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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele öffnen den Zirkel auf 12 cm : 5 = 2,4 cm und wundern sich, dass die Kreise viel zu groß werden und sich überschneiden. Andere probieren so lange, bis es ungefähr passt. Die Reihe besteht aus fünf Durchmessern: Jeder ist 2,4 cm lang. Der Zirkel wird aber auf den Radius geöffnet, und der ist halb so lang: 1,2 cm.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Zirkelöffnung ist der Radius, und der Durchmesser ist doppelt so lang.

  1. ●38
    Wie viele Kreise mit dem Radius 3 cm passen nebeneinander auf eine Strecke von 12 cm?
    12 cm3 cm?
    Lösung zeigen
    1. Ein Kreis braucht seinen Durchmesser: 2 · 3 cm = 6 cm.
    2. 12 cm : 6 cm = 2
    3. Es passen 2 Kreise nebeneinander.
    Ergebnis:
    2 Kreise
  2. ●39
    Ein Kreis um M hat den Radius 8 cm. Der Punkt R ist 8 cm von M entfernt. Liegt R innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises?
    Mr = 8 cmR: 8 cm von M?
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche: R ist 8 cm entfernt, der Radius ist 8 cm.
    2. 8 cm ist genau der Radius.
    3. R liegt auf dem Kreis.
    Ergebnis:
    auf dem Kreis

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Kreis ist das Ganze: 360°

Ein Kreis lässt sich in Teile schneiden wie eine Torte. Jeder Teil ist ein Bruchteil des Ganzen und hat denselben Bruchteil von 360° als Winkel. Radius und Durchmesser bestimmen die Größe des Kreises, der Mittelpunktswinkel den Anteil.

Kreis mit einem gefärbten Viertel: 360 Grad geteilt durch 4 sind 90 Grad90°ein Viertel des Kreises360° : 4 = 90°Der Kreis ist das Ganze:360°

WeiterdenkenDenk nach

Ist ein Viertel eines großen Kreises ein größerer Anteil als ein Viertel eines kleinen Kreises? Was ist gleich, was nicht?

1Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Seit wann zeichnen Menschen Zahlen als Tortenstücke in einen Kreis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das erste bekannte Kreisdiagramm veröffentlichte der Schotte William Playfair im Jahr 1801. Er zeigte damit, welcher Teil eines Reiches zu welchem Land gehörte. Seine Idee: Ein Anteil am Ganzen ist mit einem Blick zu sehen, wenn das Ganze ein Kreis ist.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenKreis und Kreismuster mit dem Zirkel

Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.

Eine Reihe sich berührender Kreise ist so lang wie alle Durchmesser zusammen.

BeispielKreismuster: Radius und Durchmesser nutzen

Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 1 cm. Jeder weitere Radius ist 1 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 3. Kreis?
M?
Schritt für Schritt
  1. Vom 1. bis zum 3. Kreis wächst der Radius 2-mal um 1 cm.
  2. Radius: 1 cm + 2 · 1 cm = 3 cm
  3. Durchmesser: 2 · 3 cm = 6 cm
  1. Vom 1. bis zum 3. Kreis wächst der Radius 2-mal um 1 cm.
  2. Radius: 1 cm + 2 · 1 cm = 3 cm
  3. Durchmesser: 2 · 3 cm = 6 cm
Ergebnis:
6 cm

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 8 cm = 11 cm
So richtig
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 4 cm = 7 cm

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Erst prüfen, welcher gegeben ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 5 cm, der andere den Durchmesser 12 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
    MN?
    So fängst du an:
    Radius des zweiten Kreises: 12 cm : 2 = 6 cm
    Lösung zeigen
    1. Radius des zweiten Kreises: 12 cm : 2 = 6 cm
    2. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
    3. Abstand: 5 cm + 6 cm = 11 cm
    Ergebnis:
    11 cm
  2. ●2
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 2 cm. Jeder weitere Radius ist 1 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?
    M?
    Lösung zeigen
    1. Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 1 cm.
    2. Radius: 2 cm + 4 · 1 cm = 6 cm
    3. Durchmesser: 2 · 6 cm = 12 cm
    Ergebnis:
    12 cm
  3. ★3
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 3 cm. Jeder weitere Radius ist 0,5 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?
    M?
    Lösung zeigen
    1. Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 0,5 cm.
    2. Radius: 3 cm + 4 · 0,5 cm = 5 cm
    3. Durchmesser: 2 · 5 cm = 10 cm
    Ergebnis:
    10 cm

2Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

EntdeckenFrage

Warum hat ein voller Kreis ausgerechnet 360 Grad und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Einteilung geht vermutlich auf die Astronomen Babylons zurück, die im Sechzigersystem rechneten. 360 lässt sich durch sehr viele Zahlen teilen: durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 und mehr. Deshalb haben Halbkreis, Drittel, Viertel und Sechstel ganze Gradzahlen.

MerkenSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Ein Kreisausschnitt ist eine Fläche wie ein Tortenstück.

BeispielSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Wie heißt das rot markierte Teil des Kreises?
M?
Schritt für Schritt
  1. Schau auf die Form: eine gebogene Linie, ein Stück vom Kreis.
  2. Das heißt Kreisbogen.
  1. Schau auf die Form: eine gebogene Linie, ein Stück vom Kreis.
  2. Das heißt Kreisbogen.
Ergebnis:
Kreisbogen

AchtungSehne, Bogen und Ausschnitt verwechselt

So nicht
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Kreisbogen
So richtig
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Sehne

Sehne: gerade Strecke. Kreisbogen: gebogene Linie. Kreisausschnitt: Fläche mit zwei Radien.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist das rot markierte Teil eine Strecke, eine gebogene Linie oder eine Fläche? Wie heißt es?
    M?
    So fängst du an:
    Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    Lösung zeigen
    1. Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    2. Das heißt Durchmesser.
    Ergebnis:
    Durchmesser
  2. ●5
    Eine Strecke verbindet die Punkte C und D auf dem Kreis und geht durch den Mittelpunkt M. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    2. Das heißt Durchmesser.
    Ergebnis:
    Durchmesser

3Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

EntdeckenFrage

Wie viel Grad liegen zwischen zwei Kapseln des Riesenrads London Eye?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das London Eye hat 32 Kapseln in gleichen Abständen: 360° : 32 = 11,25°. Für eine volle Umdrehung braucht das Rad etwa 30 Minuten, in jeder Minute dreht es sich also um etwa 12°.

MerkenAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.

So ist 1/4 des Kreises 360° : 4 = 90°, und 120° sind 120/360 = 1/3 des Kreises.

BeispielAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Kreisausschnitt ist 112 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
?1/12 des Kreises
Schritt für Schritt
  1. Der ganze Kreis hat 360°.
  2. 112 des Kreises: 360° : 12 = 30°
  3. Der Mittelpunktswinkel ist 30°.
  1. Der ganze Kreis hat 360°.
  2. 112 des Kreises: 360° : 12 = 30°
  3. Der Mittelpunktswinkel ist 30°.
Ergebnis:
30°

AchtungMit 100 statt 360 gerechnet

So nicht
1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°
So richtig
1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

  1. ○6
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 180°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    180°
    So fängst du an:
    Der ganze Kreis hat 360°.
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. Anteil: 180360
    3. Gekürzt: 180360 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●7
    Im Bild ist ein Kreisausschnitt gefärbt. Sein Mittelpunktswinkel steht darin. Welchen Teil des ganzen Kreises bedeckt er?
    200°
    Lösung zeigen
    1. Der Ausschnitt hat 200° von 360°.
    2. Anteil: 200360
    3. Gekürzt: 200360 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★8
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 50°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    50°
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. Anteil: 50360
    3. Gekürzt: 50360 = 536
    Ergebnis:
    536

4Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

EntdeckenFrage

Wie oft stehen Minutenzeiger und Stundenzeiger in zwölf Stunden genau übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur 11-mal, nicht 12-mal. Der Minutenzeiger dreht sich 6° je Minute, der Stundenzeiger nur 0,5°. Er holt also 5,5° je Minute auf und braucht für eine ganze Runde Vorsprung etwas mehr als eine Stunde. Zwischen 11 Uhr und 1 Uhr treffen sie sich deshalb nur einmal, um 12 Uhr.

