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Mathematik · Klasse 10 und 11 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Mischungs- und Verteilungsrechnen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Aus Essig mit 25 % und Wasser sollen 2 Liter mit 5 % entstehen. Wie viel von jedem? Probier mit Mengen, bis es stimmt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Probieren führt nach mehreren Runden zu 400 ml und 1.600 ml; bei zwei Essigsorten mit 25 % und 10 % wird das Probieren endlos. Das Mischungskreuz ordnet die Anteile in einem Bild – für zwei Sorten in einer Zeile, ohne Probieren.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Anteil bleibt, die Menge ändert sich

Beim Mischen addieren sich die MENGEN des gelösten Stoffes, nicht die Prozente. Zwei Liter mit 10 % und ein Liter mit 40 % ergeben nicht 50 % – sondern das, was die enthaltenen Mengen zusammen ausmachen.

Mischen: 2 Liter mit 10 Prozent und 1 Liter mit 40 Prozent ergeben 3 Liter mit 0,6 Liter Stoff, also 20 Prozent2 l, 10 %+1 l, 40 %=3 l, 20 %Stoff:0,2 l + 0,4 l= 0,6 l

WeiterdenkenDenk nach

Kann beim Mischen von 10 % und 40 % je ein Ergebnis über 40 % herauskommen? Warum nicht?

1Ich berechne Konzentrationen in Prozent.

EntdeckenFrage

Warum ist Frostschutzmittel pur schlechter als gemischt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Reines Glykol gefriert bei −13 °C, eine 50:50-Mischung mit Wasser erst bei −37 °C. Mischungsrechnen entscheidet, ob der Motor im Winter platzt.

MerkenKonzentration

30 % heißt: 30 Teile Wirkstoff in 100 Teilen Lösung.

BeispielProzentwert berechnen

Eine Jacke kostet 80,00 €. Berechne 25 % des Preises.
080 € = 100 %25 % = ?
Schritt für Schritt
  1. 100 % → 80,00 €
  2. 1 % → 0,80 €
  3. 25 % → 0,80 € · 25 = 20,00 €
  1. 100 % → 80,00 €
  2. 1 % → 0,80 €
  3. 25 % → 0,80 € · 25 = 20,00 €
Ergebnis:
20,00 €

AchtungProzentsatz nicht durch 100

So nicht
Eine Jacke kostet 80,00 €. Berechne 25 % des Preises → 2000
So richtig
Eine Jacke kostet 80,00 €. Berechne 25 % des Preises → 20,00 €

Rechne zuerst 1 %: teile durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Roller kostet 250,00 €. Berechne 30 % des Preises.
    So fängst du an:
    100 % → 250,00 €
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 250,00 €
    2. 1 % → 2,50 €
    3. 30 % → 2,50 € · 30 = 75,00 €
    Ergebnis:
    75,00 €
  2. ●2
    Ein Trikot kostet 40,00 €. Berechne 5 % des Preises.
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 40,00 €
    2. 1 % → 0,40 €
    3. 5 % → 0,40 € · 5 = 2,00 €
    Ergebnis:
    2,00 €
  3. ★3
    Ein Fahrrad kostet 720,00 €. Berechne 7 % des Preises.
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 720,00 €
    2. 1 % → 7,20 €
    3. 7 % → 7,20 € · 7 = 50,40 €
    Ergebnis:
    50,40 €

2Ich mische zwei Lösungen mit dem Mischungskreuz.

EntdeckenFrage

Wie mischt man aus 30-prozentigem und 70-prozentigem Mittel genau 50 Prozent?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zu gleichen Teilen, weil beide gleich weit vom Ziel entfernt sind. Das Mischungskreuz zeigt das Verhältnis: Je weiter ein Ausgangsstoff entfernt ist, desto weniger wird davon gebraucht.

MerkenMischungskreuz

Zielkonzentration in die Mitte, Ausgangskonzentrationen links – die Differenzen über Kreuz geben das Mischungsverhältnis.

