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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele öffnen den Zirkel auf 12 cm : 5 = 2,4 cm und wundern sich, dass die Kreise viel zu groß werden und sich überschneiden. Andere probieren so lange, bis es ungefähr passt. Die Reihe besteht aus fünf Durchmessern: Jeder ist 2,4 cm lang. Der Zirkel wird aber auf den Radius geöffnet, und der ist halb so lang: 1,2 cm.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Zirkelöffnung ist der Radius, und der Durchmesser ist doppelt so lang.

  1. ●39
    Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Wie lang ist sein Durchmesser?
    Mr = 4 cm?
    Lösung zeigen
    1. Der Durchmesser geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand.
    2. Er ist doppelt so lang wie der Radius.
    3. 2 · 4 cm = 8 cm
    Ergebnis:
    8 cm
  2. ●40
    Lea steckt den Zirkel in M und öffnet ihn 8 cm weit. Der Punkt G liegt 11 cm von M entfernt. Trifft der Kreis den Punkt G, oder liegt G innen oder außen?
    Mr = 8 cmG: 11 cm von M?
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche: G ist 11 cm entfernt, der Radius ist 8 cm.
    2. 11 > 8: weiter weg als der Rand.
    3. G liegt außerhalb des Kreises.
    Ergebnis:
    außerhalb des Kreises

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Kreis ist das Ganze: 360°

Ein Kreis lässt sich in Teile schneiden wie eine Torte. Jeder Teil ist ein Bruchteil des Ganzen und hat denselben Bruchteil von 360° als Winkel. Radius und Durchmesser bestimmen die Größe des Kreises, der Mittelpunktswinkel den Anteil.

WeiterdenkenDenk nach

Ist ein Viertel eines großen Kreises ein größerer Anteil als ein Viertel eines kleinen Kreises? Was ist gleich, was nicht?

1Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Seit wann zeichnen Menschen Zahlen als Tortenstücke in einen Kreis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das erste bekannte Kreisdiagramm veröffentlichte der Schotte William Playfair im Jahr 1801. Er zeigte damit, welcher Teil eines Reiches zu welchem Land gehörte. Seine Idee: Ein Anteil am Ganzen ist mit einem Blick zu sehen, wenn das Ganze ein Kreis ist.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenKreis und Kreismuster mit dem Zirkel

Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.

Eine Reihe sich berührender Kreise ist so lang wie alle Durchmesser zusammen.

BeispielKreismuster: Radius und Durchmesser nutzen

Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 1 cm. Jeder weitere Radius ist 2 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 3. Kreis?
M?
Schritt für Schritt
  1. Vom 1. bis zum 3. Kreis wächst der Radius 2-mal um 2 cm.
  2. Radius: 1 cm + 2 · 2 cm = 5 cm
  3. Durchmesser: 2 · 5 cm = 10 cm
  1. Vom 1. bis zum 3. Kreis wächst der Radius 2-mal um 2 cm.
  2. Radius: 1 cm + 2 · 2 cm = 5 cm
  3. Durchmesser: 2 · 5 cm = 10 cm
Ergebnis:
10 cm

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 8 cm = 11 cm
So richtig
Kreise berühren sich, r = 3 cm und d = 8 cm → Abstand 3 cm + 4 cm = 7 cm

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Erst prüfen, welcher gegeben ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zwei Kreise mit den Radien 2 cm und 5 cm berühren sich von außen. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
    MN?
    So fängst du an:
    Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
    Lösung zeigen
    1. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
    2. Abstand: 2 cm + 5 cm = 7 cm
    Ergebnis:
    7 cm
  2. ●2
    Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 5 cm, der andere den Durchmesser 8 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
    MN?
    Lösung zeigen
    1. Radius des zweiten Kreises: 8 cm : 2 = 4 cm
    2. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
    3. Abstand: 5 cm + 4 cm = 9 cm
    Ergebnis:
    9 cm
  3. ★3
    Zwei Kreise berühren sich von außen. Der eine hat den Radius 2 cm, der andere den Durchmesser 16 cm. Wie weit liegen ihre Mittelpunkte auseinander?
    MN?
    Lösung zeigen
    1. Radius des zweiten Kreises: 16 cm : 2 = 8 cm
    2. Der Berührpunkt liegt zwischen den Mittelpunkten.
    3. Abstand: 2 cm + 8 cm = 10 cm
    Ergebnis:
    10 cm

2Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

EntdeckenFrage

Warum hat ein voller Kreis ausgerechnet 360 Grad und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Einteilung geht vermutlich auf die Astronomen Babylons zurück, die im Sechzigersystem rechneten. 360 lässt sich durch sehr viele Zahlen teilen: durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 und mehr. Deshalb haben Halbkreis, Drittel, Viertel und Sechstel ganze Gradzahlen.

MerkenSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Ein Kreisausschnitt ist eine Fläche wie ein Tortenstück.

BeispielSehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt

Ist das rot markierte Teil eine Strecke, eine gebogene Linie oder eine Fläche? Wie heißt es?
M?
Schritt für Schritt
  1. Schau auf die Form: eine gebogene Linie, ein Stück vom Kreis.
  2. Das heißt Kreisbogen.
  1. Schau auf die Form: eine gebogene Linie, ein Stück vom Kreis.
  2. Das heißt Kreisbogen.
Ergebnis:
Kreisbogen

AchtungSehne, Bogen und Ausschnitt verwechselt

So nicht
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Kreisbogen
So richtig
Strecke zwischen P und Q auf dem Kreis → Sehne

Sehne: gerade Strecke. Kreisbogen: gebogene Linie. Kreisausschnitt: Fläche mit zwei Radien.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Strecke verbindet die Punkte K und L auf dem Kreis und geht durch den Mittelpunkt M. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    So fängst du an:
    Es ist eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    2. Das heißt Durchmesser.
    Ergebnis:
    Durchmesser
  2. ●5
    Wie heißt das rot markierte Teil des Kreises?
    M?
    Lösung zeigen
    1. Schau auf die Form: eine Strecke durch M von Rand zu Rand.
    2. Das heißt Durchmesser.
    Ergebnis:
    Durchmesser
  3. ★6
    Eine Fläche wird von den Strecken MR und MS und dem Stück der Kreislinie von R bis S begrenzt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Fläche zwischen zwei Radien und einem Bogen.
    2. Das heißt Kreisausschnitt.
    Ergebnis:
    Kreisausschnitt

3Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

EntdeckenFrage

Wie viel Grad liegen zwischen zwei Kapseln des Riesenrads London Eye?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das London Eye hat 32 Kapseln in gleichen Abständen: 360° : 32 = 11,25°. Für eine volle Umdrehung braucht das Rad etwa 30 Minuten, in jeder Minute dreht es sich also um etwa 12°.

MerkenAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.

So ist 1/4 des Kreises 360° : 4 = 90°, und 120° sind 120/360 = 1/3 des Kreises.

BeispielAnteil und Mittelpunktswinkel

Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 36°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
36°
Schritt für Schritt
  1. Der ganze Kreis hat 360°.
  2. Anteil: 36360
  3. Gekürzt: 36360 = 110
  1. Der ganze Kreis hat 360°.
  2. Anteil: 36360
  3. Gekürzt: 36360 = 110
Ergebnis:
110

AchtungMit 100 statt 360 gerechnet

So nicht
1/4 des Kreises → 100 : 4 = 25°
So richtig
1/4 des Kreises → 360° : 4 = 90°

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Anteil des Kreises ist derselbe Anteil von 360°.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 180°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    180°
    So fängst du an:
    Der ganze Kreis hat 360°.
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. Anteil: 180360
    3. Gekürzt: 180360 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●8
    Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel 72°. Welcher Anteil des Kreises ist das?
    72°
    Lösung zeigen
    1. Der ganze Kreis hat 360°.
    2. Anteil: 72360
    3. Gekürzt: 72360 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★9
    Im Bild ist ein Kreisausschnitt gefärbt. Sein Mittelpunktswinkel steht darin. Welchen Teil des ganzen Kreises bedeckt er?
    36°
    Lösung zeigen
    1. Der Ausschnitt hat 36° von 360°.
    2. Anteil: 36360
    3. Gekürzt: 36360 = 110
    Ergebnis:
    110

4Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

EntdeckenFrage

Wie oft stehen Minutenzeiger und Stundenzeiger in zwölf Stunden genau übereinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur 11-mal, nicht 12-mal. Der Minutenzeiger dreht sich 6° je Minute, der Stundenzeiger nur 0,5°. Er holt also 5,5° je Minute auf und braucht für eine ganze Runde Vorsprung etwas mehr als eine Stunde. Zwischen 11 Uhr und 1 Uhr treffen sie sich deshalb nur einmal, um 12 Uhr.

MerkenDrehungen als Teil einer Umdrehung

Eine volle Umdrehung sind 360°.

Der Minutenzeiger schafft sie in 60 Minuten, also 6° je Minute. Der Stundenzeiger braucht 12 Stunden, also 30° je Stunde.

BeispielDrehungen: Zeiger und Karussell

Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 7 Uhr bis 11 Uhr?
123456789101112?
Schritt für Schritt
  1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
  3. In 4 Stunden: 4 · 30° = 120°
  1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
  2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
  3. In 4 Stunden: 4 · 30° = 120°
Ergebnis:
120°

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Es ist 3 Uhr. Der Minutenzeiger läuft 25 Minuten weiter. Um wie viel Grad dreht er sich?
    123456789101112?
    So fängst du an:
    In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    Lösung zeigen
    1. In 60 Minuten macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Minute: 360° : 60 = 6°
    3. In 25 Minuten: 25 · 6° = 150°
    Ergebnis:
    150°
  2. ●11
    Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 2 Uhr bis 7 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
    3. In 5 Stunden: 5 · 30° = 150°
    Ergebnis:
    150°
  3. ★12
    Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger von 3 Uhr bis 10 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    1. In 12 Stunden macht er eine volle Umdrehung: 360°.
    2. In einer Stunde: 360° : 12 = 30°
    3. In 7 Stunden: 7 · 30° = 210°
    Ergebnis:
    210°

5Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man die fünf olympischen Ringe so, dass alle gleich groß sind und sich richtig überlappen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle fünf Ringe haben denselben Radius, also dieselbe Zirkelöffnung. Die Mittelpunkte der oberen drei liegen in gleichen Abständen nebeneinander, die unteren zwei genau dazwischen und etwas tiefer. Pierre de Coubertin entwarf das Zeichen 1913; die fünf Ringe stehen für die fünf Erdteile.

MerkenKreisdiagramm zeichnen

Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.

Erst den Winkel für eine Person ausrechnen, dann mal die Anzahl jeder Gruppe. Zur Probe ergeben alle Winkel 360°.

BeispielKreisdiagramm: Winkel aus Anzahlen

Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „Hund“?
HundKatzeFischeAnzahl20412Winkel?
Schritt für Schritt
  1. Alle 36 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 36 = 10°
  3. Hund: 20 · 10° = 200°
  1. Alle 36 Kinder zusammen: 360°.
  2. Ein Kind: 360° : 36 = 10°
  3. Hund: 20 · 10° = 200°
Ergebnis:
10°, 200°

AchtungWinkel ohne den Winkel für eine Person berechnet

So nicht
24 Kinder, 6 fahren Bus → Winkel 6°
So richtig
24 Kinder, 6 fahren Bus → 360° : 24 = 15°, 6 · 15° = 90°

