kreisausschnitt mit 108°?
Lösung zeigen
1. 1718 des Kreises: 360° : 18 · 17 = 340°
2. Vergleich: 340° und 108°
3. Größer ist 17/18.
Ergebnis:
1718

4Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

EntdeckenFrage

Wie oft stehen Minutenzeiger und Stundenzeiger in zwölf Stunden genau übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur 11-mal, nicht 12-mal. Der Minutenzeiger dreht sich 6° je Minute, der Stundenzeiger nur 0,5°. Er holt also 5,5° je Minute auf und braucht für eine ganze Runde Vorsprung etwas mehr als eine Stunde. Zwischen 11 Uhr und 1 Uhr treffen sie sich deshalb nur einmal, um 12 Uhr.

MerkenDrehungen als Teil einer Umdrehung

Eine volle Umdrehung sind 360°.

Der Minutenzeiger schafft sie in 60 Minuten, also 6° je Minute. Der Stundenzeiger braucht 12 Stunden, also 30° je Stunde.

BeispielDrehungen: Zeiger und Karussell

Es ist 8 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 45 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?

Schritt für Schritt

In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
In einer Minute: 360° : 60 = 6°
In 45 Minuten: 45 · 6° = 270°

In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
In einer Minute: 360° : 60 = 6°
In 45 Minuten: 45 · 6° = 270°

Ergebnis:

270°

AchtungNoch einmal: Mit 100 statt 360 gerechnet

So nicht

1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°

So richtig

1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

○10
Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 4 Uhr bis 8 Uhr?
So fängst du an:
In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
Lösung zeigen
1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
3. In 4 Stunden: 4 · 30° = 120°
Ergebnis:
120°
●11
Ein Karussell macht 13 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
Lösung zeigen
1. 13 Umdrehung: 360° : 3 = 120°
2. 13 Umdrehung: 1 · 120° = 120°
Ergebnis:
120°
★12
Es ist 2 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 24 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
Lösung zeigen
1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
3. In 24 Minuten: 24 · 6° = 144°
Ergebnis:
144°

5Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man die fünf olympischen Ringe so, dass alle gleich groß sind und sich richtig überlappen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle fünf Ringe haben denselben Radius, also dieselbe Zirkelöffnung. Die Mittelpunkte der oberen drei liegen in gleichen Abständen nebeneinander, die unteren zwei genau dazwischen und etwas tiefer. Pierre de Coubertin entwarf das Zeichen 1913; die fünf Ringe stehen für die fünf Erdteile.

MerkenKreisdiagramm zeichnen

Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.

Erst den Winkel für eine Person ausrechnen, dann mal die Anzahl jeder Gruppe. Zur Probe ergeben alle Winkel 360°.

BeispielKreisdiagramm: Winkel aus Anzahlen

24 Kinder wurden gefragt: „Welches Haustier hast du?“ Die Antworten: Hund: 4, Katze: 14, Fische: 6. Welchen Winkel bekommt „Hund“ im Kreisdiagramm?

Schritt für Schritt

Alle 24 Kinder zusammen: 360°.
Ein Kind: 360° : 24 = 15°
Hund: 4 · 15° = 60°

Alle 24 Kinder zusammen: 360°.
Ein Kind: 360° : 24 = 15°
Hund: 4 · 15° = 60°

Ergebnis:

