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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele öffnen den Zirkel auf 12 cm : 5 = 2,4 cm und wundern sich, dass die Kreise viel zu groß werden und sich überschneiden. Andere probieren so lange, bis es ungefähr passt. Die Reihe besteht aus fünf Durchmessern: Jeder ist 2,4 cm lang. Der Zirkel wird aber auf den Radius geöffnet, und der ist halb so lang: 1,2 cm.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Zirkelöffnung ist der Radius, und der Durchmesser ist doppelt so lang.

  1. ●39
    Um denselben Mittelpunkt M liegen zwei Kreise mit den Radien 5 cm und 9 cm. Wie breit ist der Ring zwischen ihnen?
    M?
    Lösung zeigen
    1. Beide Radien beginnen in M.
    2. Die Breite des Rings ist der Unterschied der Radien.
    3. 9 cm − 5 cm = 4 cm
    Ergebnis:
    4 cm
  2. ●40
    Ein Kreis um M hat den Radius 8 cm. Der Punkt E ist 10 cm von M entfernt. Liegt E innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises?
    Mr = 8 cmE: 10 cm von M?
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche: E ist 10 cm entfernt, der Radius ist 8 cm.
    2. 10 > 8: weiter weg als der Rand.
    3. E liegt außerhalb des Kreises.
    Ergebnis:
    außerhalb des Kreises

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Kreis ist das Ganze: 360°

Ein Kreis lässt sich in Teile schneiden wie eine Torte. Jeder Teil ist ein Bruchteil des Ganzen und hat denselben Bruchteil von 360° als Winkel. Radius und Durchmesser bestimmen die Größe des Kreises, der Mittelpunktswinkel den Anteil.

Kreis mit einem gefärbten Viertel: 360 Grad geteilt durch 4 sind 90 Grad90°ein Viertel des Kreises360° : 4 = 90°Der Kreis ist das Ganze:360°

WeiterdenkenDenk nach

Ist ein Viertel eines großen Kreises ein größerer Anteil als ein Viertel eines kleinen Kreises? Was ist gleich, was nicht?

1Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Seit wann zeichnen Menschen Zahlen als Tortenstücke in einen Kreis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das erste bekannte Kreisdiagramm veröffentlichte der Schotte William Playfair im Jahr 1801. Er zeigte damit, welcher Teil eines Reiches zu welchem Land gehörte. Seine Idee: Ein Anteil am Ganzen ist mit einem Blick zu sehen, wenn das Ganze ein Kreis ist.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenKreis und Kreismuster mit dem Zirkel

Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.

Eine Reihe sich berührender Kreise ist so lang wie alle Durchmesser zusammen.

BeispielKreismuster: Radius und Durchmesser nutzen

4 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 32 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
32 cm?
Schritt für Schritt
  1. Die Reihe besteht aus 4 Durchmessern.
  2. Durchmesser: 32 cm : 4 = 8 cm
  3. Radius: 8 cm : 2 = 4 cm
  1. Die Reihe besteht aus 4 Durchmessern.
  2. Durchmesser: 32 cm : 4 = 8 cm
  3. Radius: 8 cm : 2 = 4 cm
Ergebnis:
4 cm

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 8 cm = 11 cm
So richtig
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 4 cm = 7 cm

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Erst prüfen, welcher gegeben ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 3 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?
    M?
    So fängst du an:
    Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 2 cm.
    Lösung zeigen
    1. Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 2 cm.
    2. Radius: 3 cm + 4 · 2 cm = 11 cm
    3. Durchmesser: 2 · 11 cm = 22 cm
    Ergebnis:
    22 cm
  2. ●2
    5 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 30 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
    30 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Reihe besteht aus 5 Durchmessern.
    2. Durchmesser: 30 cm : 5 = 6 cm
    3. Radius: 6 cm : 2 = 3 cm
    Ergebnis:
    3 cm
  3. ★3
    3 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 27 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
    27 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Reihe besteht aus 3 Durchmessern.
    2. Durchmesser: 27 cm : 3 = 9 cm
    3. Radius: 9 cm : 2 = 4,5 cm
    Ergebnis:
    4,5 cm

2Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

EntdeckenFrage

Warum hat ein voller Kreis ausgerechnet 360 Grad und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Einteilung geht vermutlich auf die Astronomen Babylons zurück, die im Sechzigersystem rechneten. 360 lässt sich durch sehr viele Zahlen teilen: durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 und mehr. Deshalb haben Halbkreis, Drittel, Viertel und Sechstel ganze Gradzahlen.

MerkenSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Ein Kreisausschnitt ist eine Fläche wie ein Tortenstück.

BeispielSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Wie heißt das rot markierte Teil des Kreises?
M?
Schritt für Schritt
  1. Schau auf die Form: eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
  2. Das heißt Kreisausschnitt.
  1. Schau auf die Form: eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
  2. Das heißt Kreisausschnitt.
Ergebnis:
Kreisausschnitt

AchtungSehne, Bogen und Ausschnitt verwechselt

So nicht
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Kreisbogen
So richtig
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Sehne

Sehne: gerade Strecke. Kreisbogen: gebogene Linie. Kreisausschnitt: Fläche mit zwei Radien.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Strecke verbindet die Punkte A und B auf dem Kreis und geht durch den Mittelpunkt M. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    So fängst du an:
    Es ist eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    2. Das heißt Durchmesser.
    Ergebnis:
    Durchmesser
  2. ●5
    Ein gebogenes Stück der Kreislinie reicht von R bis S. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine gebogene Linie, ein Stück vom Kreis.
    2. Das heißt Kreisbogen.
    Ergebnis:
    Kreisbogen
  3. ★6
    Eine Fläche wird von den Strecken MA und MB und dem Stück der Kreislinie von A bis B begrenzt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
    2. Das heißt Kreisausschnitt.
    Ergebnis:
    Kreisausschnitt

3Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

EntdeckenFrage

Wie viel Grad liegen zwischen zwei Kapseln des Riesenrads London Eye?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das London Eye hat 32 Kapseln in gleichen Abständen: 360° : 32 = 11,25°. Für eine volle Umdrehung braucht das Rad etwa 30 Minuten, in jeder Minute dreht es sich also um etwa 12°.

MerkenAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.

So ist 1/4 des Kreises 360° : 4 = 90°, und 120° sind 120/360 = 1/3 des Kreises.

BeispielAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Kreisausschnitt ist 13 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
?1/3 des Kreises
Schritt für Schritt
  1. Der ganze Kreis hat 360°.
  2. 13 des Kreises: 360° : 3 = 120°
  3. Der Mittelpunktswinkel ist 120°.
  1. Der ganze Kreis hat 360°.
  2. 13 des Kreises: 360° : 3 = 120°
  3. Der Mittelpunktswinkel ist 120°.
Ergebnis:
120°

AchtungMit 100 statt 360 gerechnet

So nicht
1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°
So richtig
1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Kreisausschnitt ist 12 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
    ?1/2 des Kreises
    So fängst du an:
    Der ganze Kreis hat 360°.
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. 12 des Kreises: 360° : 2 = 180°
    3. Der Mittelpunktswinkel ist 180°.
    Ergebnis:
    180°
  2. ●8
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 216°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    216°
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. Anteil: 216360
    3. Gekürzt: 216360 = 35
    Ergebnis:
    35
  3. ★9
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 48°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    48°
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. Anteil: 48360
    3. Gekürzt: 48360 = 215
    Ergebnis:
    215

4Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

EntdeckenFrage

Wie oft stehen Minutenzeiger und Stundenzeiger in zwölf Stunden genau übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur 11-mal, nicht 12-mal. Der Minutenzeiger dreht sich 6° je Minute, der Stundenzeiger nur 0,5°. Er holt also 5,5° je Minute auf und braucht für eine ganze Runde Vorsprung etwas mehr als eine Stunde. Zwischen 11 Uhr und 1 Uhr treffen sie sich deshalb nur einmal, um 12 Uhr.

MerkenDrehungen als Teil einer Umdrehung

Eine volle Umdrehung sind 360°.