Erst 360° durch alle teilen: der Winkel für eine Person. Dann mal die Anzahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „Bus“?
    zu FußFahrradBusAnzahl426Winkel?
    So fängst du an:
    Alle 12 Kinder zusammen: 360°.
    Lösung zeigen
    1. Alle 12 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 12 = 30°
    3. Bus: 6 · 30° = 180°
    Ergebnis:
    30°, 180°
  2. ●14
    20 Kinder wurden gefragt: „Wie kommst du zur Schule?“ Die Antworten: zu Fuß: 2, Fahrrad: 13, Bus: 2, Auto: 3. Welchen Winkel bekommt „Fahrrad“ im Kreisdiagramm?
    zu FußFahrradBusAutoAnzahl21323Winkel?
    Lösung zeigen
    1. Alle 20 Kinder zusammen: 360°.
    2. Ein Kind: 360° : 20 = 18°
    3. Fahrrad: 13 · 18° = 234°
    Ergebnis:
    234°
  3. ★15
    60 Kinder wurden gefragt: „Wie kommst du zur Schule?“ Die Antworten: zu Fuß: 5, Fahrrad: 10, Bus: 31, Auto: 14. Berechne alle Winkel für ein Kreisdiagramm.
    zu FußFahrradBusAutoAnzahl5103114Winkel????
    Lösung zeigen
    1. Ein Kind: 360° : 60 = 6°
    2. zu Fuß: 5 · 6° = 30°
    3. Fahrrad: 10 · 6° = 60°
    4. Bus: 31 · 6° = 186°
    5. Auto: 14 · 6° = 84°
    Ergebnis:
    zu Fuß 30°, Fahrrad 60°, Bus 186°, Auto 84°

6Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

EntdeckenFrage

Warum sind Kanaldeckel auf der Straße meistens rund?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein runder Deckel kann nicht in sein eigenes Loch fallen. Jede Sehne quer durch den Kreis ist höchstens so lang wie der Durchmesser, und durch eine kürzere Öffnung passt er nicht. Ein quadratischer Deckel dagegen rutscht schräg hindurch, weil seine Diagonale länger ist als die Seite.

MerkenAus dem Kreisdiagramm ablesen

Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.

Denselben Anteil nimmt man von der Gesamtzahl.

BeispielKreisdiagramm lesen: Anzahlen berechnen

Es wurden 60 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Bus“ als „zu Fuß“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
zu Fuß120°Fahrrad48°Bus192°
Schritt für Schritt
  1. Bus: 60 · 192 : 360 = 32
  2. zu Fuß: 60 · 120 : 360 = 20
  3. Unterschied: 32 − 20 = 12
  1. Bus: 60 · 192 : 360 = 32
  2. zu Fuß: 60 · 120 : 360 = 20
  3. Unterschied: 32 − 20 = 12
Ergebnis:
12

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Es wurden 20 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „Auto“ als „Fahrrad“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
    zu Fuß162°Fahrrad36°Bus54°Auto108°
    So fängst du an:
    Auto: 20 · 108 : 360 = 6
    Lösung zeigen
    1. Auto: 20 · 108 : 360 = 6
    2. Fahrrad: 20 · 36 : 360 = 2
    3. Unterschied: 6 − 2 = 4
    Ergebnis:
    4
  2. ●17
    Es wurden 20 Kinder befragt. Wie viele Kinder mehr antworteten „zu Fuß“ als „Bus“? Lies die Winkel im Kreisdiagramm ab.
    zu Fuß216°Fahrrad54°Bus90°
    Lösung zeigen
    1. zu Fuß: 20 · 216 : 360 = 12
    2. Bus: 20 · 90 : 360 = 5
    3. Unterschied: 12 − 5 = 7
    Ergebnis:
    7
  3. ★18
    Das Kreisdiagramm zeigt die Antworten von 24 Kindern auf die Frage „Wie kommst du zur Schule?“ Wie viele Kinder antworteten „zu Fuß“?
    zu Fuß30°Fahrrad60°Bus180°Auto90°
    Lösung zeigen
    1. „zu Fuß“ hat 30° von 360°.
    2. Anteil: 30360 = 112
    3. zu Fuß: 24 · 30 : 360 = 2
    Ergebnis:
    2

7Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet der Wetterdienst die Monatstemperaturen von Berlin als Säulen oder Linie und nie als Tortendiagramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen, zusammen 360°. Die Temperaturen von zwölf Monaten ergeben zusammen kein sinnvolles Ganzes. Ein kalter Januar kann sogar unter 0 °C liegen, dafür gibt es kein Tortenstück. Säulen zeigen jeden Monat für sich und lassen sich vergleichen.