BeispielMischungsrechnen (Mischungskreuz)

Aus einer 30 %-Lösung und einer 80 %-Lösung sollen 10 l einer 40 %-Lösung gemischt werden. Wie viel von jeder?
30 %schwach40 %10 l80 %stark1040Verhältnis der Abstände = Mischungsverhältnis
Schritt für Schritt
  1. Mischungskreuz: Anteile 80 − 40 = 40 (von der 30 %) und 40 − 30 = 10 (von der 80 %)
  2. Verhältnis 40 : 10, Summe 50
  3. 10 l · 4050 = 8 l (30 %), 2 l (80 %)
  1. Mischungskreuz: Anteile 80 − 40 = 40 (von der 30 %) und 40 − 30 = 10 (von der 80 %)
  2. Verhältnis 40 : 10, Summe 50
  3. 10 l · 4050 = 8 l (30 %), 2 l (80 %)
Ergebnis:
8 l und 2 l

AchtungMischungskreuz falsch herum

So nicht
20 % und 60 % zu 30 %: Kreuz 10 : 30, also 1 Teil 20 % auf 3 Teile 60 %
So richtig
20 % und 60 % zu 30 %: Kreuz (60 − 30) : (30 − 20) = 30 : 10 = 3 Teile 20 % auf 1 Teil 60 %

Die Differenz zur Zielkonzentration gehört jeweils zur anderen Lösung.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aus einer 10 %-Lösung und einer 80 %-Lösung sollen 5 l einer 40 %-Lösung gemischt werden. Wie viel von jeder?
    So fängst du an:
    Mischungskreuz: Anteile 80 − 40 = 40 (von der 10 %) und 40 − 10 = 30 (von der 80 %)
    Lösung zeigen
    1. Mischungskreuz: Anteile 80 − 40 = 40 (von der 10 %) und 40 − 10 = 30 (von der 80 %)
    2. Verhältnis 40 : 30, Summe 70
    3. 5 l · 4070 = 2,86 l (10 %), 2,14 l (80 %)
    Ergebnis:
    2,86 l und 2,14 l
  2. ●5
    Aus einer 10 %-Lösung und einer 60 %-Lösung sollen 2 l einer 40 %-Lösung gemischt werden. Wie viel von jeder?
    Lösung zeigen
    1. Mischungskreuz: Anteile 60 − 40 = 20 (von der 10 %) und 40 − 10 = 30 (von der 60 %)
    2. Verhältnis 20 : 30, Summe 50
    3. 2 l · 2050 = 0,8 l (10 %), 1,2 l (60 %)
    Ergebnis:
    0,8 l und 1,2 l
  3. ★6
    Aus einer 20 %-Lösung und einer 60 %-Lösung sollen 2 l einer 40 %-Lösung gemischt werden. Wie viel von jeder?
    Lösung zeigen
    1. Mischungskreuz: Anteile 60 − 40 = 20 (von der 20 %) und 40 − 20 = 20 (von der 60 %)
    2. Verhältnis 20 : 20, Summe 40
    3. 2 l · 2040 = 1 l (20 %), 1 l (60 %)
    Ergebnis:
    1 l und 1 l

3Ich berechne Mengen bei vorgegebener Gesamtmenge.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser kommt zu 2 Litern Sirup, damit 10 Liter Getränk entstehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

8 Liter. Die Gesamtmenge ist vorgegeben, die fehlende Menge ist der Rest. Entscheidend ist, ob sich die Angabe auf den Sirup oder auf das fertige Getränk bezieht.

MerkenGesamtmenge

Verhältnis in Anteile umrechnen: Gesamtmenge · Anteil/Summe der Anteile.

BeispielMischen mit einer Gleichung

Aus einer 20-prozentigen und einer 60-prozentigen Lösung sollen 60 Liter einer 50-prozentigen Lösung gemischt werden. Stelle eine Gleichung auf: Wie viel Liter von jeder Sorte?
Schritt für Schritt
  1. x Liter von 20 %, dann 60 − x Liter von 60 %.
  2. Wirkstoff: 0,2x + 0,6 · (60 − x) = 0,5 · 60.
  3. 0,2x + 36 − 0,6x = 30.
  4. −0,4x = −6, also x = 15.
  1. x Liter von 20 %, dann 60 − x Liter von 60 %.
  2. Wirkstoff: 0,2x + 0,6 · (60 − x) = 0,5 · 60.
  3. 0,2x + 36 − 0,6x = 30.
  4. −0,4x = −6, also x = 15.
Ergebnis:
15 Liter von 20 %, 45 Liter von 60 %