MerkenDrehungen als Teil einer Umdrehung

Eine volle Umdrehung sind 360°.

Der Minutenzeiger schafft sie in 60 Minuten, also 6° je Minute. Der Stundenzeiger braucht 12 Stunden, also 30° je Stunde.

BeispielDrehungen: Zeiger und Karussell

Es ist 2 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 45 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
123456789101112?
Schritt für Schritt
  1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
  3. In 45 Minuten: 45 · 6° = 270°
  1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
  3. In 45 Minuten: 45 · 6° = 270°
Ergebnis:
270°

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht
47 + 38 = 75
So richtig
47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

  1. ○9
    Ein Karussell macht 56 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
    So fängst du an:
    16 Umdrehung: 360° : 6 = 60°
    Lösung zeigen
    1. 16 Umdrehung: 360° : 6 = 60°
    2. 56 Umdrehung: 5 · 60° = 300°
    Ergebnis:
    300°
  2. ●10
    Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 3 Uhr bis 5 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
    3. In 2 Stunden: 2 · 30° = 60°
    Ergebnis:
    60°
  3. ★11
    Ein Rad dreht sich um 1380°. Wie viele Umdrehungen sind das? Gib eine gemischte Zahl an.
    Lösung zeigen
    1. Volle Umdrehungen: 3 · 360° = 1080°
    2. Rest: 1380° − 1080° = 300°
    3. 300° von 360° sind 56 Umdrehung.
    Ergebnis:
    3 56

5Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man die fünf olympischen Ringe so, dass alle gleich groß sind und sich richtig überlappen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle fünf Ringe haben denselben Radius, also dieselbe Zirkelöffnung. Die Mittelpunkte der oberen drei liegen in gleichen Abständen nebeneinander, die unteren zwei genau dazwischen und etwas tiefer. Pierre de Coubertin entwarf das Zeichen 1913; die fünf Ringe stehen für die fünf Erdteile.

MerkenKreisdiagramm zeichnen

Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.

Erst den Winkel für eine Person ausrechnen, dann mal die Anzahl jeder Gruppe. Zur Probe ergeben alle Winkel 360°.

BeispielKreisdiagramm: Winkel aus Anzahlen

Die Klasse zeichnet ein Kreisdiagramm zur Frage „Welches Obst isst du am liebsten?“. Es wurden 30 Kinder befragt, davon antworteten 12 mit „Apfel“. Wie groß wird dieser Kreisausschnitt?
ApfelBananeErdbeereMeloneAnzahl12558Winkel?
Schritt für Schritt
  1. Alle 30 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 30 = 12°
  3. Apfel: 12 · 12° = 144°
  1. Alle 30 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 30 = 12°
  3. Apfel: 12 · 12° = 144°
Ergebnis:
144°

AchtungWinkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht
24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°
So richtig
24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○12
    Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „zu Hause“?
    zu HauseOstseeBergeAuslandAnzahl4152Winkel?
    So fängst du an:
    Alle 12 Kinder zusammen: 360°.
    Lösung zeigen
    1. Alle 12 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 12 = 30°
    3. zu Hause: 4 · 30° = 120°
    Ergebnis:
    30°, 120°
  2. ●13
    12 Kinder wurden gefragt: „Wie kommst du zur Schule?“ Die Antworten: zu Fuß: 2, Fahrrad: 5, Bus: 1, Auto: 4. Welchen Winkel bekommt „Fahrrad“ im Kreisdiagramm?
    zu FußFahrradBusAutoAnzahl2514Winkel?
    Lösung zeigen
    1. Alle 12 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 12 = 30°
    3. Fahrrad: 5 · 30° = 150°
    Ergebnis:
    150°
  3. ★14
    Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „Katze“?
    HundKatzeFischekeinsAnzahl1882026Winkel?
    Lösung zeigen
    1. Alle 72 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 72 = 5°
    3. Katze: 8 · 5° = 40°
    Ergebnis:
    5°, 40°

6Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

EntdeckenFrage

Warum sind Kanaldeckel auf der Straße meistens rund?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein runder Deckel kann nicht in sein eigenes Loch fallen. Jede Sehne quer durch den Kreis ist höchstens so lang wie der Durchmesser, und durch eine kürzere Öffnung passt er nicht. Ein quadratischer Deckel dagegen rutscht schräg hindurch, weil seine Diagonale länger ist als die Seite.

