Mathematik · Klasse 12 · Kapitel

Kurvendiskussion und Anwendungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher Wert x macht f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 am größten zwischen 0 und 2,5? Finde ihn mit einer Wertetabelle.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Tabelle zeigt ein Maximum um 1, aber ob bei 0,9 oder 1,1, sagt sie nicht – feinere Tabellen kosten Zeit und bleiben ungenau. Wo die Steigung null ist, liegt das Maximum: f′(x) = 0 liefert x = 1 exakt, ohne Tabelle.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Ableitung ist die Steigung – wo sie null ist, ist der Graph waagerecht.

●40
Bestimme f'(x) für f(x) = 2x² − 4x − 3
Lösung zeigen
1. Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
2. f'(x) = 4x − 4
Ergebnis:
f'(x) = 4x − 4
●41
Bestimme f'(x) für f(x) = 4x² + 3x + 1
Lösung zeigen
1. Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
2. f'(x) = 8x + 3
Ergebnis:
f'(x) = 8x + 3

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenNotwendig ist nicht hinreichend

f'(x) = 0 sagt: Hier KÖNNTE ein Extrempunkt sein. Ob wirklich einer da ist, entscheidet erst das Vorzeichen davor und danach – oder die zweite Ableitung.

WeiterdenkenDenk nach

f(x) = x³ hat f'(0) = 0. Ist dort ein Extrempunkt?

1Ich bestimme Nullstellen und Symmetrie ganzrationaler Funktionen.

EntdeckenFrage

Wo auf der Achterbahn ist man am leichtesten – und warum genau dort?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Am Hochpunkt: Dort ist die Steigung null, die Bahn krümmt sich nach unten, und die Fliehkraft hebt dich aus dem Sitz. Hochpunkt, Wendepunkt, Krümmung – die Kurvendiskussion ist der Bauplan.

MerkenNullstellen

f(x) = 0 lösen: ausklammern, pq-Formel, Substitution bei x⁴.

BeispielNullstellen durch Ausklammern

Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 2x² + x.

Schritt für Schritt

x ausklammern: x · (x² − 2x + 1)
x = 0 oder x² − 2x + 1 = 0
pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 1 (doppelte Nullstelle)

x ausklammern: x · (x² − 2x + 1)
x = 0 oder x² − 2x + 1 = 0
pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 1 (doppelte Nullstelle)

Ergebnis:

x = 0, x = 1 (doppelt)

ÜbenJetzt du

○1
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − x² − 12x.
So fängst du an:
x ausklammern: x · (x² − x − 12)
Lösung zeigen
1. x ausklammern: x · (x² − x − 12)
2. x = 0 oder x² − x − 12 = 0
3. pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 4 oder x = −3
Ergebnis:
x = 0, x = −3, x = 4
●2
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 3x² + 2x.
Lösung zeigen
1. x ausklammern: x · (x² − 3x + 2)
2. x = 0 oder x² − 3x + 2 = 0
3. pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 2 oder x = 1
Ergebnis:
x = 0, x = 1, x = 2
★3
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 5x² + 6x.
Lösung zeigen
1. x ausklammern: x · (x² − 5x + 6)
2. x = 0 oder x² − 5x + 6 = 0
3. pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 3 oder x = 2
Ergebnis:
x = 0, x = 2, x = 3

2Ich untersuche Monotonie mit der ersten Ableitung.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Radroutenapp im Höhenprofil, wo die Strecke bergauf geht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Daran, dass die Steigung über null liegt. Wo sie ihr Vorzeichen wechselt, liegt ein Gipfel oder eine Senke – die Steigung selbst ist die erste Ableitung.

Ausprobieren: Von der Sekante zur Tangente

h wird kleiner und kleiner – die Sekante dreht sich in die Tangente, ihre Steigung läuft auf f'(x₀) zu.

MerkenMonotonie

Vorzeichen von f' in den Abschnitten zwischen den Nullstellen von f' prüfen.

BeispielMonotonie aus der Ableitung

f(x) = x³ − 12x − 2. Bestimme die Monotonieintervalle und begründe sie mit dem Vorzeichen von f′.