AchtungNoch einmal: Mischungskreuz falsch herum

So nicht
20 % und 60 % zu 30 %: Kreuz 10 : 30, also 1 Teil 20 % auf 3 Teile 60 %
So richtig
20 % und 60 % zu 30 %: Kreuz (60 − 30) : (30 − 20) = 30 : 10 = 3 Teile 20 % auf 1 Teil 60 %

Die Differenz zur Zielkonzentration gehört jeweils zur anderen Lösung.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aus einer 20-prozentigen und einer 30-prozentigen Lösung sollen 10 Liter einer 25-prozentigen Lösung gemischt werden. Stelle eine Gleichung auf: Wie viel Liter von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    x Liter von 20 %, dann 10 − x Liter von 30 %.
    Lösung zeigen
    1. x Liter von 20 %, dann 10 − x Liter von 30 %.
    2. Wirkstoff: 0,2x + 0,3 · (10 − x) = 0,25 · 10.
    3. 0,2x + 3 − 0,3x = 2,5.
    4. −0,1x = −0,5, also x = 5.
    Ergebnis:
    5 Liter von 20 %, 5 Liter von 30 %
  2. ●8
    Aus einer 10-prozentigen und einer 60-prozentigen Lösung sollen 10 Liter einer 20-prozentigen Lösung gemischt werden. Stelle eine Gleichung auf: Wie viel Liter von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    1. x Liter von 10 %, dann 10 − x Liter von 60 %.
    2. Wirkstoff: 0,1x + 0,6 · (10 − x) = 0,2 · 10.
    3. 0,1x + 6 − 0,6x = 2.
    4. −0,5x = −4, also x = 8.
    Ergebnis:
    8 Liter von 10 %, 2 Liter von 60 %
  3. ★9
    Zu 30 Litern einer 5-prozentigen Lösung wird eine 40-prozentige gegeben, bis die Mischung 30 % hat. Wie viel Liter der 40-prozentigen Lösung braucht man?
    Lösung zeigen
    1. y Liter von 40 %. Wirkstoff vorher gleich Wirkstoff nachher:
    2. 0,05 · 30 + 0,4y = 0,3 · (30 + y).
    3. 1,5 + 0,4y = 9 + 0,3y.
    4. 0,1y = 7,5, also y = 75.
    Ergebnis:
    75 Liter

4Ich verdünne und konzentriere Lösungen.

EntdeckenFrage

Warum wird eine Lösung beim Verdünnen nicht um so viel schwächer, wie man Wasser zugibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sich die Gesamtmenge mitverändert. Gibt man zu 1 Liter mit 10 Prozent einen weiteren Liter Wasser, sind es 5 Prozent: Der Wirkstoff bleibt gleich, die Menge verdoppelt sich.

MerkenVerdünnen

Wirkstoffmenge bleibt gleich: c₁ · V₁ = c₂ · V₂.

BeispielVerdünnen und Aufkonzentrieren

400 ml einer 50 %-Lösung werden mit 500 ml Wasser verdünnt. Welche Konzentration hat die Mischung?
400 ml · 50 %+500 ml Wasser=900 ml · ? %Der gelöste Stoff (dunkel) bleibt gleich – nur das Wasser kommt dazu
Schritt für Schritt
  1. Gelöster Stoff: 400 · 50 % = 200 ml
  2. Gesamtmenge: 400 + 500 = 900 ml
  3. 200 : 900 = 22,22 %
  1. Gelöster Stoff: 400 · 50 % = 200 ml
  2. Gesamtmenge: 400 + 500 = 900 ml
  3. 200 : 900 = 22,22 %
Ergebnis:
22,22 %

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    200 ml einer 30 %-Lösung werden mit 200 ml Wasser verdünnt. Welche Konzentration hat die Mischung?
    So fängst du an:
    Gelöster Stoff: 200 · 30 % = 60 ml
    Lösung zeigen
    1. Gelöster Stoff: 200 · 30 % = 60 ml
    2. Gesamtmenge: 200 + 200 = 400 ml
    3. 60 : 400 = 15 %
    Ergebnis:
    15 %
  2. ●11
    500 ml einer 40 %-Lösung werden mit 500 ml Wasser verdünnt. Welche Konzentration hat die Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Gelöster Stoff: 500 · 40 % = 200 ml
    2. Gesamtmenge: 500 + 500 = 1000 ml
    3. 200 : 1000 = 20 %
    Ergebnis:
    20 %
  3. ★12
    200 ml einer 30 %-Lösung sollen auf 10 % verdünnt werden. Wie viel Wasser kommt dazu? Begründe mit dem gelösten Stoff.
    Lösung zeigen
    1. Gelöster Stoff bleibt: 200 · 30 % = 60 ml
    2. Gesamtmenge für 10 %: 60 : 10 % = 600 ml
    3. Wasser: 600 − 200 = 400 ml
    Ergebnis:
    400 ml Wasser