60°

AchtungWinkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht

24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°

So richtig

24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

○13
36 Kinder wurden gefragt: „Wo warst du in den Ferien?“ Die Antworten: zu Hause: 5, Ostsee: 23, Berge: 8. Welchen Winkel bekommt „zu Hause“ im Kreisdiagramm?
So fängst du an:
Alle 36 Kinder zusammen: 360°.
Lösung zeigen
1. Alle 36 Kinder zusammen: 360°.
2. Ein Kind: 360° : 36 = 10°
3. zu Hause: 5 · 10° = 50°
Ergebnis:
50°
●14
Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Wie kommst du zur Schule?“. Es wurden 36 Kinder befragt, davon antworteten 4 mit „Fahrrad“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?
Lösung zeigen
1. Alle 36 Kinder zusammen: 360°.
2. Ein Kind: 360° : 36 = 10°
3. Fahrrad: 4 · 10° = 40°
Ergebnis:
40°
★15
24 Kinder wurden gefragt: „Wie kommst du zur Schule?“ Die Antworten: zu Fuß: 2, Fahrrad: 3, Bus: 16, Auto: 3. Berechne alle Winkel für ein Kreisdiagramm.
Lösung zeigen
1. Ein Kind: 360° : 24 = 15°
2. zu Fuß: 2 · 15° = 30°
3. Fahrrad: 3 · 15° = 45°
4. Bus: 16 · 15° = 240°
5. Auto: 3 · 15° = 45°
Ergebnis:
zu Fuß 30°, Fahrrad 45°, Bus 240°, Auto 45°

6Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

EntdeckenFrage

Warum sind Kanaldeckel auf der Straße meistens rund?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein runder Deckel kann nicht in sein eigenes Loch fallen. Jede Sehne quer durch den Kreis ist höchstens so lang wie der Durchmesser, und durch eine kürzere Öffnung passt er nicht. Ein quadratischer Deckel dagegen rutscht schräg hindurch, weil seine Diagonale länger ist als die Seite.

MerkenAus dem Kreisdiagramm ablesen

Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.

Denselben Anteil nimmt man von der Gesamtzahl.

BeispielKreisdiagramm lesen: Anzahlen berechnen

Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 36 Kindern auf die Frage „Welches Obst isst du am liebsten?“ Wie viele Kinder antworteten „Apfel“?

Schritt für Schritt

„Apfel“ hat 140° von 360°.
Anteil: 140360 = 718
Apfel: 36 · 140 : 360 = 14

„Apfel“ hat 140° von 360°.
Anteil: 140360 = 718
Apfel: 36 · 140 : 360 = 14

Ergebnis:

AchtungNoch einmal: Winkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht

24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°

So richtig

24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

○16
Es wurden 12 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Fußball“ als „Schwimmen“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
So fängst du an:
Fußball: 12 · 120 : 360 = 4
Lösung zeigen
1. Fußball: 12 · 120 : 360 = 4
2. Schwimmen: 12 · 30 : 360 = 1
3. Unterschied: 4 − 1 = 3
Ergebnis:
3
●17
Es wurden 36 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Bus“ als „zu Fuß“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
Lösung zeigen
1. Bus: 36 · 160 : 360 = 16
2. zu Fuß: 36 · 150 : 360 = 15
3. Unterschied: 16 − 15 = 1
Ergebnis:
1
★18
24 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „Erdbeere“ oder „Apfel“ zusammen?
Lösung zeigen
1. Zusammen: 105° + 90° = 195°
2. Anteil: 1324
3. 24 · 195 : 360 = 13
Ergebnis:
13

7Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet der Wetterdienst die Monatstemperaturen von Berlin als Säulen oder Linie und nie als Tortendiagramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen, zusammen 360°. Die Temperaturen von zwölf Monaten ergeben zusammen kein sinnvolles Ganzes. Ein kalter Januar kann sogar unter 0 °C liegen, dafür gibt es kein Tortenstück. Säulen zeigen jeden Monat für sich und lassen sich vergleichen.

MerkenKreis oder Säulen?

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.

Ein Säulendiagramm vergleicht Werte nebeneinander. Ergeben die Werte zusammen kein Ganzes, wie Temperaturen oder Mehrfachnennungen, passt nur das Säulendiagramm.

BeispielKreisdiagramm oder Säulendiagramm?

Bei der Wahl zur Klassensprecherin bekam Ada 11 Stimmen, Ben 7 und Cem 7. Alle 25 Kinder haben genau einmal gewählt. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?

Schritt für Schritt

Jede Stimme zählt einmal: Die Stimmen sind Teile eines Ganzen, 25 Stimmen.
Also passt ein Kreisdiagramm.

Jede Stimme zählt einmal: Die Stimmen sind Teile eines Ganzen, 25 Stimmen.
Also passt ein Kreisdiagramm.

