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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele öffnen den Zirkel auf 12 cm : 5 = 2,4 cm und wundern sich, dass die Kreise viel zu groß werden und sich überschneiden. Andere probieren so lange, bis es ungefähr passt. Die Reihe besteht aus fünf Durchmessern: Jeder ist 2,4 cm lang. Der Zirkel wird aber auf den Radius geöffnet, und der ist halb so lang: 1,2 cm.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Zirkelöffnung ist der Radius, und der Durchmesser ist doppelt so lang.

  1. ●39
    Ein Kreis soll den Durchmesser 14 cm haben. Wie weit öffnest du den Zirkel?
    Md = 14 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Zirkelöffnung ist der Radius.
    2. Der Radius ist der halbe Durchmesser.
    3. 14 cm : 2 = 7 cm
    Ergebnis:
    7 cm
  2. ●40
    Ein Kreis um M hat den Radius 5 cm. Der Punkt C ist 4 cm von M entfernt. Liegt C innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises?
    Mr = 5 cmC: 4 cm von M?
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche: C ist 4 cm entfernt, der Radius ist 5 cm.
    2. 4 < 5: näher an M als der Rand.
    3. C liegt innerhalb des Kreises.
    Ergebnis:
    innerhalb des Kreises

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Kreis ist das Ganze: 360°

Ein Kreis lässt sich in Teile schneiden wie eine Torte. Jeder Teil ist ein Bruchteil des Ganzen und hat denselben Bruchteil von 360° als Winkel. Radius und Durchmesser bestimmen die Größe des Kreises, der Mittelpunktswinkel den Anteil.

Kreis mit einem gefärbten Viertel: 360 Grad geteilt durch 4 sind 90 Grad90°ein Viertel des Kreises360° : 4 = 90°Der Kreis ist das Ganze:360°

WeiterdenkenDenk nach

Ist ein Viertel eines großen Kreises ein größerer Anteil als ein Viertel eines kleinen Kreises? Was ist gleich, was nicht?

1Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Seit wann zeichnen Menschen Zahlen als Tortenstücke in einen Kreis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das erste bekannte Kreisdiagramm veröffentlichte der Schotte William Playfair im Jahr 1801. Er zeigte damit, welcher Teil eines Reiches zu welchem Land gehörte. Seine Idee: Ein Anteil am Ganzen ist mit einem Blick zu sehen, wenn das Ganze ein Kreis ist.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenKreis und Kreismuster mit dem Zirkel

Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.

Eine Reihe sich berührender Kreise ist so lang wie alle Durchmesser zusammen.

BeispielKreismuster: Radius und Durchmesser nutzen

Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 1 cm. Jeder weitere Radius ist 1 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?
M?
Schritt für Schritt
  1. Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 1 cm.
  2. Radius: 1 cm + 4 · 1 cm = 5 cm
  3. Durchmesser: 2 · 5 cm = 10 cm
  1. Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 1 cm.
  2. Radius: 1 cm + 4 · 1 cm = 5 cm
  3. Durchmesser: 2 · 5 cm = 10 cm
Ergebnis:
10 cm

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 8 cm = 11 cm
So richtig
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 4 cm = 7 cm

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Erst prüfen, welcher gegeben ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 3 cm, der andere den Durchmesser 6 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
    MN?
    So fängst du an:
    Radius des zweiten Kreises: 6 cm : 2 = 3 cm
    Lösung zeigen
    1. Radius des zweiten Kreises: 6 cm : 2 = 3 cm
    2. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
    3. Abstand: 3 cm + 3 cm = 6 cm
    Ergebnis:
    6 cm
  2. ●2
    Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 2 cm, der andere den Durchmesser 4 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
    MN?
    Lösung zeigen
    1. Radius des zweiten Kreises: 4 cm : 2 = 2 cm
    2. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
    3. Abstand: 2 cm + 2 cm = 4 cm
    Ergebnis:
    4 cm
  3. ★3
    Ein Kreis mit dem Durchmesser 10 cm und ein Kreis mit dem Radius 2 cm berühren sich. Der kleine liegt innen im großen. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
    Lösung zeigen
    1. Radius des großen Kreises: 10 cm : 2 = 5 cm
    2. Die Mittelpunkte liegen auf einer Linie mit dem Berührpunkt.
    3. Abstand: 5 cm − 2 cm = 3 cm
    Ergebnis:
    3 cm

2Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

EntdeckenFrage

Warum hat ein voller Kreis ausgerechnet 360 Grad und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Einteilung geht vermutlich auf die Astronomen Babylons zurück, die im Sechzigersystem rechneten. 360 lässt sich durch sehr viele Zahlen teilen: durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 und mehr. Deshalb haben Halbkreis, Drittel, Viertel und Sechstel ganze Gradzahlen.

MerkenSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Ein Kreisausschnitt ist eine Fläche wie ein Tortenstück.

BeispielSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Ist das rot markierte Teil eine Strecke, eine gebogene Linie oder eine Fläche? Wie heißt es?
M?
Schritt für Schritt
  1. Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
  2. Das heißt Durchmesser.
  1. Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
  2. Das heißt Durchmesser.
Ergebnis:
Durchmesser

AchtungSehne, Bogen und Ausschnitt verwechselt

So nicht
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Kreisbogen
So richtig
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Sehne

Sehne: gerade Strecke. Kreisbogen: gebogene Linie. Kreisausschnitt: Fläche mit zwei Radien.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Strecke verbindet die Punkte K und L auf dem Kreis und geht durch den Mittelpunkt M. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    So fängst du an:
    Es ist eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    2. Das heißt Durchmesser.
    Ergebnis:
    Durchmesser
  2. ●5
    Eine Strecke verbindet die Punkte A und B auf dem Kreis. Sie geht nicht durch den Mittelpunkt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
    2. Das heißt Sehne.
    Ergebnis:
    Sehne
  3. ★6
    Eine Fläche wird von den Strecken MC und MD und dem Stück der Kreislinie von C bis D begrenzt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
    2. Das heißt Kreisausschnitt.
    Ergebnis:
    Kreisausschnitt

3Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

EntdeckenFrage

Wie viel Grad liegen zwischen zwei Kapseln des Riesenrads London Eye?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das London Eye hat 32 Kapseln in gleichen Abständen: 360° : 32 = 11,25°. Für eine volle Umdrehung braucht das Rad etwa 30 Minuten, in jeder Minute dreht es sich also um etwa 12°.

MerkenAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.

So ist 1/4 des Kreises 360° : 4 = 90°, und 120° sind 120/360 = 1/3 des Kreises.

BeispielAnteil und Mittelpunktswinkel

Im Bild ist ein Kreisausschnitt gefärbt. Sein Mittelpunktswinkel steht darin. Welchen Teil des ganzen Kreises bedeckt er?
300°
Schritt für Schritt
  1. Der Ausschnitt hat 300° von 360°.
  2. Anteil: 300360
  3. Gekürzt: 300360 = 56
  1. Der Ausschnitt hat 300° von 360°.
  2. Anteil: 300360
  3. Gekürzt: 300360 = 56
Ergebnis:
56

AchtungMit 100 statt 360 gerechnet

So nicht
1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°
So richtig
1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 315°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    315°
    So fängst du an:
    Der ganze Kreis hat 360°.
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. Anteil: 315360
    3. Gekürzt: 315360 = 78
    Ergebnis:
    78
  2. ●8
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 252°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    252°
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. Anteil: 252360
    3. Gekürzt: 252360 = 710
    Ergebnis:
    710
  3. ★9
    Ein Kreisausschnitt ist 1318 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
    ?13/18 des Kreises
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. 118 des Kreises: 360° : 18 = 20°
    3. 1318 des Kreises: 13 · 20° = 260°
    Ergebnis:
    260°

4Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

EntdeckenFrage

Wie oft stehen Minutenzeiger und Stundenzeiger in zwölf Stunden genau übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur 11-mal, nicht 12-mal. Der Minutenzeiger dreht sich 6° je Minute, der Stundenzeiger nur 0,5°. Er holt also 5,5° je Minute auf und braucht für eine ganze Runde Vorsprung etwas mehr als eine Stunde. Zwischen 11 Uhr und 1 Uhr treffen sie sich deshalb nur einmal, um 12 Uhr.

MerkenDrehungen als Teil einer Umdrehung

Eine volle Umdrehung sind 360°.

Der Minutenzeiger schafft sie in 60 Minuten, also 6° je Minute. Der Stundenzeiger braucht 12 Stunden, also 30° je Stunde.