Schritt für Schritt

f'(x) = 3x² − 12
f'(x) = 0: 3(x² − 4) = 0 → x = −2 und x = 2
Vorzeichen von f' in den drei Bereichen prüfen: außen +, dazwischen −
steigend auf ]−∞; −2] und [2; ∞[, fallend auf [−2; 2]

f'(x) = 3x² − 12
f'(x) = 0: 3(x² − 4) = 0 → x = −2 und x = 2
Vorzeichen von f' in den drei Bereichen prüfen: außen +, dazwischen −
steigend auf ]−∞; −2] und [2; ∞[, fallend auf [−2; 2]

Ergebnis:

steigend für x < −2 und x > 2, fallend dazwischen

Achtungy-Wert des Extrempunkts fehlt

So nicht

f'(x) = 0 → x = 2, Extrempunkt E(2 | 0)

So richtig

x = 2 in f einsetzen: f(2) = −1 → E(2 | −1)

x in f einsetzen, nicht in f'.

ÜbenJetzt du

○4
f(x) = x² − 10x + 5. Wo ist f streng monoton fallend, wo steigend? Begründe mit dem Vorzeichen von f′.
So fängst du an:
f'(x) = 2x − 10
Lösung zeigen
1. f'(x) = 2x − 10
2. f'(x) = 0 → x = 5
3. f'(x) < 0 für x < 5, f'(x) > 0 für x > 5
Ergebnis:
fallend für x < 5, steigend für x > 5 (Tiefpunkt bei x = 5)
●5
f(x) = x² − 10x + 2. Wo ist f streng monoton fallend, wo steigend? Begründe mit dem Vorzeichen von f′.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 2x − 10
2. f'(x) = 0 → x = 5
3. f'(x) < 0 für x < 5, f'(x) > 0 für x > 5
Ergebnis:
fallend für x < 5, steigend für x > 5 (Tiefpunkt bei x = 5)
★6
f(x) = x³ − 48x − 2. Bestimme die Monotonieintervalle und begründe sie mit dem Vorzeichen von f′.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 48
2. f'(x) = 0: 3(x² − 16) = 0 → x = −4 und x = 4
3. Vorzeichen von f' in den drei Bereichen prüfen: außen +, dazwischen −
4. steigend auf ]−∞; −4] und [4; ∞[, fallend auf [−4; 4]
Ergebnis:
steigend für x < −4 und x > 4, fallend dazwischen

3Ich bestimme Extrempunkte mit f' = 0 und f'' (oder Vorzeichenwechsel).

EntdeckenFrage

Warum ist die Dose mit dem wenigsten Blech nicht die, die im Regal steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Rechnerisch braucht eine Dose am wenigsten Blech, wenn ihre Höhe so groß ist wie ihr Durchmesser. Echte Dosen sind schlanker, weil Deckel teurer sind als die Wand und weil sie in die Hand passen müssen.

MerkenExtrempunkte

Notwendig: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f''(x₀) < 0 Hochpunkt, f''(x₀) > 0 Tiefpunkt. y-Wert nicht vergessen!

BeispielExtrempunkte bestimmen

Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 3x + 2.

Schritt für Schritt

f'(x) = 3x² − 3 = 0 → x² = 1 → x = ±1
f''(x) = 6x: f''(−1) < 0 → Hochpunkt, f''(1) > 0 → Tiefpunkt
f(−1) = 4, f(1) = 0

f'(x) = 3x² − 3 = 0 → x² = 1 → x = ±1
f''(x) = 6x: f''(−1) < 0 → Hochpunkt, f''(1) > 0 → Tiefpunkt
f(−1) = 4, f(1) = 0

Ergebnis:

H(−1 | 4), T(1 | 0)

ÜbenJetzt du

○7
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 3x³ − 9x + 2.
So fängst du an:
f'(x) = 9x² − 9 = 0 → x² = 1 → x = ±1
Lösung zeigen
1. f'(x) = 9x² − 9 = 0 → x² = 1 → x = ±1
2. f''(x) = 18x: f''(−1) < 0 → Hochpunkt, f''(1) > 0 → Tiefpunkt
3. f(−1) = 8, f(1) = −4
Ergebnis:
H(−1 | 8), T(1 | −4)
●8
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 2x³ − 54x.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 6x² − 54 = 0 → x² = 9 → x = ±3
2. f''(x) = 12x: f''(−3) < 0 → Hochpunkt, f''(3) > 0 → Tiefpunkt
3. f(−3) = 108, f(3) = −108
Ergebnis:
H(−3 | 108), T(3 | −108)
★9
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 27x − 2.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 27 = 0 → x² = 9 → x = ±3
2. f''(x) = 6x: f''(−3) < 0 → Hochpunkt, f''(3) > 0 → Tiefpunkt
3. f(−3) = 52, f(3) = −56
Ergebnis:
H(−3 | 52), T(3 | −56)

4Ich bestimme Wendepunkte mit f'' = 0 und f'''.

