Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele öffnen den Zirkel auf 12 cm : 5 = 2,4 cm und wundern sich, dass die Kreise viel zu groß werden und sich überschneiden. Andere probieren so lange, bis es ungefähr passt. Die Reihe besteht aus fünf Durchmessern: Jeder ist 2,4 cm lang. Der Zirkel wird aber auf den Radius geöffnet, und der ist halb so lang: 1,2 cm.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Zirkelöffnung ist der Radius, und der Durchmesser ist doppelt so lang.

●39
Wie viele Kreise mit dem Radius 1 cm passen nebeneinander auf eine Strecke von 12 cm?
Lösung zeigen
1. Ein Kreis braucht seinen Durchmesser: 2 · 1 cm = 2 cm.
2. 12 cm : 2 cm = 6
3. Es passen 6 Kreise nebeneinander.
Ergebnis:
6 Kreise
●40
Ein Kreis um M hat den Radius 4 cm. Der Punkt U ist 2 cm von M entfernt. Liegt U innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises?
Lösung zeigen
1. Vergleiche: U ist 2 cm entfernt, der Radius ist 4 cm.
2. 2 < 4: näher an M als der Rand.
3. U liegt innerhalb des Kreises.
Ergebnis:
innerhalb des Kreises

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Kreis ist das Ganze: 360°

Ein Kreis lässt sich in Teile schneiden wie eine Torte. Jeder Teil ist ein Bruchteil des Ganzen und hat denselben Bruchteil von 360° als Winkel. Radius und Durchmesser bestimmen die Größe des Kreises, der Mittelpunktswinkel den Anteil.

WeiterdenkenDenk nach

Ist ein Viertel eines großen Kreises ein größerer Anteil als ein Viertel eines kleinen Kreises? Was ist gleich, was nicht?

1Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Seit wann zeichnen Menschen Zahlen als Tortenstücke in einen Kreis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das erste bekannte Kreisdiagramm veröffentlichte der Schotte William Playfair im Jahr 1801. Er zeigte damit, welcher Teil eines Reiches zu welchem Land gehörte. Seine Idee: Ein Anteil am Ganzen ist mit einem Blick zu sehen, wenn das Ganze ein Kreis ist.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenKreis und Kreismuster mit dem Zirkel

Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.

Eine Reihe sich berührender Kreise ist so lang wie alle Durchmesser zusammen.

BeispielKreismuster: Radius und Durchmesser nutzen

Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 6 cm, der andere den Durchmesser 14 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?

Schritt für Schritt

Radius des zweiten Kreises: 14 cm : 2 = 7 cm
Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
Abstand: 6 cm + 7 cm = 13 cm

Radius des zweiten Kreises: 14 cm : 2 = 7 cm
Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
Abstand: 6 cm + 7 cm = 13 cm

Ergebnis:

13 cm

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht

Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 8 cm = 11 cm

So richtig

Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 4 cm = 7 cm

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Erst prüfen, welcher gegeben ist.

ÜbenJetzt du

○1
Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 1 cm. Jeder weitere Radius ist 1 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 3. Kreis?
So fängst du an:
Vom 1. bis zum 3. Kreis wächst der Radius 2-mal um 1 cm.
Lösung zeigen
1. Vom 1. bis zum 3. Kreis wächst der Radius 2-mal um 1 cm.
2. Radius: 1 cm + 2 · 1 cm = 3 cm
3. Durchmesser: 2 · 3 cm = 6 cm
Ergebnis:
6 cm
●2
Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 1 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 3. Kreis?
Lösung zeigen
1. Vom 1. bis zum 3. Kreis wächst der Radius 2-mal um 2 cm.
2. Radius: 1 cm + 2 · 2 cm = 5 cm
3. Durchmesser: 2 · 5 cm = 10 cm
Ergebnis:
10 cm
★3
Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 3 cm, der andere den Durchmesser 6 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
Lösung zeigen
1. Radius des zweiten Kreises: 6 cm : 2 = 3 cm
2. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
3. Abstand: 3 cm + 3 cm = 6 cm
Ergebnis:
6 cm

2Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

EntdeckenFrage

Warum hat ein voller Kreis ausgerechnet 360 Grad und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Einteilung geht vermutlich auf die Astronomen Babylons zurück, die im Sechzigersystem rechneten. 360 lässt sich durch sehr viele Zahlen teilen: durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 und mehr. Deshalb haben Halbkreis, Drittel, Viertel und Sechstel ganze Gradzahlen.

MerkenSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Ein Kreisausschnitt ist eine Fläche wie ein Tortenstück.

BeispielSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Ist das rot markierte Teil eine Strecke, eine gebogene Linie oder eine Fläche? Wie heißt es?

Schritt für Schritt

Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
Das heißt Durchmesser.

Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
Das heißt Durchmesser.

Ergebnis:

Durchmesser

AchtungSehne, Bogen und Ausschnitt verwechselt

So nicht

Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Kreisbogen

So richtig

Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Sehne

Sehne: gerade Strecke. Kreisbogen: gebogene Linie. Kreisausschnitt: Fläche mit zwei Radien.

ÜbenJetzt du

○4
Eine Strecke führt vom Mittelpunkt M zum Punkt U auf dem Kreis. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
So fängst du an:
Es ist eine Strecke von M zum Kreis.
Lösung zeigen
1. Es ist eine Strecke von M zum Kreis.
2. Das heißt Radius.
Ergebnis:
Radius
●5
Wie heißt das rot markierte Teil des Kreises?
Lösung zeigen
1. Schau auf die Form: eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
2. Das heißt Sehne.
Ergebnis:
Sehne
★6
Eine Strecke verbindet die Punkte U und V auf dem Kreis. Sie geht nicht durch den Mittelpunkt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
Lösung zeigen
1. Es ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
2. Das heißt Sehne.
Ergebnis:
Sehne

3Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

EntdeckenFrage

Wie viel Grad liegen zwischen zwei Kapseln des Riesenrads London Eye?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das London Eye hat 32 Kapseln in gleichen Abständen: 360° : 32 = 11,25°. Für eine volle Umdrehung braucht das Rad etwa 30 Minuten, in jeder Minute dreht es sich also um etwa 12°.

MerkenAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.

So ist 1/4 des Kreises 360° : 4 = 90°, und 120° sind 120/360 = 1/3 des Kreises.

BeispielAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Kreisausschnitt ist 712 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?

Schritt für Schritt

Der ganze Kreis hat 360°.
112 des Kreises: 360° : 12 = 30°
712 des Kreises: 7 · 30° = 210°

Der ganze Kreis hat 360°.
112 des Kreises: 360° : 12 = 30°
712 des Kreises: 7 · 30° = 210°

Ergebnis:

210°

AchtungMit 100 statt 360 gerechnet

So nicht

1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°

So richtig

1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 315°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
So fängst du an:
Der ganze Kreis hat 360°.
Lösung zeigen
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. Anteil: 315360
3. Gekürzt: 315360 = 78
Ergebnis:
78
●8
Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 180°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
Lösung zeigen
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. Anteil: 180360
3. Gekürzt: 180360 = 12
Ergebnis:
12
★9
Ein Kreisausschnitt ist 1720 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
Lösung zeigen
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. 120 des Kreises: 360° : 20 = 18°
3. 1720 des Kreises: 17 · 18° = 306°
Ergebnis:
306°

4Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

EntdeckenFrage

Wie oft stehen Minutenzeiger und Stundenzeiger in zwölf Stunden genau übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur 11-mal, nicht 12-mal. Der Minutenzeiger dreht sich 6° je Minute, der Stundenzeiger nur 0,5°. Er holt also 5,5° je Minute auf und braucht für eine ganze Runde Vorsprung etwas mehr als eine Stunde. Zwischen 11 Uhr und 1 Uhr treffen sie sich deshalb nur einmal, um 12 Uhr.

MerkenDrehungen als Teil einer Umdrehung

Eine volle Umdrehung sind 360°.

Der Minutenzeiger schafft sie in 60 Minuten, also 6° je Minute. Der Stundenzeiger braucht 12 Stunden, also 30° je Stunde.

BeispielDrehungen: Zeiger und Karussell

Ein Karussell macht 23 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?

Schritt für Schritt

13 Umdrehung: 360° : 3 = 120°
23 Umdrehung: 2 · 120° = 240°

13 Umdrehung: 360° : 3 = 120°
23 Umdrehung: 2 · 120° = 240°

Ergebnis:

240°

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Karussell macht 18 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
So fängst du an:
18 Umdrehung: 360° : 8 = 45°
Lösung zeigen
1. 18 Umdrehung: 360° : 8 = 45°
2. 18 Umdrehung: 1 · 45° = 45°
Ergebnis:
45°
●11
Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 1 Uhr bis 3 Uhr?
Lösung zeigen
1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
3. In 2 Stunden: 2 · 30° = 60°
Ergebnis:
60°
★12
Es ist 1 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 14 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
Lösung zeigen
1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
3. In 14 Minuten: 14 · 6° = 84°
Ergebnis:
84°

5Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man die fünf olympischen Ringe so, dass alle gleich groß sind und sich richtig überlappen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle fünf Ringe haben denselben Radius, also dieselbe Zirkelöffnung. Die Mittelpunkte der oberen drei liegen in gleichen Abständen nebeneinander, die unteren zwei genau dazwischen und etwas tiefer. Pierre de Coubertin entwarf das Zeichen 1913; die fünf Ringe stehen für die fünf Erdteile.