Der Minutenzeiger schafft sie in 60 Minuten, also 6° je Minute. Der Stundenzeiger braucht 12 Stunden, also 30° je Stunde.

BeispielDrehungen: Zeiger und Karussell

Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 2 Uhr bis 8 Uhr?
123456789101112?
Schritt für Schritt
  1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
  3. In 6 Stunden: 6 · 30° = 180°
  1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
  3. In 6 Stunden: 6 · 30° = 180°
Ergebnis:
180°

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 4 Uhr bis 8 Uhr?
    123456789101112?
    So fängst du an:
    In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    Lösung zeigen
    1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
    3. In 4 Stunden: 4 · 30° = 120°
    Ergebnis:
    120°
  2. ●11
    Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 3 Uhr bis 9 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
    3. In 6 Stunden: 6 · 30° = 180°
    Ergebnis:
    180°
  3. ★12
    Ein Rad dreht sich um 1530°. Wie viele Umdrehungen sind das? Gib eine gemischte Zahl an.
    Lösung zeigen
    1. Volle Umdrehungen: 4 · 360° = 1440°
    2. Rest: 1530° − 1440° = 90°
    3. 90° von 360° sind 14 Umdrehung.
    Ergebnis:
    4 14

5Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man die fünf olympischen Ringe so, dass alle gleich groß sind und sich richtig überlappen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle fünf Ringe haben denselben Radius, also dieselbe Zirkelöffnung. Die Mittelpunkte der oberen drei liegen in gleichen Abständen nebeneinander, die unteren zwei genau dazwischen und etwas tiefer. Pierre de Coubertin entwarf das Zeichen 1913; die fünf Ringe stehen für die fünf Erdteile.

MerkenKreisdiagramm zeichnen

Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.

Erst den Winkel für eine Person ausrechnen, dann mal die Anzahl jeder Gruppe. Zur Probe ergeben alle Winkel 360°.

BeispielKreisdiagramm: Winkel aus Anzahlen

24 Kinder wurden gefragt: „Wie kommst du zur Schule?“ Die Antworten: zu Fuß: 3, Fahrrad: 5, Bus: 16. Welchen Winkel bekommt „Bus“ im Kreisdiagramm?
zu FußFahrradBusAnzahl3516Winkel?
Schritt für Schritt
  1. Alle 24 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 24 = 15°
  3. Bus: 16 · 15° = 240°
  1. Alle 24 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 24 = 15°
  3. Bus: 16 · 15° = 240°
Ergebnis:
240°

AchtungWinkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht
24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°
So richtig
24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Welcher Sport gefällt dir am besten?“. Es wurden 18 Kinder befragt, davon antworteten 4 mit „Turnen“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?
    FußballSchwimmenTurnenAnzahl4104Winkel?
    So fängst du an:
    Alle 18 Kinder zusammen: 360°.
    Lösung zeigen
    1. Alle 18 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 18 = 20°
    3. Turnen: 4 · 20° = 80°
    Ergebnis:
    80°
  2. ●14
    Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Welches Obst isst du am liebsten?“. Es wurden 20 Kinder befragt, davon antworteten 7 mit „Apfel“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?
    ApfelBananeErdbeereMeloneAnzahl7472Winkel?
    Lösung zeigen
    1. Alle 20 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 20 = 18°
    3. Apfel: 7 · 18° = 126°
    Ergebnis:
    126°
  3. ★15
    Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „Schwimmen“?
    FußballSchwimmenTurnenBasketballAnzahl1532196Winkel?
    Lösung zeigen
    1. Alle 72 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 72 = 5°
    3. Schwimmen: 32 · 5° = 160°
    Ergebnis:
    5°, 160°

6Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

EntdeckenFrage

Warum sind Kanaldeckel auf der Straße meistens rund?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein runder Deckel kann nicht in sein eigenes Loch fallen. Jede Sehne quer durch den Kreis ist höchstens so lang wie der Durchmesser, und durch eine kürzere Öffnung passt er nicht. Ein quadratischer Deckel dagegen rutscht schräg hindurch, weil seine Diagonale länger ist als die Seite.