EntdeckenFrage

Warum hieß es in der Pandemie, die Zahlen stiegen langsamer – obwohl sie weiter stiegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil zwei Dinge gemeint waren: Der Bestand wuchs weiter, aber sein Zuwachs wurde kleiner. Steigen und immer schneller steigen sind zwei Fragen an zwei verschiedene Ableitungen.

MerkenWendepunkt

Notwendig: f''(x₀) = 0. Hinreichend: f'''(x₀) ≠ 0. Dort ändert sich das Krümmungsverhalten.

BeispielWendepunkt bestimmen

Bestimme den Wendepunkt von f(x) = x³ − 3x² + 4.

Schritt für Schritt

f'(x) = 3x² − 6x, f''(x) = 6x − 6
f''(x) = 0 → x = 1; f'''(x) = 6 ≠ 0 ✓
f(1) = 2

f'(x) = 3x² − 6x, f''(x) = 6x − 6
f''(x) = 0 → x = 1; f'''(x) = 6 ≠ 0 ✓
f(1) = 2

Ergebnis:

W(1 | 2)

AchtungHinreichende Bedingung vergessen

So nicht

f''(x₀) = 0, also Wendepunkt

So richtig

f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 → Wendepunkt

f'' = 0 allein reicht nicht – f''' ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel zeigen.

ÜbenJetzt du

○10
Bestimme den Wendepunkt von f(x) = x³ − 6x² + 3.
So fängst du an:
f'(x) = 3x² − 12x, f''(x) = 6x − 12
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 12x, f''(x) = 6x − 12
2. f''(x) = 0 → x = 2; f'''(x) = 6 ≠ 0 ✓
3. f(2) = −13
Ergebnis:
W(2 | −13)
●11
Bestimme den Wendepunkt von f(x) = x³ − 9x².
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 18x, f''(x) = 6x − 18
2. f''(x) = 0 → x = 3; f'''(x) = 6 ≠ 0 ✓
3. f(3) = −54
Ergebnis:
W(3 | −54)
★12
Bestimme den Wendepunkt von f(x) = x³ − 9x² − 3.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 18x, f''(x) = 6x − 18
2. f''(x) = 0 → x = 3; f'''(x) = 6 ≠ 0 ✓
3. f(3) = −57
Ergebnis:
W(3 | −57)

5Ich zeichne Graphen aus den Ergebnissen.

EntdeckenFrage

Warum zeichnet ein Grafikprogramm eine Kurve aus erstaunlich wenigen Punkten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte und Wendepunkte das Gerüst festlegen. Wer diese Stellen kennt, verbindet den Rest – zusätzliche Punkte ändern das Bild kaum noch.

MerkenGraph

Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte eintragen, Globalverhalten vom Leitterm, dann verbinden.

BeispielExtrempunkte bestimmen

Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 2x³ − 6x − 2.

Schritt für Schritt

f'(x) = 6x² − 6 = 0 → x² = 1 → x = ±1
f''(x) = 12x: f''(−1) < 0 → Hochpunkt, f''(1) > 0 → Tiefpunkt
f(−1) = 2, f(1) = −6

f'(x) = 6x² − 6 = 0 → x² = 1 → x = ±1
f''(x) = 12x: f''(−1) < 0 → Hochpunkt, f''(1) > 0 → Tiefpunkt
f(−1) = 2, f(1) = −6

Ergebnis:

H(−1 | 2), T(1 | −6)