MerkenKreisdiagramm zeichnen

Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.

Erst den Winkel für eine Person ausrechnen, dann mal die Anzahl jeder Gruppe. Zur Probe ergeben alle Winkel 360°.

BeispielKreisdiagramm: Winkel aus Anzahlen

Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Welches Obst isst du am liebsten?“. Es wurden 30 Kinder befragt, davon antworteten 8 mit „Erdbeere“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?

Schritt für Schritt

Alle 30 Kinder zusammen: 360°.
Ein Kind: 360° : 30 = 12°
Erdbeere: 8 · 12° = 96°

Alle 30 Kinder zusammen: 360°.
Ein Kind: 360° : 30 = 12°
Erdbeere: 8 · 12° = 96°

Ergebnis:

96°

AchtungWinkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht

24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°

So richtig

24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

○13
12 Kinder wurden gefragt: „Wo warst du in den Ferien?“ Die Antworten: zu Hause: 1, Ostsee: 3, Berge: 1, Ausland: 7. Welchen Winkel bekommt „zu Hause“ im Kreisdiagramm?
So fängst du an:
Alle 12 Kinder zusammen: 360°.
Lösung zeigen
1. Alle 12 Kinder zusammen: 360°.
2. Ein Kind: 360° : 12 = 30°
3. zu Hause: 1 · 30° = 30°
Ergebnis:
30°
●14
Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Welcher Sport gefällt dir am besten?“. Es wurden 20 Kinder befragt, davon antworteten 12 mit „Schwimmen“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?
Lösung zeigen
1. Alle 20 Kinder zusammen: 360°.
2. Ein Kind: 360° : 20 = 18°
3. Schwimmen: 12 · 18° = 216°
Ergebnis:
216°
★15
Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „Ausland“?
Lösung zeigen
1. Alle 90 Kinder zusammen: 360°.
2. Ein Kind: 360° : 90 = 4°
3. Ausland: 12 · 4° = 48°
Ergebnis:
4°, 48°

6Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

EntdeckenFrage

Warum sind Kanaldeckel auf der Straße meistens rund?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein runder Deckel kann nicht in sein eigenes Loch fallen. Jede Sehne quer durch den Kreis ist höchstens so lang wie der Durchmesser, und durch eine kürzere Öffnung passt er nicht. Ein quadratischer Deckel dagegen rutscht schräg hindurch, weil seine Diagonale länger ist als die Seite.

MerkenAus dem Kreisdiagramm ablesen

Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.

Denselben Anteil nimmt man von der Gesamtzahl.

BeispielKreisdiagramm lesen: Anzahlen berechnen

Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 24 Kindern auf die Frage „Welcher Sport gefällt dir am besten?“ Wie viele Kinder antworteten „Fußball“?

Schritt für Schritt

„Fußball“ hat 30° von 360°.
Anteil: 30360 = 112
Fußball: 24 · 30 : 360 = 2

„Fußball“ hat 30° von 360°.
Anteil: 30360 = 112
Fußball: 24 · 30 : 360 = 2

Ergebnis:

AchtungNoch einmal: Winkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht

24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°

So richtig

24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

○16
20 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „Fahrrad“ oder „zu Fuß“ zusammen?
So fängst du an:
Zusammen: 36° + 270° = 306°
Lösung zeigen
1. Zusammen: 36° + 270° = 306°
2. Anteil: 1720
3. 20 · 306 : 360 = 17
Ergebnis:
17
●17
18 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „Berge“ oder „Ostsee“ zusammen?
Lösung zeigen
1. Zusammen: 40° + 80° = 120°
2. Anteil: 13
3. 18 · 120 : 360 = 6
Ergebnis:
6
★18
30 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „Hund“ oder „Fische“ zusammen?
Lösung zeigen
1. Zusammen: 120° + 96° = 216°
2. Anteil: 35
3. 30 · 216 : 360 = 18
Ergebnis:
18

7Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet der Wetterdienst die Monatstemperaturen von Berlin als Säulen oder Linie und nie als Tortendiagramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen, zusammen 360°. Die Temperaturen von zwölf Monaten ergeben zusammen kein sinnvolles Ganzes. Ein kalter Januar kann sogar unter 0 °C liegen, dafür gibt es kein Tortenstück. Säulen zeigen jeden Monat für sich und lassen sich vergleichen.