BeispielDrehungen: Zeiger und Karussell

Es ist 9 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 50 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
123456789101112?
Schritt für Schritt
  1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
  3. In 50 Minuten: 50 · 6° = 300°
  1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
  3. In 50 Minuten: 50 · 6° = 300°
Ergebnis:
300°

AchtungNoch einmal: Mit 100 statt 360 gerechnet

So nicht
1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°
So richtig
1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Karussell macht 56 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
    So fängst du an:
    16 Umdrehung: 360° : 6 = 60°
    Lösung zeigen
    1. 16 Umdrehung: 360° : 6 = 60°
    2. 56 Umdrehung: 5 · 60° = 300°
    Ergebnis:
    300°
  2. ●11
    Ein Karussell macht 38 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
    Lösung zeigen
    1. 18 Umdrehung: 360° : 8 = 45°
    2. 38 Umdrehung: 3 · 45° = 135°
    Ergebnis:
    135°
  3. ★12
    Ein Karussell macht 3 512 Umdrehungen. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
    Lösung zeigen
    1. 3 volle Umdrehungen: 3 · 360° = 1080°
    2. 112 Umdrehung: 360° : 12 = 30°
    3. 512 Umdrehung: 5 · 30° = 150°
    4. Zusammen: 1080° + 150° = 1230°
    Ergebnis:
    1230°

5Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man die fünf olympischen Ringe so, dass alle gleich groß sind und sich richtig überlappen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle fünf Ringe haben denselben Radius, also dieselbe Zirkelöffnung. Die Mittelpunkte der oberen drei liegen in gleichen Abständen nebeneinander, die unteren zwei genau dazwischen und etwas tiefer. Pierre de Coubertin entwarf das Zeichen 1913; die fünf Ringe stehen für die fünf Erdteile.

MerkenKreisdiagramm zeichnen

Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.

Erst den Winkel für eine Person ausrechnen, dann mal die Anzahl jeder Gruppe. Zur Probe ergeben alle Winkel 360°.

BeispielKreisdiagramm: Winkel aus Anzahlen

Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Welches Obst isst du am liebsten?“. Es wurden 20 Kinder befragt, davon antworteten 13 mit „Banane“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?
ApfelBananeErdbeereMeloneAnzahl31322Winkel?
Schritt für Schritt
  1. Alle 20 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 20 = 18°
  3. Banane: 13 · 18° = 234°
  1. Alle 20 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 20 = 18°
  3. Banane: 13 · 18° = 234°
Ergebnis:
234°

AchtungWinkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht
24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°
So richtig
24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „Apfel“?
    ApfelBananeErdbeereAnzahl4410Winkel?
    So fängst du an:
    Alle 18 Kinder zusammen: 360°.
    Lösung zeigen
    1. Alle 18 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 18 = 20°
    3. Apfel: 4 · 20° = 80°
    Ergebnis:
    20°, 80°
  2. ●14
    Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „zu Hause“?
    zu HauseOstseeBergeAnzahl156Winkel?
    Lösung zeigen
    1. Alle 12 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 12 = 30°
    3. zu Hause: 1 · 30° = 30°
    Ergebnis:
    30°, 30°
  3. ★15
    72 Kinder wurden gefragt: „Wo warst du in den Ferien?“ Die Antworten: zu Hause: 21, Ostsee: 18, Berge: 26, Ausland: 7. Berechne alle Winkel für ein Kreisdiagramm.
    zu HauseOstseeBergeAuslandAnzahl2118267Winkel????
    Lösung zeigen
    1. Ein Kind: 360° : 72 = 5°
    2. zu Hause: 21 · 5° = 105°
    3. Ostsee: 18 · 5° = 90°
    4. Berge: 26 · 5° = 130°
    5. Ausland: 7 · 5° = 35°
    Ergebnis:
    zu Hause 105°, Ostsee 90°, Berge 130°, Ausland 35°

6Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

EntdeckenFrage

Warum sind Kanaldeckel auf der Straße meistens rund?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein runder Deckel kann nicht in sein eigenes Loch fallen. Jede Sehne quer durch den Kreis ist höchstens so lang wie der Durchmesser, und durch eine kürzere Öffnung passt er nicht. Ein quadratischer Deckel dagegen rutscht schräg hindurch, weil seine Diagonale länger ist als die Seite.