MerkenKreis oder Säulen?

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.

Ein Säulendiagramm vergleicht Werte nebeneinander. Ergeben die Werte zusammen kein Ganzes, wie Temperaturen oder Mehrfachnennungen, passt nur das Säulendiagramm.

BeispielKreisdiagramm oder Säulendiagramm?

Von 23 Kindern der Klasse kommen 10 zu Fuß, 4 mit dem Rad und 9 mit dem Bus. Gezeigt werden soll, welcher Teil der Klasse wie kommt. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
Schritt für Schritt
  1. Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 23 Kinder.
  2. Also passt ein Kreisdiagramm.
  1. Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 23 Kinder.
  2. Also passt ein Kreisdiagramm.
Ergebnis:
Kreisdiagramm

AchtungKreisdiagramm für Werte ohne gemeinsames Ganzes

So nicht
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → Kreisdiagramm
So richtig
Temperaturen 12 °C, 15 °C, 9 °C → kein Ganzes → Säulendiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen. Temperaturen oder Mehrfachnennungen gehören in Säulen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Bei der Wahl zur Klassensprecherin bekam Ada 12 Stimmen, Ben 10 und Cem 7. Alle 29 Kinder haben genau einmal gewählt. Mira zeichnet dazu ein Säulendiagramm. Wäre ein Kreisdiagramm besser?
    AdaBenCemAnzahl12107
    So fängst du an:
    Jede Stimme zählt einmal: Die Stimmen sind Teile eines Ganzen, 29 Stimmen.
    Lösung zeigen
    1. Jede Stimme zählt einmal: Die Stimmen sind Teile eines Ganzen, 29 Stimmen.
    2. Die Anteile am Ganzen sieht man im Kreisdiagramm sofort: besser.
    Ergebnis:
    ja
  2. ●20
    Von 30 Kindern der Klasse kommen 3 zu Fuß, 20 mit dem Rad und 7 mit dem Bus. Gezeigt werden soll, welcher Teil der Klasse wie kommt. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
    Lösung zeigen
    1. Die drei Gruppen sind Teile eines Ganzen: zusammen 30 Kinder.
    2. Also passt ein Kreisdiagramm.
    Ergebnis:
    Kreisdiagramm
  3. ★21
    Lina bekommt im Monat 30 € Taschengeld. Davon gibt sie 10 € für Bücher, 5 € für Süßes aus und spart 15 €. Tom will das in einem Kreisdiagramm darstellen. Ist das eine gute Wahl?
    Lösung zeigen
    1. Die Beträge sind Teile eines Ganzen: zusammen 30 €.
    2. Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen: gute Wahl.
    Ergebnis:
    ja

8Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

EntdeckenFrage

Passen zwei CDs nebeneinander auf ein A4-Blatt, ohne überzustehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine CD hat 12 cm Durchmesser. Zwei nebeneinander brauchen 24 cm Länge und 12 cm Breite. Ein A4-Blatt ist 21 cm breit und 29,7 cm lang. Quer passt es nicht, der Länge nach schon.

MerkenSachaufgaben rund um den Kreis

Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Der ganze Kreis hat 360°, ein Teil davon ist ein Bruchteil. Zur Probe ergeben alle Teile den ganzen Kreis.

BeispielSachaufgaben mit Kreisen

Eine Pizza wird in 6 gleich große Stücke geschnitten. 2 Kinder essen je 2 Stücke. Welcher Winkel ist von der Pizza noch übrig?
Schritt für Schritt
  1. Ein Stück: 360° : 6 = 60°
  2. Gegessen: 2 · 2 = 4 Stücke, übrig 2
  3. 2 · 60° = 120°
  1. Ein Stück: 360° : 6 = 60°
  2. Gegessen: 2 · 2 = 4 Stücke, übrig 2
  3. 2 · 60° = 120°
Ergebnis:
120°