MerkenAus dem Kreisdiagramm ablesen

Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.

Denselben Anteil nimmt man von der Gesamtzahl.

BeispielKreisdiagramm lesen: Anzahlen berechnen

Es wurden 18 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Fische“ als „Hund“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
Hund40°Katze100°Fische80°keins140°
Schritt für Schritt
  1. Fische: 18 · 80 : 360 = 4
  2. Hund: 18 · 40 : 360 = 2
  3. Unterschied: 4 − 2 = 2
  1. Fische: 18 · 80 : 360 = 4
  2. Hund: 18 · 40 : 360 = 2
  3. Unterschied: 4 − 2 = 2
Ergebnis:
2

AchtungNoch einmal: Winkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht
24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°
So richtig
24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Es wurden 18 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Fußball“ als „Schwimmen“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
    Fußball200°Schwimmen40°Turnen80°Basketball40°
    So fängst du an:
    Fußball: 18 · 200 : 360 = 10
    Lösung zeigen
    1. Fußball: 18 · 200 : 360 = 10
    2. Schwimmen: 18 · 40 : 360 = 2
    3. Unterschied: 10 − 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●17
    Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 60 Kindern auf die Frage „Wo warst du in den Ferien?“ Wie viele Kinder antworteten „zu Hause“?
    zu Hause96°Ostsee60°Berge42°Ausland162°
    Lösung zeigen
    1. „zu Hause“ hat 96° von 360°.
    2. Anteil: 96360 = 415
    3. zu Hause: 60 · 96 : 360 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★18
    Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 120 Kindern auf die Frage „Welches Haustier hast du?“ Wie viele Kinder antworteten „Fische“?
    Hund174°Katze123°Fische63°
    Lösung zeigen
    1. „Fische“ hat 63° von 360°.
    2. Anteil: 63360 = 740
    3. Fische: 120 · 63 : 360 = 21
    Ergebnis:
    21

7Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet der Wetterdienst die Monatstemperaturen von Berlin als Säulen oder Linie und nie als Tortendiagramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen, zusammen 360°. Die Temperaturen von zwölf Monaten ergeben zusammen kein sinnvolles Ganzes. Ein kalter Januar kann sogar unter 0 °C liegen, dafür gibt es kein Tortenstück. Säulen zeigen jeden Monat für sich und lassen sich vergleichen.

MerkenKreis oder Säulen?

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.

Ein Säulendiagramm vergleicht Werte nebeneinander. Ergeben die Werte zusammen kein Ganzes, wie Temperaturen oder Mehrfachnennungen, passt nur das Säulendiagramm.

BeispielKreisdiagramm oder Säulendiagramm?

Bei der Wahl zur Klassensprecherin bekam Ada 12 Stimmen, Ben 4 und Cem 8. Alle 24 Kinder haben genau einmal gewählt. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
AdaBenCemAnzahl1248
Schritt für Schritt
  1. Jede Stimme zählt einmal: Die Stimmen sind Teile eines Ganzen, 24 Stimmen.
  2. Also passt ein Kreisdiagramm.
  1. Jede Stimme zählt einmal: Die Stimmen sind Teile eines Ganzen, 24 Stimmen.
  2. Also passt ein Kreisdiagramm.
Ergebnis:
Kreisdiagramm

AchtungKreisdiagramm für Werte ohne gemeinsames Ganzes

So nicht
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → Kreisdiagramm
So richtig
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → kein Ganzes → Säulendiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen. Temperaturen oder Mehrfachnennungen gehören in Säulen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Lina bekommt im Monat 20 € Taschengeld. Davon gibt sie 5 € für Bücher, 10 € für Süßes aus und spart 5 €. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
    So fängst du an:
    Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 20 €.
    Lösung zeigen
    1. Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 20 €.
    2. Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen: gute Wahl.
    Ergebnis:
    ja
  2. ●20
    Die Mittagstemperaturen einer Woche: Montag 11 °C, Dienstag 13 °C, Mittwoch 17 °C, Donnerstag 17 °C, Freitag 13 °C. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
    MontagDienstagMittwochDonnerstagFreitagAnzahl1113171713
    Lösung zeigen
    1. Temperaturen sind keine Teile eines Ganzen. Man vergleicht Werte nebeneinander.
    2. Ein Kreisdiagramm zeigt nur Teile eines Ganzen: keine gute Wahl.
    Ergebnis:
    nein
  3. ★21
    Lina bekommt im Monat 40 € Taschengeld. Davon gibt sie 15 € für Bücher, 5 € für Süßes aus und spart 20 €. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
    Lösung zeigen
    1. Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 40 €.
    2. Also passt ein Kreisdiagramm.
    Ergebnis:
    Kreisdiagramm

8Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

EntdeckenFrage

Passen zwei CDs nebeneinander auf ein A4-Blatt, ohne überzustehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine CD hat 12 cm Durchmesser. Zwei nebeneinander brauchen 24 cm Länge und 12 cm Breite. Ein A4-Blatt ist 21 cm breit und 29,7 cm lang. Quer passt es nicht, der Länge nach schon.

MerkenSachaufgaben rund um den Kreis

Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Der ganze Kreis hat 360°, ein Teil davon ist ein Bruchteil. Zur Probe ergeben alle Teile den ganzen Kreis.

BeispielSachaufgaben mit Kreisen

Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen den beiden Zeigern einer Uhr um 4 Uhr?
123456789101112?
Schritt für Schritt
  1. Von einer Zahl zur nächsten sind es 360° : 12 = 30°.
  2. Zwischen den Zeigern liegen 4 Abstände.
  3. 4 · 30° = 120°
  1. Von einer Zahl zur nächsten sind es 360° : 12 = 30°.
  2. Zwischen den Zeigern liegen 4 Abstände.
  3. 4 · 30° = 120°
Ergebnis:
120°

AchtungVollwinkel wie 100 % gerechnet

So nicht
1/4 des Kreises → 25°
So richtig
1/4 des Kreises → 90°

Schreib an den Kreis: ganz = 360°. Rechne den Teil von 360°.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 100°, Blau hat 90°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
    Rot100°Blau90°Gelb?
    So fängst du an:
    Rot und Blau: 100° + 90° = 190°
    Lösung zeigen
    1. Rot und Blau: 100° + 90° = 190°
    2. Gelb: 360° − 190° = 170°
    3. Anteil: 170360 = 1736
    Ergebnis:
    170°, 1736
  2. ●23
    Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen den beiden Zeigern einer Uhr um 11 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. Von einer Zahl zur nächsten sind es 360° : 12 = 30°.
    2. Zwischen den Zeigern liegen 1 Abstände.
    3. 1 · 30° = 30°
    Ergebnis:
    30°
  3. ★24
    Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 130°, Blau hat 70°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
    Rot130°Blau70°Gelb?
    Lösung zeigen
    1. Rot und Blau: 130° + 70° = 200°
    2. Gelb: 360° − 200° = 160°
    3. Anteil: 160360 = 49
    Ergebnis:
    160°, 49