MerkenAus dem Kreisdiagramm ablesen

Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.

Denselben Anteil nimmt man von der Gesamtzahl.

BeispielKreisdiagramm lesen: Anzahlen berechnen

Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 18 Kindern auf die Frage „Welcher Sport gefällt dir am besten?“ Wie viele Kinder antworteten „Turnen“?
Fußball140°Schwimmen160°Turnen60°
Schritt für Schritt
  1. „Turnen“ hat 60° von 360°.
  2. Anteil: 60360 = 16
  3. Turnen: 18 · 60 : 360 = 3
  1. „Turnen“ hat 60° von 360°.
  2. Anteil: 60360 = 16
  3. Turnen: 18 · 60 : 360 = 3
Ergebnis:
3

AchtungNoch einmal: Winkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht
24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°
So richtig
24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 36 Kindern auf die Frage „Wie kommst du zur Schule?“ Wie viele Kinder antworteten „zu Fuß“?
    zu Fuß150°Fahrrad120°Bus90°
    So fängst du an:
    „zu Fuß“ hat 150° von 360°.
    Lösung zeigen
    1. „zu Fuß“ hat 150° von 360°.
    2. Anteil: 150360 = 512
    3. zu Fuß: 36 · 150 : 360 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●17
    Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 24 Kindern auf die Frage „Wie kommst du zur Schule?“ Wie viele Kinder antworteten „Bus“?
    zu Fuß150°Fahrrad165°Bus45°
    Lösung zeigen
    1. „Bus“ hat 45° von 360°.
    2. Anteil: 45360 = 18
    3. Bus: 24 · 45 : 360 = 3
    Ergebnis:
    3
  3. ★18
    Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 24 Kindern auf die Frage „Welcher Sport gefällt dir am besten?“ Wie viele Kinder antworteten „Schwimmen“?
    Fußball135°Schwimmen75°Turnen30°Basketball120°
    Lösung zeigen
    1. „Schwimmen“ hat 75° von 360°.
    2. Anteil: 75360 = 524
    3. Schwimmen: 24 · 75 : 360 = 5
    Ergebnis:
    5

7Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet der Wetterdienst die Monatstemperaturen von Berlin als Säulen oder Linie und nie als Tortendiagramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen, zusammen 360°. Die Temperaturen von zwölf Monaten ergeben zusammen kein sinnvolles Ganzes. Ein kalter Januar kann sogar unter 0 °C liegen, dafür gibt es kein Tortenstück. Säulen zeigen jeden Monat für sich und lassen sich vergleichen.

MerkenKreis oder Säulen?

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.

Ein Säulendiagramm vergleicht Werte nebeneinander. Ergeben die Werte zusammen kein Ganzes, wie Temperaturen oder Mehrfachnennungen, passt nur das Säulendiagramm.

BeispielKreisdiagramm oder Säulendiagramm?

Die Mittagstemperaturen einer Woche: Montag 9 °C, Dienstag 23 °C, Mittwoch 22 °C, Donnerstag 8 °C, Freitag 19 °C. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
MontagDienstagMittwochDonnerstagFreitagAnzahl92322819
Schritt für Schritt
  1. Temperaturen sind keine Teile eines Ganzen. Man vergleicht Werte nebeneinander.
  2. Also passt ein Säulendiagramm.
  1. Temperaturen sind keine Teile eines Ganzen. Man vergleicht Werte nebeneinander.
  2. Also passt ein Säulendiagramm.
Ergebnis:
Säulendiagramm