ÜbenJetzt du

○13
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 48x − 2.
So fängst du an:
f'(x) = 3x² − 48 = 0 → x² = 16 → x = ±4
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 48 = 0 → x² = 16 → x = ±4
2. f''(x) = 6x: f''(−4) < 0 → Hochpunkt, f''(4) > 0 → Tiefpunkt
3. f(−4) = 126, f(4) = −130
Ergebnis:
H(−4 | 126), T(4 | −130)
●14
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 2x³ − 6x.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 6x² − 6 = 0 → x² = 1 → x = ±1
2. f''(x) = 12x: f''(−1) < 0 → Hochpunkt, f''(1) > 0 → Tiefpunkt
3. f(−1) = 4, f(1) = −4
Ergebnis:
H(−1 | 4), T(1 | −4)
★15
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 48x − 1.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 48 = 0 → x² = 16 → x = ±4
2. f''(x) = 6x: f''(−4) < 0 → Hochpunkt, f''(4) > 0 → Tiefpunkt
3. f(−4) = 127, f(4) = −129
Ergebnis:
H(−4 | 127), T(4 | −129)

6Ich löse Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung.

EntdeckenFrage

Mit 100 m Absperrband soll an einer Hauswand eine Baustelle abgesperrt werden. Wie groß wird sie höchstens?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei Seiten x und eine Seite y brauchen Band: 2x + y = 100. Die Fläche ist A(x) = x · (100 − 2x). Aus A′(x) = 100 − 4x = 0 folgt x = 25 und y = 50. Die größte Fläche ist 1250 m².

MerkenExtremwertaufgabe

Zielfunktion aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, Nullstelle, Randwerte prüfen.

BeispielExtremwertaufgabe mit Nebenbedingung

Eine zylindrische Dose soll 2000 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.

Schritt für Schritt

Nebenbedingung: V = πr²h = 2000 → h = 2000/(πr²)
Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 4000/r
O'(r) = 4πr − 4000/r² = 0 → r³ = 2000/(2π)
r ≈ 6,83 cm, h = 2000/(π · 6,83²) ≈ 13,66 cm
Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.

Nebenbedingung: V = πr²h = 2000 → h = 2000/(πr²)
Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 4000/r
O'(r) = 4πr − 4000/r² = 0 → r³ = 2000/(2π)
r ≈ 6,83 cm, h = 2000/(π · 6,83²) ≈ 13,66 cm
Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.

Ergebnis:

r ≈ 6,83 cm, h ≈ 13,66 cm (O ≈ 878,8 cm²)

ÜbenJetzt du

○16
Mit 80 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
So fängst du an:
Nebenbedingung: 2x + y = 80, also y = 80 − 2x
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: 2x + y = 80, also y = 80 − 2x
2. Zielfunktion: A(x) = x · (80 − 2x) = 80x − 2x²
3. A'(x) = 80 − 4x = 0 → x = 20
4. A''(x) = −4 < 0 → Maximum
5. y = 80 − 2 · 20 = 40, A = 20 · 40 = 800
Ergebnis:
800 m² (20 m × 40 m)
●17
Eine zylindrische Dose soll 1000 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: V = πr²h = 1000 → h = 1000/(πr²)
2. Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2000/r
3. O'(r) = 4πr − 2000/r² = 0 → r³ = 1000/(2π)
4. r ≈ 5,42 cm, h = 1000/(π · 5,42²) ≈ 10,84 cm
5. Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.
Ergebnis:
r ≈ 5,42 cm, h ≈ 10,84 cm (O ≈ 553,6 cm²)
★18
Mit 100 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: 2x + y = 100, also y = 100 − 2x
2. Zielfunktion: A(x) = x · (100 − 2x) = 100x − 2x²
3. A'(x) = 100 − 4x = 0 → x = 25
4. A''(x) = −4 < 0 → Maximum
5. y = 100 − 2 · 25 = 50, A = 25 · 50 = 1250
Ergebnis:
1250 m² (25 m × 50 m)

7Ich bestimme Funktionen aus Bedingungen (Steckbriefaufgaben).

EntdeckenFrage

Eine Skaterrampe soll auf 3 m Länge 1 m ansteigen, unten und oben ohne Knick. Welcher Term beschreibt sie?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Bedingungen sind f(0) = 0, f′(0) = 0, f(3) = 1 und f′(3) = 0. Vier Bedingungen verlangen eine Funktion dritten Grades. Das Gleichungssystem liefert f(x) = −2/27 x³ + 1/3 x². Probe: f(3) = −2 + 3 = 1 und f′(3) = −2 + 2 = 0.

MerkenSteckbrief

Jede Bedingung eine Gleichung: Punkt → f(x) = y, Extremum → f'(x) = 0, Wendepunkt → f''(x) = 0. Dann LGS lösen.