5Ich verteile Beträge nach Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum bekommt bei einer Aufteilung nach Verhältnis nicht jeder gleich viel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sich der Anteil nach dem Einsatz richtet. Bei 3 zu 2 wird die Summe in fünf Teile zerlegt: drei Teile für den einen, zwei für den anderen.

MerkenVerteilen

Verhältnis 3 : 2 → 5 Anteile. Jeder Anteil = Gesamt : 5.

BeispielNach Verhältnis verteilen

Emir und Tom teilen einen Gewinn von 600,00 € im Verhältnis 4 : 1. Wie viel bekommt jede Person?
Schritt für Schritt
  1. Anzahl der Teile: 4 + 1 = 5
  2. Ein Teil: 600 : 5 = 120
  3. Emir: 4 · 120 = 480
  4. Tom: 1 · 120 = 120
  5. Kontrolle: 480 + 120 = 600
  1. Anzahl der Teile: 4 + 1 = 5
  2. Ein Teil: 600 : 5 = 120
  3. Emir: 4 · 120 = 480
  4. Tom: 1 · 120 = 120
  5. Kontrolle: 480 + 120 = 600
Ergebnis:
Emir 480,00 €, Tom 120,00 €

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ben und Sara teilen einen Gewinn von 400,00 € im Verhältnis 3 : 5. Wie viel bekommt jede Person?
    So fängst du an:
    Anzahl der Teile: 3 + 5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anzahl der Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 400 : 8 = 50
    3. Ben: 3 · 50 = 150
    4. Sara: 5 · 50 = 250
    5. Kontrolle: 150 + 250 = 400
    Ergebnis:
    Ben 150,00 €, Sara 250,00 €
  2. ●14
    Nina und Lina teilen einen Gewinn von 2.000,00 € im Verhältnis 3 : 5. Wie viel bekommt jede Person?
    Lösung zeigen
    1. Anzahl der Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 2000 : 8 = 250
    3. Nina: 3 · 250 = 750
    4. Lina: 5 · 250 = 1250
    5. Kontrolle: 750 + 1250 = 2000
    Ergebnis:
    Nina 750,00 €, Lina 1.250,00 €
  3. ★15
    Emir, Tim und Tom teilen eine Erbschaft von 400,00 € im Verhältnis 1 : 5 : 2. Wie viel bekommt jede Person?
    Lösung zeigen
    1. Anzahl der Teile: 1 + 5 + 2 = 8
    2. Ein Teil: 400 : 8 = 50
    3. Emir: 1 · 50 = 50
    4. Tim: 5 · 50 = 250
    5. Tom: 2 · 50 = 100
    6. Kontrolle: 50 + 250 + 100 = 400
    Ergebnis:
    Emir 50,00 €, Tim 250,00 €, Tom 100,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Bei 60 km/h dauert die Fahrt 6 h. Wie lange dauert sie bei 40 km/h?
    Lösung zeigen
    1. km/hh
    2. 60 km/h→6 h
    3. ↓ : 60↓ · 60
    4. 1 km/h→6 h · 60 = 360 h
    5. ↓ · 40↓ : 40
    6. 40 km/h→360 h : 40 = 9 h
    Ergebnis:
    9 h
  2. ●17
    Ein Fahrrad kostet 300,00 €. Berechne 50 % des Preises.
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 300,00 €
    2. 1 % → 3,00 €
    3. 50 % → 3,00 € · 50 = 150,00 €
    Ergebnis:
    150,00 €
  3. ●18
    100 ml einer 20 %-Lösung werden mit 100 ml Wasser verdünnt. Welche Konzentration hat die Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Gelöster Stoff: 100 · 20 % = 20 ml
    2. Gesamtmenge: 100 + 100 = 200 ml
    3. 20 : 200 = 10 %
    Ergebnis:
    10 %
  4. ●19
    Aus einer 10 %-Lösung und einer 70 %-Lösung sollen 2 l einer 50 %-Lösung gemischt werden. Wie viel von jeder?
    Lösung zeigen
    1. Mischungskreuz: Anteile 70 − 50 = 20 (von der 10 %) und 50 − 10 = 40 (von der 70 %)
    2. Verhältnis 20 : 40, Summe 60
    3. 2 l · 2060 = 0,67 l (10 %), 1,33 l (70 %)
    Ergebnis:
    0,67 l und 1,33 l
  5. ●20
    Ein Kuchen wird auf 4 Kinder verteilt, jedes bekommt 6 Stück. Wie viel bekommt jedes Kind, wenn es 8 Kinder sind?
    Lösung zeigen
    1. KinderStück
    2. 4 Kinder→6 Stück
    3. ↓ : 4↓ · 4
    4. 1 Kind→6 Stück · 4 = 24 Stück
    5. ↓ · 8↓ : 8
    6. 8 Kinder→24 Stück : 8 = 3 Stück
    Ergebnis:
    3 Stück
  6. ●21
    Ein Fahrrad kostet 300,00 €. Berechne 5 % des Preises.
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 300,00 €
    2. 1 % → 3,00 €
    3. 5 % → 3,00 € · 5 = 15,00 €
    Ergebnis:
    15,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Konzentration
30 % heißt: 30 Teile Wirkstoff in 100 Teilen Lösung.
Mischungskreuz
Zielkonzentration in die Mitte, Ausgangskonzentrationen links – die Differenzen über Kreuz geben das Mischungsverhältnis.
Gesamtmenge
Verhältnis in Anteile umrechnen: Gesamtmenge · Anteil/Summe der Anteile.
Verdünnen
Wirkstoffmenge bleibt gleich: c₁ · V₁ = c₂ · V₂.
Verteilen
Verhältnis 3 : 2 → 5 Anteile. Jeder Anteil = Gesamt : 5.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne Konzentrationen in Prozent.