MerkenAus dem Kreisdiagramm ablesen

Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.

Denselben Anteil nimmt man von der Gesamtzahl.

BeispielKreisdiagramm lesen: Anzahlen berechnen

Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 12 Kindern auf die Frage „Welcher Sport gefällt dir am besten?“ Wie viele Kinder antworteten „Turnen“?
Fußball270°Schwimmen30°Turnen30°Basketball30°
Schritt für Schritt
  1. „Turnen“ hat 30° von 360°.
  2. Anteil: 30360 = 112
  3. Turnen: 12 · 30 : 360 = 1
  1. „Turnen“ hat 30° von 360°.
  2. Anteil: 30360 = 112
  3. Turnen: 12 · 30 : 360 = 1
Ergebnis:
1

AchtungNoch einmal: Winkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht
24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°
So richtig
24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○15
    Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 24 Kindern auf die Frage „Welcher Sport gefällt dir am besten?“ Wie viele Kinder antworteten „Turnen“?
    Fußball75°Schwimmen45°Turnen90°Basketball150°
    So fängst du an:
    „Turnen“ hat 90° von 360°.
    Lösung zeigen
    1. „Turnen“ hat 90° von 360°.
    2. Anteil: 90360 = 14
    3. Turnen: 24 · 90 : 360 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●16
    Es wurden 18 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Ostsee“ als „zu Hause“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
    zu Hause60°Ostsee140°Berge160°
    Lösung zeigen
    1. Ostsee: 18 · 140 : 360 = 7
    2. zu Hause: 18 · 60 : 360 = 3
    3. Unterschied: 7 − 3 = 4
    Ergebnis:
    4
  3. ★17
    45 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „Schwimmen“ oder „Turnen“ zusammen?
    Fußball48°Schwimmen80°Turnen232°
    Lösung zeigen
    1. Zusammen: 80° + 232° = 312°
    2. Anteil: 1315
    3. 45 · 312 : 360 = 39
    Ergebnis:
    39

7Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet der Wetterdienst die Monatstemperaturen von Berlin als Säulen oder Linie und nie als Tortendiagramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen, zusammen 360°. Die Temperaturen von zwölf Monaten ergeben zusammen kein sinnvolles Ganzes. Ein kalter Januar kann sogar unter 0 °C liegen, dafür gibt es kein Tortenstück. Säulen zeigen jeden Monat für sich und lassen sich vergleichen.

MerkenKreis oder Säulen?

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.

Ein Säulendiagramm vergleicht Werte nebeneinander. Ergeben die Werte zusammen kein Ganzes, wie Temperaturen oder Mehrfachnennungen, passt nur das Säulendiagramm.

BeispielKreisdiagramm oder Säulendiagramm?

Lina bekommt im Monat 35 € Taschengeld. Davon gibt sie 5 € für Bücher, 10 € für Süßes aus und spart 20 €. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
Schritt für Schritt
  1. Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 35 €.
  2. Also passt ein Kreisdiagramm.
  1. Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 35 €.
  2. Also passt ein Kreisdiagramm.
Ergebnis:
Kreisdiagramm

AchtungKreisdiagramm für Werte ohne gemeinsames Ganzes

So nicht
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → Kreisdiagramm
So richtig
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → kein Ganzes → Säulendiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen. Temperaturen oder Mehrfachnennungen gehören in Säulen.