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Glücksrad hat drei Felder. Rot hat 90°, Blau hat 60°, der Rest ist Gelb. Welchen Winkel hat Gelb, und welcher Anteil des Rades ist gelb?
    Rot90°Blau60°Gelb?
    So fängst du an:
    Rot und Blau: 90° + 60° = 150°
    Lösung zeigen
    1. Rot und Blau: 90° + 60° = 150°
    2. Gelb: 360° − 150° = 210°
    3. Anteil: 210360 = 712
    Ergebnis:
    210°, 712
  2. ●23
    Ein Rasensprenger dreht sich um 240° hin und her. Welchen Teil einer vollen Runde bewässert er?
    240°?
    Lösung zeigen
    1. Eine volle Runde hat 360°.
    2. Anteil: 240360
    3. Gekürzt: 240360 = 23
    Ergebnis:
    23
  3. ★24
    Paul teilt sein Taschengeld von 40,00 € in einem Kreisdiagramm auf. „Sparen“ hat einen Winkel von 180°. Wie viel Geld spart Paul?
    Lösung zeigen
    1. Anteil: 180360 = 12
    2. 40,00 € : 360 · 180 = 20,00 €
    Ergebnis:
    20,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    4 gleich große Kreise liegen in einer Reihe. Jeder berührt seinen Nachbarn. Die Reihe ist 32 cm lang. Welchen Radius hat jeder Kreis?
    32 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Reihe besteht aus 4 Durchmessern.
    2. Durchmesser: 32 cm : 4 = 8 cm
    3. Radius: 8 cm : 2 = 4 cm
    Ergebnis:
    4 cm
  2. ●26
    Ein Kreis um M hat den Radius 2 cm, ein Kreis um N den Radius 5 cm. M und N sind 7 cm voneinander entfernt. Liegen die Kreise getrennt, berühren sie sich oder schneiden sie sich?
    MN7 cmr = 2 cmr = 5 cm?
    Lösung zeigen
    1. Beide Radien zusammen: 2 cm + 5 cm = 7 cm
    2. 7 cm ist genau 7 cm: Die Kreise treffen sich in einem Punkt.
    3. Die Kreise: berühren sich.
    Ergebnis:
    berühren sich
  3. ●27
    Eine Strecke verbindet die Punkte R und S auf dem Kreis. Sie geht nicht durch den Mittelpunkt. Wie heißt dieses Teil des Kreises?
    Lösung zeigen
    1. Es ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
    2. Das heißt Sehne.
    Ergebnis:
    Sehne
  4. ●28
    Kann eine Sehne in einem Kreis mit dem Durchmesser 8 cm genau 10 cm lang sein?
    Lösung zeigen
    1. Die längste Sehne ist der Durchmesser.
    2. Der Durchmesser ist 8 cm lang.
    3. 10 cm ist länger als jede Sehne: Das geht nicht.
    Ergebnis:
    nein
  5. ●29
    Eine Torte ist in 12 gleich große Stücke geteilt. 8 Stücke sind schon gegessen. Welcher Winkel bleibt zusammen übrig, und welcher Anteil ist das?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Ein Stück: 360° : 12 = 30°
    2. Übrig sind 4 Stücke: 4 · 30° = 120°
    3. Anteil: 13
    Ergebnis:
    120°, 13
  6. ●30
    Ein Karussell macht 16 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
    Lösung zeigen
    1. 16 Umdrehung: 360° : 6 = 60°
    2. 16 Umdrehung: 1 · 60° = 60°
    Ergebnis:
    60°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kreis und Kreismuster mit dem Zirkel
Die Zirkelöffnung ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Sehne, Kreisbogen, Kreisausschnitt
Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises.
Anteil und Mittelpunktswinkel
Ein Anteil des Kreises hat denselben Anteil von 360° als Winkel.
Drehungen als Teil einer Umdrehung
Eine volle Umdrehung sind 360°.
Kreisdiagramm zeichnen
Alle Befragten zusammen sind der ganze Kreis mit 360°.
Aus dem Kreisdiagramm ablesen
Der Winkel verrät den Anteil: 90° sind 90/360 = 1/4 aller Befragten.
Kreis oder Säulen?
Ein Kreisdiagramm zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist.
Sachaufgaben rund um den Kreis
Erst eine Skizze vom Kreis, dann eintragen, was bekannt ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zeichne Kreismuster mit dem Zirkel und nutze Radius und Durchmesser.