    22
    Ein Festivalticket kostet 120,00 €. Berechne 50 % des Preises.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60,00 €

  2. Ich mische zwei Lösungen mit dem Mischungskreuz.

    23
    Aus einer 30 %-Lösung und einer 60 %-Lösung sollen 2 l einer 50 %-Lösung gemischt werden. Wie viel von jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,67 l und 1,33 l

  3. Ich berechne Mengen bei vorgegebener Gesamtmenge.

    24
    Aus einer 20-prozentigen und einer 60-prozentigen Lösung sollen 40 Liter einer 58-prozentigen Lösung gemischt werden. Stelle eine Gleichung auf: Wie viel Liter von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Liter von 20 %, 38 Liter von 60 %

  4. Ich verdünne und konzentriere Lösungen.

    25
    100 ml einer 20 %-Lösung werden mit 200 ml Wasser verdünnt. Welche Konzentration hat die Mischung?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6,67 %

  5. Ich verteile Beträge nach Verhältnis.

    26
    Sara und Can teilen einen Gewinn von 1.200,00 € im Verhältnis 4 : 2. Wie viel bekommt jede Person?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Sara 800,00 €, Can 400,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Aus Essig mit 25 % und Wasser sollen 2 Liter mit 5 % entstehen. Wie viel von jedem? Probier mit Mengen, bis es stimmt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Das Mischungskreuz.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saft verdünnen, Farbe mischen. Beruf: Gastronomie, Chemie, Landwirtschaft, Kosmetik.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung

Lösungen

  1. 75,00 €
  2. 2,00 €
  3. 50,40 €
  4. 2,86 l und 2,14 l
  5. 0,8 l und 1,2 l
  6. 1 l und 1 l
  7. 5 Liter von 20 %, 5 Liter von 30 %
  8. 8 Liter von 10 %, 2 Liter von 60 %
  9. 75 Liter
  10. 15 %
  11. 20 %
  12. 400 ml Wasser
  13. Ben 150,00 €, Sara 250,00 €
  14. Nina 750,00 €, Lina 1.250,00 €
  15. Emir 50,00 €, Tim 250,00 €, Tom 100,00 €
  16. 9 h
  17. 150,00 €
  18. 10 %
  19. 0,67 l und 1,33 l
  20. 3 Stück
  21. 15,00 €
  22. 60,00 €
  23. 0,67 l und 1,33 l
  24. 2 Liter von 20 %, 38 Liter von 60 %
  25. 6,67 %
  26. Sara 800,00 €, Can 400,00 €