BeispielFunktion aus Bedingungen (Steckbriefaufgabe)

Bestimme die ganzrationale Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und bei x = 3 einen Extrempunkt mit dem Wert −54 hat.

Schritt für Schritt

Punktsymmetrie → nur ungerade Exponenten: f(x) = ax³ + cx
f'(x) = 3ax² + c
f'(3) = 0: 3a · 9 + c = 0 → c = −27a
f(3) = −54: a · 27 + c · 3 = −54 → a = 1, c = −27

Punktsymmetrie → nur ungerade Exponenten: f(x) = ax³ + cx
f'(x) = 3ax² + c
f'(3) = 0: 3a · 9 + c = 0 → c = −27a
f(3) = −54: a · 27 + c · 3 = −54 → a = 1, c = −27

Ergebnis:

f(x) = x³ − 27x

ÜbenJetzt du

○19
Bestimme die ganzrationale Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und bei x = 3 einen Extrempunkt mit dem Wert −108 hat.
So fängst du an:
Punktsymmetrie → nur ungerade Exponenten: f(x) = ax³ + cx
Lösung zeigen
1. Punktsymmetrie → nur ungerade Exponenten: f(x) = ax³ + cx
2. f'(x) = 3ax² + c
3. f'(3) = 0: 3a · 9 + c = 0 → c = −27a
4. f(3) = −108: a · 27 + c · 3 = −108 → a = 2, c = −54
Ergebnis:
f(x) = 2x³ − 54x
●20
Bestimme die ganzrationale Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und bei x = 2 einen Extrempunkt mit dem Wert −32 hat.
Lösung zeigen
1. Punktsymmetrie → nur ungerade Exponenten: f(x) = ax³ + cx
2. f'(x) = 3ax² + c
3. f'(2) = 0: 3a · 4 + c = 0 → c = −12a
4. f(2) = −32: a · 8 + c · 2 = −32 → a = 2, c = −24
Ergebnis:
f(x) = 2x³ − 24x
★21
Bestimme die ganzrationale Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und bei x = 3 einen Extrempunkt mit dem Wert −162 hat.
Lösung zeigen
1. Punktsymmetrie → nur ungerade Exponenten: f(x) = ax³ + cx
2. f'(x) = 3ax² + c
3. f'(3) = 0: 3a · 9 + c = 0 → c = −27a
4. f(3) = −162: a · 27 + c · 3 = −162 → a = 3, c = −81
Ergebnis:
f(x) = 3x³ − 81x

8Ich deute Ergebnisse im Sachzusammenhang.

EntdeckenFrage

Die Rechnung sagt, ein geworfener Ball sei zweimal auf dem Boden. Warum zählt nur eine Lösung?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Für h(t) = 2 + 9t − 5t² liefert h(t) = 0 die Lösungen t = 2 und t = −0,2. Eine negative Zeit liegt vor dem Abwurf. Das Modell gilt nur von t = 0 bis t = 2. Der Ball landet nach 2 Sekunden.

MerkenIm Sachzusammenhang deuten

Hochpunkt = größter Wert (wann, wie viel), Wendepunkt = stärkste Änderung, Nullstelle = Beginn oder Ende.

Immer mit Einheit und im Definitionsbereich der Aufgabe antworten.

BeispielExtremwertaufgabe mit Nebenbedingung

Eine zylindrische Dose soll 250 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.

Schritt für Schritt

Nebenbedingung: V = πr²h = 250 → h = 250/(πr²)
Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 500/r
O'(r) = 4πr − 500/r² = 0 → r³ = 250/(2π)
r ≈ 3,41 cm, h = 250/(π · 3,41²) ≈ 6,83 cm
Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.

Nebenbedingung: V = πr²h = 250 → h = 250/(πr²)
Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 500/r
O'(r) = 4πr − 500/r² = 0 → r³ = 250/(2π)
r ≈ 3,41 cm, h = 250/(π · 3,41²) ≈ 6,83 cm
Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.