MerkenKreis oder Säulen?

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.

Ein Säulendiagramm vergleicht Werte nebeneinander. Ergeben die Werte zusammen kein Ganzes, wie Temperaturen oder Mehrfachnennungen, passt nur das Säulendiagramm.

BeispielKreisdiagramm oder Säulendiagramm?

Von 29 Kindern der Klasse kommen 15 zu Fuß, 8 mit dem Rad und 6 mit dem Bus. Gezeigt werden soll, welcher Teil der Klasse wie kommt. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?

Schritt für Schritt

Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 29 Kinder.
Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen: gute Wahl.

Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 29 Kinder.
Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen: gute Wahl.

Ergebnis:

AchtungKreisdiagramm für Werte ohne gemeinsames Ganzes

So nicht

Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → Kreisdiagramm

So richtig

Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → kein Ganzes → Säulendiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen. Temperaturen oder Mehrfachnennungen gehören in Säulen.

ÜbenJetzt du

○19
Von 29 Kindern der Klasse kommen 11 zu Fuß, 3 mit dem Rad und 15 mit dem Bus. Gezeigt werden soll, welcher Teil der Klasse wie kommt. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
So fängst du an:
Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 29 Kinder.
Lösung zeigen
1. Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 29 Kinder.
2. Also passt ein Kreisdiagramm.
Ergebnis:
Kreisdiagramm
●20
Von 25 Kindern der Klasse kommen 4 zu Fuß, 13 mit dem Rad und 8 mit dem Bus. Gezeigt werden soll, welcher Teil der Klasse wie kommt. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
Lösung zeigen
1. Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 25 Kinder.
2. Die Anteile am Ganzen sieht man im Kreisdiagramm sofort: besser.
Ergebnis:
ja
★21
Lina bekommt im Monat 45 € Taschengeld. Davon gibt sie 5 € für Bücher, 25 € für Süßes aus und spart 15 €. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
Lösung zeigen
1. Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 45 €.
2. Also passt ein Kreisdiagramm.
Ergebnis:
Kreisdiagramm

8Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

EntdeckenFrage

Passen zwei CDs nebeneinander auf ein A4-Blatt, ohne überzustehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine CD hat 12 cm Durchmesser. Zwei nebeneinander brauchen 24 cm Länge und 12 cm Breite. Ein A4-Blatt ist 21 cm breit und 29,7 cm lang. Quer passt es nicht, der Länge nach schon.

MerkenSachaufgaben rund um den Kreis

Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Der ganze Kreis hat 360°, ein Teil davon ist ein Bruchteil. Zur Probe ergeben alle Teile den ganzen Kreis.

BeispielSachaufgaben mit Kreisen

Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen den beiden Zeigern einer Uhr um 1 Uhr?

Schritt für Schritt

Von einer Zahl zur nächsten sind es 360° : 12 = 30°.
Zwischen den Zeigern liegen 1 Abstände.
1 · 30° = 30°

Von einer Zahl zur nächsten sind es 360° : 12 = 30°.
Zwischen den Zeigern liegen 1 Abstände.
1 · 30° = 30°

Ergebnis:

30°

AchtungVollwinkel wie 100 % gerechnet

So nicht

1/4 des Kreises → 25°

So richtig

1/4 des Kreises → 90°

Schreib an den Kreis: ganz = 360°. Rechne den Teil von 360°.

ÜbenJetzt du

○22
Eine Pizza wird in 6 gleich große Stücke geschnitten. 3 Kinder essen je 1 Stück. Welcher Winkel ist von der Pizza noch übrig?
So fängst du an:
Ein Stück: 360° : 6 = 60°
Lösung zeigen
1. Ein Stück: 360° : 6 = 60°
2. Gegessen: 3 · 1 = 3 Stücke, übrig 3
3. 3 · 60° = 180°
Ergebnis:
180°
●23
Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 150°, Blau hat 100°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
Lösung zeigen
1. Rot und Blau: 150° + 100° = 250°
2. Gelb: 360° − 250° = 110°
3. Anteil: 110360 = 1136
Ergebnis:
110°, 1136
★24
Ein Rasensprenger dreht sich um 240° hin und her. Welchen Teil einer vollen Runde bewässert er?
Lösung zeigen
1. Eine volle Runde hat 360°.
2. Anteil: 240360
3. Gekürzt: 240360 = 23
Ergebnis:
23