ÜbenJetzt du

  1. ○18
    Die Mittagstemperaturen einer Woche: Montag 24 °C, Dienstag 24 °C, Mittwoch 9 °C, Donnerstag 17 °C, Freitag 20 °C. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
    MontagDienstagMittwochDonnerstagFreitagAnzahl242491720
    So fängst du an:
    Temperaturen sind keine Teile eines Ganzen. Man vergleicht Werte nebeneinander.
    Lösung zeigen
    1. Temperaturen sind keine Teile eines Ganzen. Man vergleicht Werte nebeneinander.
    2. Also passt ein Säulendiagramm.
    Ergebnis:
    Säulendiagramm
  2. ●19
    Lina bekommt im Monat 20 € Taschengeld. Davon gibt sie 10 € für Bücher, 5 € für Süßes aus und spart 5 €. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
    Lösung zeigen
    1. Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 20 €.
    2. Die Anteile am Ganzen sieht man im Kreisdiagramm sofort: besser.
    Ergebnis:
    ja
  3. ★20
    Die Mittagstemperaturen einer Woche: Montag 18 °C, Dienstag 21 °C, Mittwoch 21 °C, Donnerstag 12 °C, Freitag 8 °C. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
    MontagDienstagMittwochDonnerstagFreitagAnzahl182121128
    Lösung zeigen
    1. Temperaturen sind keine Teile eines Ganzen. Man vergleicht Werte nebeneinander.
    2. Ein Kreisdiagramm zeigt nur Teile eines Ganzen: keine gute Wahl.
    Ergebnis:
    nein

8Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

EntdeckenFrage

Passen zwei CDs nebeneinander auf ein A4-Blatt, ohne überzustehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine CD hat 12 cm Durchmesser. Zwei nebeneinander brauchen 24 cm Länge und 12 cm Breite. Ein A4-Blatt ist 21 cm breit und 29,7 cm lang. Quer passt es nicht, der Länge nach schon.

MerkenSachaufgaben rund um den Kreis

Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Der ganze Kreis hat 360°, ein Teil davon ist ein Bruchteil. Zur Probe ergeben alle Teile den ganzen Kreis.

BeispielSachaufgaben mit Kreisen

Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 80°, Blau hat 80°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
Rot80°Blau80°Gelb?
Schritt für Schritt
  1. Rot und Blau: 80° + 80° = 160°
  2. Gelb: 360° − 160° = 200°
  3. Anteil: 200360 = 59
  1. Rot und Blau: 80° + 80° = 160°
  2. Gelb: 360° − 160° = 200°
  3. Anteil: 200360 = 59
Ergebnis:
200°, 59

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○21
    Ein Rasensprenger dreht sich um 60° hin und her. Welchen Teil einer vollen Runde bewässert er?
    60°?
    So fängst du an:
    Eine volle Runde hat 360°.
    Lösung zeigen
    1. Eine volle Runde hat 360°.
    2. Anteil: 60360
    3. Gekürzt: 60360 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●22
    Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen den beiden Zeigern einer Uhr um 9 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. Von einer Zahl zur nächsten sind es 360° : 12 = 30°.
    2. Zwischen den Zeigern liegen 3 Abstände.
    3. 3 · 30° = 90°
    Ergebnis:
    90°
  3. ★23
    Paul teilt sein Taschengeld von 20,00 € in einem Kreisdiagramm auf. „Sparen“ hat einen Winkel von 90°. Wie viel Geld spart Paul?
    Lösung zeigen
    1. Anteil: 90360 = 14
    2. 20,00 € : 360 · 90 = 5,00 €
    Ergebnis:
    5,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●24
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 1 cm. Jeder weitere Radius ist 1 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?
    M?
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    1. Vom 1. bis zum 5. Kreis wächst der Radius 4-mal um 1 cm.
    2. Radius: 1 cm + 4 · 1 cm = 5 cm
    3. Durchmesser: 2 · 5 cm = 10 cm
    Ergebnis:
    10 cm
  2. ●25
    Tom sticht den Zirkel in M und zeichnet einen Kreis mit 4 cm Öffnung. 11 cm weiter liegt N. Dort zeichnet er einen Kreis mit 6 cm Öffnung. Wie liegen die beiden Kreise zueinander?
    MN11 cmr = 4 cmr = 6 cm?
    Lösung zeigen
    1. Beide Radien zusammen: 4 cm + 6 cm = 10 cm
    2. 11 cm ist mehr als 10 cm: Zwischen den Kreisen bleibt Platz.
    3. Die Kreise: getrennt.
    Ergebnis:
    getrennt
  3. ●26
    Ein Kreis hat den Radius 7 cm. Wie lang ist die längste Sehne in diesem Kreis?
    M7 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die längste Sehne geht durch den Mittelpunkt.
    2. Sie ist der Durchmesser.
    3. 2 · 7 cm = 14 cm
    Ergebnis:
    14 cm
  4. ●27
    Jedes Stück einer runden Torte hat an der Spitze einen Winkel von 45°. Alle Stücke sind gleich groß. Wie viele Stücke sind es?
    Lösung zeigen
    1. Die Winkel aller Stücke ergeben 360°.
    2. Wie oft passt 45° in 360°?
    3. 360° : 45° = 8
    Ergebnis:
    8 Stücke
  5. ●28
    Es ist 11 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 50 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
    3. In 50 Minuten: 50 · 6° = 300°
    Ergebnis:
    300°
  6. ●29
    Ein Riesenrad hat 10 Gondeln in gleichen Abständen. Um wie viel Grad muss es sich drehen, bis die nächste Gondel am Einstieg ist?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Eine volle Umdrehung hat 360°.
    2. Sie verteilt sich auf 10 gleiche Abstände.
    3. 360° : 10 = 36°
    Ergebnis:
    36°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kreis und Kreismuster mit dem Zirkel
Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Sehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt
Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Anteil und Mittelpunktswinkel
Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.
Drehungen als Teil einer Umdrehung
Eine volle Umdrehung sind 360°.
Kreisdiagramm zeichnen
Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.
Aus dem Kreisdiagramm ablesen
Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.
Kreis oder Säulen?
Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.
Sachaufgaben rund um den Kreis
Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