Ergebnis:

r ≈ 3,41 cm, h ≈ 6,83 cm (O ≈ 219,7 cm²)

ÜbenJetzt du

○22
Mit 48 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
So fängst du an:
Nebenbedingung: 2x + y = 48, also y = 48 − 2x
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: 2x + y = 48, also y = 48 − 2x
2. Zielfunktion: A(x) = x · (48 − 2x) = 48x − 2x²
3. A'(x) = 48 − 4x = 0 → x = 12
4. A''(x) = −4 < 0 → Maximum
5. y = 48 − 2 · 12 = 24, A = 12 · 24 = 288
Ergebnis:
288 m² (12 m × 24 m)
●23
Mit 160 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: 2x + y = 160, also y = 160 − 2x
2. Zielfunktion: A(x) = x · (160 − 2x) = 160x − 2x²
3. A'(x) = 160 − 4x = 0 → x = 40
4. A''(x) = −4 < 0 → Maximum
5. y = 160 − 2 · 40 = 80, A = 40 · 80 = 3200
Ergebnis:
3200 m² (40 m × 80 m)
★24
Mit 120 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
Lösung zeigen
1. Nebenbedingung: 2x + y = 120, also y = 120 − 2x
2. Zielfunktion: A(x) = x · (120 − 2x) = 120x − 2x²
3. A'(x) = 120 − 4x = 0 → x = 30
4. A''(x) = −4 < 0 → Maximum
5. y = 120 − 2 · 30 = 60, A = 30 · 60 = 1800
Ergebnis:
1800 m² (30 m × 60 m)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 2x³ − 96x.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 6x² − 96 = 0 → x² = 16 → x = ±4
2. f''(x) = 12x: f''(−4) < 0 → Hochpunkt, f''(4) > 0 → Tiefpunkt
3. f(−4) = 256, f(4) = −256
Ergebnis:
H(−4 | 256), T(4 | −256)
●26
Bestimme den Wendepunkt von f(x) = x³ − 3x² + 1.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 6x, f''(x) = 6x − 6
2. f''(x) = 0 → x = 1; f'''(x) = 6 ≠ 0 ✓
3. f(1) = −1
Ergebnis:
W(1 | −1)
●27
f(x) = 2x³ − 6x + 2. Bestimme die Monotonieintervalle und begründe sie mit dem Vorzeichen von f′.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 6x² − 6
2. f'(x) = 0: 6(x² − 1) = 0 → x = −1 und x = 1
3. Vorzeichen von f' in den drei Bereichen prüfen: außen +, dazwischen −
4. steigend auf ]−∞; −1] und [1; ∞[, fallend auf [−1; 1]
Ergebnis:
steigend für x < −1 und x > 1, fallend dazwischen
●28
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − x² − 6x.
Lösung zeigen
1. x ausklammern: x · (x² − x − 6)
2. x = 0 oder x² − x − 6 = 0
3. pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 3 oder x = −2
Ergebnis:
x = 0, x = −2, x = 3
●29
f(x) = −x² + 2x − 3. Bestimme die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ = 3.
Lösung zeigen
1. f'(x) = −2x + 2
2. f'(3) = −4
Ergebnis:
m = −4
●30
Untersuche auf Symmetrie: f(x) = 2x³ + 3x² + 3x + 2
Lösung zeigen
1. Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch; nur ungerade → punktsymmetrisch.
2. Vorkommende Exponenten prüfen.
3. Ergebnis: keine dieser Symmetrien
Ergebnis:
keine dieser Symmetrien