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 3 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?
Lösung zeigen
1. Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 2 cm.
2. Radius: 3 cm + 4 · 2 cm = 11 cm
3. Durchmesser: 2 · 11 cm = 22 cm
Ergebnis:
22 cm
●26
Tom sticht den Zirkel in M und zeichnet einen Kreis mit 6 cm Öffnung. 11 cm weiter liegt N. Dort zeichnet er einen Kreis mit 5 cm Öffnung. Wie liegen die beiden Kreise zueinander?
Lösung zeigen
1. Beide Radien zusammen: 6 cm + 5 cm = 11 cm
2. 11 cm ist genau 11 cm: Die Kreise treffen sich in einem Punkt.
3. Die Kreise: berühren sich.
Ergebnis:
berühren sich
●27
Eine Strecke verbindet die Punkte K und L auf dem Kreis. Sie geht nicht durch den Mittelpunkt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
Lösung zeigen
1. Es ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
2. Das heißt Sehne.
Ergebnis:
Sehne
●28
Ein Kreis hat den Radius 2 cm. Wie lang ist die längste Sehne in diesem Kreis?
Lösung zeigen
1. Die längste Sehne geht durch den Mittelpunkt.
2. Sie ist der Durchmesser.
3. 2 · 2 cm = 4 cm
Ergebnis:
4 cm
●29
Ein Kreisausschnitt ist 16 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
Lösung zeigen
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. 16 des Kreises: 360° : 6 = 60°
3. Der Mittelpunktswinkel ist 60°.
Ergebnis:
60°
●30
Jedes Stück einer runden Torte hat an der Spitze einen Winkel von 36°. Alle Stücke sind gleich groß. Wie viele Stücke sind es?
Lösung zeigen
1. Die Winkel aller Stücke ergeben 360°.
2. Wie oft passt 36° in 360°?
3. 360° : 36° = 10
Ergebnis:
10 Stücke

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kreis und Kreismuster mit dem Zirkel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Sehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt: Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Anteil und Mittelpunktswinkel: Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.
Drehungen als Teil einer Umdrehung: Eine volle Umdrehung sind 360°.
Kreisdiagramm zeichnen: Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.
Aus dem Kreisdiagramm ablesen: Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.
Kreis oder Säulen?: Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.
Sachaufgaben rund um den Kreis: Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.
31
Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 4 cm, der andere den Durchmesser 14 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
Lösung zeigen
Ergebnis:
11 cm
Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.
32
Ist das rot markierte Teil eine Strecke, eine gebogene Linie oder eine Fläche? Wie heißt es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Durchmesser
Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.
33
Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 80°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
29
Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).
34
Ein Karussell macht 12 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
180°
Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.
35
18 Kinder wurden gefragt: „Welcher Sport gefällt dir am besten?“ Die Antworten: Fußball: 5, Schwimmen: 9, Turnen: 4. Welchen Winkel bekommt „Schwimmen“ im Kreisdiagramm?
Lösung zeigen
Ergebnis:
180°
Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.
36
Es wurden 30 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Hund“ als „Fische“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
Lösung zeigen
Ergebnis:
9
Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.
37
Die Mittagstemperaturen einer Woche: Montag 8 °C, Dienstag 22 °C, Mittwoch 13 °C, Donnerstag 18 °C, Freitag 23 °C. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein
Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.
38
Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 130°, Blau hat 130°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
Lösung zeigen
Ergebnis:
100°, 518

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, eine Reihe besteht aus Durchmessern.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tortenstücke, Uhren, Riesenrad, Umfragen in der Klasse. Beruf: Marktforschung und Zeitungsgrafik, Maschinenbau, Konditorei.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Durchmesser: einmal quer durch den Kreis
Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Brüche und Dezimalzahlen, Winkel an Geraden und in Figuren

Darauf baut auf: Kreis und Zylinder

Lösungen

6 cm
10 cm
6 cm
Radius
Sehne
Sehne
78
12
306°
45°
60°
84°
30°
216°
4°, 48°
17
6
18
Kreisdiagramm
ja
Kreisdiagramm
180°
110°, 1136
23
22 cm
berühren sich
Sehne
4 cm
60°
10 Stücke
11 cm
Durchmesser
29
180°
180°
9
nein
100°, 518
6 Kreise
innerhalb des Kreises