AchtungKreisdiagramm für Werte ohne gemeinsames Ganzes

So nicht
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → Kreisdiagramm
So richtig
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → kein Ganzes → Säulendiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen. Temperaturen oder Mehrfachnennungen gehören in Säulen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Von 28 Kindern der Klasse kommen 14 zu Fuß, 3 mit dem Rad und 11 mit dem Bus. Gezeigt werden soll, welcher Teil der Klasse wie kommt. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
    So fängst du an:
    Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 28 Kinder.
    Lösung zeigen
    1. Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 28 Kinder.
    2. Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen: gute Wahl.
    Ergebnis:
    ja
  2. ●20
    Von 26 Kindern der Klasse kommen 9 zu Fuß, 13 mit dem Rad und 4 mit dem Bus. Gezeigt werden soll, welcher Teil der Klasse wie kommt. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
    Lösung zeigen
    1. Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 26 Kinder.
    2. Die Anteile am Ganzen sieht man im Kreisdiagramm sofort: besser.
    Ergebnis:
    ja
  3. ★21
    22 Kinder nennen ihre Hobbys. Jedes Kind darf mehrere nennen: Sport 18, Musik 15, Lesen 8. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
    SportMusikLesenAnzahl18158
    Lösung zeigen
    1. Zusammen sind es 41 Nennungen bei 22 Kindern: Das ist kein Ganzes, das man aufteilen kann.
    2. Also passt ein Säulendiagramm.
    Ergebnis:
    Säulendiagramm

8Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

EntdeckenFrage

Passen zwei CDs nebeneinander auf ein A4-Blatt, ohne überzustehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine CD hat 12 cm Durchmesser. Zwei nebeneinander brauchen 24 cm Länge und 12 cm Breite. Ein A4-Blatt ist 21 cm breit und 29,7 cm lang. Quer passt es nicht, der Länge nach schon.

MerkenSachaufgaben rund um den Kreis

Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Der ganze Kreis hat 360°, ein Teil davon ist ein Bruchteil. Zur Probe ergeben alle Teile den ganzen Kreis.

BeispielSachaufgaben mit Kreisen

Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 90°, Blau hat 120°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
Rot90°Blau120°Gelb?
Schritt für Schritt
  1. Rot und Blau: 90° + 120° = 210°
  2. Gelb: 360° − 210° = 150°
  3. Anteil: 150360 = 512
  1. Rot und Blau: 90° + 120° = 210°
  2. Gelb: 360° − 210° = 150°
  3. Anteil: 150360 = 512
Ergebnis:
150°, 512

AchtungNur den Stammbruch gerechnet, Zähler vergessen

So nicht
3/4 von 360° → 90°
So richtig
3/4 von 360° → 90° · 3 = 270°

Rechne erst ein Teil aus. Nimm es dann so oft, wie der Zähler sagt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Rasensprenger dreht sich um 90° hin und her. Welchen Teil einer vollen Runde bewässert er?
    90°?
    So fängst du an:
    Eine volle Runde hat 360°.
    Lösung zeigen
    1. Eine volle Runde hat 360°.
    2. Anteil: 90360
    3. Gekürzt: 90360 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●23
    Eine Pizza wird in 10 gleich große Stücke geschnitten. 2 Kinder essen je 2 Stücke. Welcher Winkel ist von der Pizza noch übrig?
    Lösung zeigen
    1. Ein Stück: 360° : 10 = 36°
    2. Gegessen: 2 · 2 = 4 Stücke, übrig 6
    3. 6 · 36° = 216°
    Ergebnis:
    216°
  3. ★24
    Eine Pizza wird in 12 gleich große Stücke geschnitten. 2 Kinder essen je 4 Stücke. Welcher Winkel ist von der Pizza noch übrig?
    Lösung zeigen
    1. Ein Stück: 360° : 12 = 30°
    2. Gegessen: 2 · 4 = 8 Stücke, übrig 4
    3. 4 · 30° = 120°
    Ergebnis:
    120°