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Nullstellen: f(x) = 0 lösen: ausklammern, pq-Formel, Substitution bei x⁴.
Monotonie: Vorzeichen von f' in den Abschnitten zwischen den Nullstellen von f' prüfen.
Extrempunkte: Notwendig: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f''(x₀) < 0 Hochpunkt, f''(x₀) > 0 Tiefpunkt. y-Wert nicht vergessen!
Wendepunkt: Notwendig: f''(x₀) = 0. Hinreichend: f'''(x₀) ≠ 0. Dort ändert sich das Krümmungsverhalten.
Graph: Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte eintragen, Globalverhalten vom Leitterm, dann verbinden.
Extremwertaufgabe: Zielfunktion aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, Nullstelle, Randwerte prüfen.
Steckbrief: Jede Bedingung eine Gleichung: Punkt → f(x) = y, Extremum → f'(x) = 0, Wendepunkt → f''(x) = 0. Dann LGS lösen.
Im Sachzusammenhang deuten: Hochpunkt = größter Wert (wann, wie viel), Wendepunkt = stärkste Änderung, Nullstelle = Beginn oder Ende.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich bestimme Nullstellen und Symmetrie ganzrationaler Funktionen.
31
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 3x² + 2x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 0, x = 1, x = 2
Ich untersuche Monotonie mit der ersten Ableitung.
32
f(x) = 2x³ − 54x − 1. Bestimme die Monotonieintervalle und begründe sie mit dem Vorzeichen von f′.
Lösung zeigen
Ergebnis:
steigend für x < −3 und x > 3, fallend dazwischen
Ich bestimme Extrempunkte mit f' = 0 und f'' (oder Vorzeichenwechsel).
33
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 12x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H(−2 | 16), T(2 | −16)
Ich bestimme Wendepunkte mit f'' = 0 und f'''.
34
Bestimme den Wendepunkt von f(x) = x³ − 9x² − 3.
Lösung zeigen
Ergebnis:
W(3 | −57)
Ich zeichne Graphen aus den Ergebnissen.
35
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 3x³ − 36x + 1.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H(−2 | 49), T(2 | −47)
Ich löse Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung.
36
Eine zylindrische Dose soll 1000 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
r ≈ 5,42 cm, h ≈ 10,84 cm (O ≈ 553,6 cm²)
Ich bestimme Funktionen aus Bedingungen (Steckbriefaufgaben).
37
Bestimme die ganzrationale Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und bei x = 2 einen Extrempunkt mit dem Wert −48 hat.
Lösung zeigen
Ergebnis:
f(x) = 3x³ − 36x
Ich deute Ergebnisse im Sachzusammenhang.
38
Mit 72 m Zaun soll an einer geraden Hauswand eine rechteckige Fläche abgeteilt werden – die Wand zählt nicht mit. Wie groß wird die Fläche höchstens?
Lösung zeigen
Ergebnis:
648 m² (18 m × 36 m)
Ich bereite die Klausur vor.
39
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = 2x³ − 6x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H(−1 | 4), T(1 | −4)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher Wert x macht f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 am größten zwischen 0 und 2,5? Finde ihn mit einer Wertetabelle.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Extremstellen mit der ersten Ableitung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Höchster Punkt, steilste Stelle – bei jeder Kurve. Beruf: Optimierung in Technik und Wirtschaft.

Wörter

Ableitung: wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert
Ausklammern: den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Extrempunkt: ein höchster oder tiefster Punkt
Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Monoton: durchgehend steigend oder durchgehend fallend
Nullstelle: wo der Graph die x-Achse trifft
Wendepunkt: wo die Kurve die Krümmung wechselt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Einführung in die Differenzialrechnung, Quadratische Gleichungen

Lösungen

x = 0, x = −3, x = 4
x = 0, x = 1, x = 2
x = 0, x = 2, x = 3
fallend für x < 5, steigend für x > 5 (Tiefpunkt bei x = 5)
fallend für x < 5, steigend für x > 5 (Tiefpunkt bei x = 5)
steigend für x < −4 und x > 4, fallend dazwischen
H(−1 | 8), T(1 | −4)
H(−3 | 108), T(3 | −108)
H(−3 | 52), T(3 | −56)
W(2 | −13)
W(3 | −54)
W(3 | −57)
H(−4 | 126), T(4 | −130)
H(−1 | 4), T(1 | −4)
H(−4 | 127), T(4 | −129)
800 m² (20 m × 40 m)
r ≈ 5,42 cm, h ≈ 10,84 cm (O ≈ 553,6 cm²)
1250 m² (25 m × 50 m)
f(x) = 2x³ − 54x
f(x) = 2x³ − 24x
f(x) = 3x³ − 81x
288 m² (12 m × 24 m)
3200 m² (40 m × 80 m)
1800 m² (30 m × 60 m)
H(−4 | 256), T(4 | −256)
W(1 | −1)
steigend für x < −1 und x > 1, fallend dazwischen
x = 0, x = −2, x = 3
m = −4
keine dieser Symmetrien
x = 0, x = 1, x = 2
steigend für x < −3 und x > 3, fallend dazwischen
H(−2 | 16), T(2 | −16)
W(3 | −57)
H(−2 | 49), T(2 | −47)
r ≈ 5,42 cm, h ≈ 10,84 cm (O ≈ 553,6 cm²)
f(x) = 3x³ − 36x
648 m² (18 m × 36 m)
H(−1 | 4), T(1 | −4)
f'(x) = 4x − 4
f'(x) = 8x + 3