Ergebnis:

Kreisdiagramm

AchtungKreisdiagramm für Werte ohne gemeinsames Ganzes

So nicht

Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → Kreisdiagramm

So richtig

Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → kein Ganzes → Säulendiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen. Temperaturen oder Mehrfachnennungen gehören in Säulen.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Verein schießt an vier Spieltagen 2, 4, 4, 4 Tore. Man will sehen, an welchem Spieltag es die meisten waren. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
So fängst du an:
Die Tore je Spieltag sind kein Ganzes, das man aufteilt. Man vergleicht Höhen.
Lösung zeigen
1. Die Tore je Spieltag sind kein Ganzes, das man aufteilt. Man vergleicht Höhen.
2. Ein Kreisdiagramm zeigt nur Teile eines Ganzen: keine gute Wahl.
Ergebnis:
nein
●20
Emma zählt, wie viele Bücher sie jeden Monat liest: Januar 4, Februar 1, März 5, April 1. Sie will sehen, ob es mehr wird. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
Lösung zeigen
1. Es geht um eine Entwicklung über die Zeit, nicht um Teile eines Ganzen.
2. Ein Kreisdiagramm zeigt nur Teile eines Ganzen: keine gute Wahl.
Ergebnis:
nein
★21
Emma zählt, wie viele Bücher sie jeden Monat liest: Januar 2, Februar 2, März 9, April 2. Sie will sehen, ob es mehr wird. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
Lösung zeigen
1. Es geht um eine Entwicklung über die Zeit, nicht um Teile eines Ganzen.
2. Also passt ein Säulendiagramm.
Ergebnis:
Säulendiagramm

8Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

EntdeckenFrage

Passen zwei CDs nebeneinander auf ein A4-Blatt, ohne überzustehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine CD hat 12 cm Durchmesser. Zwei nebeneinander brauchen 24 cm Länge und 12 cm Breite. Ein A4-Blatt ist 21 cm breit und 29,7 cm lang. Quer passt es nicht, der Länge nach schon.

MerkenSachaufgaben rund um den Kreis

Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Der ganze Kreis hat 360°, ein Teil davon ist ein Bruchteil. Zur Probe ergeben alle Teile den ganzen Kreis.

BeispielSachaufgaben mit Kreisen

Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 60°, Blau hat 140°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?

Schritt für Schritt

Rot und Blau: 60° + 140° = 200°
Gelb: 360° − 200° = 160°
Anteil: 160360 = 49

Rot und Blau: 60° + 140° = 200°
Gelb: 360° − 200° = 160°
Anteil: 160360 = 49

Ergebnis:

160°, 49

AchtungVollwinkel wie 100 % gerechnet

So nicht

1/4 des Kreises → 25°

So richtig

1/4 des Kreises → 90°

Schreib an den Kreis: ganz = 360°. Rechne den Teil von 360°.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 60°, Blau hat 60°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
So fängst du an:
Rot und Blau: 60° + 60° = 120°
Lösung zeigen
1. Rot und Blau: 60° + 60° = 120°
2. Gelb: 360° − 120° = 240°
3. Anteil: 240360 = 23
Ergebnis:
240°, 23
●23
Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 100°, Blau hat 80°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
Lösung zeigen
1. Rot und Blau: 100° + 80° = 180°
2. Gelb: 360° − 180° = 180°
3. Anteil: 180360 = 12
Ergebnis:
180°, 12
★24
Eine Pizza wird in 8 gleich große Stücke geschnitten. 2 Kinder essen je 3 Stücke. Welcher Winkel ist von der Pizza noch übrig?
Lösung zeigen
1. Ein Stück: 360° : 8 = 45°
2. Gegessen: 2 · 3 = 6 Stücke, übrig 2
3. 2 · 45° = 90°
Ergebnis:
90°