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 6 cm, der andere den Durchmesser 6 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
    MN?
    Lösung zeigen
    1. Radius des zweiten Kreises: 6 cm : 2 = 3 cm
    2. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
    3. Abstand: 6 cm + 3 cm = 9 cm
    Ergebnis:
    9 cm
  2. ●26
    Ein Kreis um M hat den Radius 4 cm, ein Kreis um N den Radius 4 cm. M und N sind 10 cm voneinander entfernt. Liegen die Kreise getrennt, berühren sie sich oder schneiden sie sich?
    MN10 cmr = 4 cmr = 4 cm?
    Lösung zeigen
    1. Beide Radien zusammen: 4 cm + 4 cm = 8 cm
    2. 10 cm ist mehr als 8 cm: Zwischen den Kreisen bleibt Platz.
    3. Die Kreise: getrennt.
    Ergebnis:
    getrennt
  3. ●27
    Ein gebogenes Stück der Kreislinie reicht von C bis D. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine gebogene Linie, ein Stück vom Kreis.
    2. Das heißt Kreisbogen.
    Ergebnis:
    Kreisbogen
  4. ●28
    Aus einer runden Pizza mit 36 cm Durchmesser wird ein Kreisausschnitt geschnitten. Wie lang ist jede der beiden geraden Schnittkanten?
    d = 36 cm?
    Lösung zeigen
    1. Ein Kreisausschnitt wird von zwei Radien begrenzt.
    2. Jede gerade Kante reicht vom Mittelpunkt zum Rand.
    3. Radius: 36 cm : 2 = 18 cm
    Ergebnis:
    18 cm
  5. ●29
    Jedes Stück einer runden Torte hat an der Spitze einen Winkel von 30°. Alle Stücke sind gleich groß. Wie viele Stücke sind es?
    Lösung zeigen
    1. Die Winkel aller Stücke ergeben 360°.
    2. Wie oft passt 30° in 360°?
    3. 360° : 30° = 12
    Ergebnis:
    12 Stücke
  6. ●30
    Es ist 11 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 50 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
    3. In 50 Minuten: 50 · 6° = 300°
    Ergebnis:
    300°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kreis und Kreismuster mit dem Zirkel
Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Sehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt
Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Anteil und Mittelpunktswinkel
Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.
Drehungen als Teil einer Umdrehung
Eine volle Umdrehung sind 360°.
Kreisdiagramm zeichnen
Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.
Aus dem Kreisdiagramm ablesen
Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.
Kreis oder Säulen?
Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.
Sachaufgaben rund um den Kreis
Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

    31
    3 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 18 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
    18 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 cm

  2. Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

    32
    Wie heißt das rot markierte Teil des Kreises?
    M?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Sehne

  3. Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

    33
    Im Bild ist ein Kreisausschnitt gefärbt. Sein Mittelpunktswinkel steht darin. Welchen Teil des ganzen Kreises bedeckt er?
    120°
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  4. Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

    34
    Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 2 Uhr bis 8 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180°

  5. Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

    35
    36 Kinder wurden gefragt: „Wo warst du in den Ferien?“ Die Antworten: zu Hause: 15, Ostsee: 8, Berge: 7, Ausland: 6. Welchen Winkel bekommt „Ausland“ im Kreisdiagramm?
    zu HauseOstseeBergeAuslandAnzahl15876Winkel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60°

  6. Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

    36
    Es wurden 12 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Erdbeere“ als „Banane“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
    Apfel60°Banane60°Erdbeere120°Melone120°
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2

  7. Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

    37
    Die Mittagstemperaturen einer Woche: Montag 20 °C, Dienstag 11 °C, Mittwoch 8 °C, Donnerstag 20 °C, Freitag 16 °C. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
    MontagDienstagMittwochDonnerstagFreitagAnzahl201182016
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

    38
    Eine Pizza wird in 6 gleich große Stücke geschnitten. 2 Kinder essen je 1 Stück. Welcher Winkel ist von der Pizza noch übrig?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    240°

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, eine Reihe besteht aus Durchmessern.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tortenstücke, Uhren, Riesenrad, Umfragen in der Klasse. Beruf: Marktforschung und Zeitungsgrafik, Maschinenbau, Konditorei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Durchmesser
einmal quer durch den Kreis
Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Brüche und Dezimalzahlen, Winkel an Geraden und in Figuren

Darauf baut auf: Kreis und Zylinder

Lösungen

  1. 6 cm
  2. 4 cm
  3. 3 cm
  4. Durchmesser
  5. Sehne
  6. Kreisausschnitt
  7. 78
  8. 710
  9. 260°
  10. 300°
  11. 135°
  12. 1230°
  13. 20°, 80°
  14. 30°, 30°
  15. zu Hause 105°, Ostsee 90°, Berge 130°, Ausland 35°
  16. 15
  17. 3
  18. 5
  19. ja
  20. ja
  21. Säulendiagramm
  22. 14
  23. 216°
  24. 120°
  25. 9 cm
  26. getrennt
  27. Kreisbogen
  28. 18 cm
  29. 12 Stücke
  30. 300°
  31. 3 cm
  32. Sehne
  33. 13
  34. 180°
  35. 60°
  36. 2
  37. nein
  38. 240°
  39. 7 cm
  40. innerhalb des Kreises