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 3 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 6. Kreis?
    M?
    Lösung zeigen
    1. Vom 1. bis zum 6. Kreis wächst der Radius 5-mal um 2 cm.
    2. Radius: 3 cm + 5 · 2 cm = 13 cm
    3. Durchmesser: 2 · 13 cm = 26 cm
    Ergebnis:
    26 cm
  2. ●26
    Ein Kreis um M hat den Radius 5 cm, ein Kreis um N den Radius 5 cm. M und N sind 9 cm voneinander entfernt. Liegen die Kreise getrennt, berühren sie sich oder schneiden sie sich?
    MN9 cmr = 5 cmr = 5 cm?
    Lösung zeigen
    1. Beide Radien zusammen: 5 cm + 5 cm = 10 cm
    2. 9 cm ist weniger als 10 cm, aber mehr als 0 cm: zwei Schnittpunkte.
    3. Die Kreise: schneiden sich.
    Ergebnis:
    schneiden sich
  3. ●27
    Eine Fläche wird von den Strecken MP und MQ und dem Stück der Kreislinie von P bis Q begrenzt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
    2. Das heißt Kreisausschnitt.
    Ergebnis:
    Kreisausschnitt
  4. ●28
    Aus einer runden Pizza mit 30 cm Durchmesser wird ein Kreisausschnitt geschnitten. Wie lang ist jede der beiden geraden Schnittkanten?
    d = 30 cm?
    Lösung zeigen
    1. Ein Kreisausschnitt wird von zwei Radien begrenzt.
    2. Jede gerade Kante reicht vom Mittelpunkt zum Rand.
    3. Radius: 30 cm : 2 = 15 cm
    Ergebnis:
    15 cm
  5. ●29
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 288°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    288°
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. Anteil: 288360
    3. Gekürzt: 288360 = 45
    Ergebnis:
    45
  6. ●30
    Eine runde Torte wird in 10 gleich große Stücke geschnitten. Wie groß ist der Winkel an der Spitze jedes Stücks?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Alle Stücke zusammen ergeben den ganzen Kreis: 360°.
    2. Jedes Stück ist 110 davon.
    3. 360° : 10 = 36°
    Ergebnis:
    36°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kreis und Kreismuster mit dem Zirkel
Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Sehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt
Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Anteil und Mittelpunktswinkel
Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.
Drehungen als Teil einer Umdrehung
Eine volle Umdrehung sind 360°.
Kreisdiagramm zeichnen
Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.
Aus dem Kreisdiagramm ablesen
Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.
Kreis oder Säulen?
Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.
Sachaufgaben rund um den Kreis
Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

    31
    3 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 6 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
    6 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 cm

  2. Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

    32
    Wie heißt das rot markierte Teil des Kreises?
    M?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kreisausschnitt

  3. Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

    33
    Ein Kreisausschnitt ist 19 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
    ?1/9 des Kreises
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40°

  4. Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

    34
    Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 3 Uhr bis 6 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90°

  5. Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

    35
    36 Kinder wurden gefragt: „Wie kommst du zur Schule?“ Die Antworten: zu Fuß: 13, Fahrrad: 8, Bus: 12, Auto: 3. Welchen Winkel bekommt „Auto“ im Kreisdiagramm?
    zu FußFahrradBusAutoAnzahl138123Winkel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30°

  6. Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

    36
    Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 24 Kindern auf die Frage „Welches Haustier hast du?“ Wie viele Kinder antworteten „Katze“?
    Hund60°Katze45°Fische225°keins30°
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3

  7. Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

    37
    Die Mittagstemperaturen einer Woche: Montag 17 °C, Dienstag 24 °C, Mittwoch 11 °C, Donnerstag 17 °C, Freitag 23 °C. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
    MontagDienstagMittwochDonnerstagFreitagAnzahl1724111723
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

    38
    Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 130°, Blau hat 120°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
    Rot130°Blau120°Gelb?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    110°, 1136

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, eine Reihe besteht aus Durchmessern.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tortenstücke, Uhren, Riesenrad, Umfragen in der Klasse. Beruf: Marktforschung und Zeitungsgrafik, Maschinenbau, Konditorei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Durchmesser
einmal quer durch den Kreis
Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Brüche und Dezimalzahlen, Winkel an Geraden und in Figuren

Darauf baut auf: Kreis und Zylinder

Lösungen

  1. 22 cm
  2. 3 cm
  3. 4,5 cm
  4. Durchmesser
  5. Kreisbogen
  6. Kreisausschnitt
  7. 180°
  8. 35
  9. 215
  10. 120°
  11. 180°
  12. 4 14
  13. 80°
  14. 126°
  15. 5°, 160°
  16. 8
  17. 16
  18. 21
  19. ja
  20. nein
  21. Kreisdiagramm
  22. 170°, 1736
  23. 30°
  24. 160°, 49
  25. 26 cm
  26. schneiden sich
  27. Kreisausschnitt
  28. 15 cm
  29. 45
  30. 36°
  31. 1 cm
  32. Kreisausschnitt
  33. 40°
  34. 90°
  35. 30°
  36. 3
  37. nein
  38. 110°, 1136
  39. 4 cm
  40. außerhalb des Kreises