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 1 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 4. Kreis?
Lösung zeigen
1. Vom 1. bis zum 4. Kreis wächst der Radius 3-mal um 2 cm.
2. Radius: 1 cm + 3 · 2 cm = 7 cm
3. Durchmesser: 2 · 7 cm = 14 cm
Ergebnis:
14 cm
●26
Ein Kreis um M hat den Radius 5 cm, ein Kreis um N den Durchmesser 12 cm. Der Abstand von M und N ist 3 cm. Wie liegen die Kreise zueinander?
Lösung zeigen
1. Radius um N: 12 cm : 2 = 6 cm
2. Beide Radien zusammen: 5 cm + 6 cm = 11 cm
3. 3 cm ist weniger als 11 cm, aber mehr als 1 cm: zwei Schnittpunkte.
4. Die Kreise: schneiden sich.
Ergebnis:
schneiden sich
●27
Kann eine Sehne in einem Kreis mit dem Durchmesser 14 cm genau 16 cm lang sein?
Lösung zeigen
1. Die längste Sehne ist der Durchmesser.
2. Der Durchmesser ist 14 cm lang.
3. 16 cm ist länger als jede Sehne: Das geht nicht.
Ergebnis:
nein
●28
Im Bild ist ein Kreisausschnitt gefärbt. Sein Mittelpunktswinkel steht darin. Welchen Teil des ganzen Kreises bedeckt er?
Lösung zeigen
1. Der Ausschnitt hat 216° von 360°.
2. Anteil: 216360
3. Gekürzt: 216360 = 35
Ergebnis:
35
●29
Eine runde Torte wird in 5 gleich große Stücke geschnitten. Wie groß ist der Winkel an der Spitze jedes Stücks?
Lösung zeigen
1. Alle Stücke zusammen ergeben den ganzen Kreis: 360°.
2. Jedes Stück ist 15 davon.
3. 360° : 5 = 72°
Ergebnis:
72°
●30
Ein Karussell macht 23 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
Lösung zeigen
1. 13 Umdrehung: 360° : 3 = 120°
2. 23 Umdrehung: 2 · 120° = 240°
Ergebnis:
240°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kreis und Kreismuster mit dem Zirkel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Sehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt: Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Anteil und Mittelpunktswinkel: Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.
Drehungen als Teil einer Umdrehung: Eine volle Umdrehung sind 360°.
Kreisdiagramm zeichnen: Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.
Aus dem Kreisdiagramm ablesen: Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.
Kreis oder Säulen?: Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.
Sachaufgaben rund um den Kreis: Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.
31
Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 2 cm. Jeder weitere Radius ist 1 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 3. Kreis?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 cm
Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.
32
Ein gebogenes Stück der Kreislinie reicht von P bis Q. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Kreisbogen
Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.
33
Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 60°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
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Ergebnis:
16
Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).
34
Ein Karussell macht 14 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
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Ergebnis:
90°
Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.
35
Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „Bus“?
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Ergebnis:
20°, 80°
Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.
36
Es wurden 20 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Ausland“ als „Berge“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
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Ergebnis:
1
Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.
37
Die Mittagstemperaturen einer Woche: Montag 18 °C, Dienstag 14 °C, Mittwoch 15 °C, Donnerstag 17 °C, Freitag 8 °C. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
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Ergebnis:
nein
Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.
38
Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 140°, Blau hat 60°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
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Ergebnis:
160°, 49

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, eine Reihe besteht aus Durchmessern.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tortenstücke, Uhren, Riesenrad, Umfragen in der Klasse. Beruf: Marktforschung und Zeitungsgrafik, Maschinenbau, Konditorei.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Durchmesser: einmal quer durch den Kreis
Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Brüche und Dezimalzahlen, Winkel an Geraden und in Figuren

Darauf baut auf: Kreis und Zylinder

Lösungen

3 cm
2 cm
3 cm
Kreisbogen
Durchmesser
Radius
144°
210°
1718
120°
120°
144°
50°
40°
zu Fuß 30°, Fahrrad 45°, Bus 240°, Auto 45°
3
1
13
nein
nein
Säulendiagramm
240°, 23
180°, 12
90°
14 cm
schneiden sich
nein
35
72°
240°
8 cm
Kreisbogen
16
90°
20°, 80°
1
nein
160°, 49
6 Kreise
innerhalb des Kreises