    31
    Mia zeichnet Kreise um denselben Mittelpunkt M. Der kleinste hat den Radius 2 cm. Jeder weitere Radius ist 1 cm größer. Welchen Durchmesser hat der 6. Kreis?
    M?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 cm

  2. Ich unterscheide Sehne, Kreisbogen und Kreisausschnitt.

    32
    Wie heißt das rot markierte Teil des Kreises?
    M?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Radius

  3. Ich rechne Anteile eines Kreises in Mittelpunktswinkel um und zurück.

    33
    Ein Kreisausschnitt ist 712 des ganzen Kreises. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
    ?7/12 des Kreises
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210°

  4. Ich bestimme Drehungen als Anteile einer vollen Umdrehung (Uhr, Rad, Riesenrad).

    34
    Ein Karussell macht 12 Umdrehung. Um wie viel Grad hat es sich gedreht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180°

  5. Ich zeichne Kreisdiagramme aus Anteilen und Anzahlen.

    35
    Lies die Tabelle. Wie viel Grad bekommt ein einziges Kind im Kreisdiagramm, und wie viel Grad bekommt „Hund“?
    HundKatzeFischeAnzahl6153Winkel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15°, 90°

  6. Ich lese Kreisdiagramme ab und berechne Anzahlen.

    36
    12 Kinder wurden befragt. Wie viele von ihnen antworteten „Fische“ oder „Hund“ zusammen?
    Hund30°Katze60°Fische240°keins30°
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

  7. Ich vergleiche Kreisdiagramm und Säulendiagramm und wähle das passende.

    37
    Von 25 Kindern der Klasse kommen 8 zu Fuß, 14 mit dem Rad und 3 mit dem Bus. Gezeigt werden soll, welcher Teil der Klasse wie kommt. Welches Diagramm passt besser: Kreisdiagramm oder Säulendiagramm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kreisdiagramm

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Kreisen und Kreisteilen.

    38
    Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen den beiden Zeigern einer Uhr um 6 Uhr?
    123456789101112?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180°

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Fünf gleiche Münzen liegen in einer Reihe und berühren sich. Die Reihe ist 12 cm lang. Zeichne die Reihe mit dem Zirkel genau nach.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Zirkelöffnung ist der Radius, eine Reihe besteht aus Durchmessern.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tortenstücke, Uhren, Riesenrad, Umfragen in der Klasse. Beruf: Marktforschung und Zeitungsgrafik, Maschinenbau, Konditorei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Durchmesser
einmal quer durch den Kreis
Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Geometrische Grundbegriffe und Vierecke, Brüche und Dezimalzahlen, Winkel an Geraden und in Figuren

Darauf baut auf: Kreis und Zylinder

Lösungen

  1. 7 cm
  2. 9 cm
  3. 10 cm
  4. Durchmesser
  5. Durchmesser
  6. Kreisausschnitt
  7. 12
  8. 15
  9. 110
  10. 150°
  11. 150°
  12. 210°
  13. 30°, 180°
  14. 234°
  15. zu Fuß 30°, Fahrrad 60°, Bus 186°, Auto 84°
  16. 4
  17. 7
  18. 2
  19. ja
  20. Kreisdiagramm
  21. ja
  22. 210°, 712
  23. 23
  24. 20,00 €
  25. 4 cm
  26. berühren sich
  27. Sehne
  28. nein
  29. 120°, 13
  30. 60°
  31. 14 cm
  32. Radius
  33. 210°
  34. 180°
  35. 15°, 90°
  36. 9
  37. Kreisdiagramm
  38. 180°
  39. 8 cm
  40. außerhalb des Kreises