    30
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 1 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 5. Kreis?
    M?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 cm

  2. Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

    31
    Eine Fläche wird von den Strecken MA und MB und dem Stück der Kreislinie von A bis B begrenzt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kreisausschnitt

  3. Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

    32
    Im Bild ist ein Kreisausschnitt gefärbt. Sein Mittelpunktswinkel steht darin. Welchen Teil des ganzen Kreises bedeckt er?
    120°
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  4. Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

    33
    Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 8 Uhr bis 11 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90°

  5. Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

    34
    12 Kinder wurden gefragt: „Wo warst du in den Ferien?“ Die Antworten: zu Hause: 3, Ostsee: 7, Berge: 1, Ausland: 1. Welchen Winkel bekommt „zu Hause“ im Kreisdiagramm?
    zu HauseOstseeBergeAuslandAnzahl3711Winkel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90°

  6. Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

    35
    Es wurden 20 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „zu Hause“ als „Ostsee“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
    zu Hause108°Ostsee36°Berge180°Ausland36°
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  7. Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

    36
    Bei der Wahl zur Klassensprecherin bekam Ada 8 Stimmen, Ben 4 und Cem 12. Alle 24 Kinder haben genau einmal gewählt. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
    AdaBenCemAnzahl8412
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kreisdiagramm

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

    37
    Ein Rasensprenger dreht sich um 60° hin und her. Welchen Teil einer vollen Runde bewässert er?
    60°?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, eine Reihe besteht aus Durchmessern.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tortenstücke, Uhren, Riesenrad, Umfragen in der Klasse. Beruf: Marktforschung und Zeitungsgrafik, Maschinenbau, Konditorei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Durchmesser
einmal quer durch den Kreis
Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Brüche und Dezimalzahlen, Winkel an Geraden und in Figuren

Darauf baut auf: Kreis und Zylinder

Lösungen

  1. 11 cm
  2. 12 cm
  3. 10 cm
  4. Durchmesser
  5. Durchmesser
  6. 12
  7. 59
  8. 536
  9. 300°
  10. 60°
  11. 3 56
  12. 30°, 120°
  13. 150°
  14. 5°, 40°
  15. 6
  16. 4
  17. 39
  18. Säulendiagramm
  19. ja
  20. nein
  21. 16
  22. 90°
  23. 5,00 €
  24. 10 cm
  25. getrennt
  26. 14 cm
  27. 8 Stücke
  28. 300°
  29. 36°
  30. 18 cm
  31. Kreisausschnitt
  32. 13
  33. 90°
  34. 90°
  35. 4
  36. Kreisdiagramm
  37. 16
  38. 2 Kreise
  39. auf dem Kreis