Mathematik · Klasse 9 und 10 · Kapitel

Prüfungsvorbereitung (MSA / BBR)

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier ist eine ganze Prüfungsaufgabe mit vier Teilen. Du hast 8 Minuten. Los.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten stecken nach 8 Minuten im ersten Teil, der am wenigsten Punkte bringt. Die Klasse merkt, dass Rechnen allein die Prüfung nicht besteht. Erst die Punkte je Teil lesen, dann die Skizze, dann mit dem Teil beginnen, der am meisten bringt. Strategie ist ein Werkzeug wie eine Formel.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Aufgabe erkennt man am Typ

Prüfungsaufgaben sind Verkleidungen bekannter Typen: Prozent, Fläche, Funktion. Wer den Typ erkennt, weiß den Weg – die Zahlen sind Nebensache. Der Prüfblick fragt zuerst: Welcher Typ ist das?

WeiterdenkenDenk nach

Welche drei Wörter in einer Prüfungsaufgabe verraten, dass sie Prozentrechnung ist – auch wenn das Wort Prozent nicht vorkommt?

1Ich löse Aufgaben zu Flächen und Körpern im Prüfungsformat.

EntdeckenFrage

Warum verliert man Punkte bei Aufgaben, die man eigentlich rechnen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Zwischenschritte oder Einheiten fehlen. In den Berliner Prüfungen wird der Weg bewertet – ein richtiges Ergebnis ohne Rechnung bekommt nicht die volle Punktzahl.

MerkenOperatoren

„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

BeispielKegel: Volumen und Mantel mit Pythagoras

Ein Sandhaufen hat die Form eines Kegels: Radius 3 m, Höhe 2 m. Berechne das Volumen.

Schritt für Schritt

Grundfläche: G = π · 3² ≈ 28,3 m²
Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 28,3 · 2 ≈ 18,8 m³
Antwort: Etwa 18,8 m³ Sand liegen dort.

Grundfläche: G = π · 3² ≈ 28,3 m²
Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 28,3 · 2 ≈ 18,8 m³
Antwort: Etwa 18,8 m³ Sand liegen dort.

Ergebnis:

≈ 18,8 m³

ÜbenJetzt du

○1
Eine Eistüte hat die Form eines Kegels: Radius 3 cm, Höhe 8 cm. Berechne das Volumen.
So fängst du an:
Grundfläche: G = π · 3² ≈ 28,3 cm²
Lösung zeigen
1. Grundfläche: G = π · 3² ≈ 28,3 cm²
2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 28,3 · 8 ≈ 75,4 cm³
3. Antwort: Etwa 75,4 cm³ passen hinein.
Ergebnis:
≈ 75,4 cm³
●2
Ein Trichter hat die Form eines Kegels: Radius 8 cm, Höhe 10 cm. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
1. Grundfläche: G = π · 8² ≈ 201,1 cm²
2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 201,1 · 10 ≈ 670,2 cm³
3. Antwort: Etwa 670,2 cm³ passen hinein.
Ergebnis:
≈ 670,2 cm³
★3
Ein Zeltdach hat die Form eines Kegels: Radius 5 m, Höhe 12 m. Berechne, wie viel Stoff man für das Dach braucht.
Lösung zeigen
1. Mantellinie mit Pythagoras: s² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
2. s = √169 = 13 m
3. Mantelfläche: M = π · r · s = π · 5 · 13 ≈ 204,2 m²
4. Antwort: Man braucht etwa 204,2 m² Stoff.
Ergebnis:
≈ 204,2 m²

2Ich löse Aufgaben zu Daten und Wahrscheinlichkeit im Prüfungsformat.

EntdeckenFrage

Woran merkst du beim Üben, ob du etwas kannst – oder es nur wiedererkennst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Daran, ob du es ohne Vorlage aufschreiben kannst. Wiedererkennen fühlt sich nach Können an und täuscht am häufigsten; deshalb zudecken und selbst rechnen.

MerkenOperatoren

„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 35 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 30 Minuten liegen.

Schritt für Schritt

Alle Säulen links von 30 zählen.
8 + 6 + 3 = 17
Antwort: 17 Jugendliche.

Alle Säulen links von 30 zählen.
8 + 6 + 3 = 17
Antwort: 17 Jugendliche.

Ergebnis:

17 Jugendliche

ÜbenJetzt du

○4
Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 29 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 20 Minuten liegen.
So fängst du an:
Alle Säulen links von 20 zählen.
Lösung zeigen
1. Alle Säulen links von 20 zählen.
2. 1 + 9 = 10
3. Antwort: 10 Jugendliche.
Ergebnis:
10 Jugendliche
●5
Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 27 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 40 Minuten liegen.
Lösung zeigen
1. Alle Säulen links von 40 zählen.
2. 7 + 8 + 2 + 7 = 24
3. Antwort: 24 Jugendliche.
Ergebnis:
24 Jugendliche
★6
Das Histogramm zeigt die tägliche Bildschirmzeit von 19 Jugendlichen. Berechne, wie viel Prozent bei mindestens 120 Minuten liegen.
Lösung zeigen
1. Säulen ab 120: 5 + 6 + 5 = 16
2. Anteil: 16 : 19 ≈ 0,842
3. Antwort: etwa 84 % der Jugendlichen.
Ergebnis:
≈ 84 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●7
Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
1. a) A: 9,99 € + 120 · 0,1 € = 21,99 €; B: 120 · 0,3 € = 36,00 €
2. b) A: y = 0,1x + 9,99; B: y = 0,3x
3. c) Gleichsetzen: 0,1x + 9,99 = 0,3x → x = 9,99 : 0,2 ≈ 50
4. Ab 50 Minuten ist A günstiger (ab dem Schnittpunkt liegt die Gerade von A unter B)
Ergebnis:
a) A 21,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,1x + 9,99, y = 0,3x · c) ab 50 min
●8
Ein E-Bike. Ein Fahrrad kostet 650,00 €. Der Preis wird zuerst um 20 % erhöht, dann um 5 % gesenkt.
a) Berechne den Preis nach beiden Änderungen.
b) Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt verändert? Begründe, warum es nicht 15 % sind.
c) Ein anderes Modell kostet nach 40 % Rabatt 720,00 €. Berechne den ursprünglichen Preis.
Lösung zeigen
1. a) 650,00 € · 1,2 = 780,00 €; 780,00 € · 0,95 = 741,00 €
2. b) 741,00 € : 650,00 € = 1,14 → 14 % Veränderung
3. Grund: Die Senkung bezieht sich auf den schon erhöhten Preis (anderer Grundwert)
4. c) 720,00 € entsprechen 60 %: 720,00 € : 0,6 = 1.200,00 €
Ergebnis:
a) 741,00 € · b) 14 % · c) 1.200,00 €
●9
Verpackungen. Ein Saft wird in einer quaderförmigen Packung (10 cm × 6 cm × 20 cm) und in einer Dose (Radius 5 cm, Höhe 20 cm) angeboten.
a) Berechne das Volumen beider Verpackungen in cm³ und in Litern.
b) Berechne, wie viel cm² Material für jede Verpackung nötig sind (ohne Klebefalz).
c) Welche Verpackung braucht pro Liter Inhalt weniger Material? Begründe mit einer Rechnung.
Lösung zeigen
1. a) Quader: 10 · 6 · 20 = 1200 cm³ = 1,2 l; Dose: π · 5² · 20 ≈ 1570,8 cm³ = 1,571 l
2. b) Quader O = 2(10·6 + 10·20 + 6·20) = 760 cm²; Dose O = 2π·5² + 2π·5·20 ≈ 785,4 cm²
3. c) Material pro Liter: Quader 633,33 cm²/l, Dose 500 cm²/l → Dose ist sparsamer
Ergebnis:
a) 1200 cm³ · ≈ 1570,8 cm³ · b) 760 cm² · ≈ 785,4 cm² · c) Dose
●10
Ein Satteldach. Das Haus ist 8 m breit und 10 m lang, der Dachfirst liegt 4 m über der Traufe (Querschnitt: gleichschenkliges Dreieck).
a) Berechne die Länge eines Sparrens (von der Traufe bis zum First).
b) Berechne die gesamte Dachfläche. Für 1 m² braucht man 12 Dachziegel – wie viele Ziegel sind nötig?
Lösung zeigen
1. a) Rechtwinkliges Dreieck: halbe Breite 4 m und Höhe 4 m → s = √4² + 4² = √32 ≈ 5,66 m
2. b) Fläche = 2 · 5,66 · 10 ≈ 113,2 m²; Ziegel: 113,2 · 12 ≈ 1359
Ergebnis:
a) ≈ 5,66 m · b) ≈ 113,2 m², 1359 Ziegel
●11
Ergebnisse einer Klassenarbeit.
Note 1 2 3 4 5 6 gesamt
Anzahl 2 2 4 2 3 0 13

a) Wie viele Arbeiten wurden geschrieben? Berechne den Notendurchschnitt (auf zwei Nachkommastellen).
b) Bestimme den Median. Erkläre, was der Median hier aussagt.
c) Wie viel Prozent der Arbeiten sind „gut“ oder besser (Note 1 oder 2)? Welchen Winkel hätte dieser Anteil im Kreisdiagramm?
Lösung zeigen
1. a) N = 2 + 2 + 4 + 2 + 3 + 0 = 13; Summe der Noten 41; Durchschnitt 41 : 13 ≈ 3,15
2. b) Sortieren, mittlerer Wert: Median = 3 – die Hälfte der Klasse hat diese Note oder besser
3. c) 4 von 13: 4 : 13 = 30,8 %; Winkel: 413 · 360° ≈ 111°
Ergebnis:
a) 13 Arbeiten, Ø 3,15 · b) Median 3 · c) 30,8 %, ≈ 111°
●12
Sparplan. 2.000,00 € werden zu 2 % Zinsen pro Jahr angelegt. Die Zinsen bleiben auf dem Konto.
a) Berechne das Guthaben nach 3 Jahren.
b) Wie viel wäre es mit einfacher Verzinsung (Zinsen werden jedes Jahr ausgezahlt)? Erkläre den Unterschied.
c) Nach wie vielen Jahren sind mindestens 2.400,00 € auf dem Konto? Probiere systematisch oder rechne.
Lösung zeigen
1. a) K · qⁿ = 2.000,00 € · 1,02³ = 2.122,42 €
2. b) einfach: 2.000,00 € · (1 + 3 · 0,02) = 2.120,00 €
3. Unterschied: 2,42 € – beim Zinseszins werden auch die Zinsen verzinst
4. c) 2.000,00 € · 1,02ⁿ ≥ 2.400,00 € → n = 10 Jahre
Ergebnis:
a) 2.122,42 € · b) 2.120,00 € · c) 10 Jahre

Note	1	2	3	4	5	6	gesamt
Anzahl	2	2	4	2	3	0	13

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Operatoren: „Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

AchtungAntwortsatz fehlt

So nicht

1240 : 4 = 310

So richtig

1240 : 4 = 310
Antwort: Jede Gruppe bekommt 310 €.

Sachaufgaben brauchen einen Antwortsatz mit Einheit.

AchtungEinheit vergessen

So nicht

3 · 15 = 45
Der Tank fasst 45.

So richtig

3 · 15 l = 45 l
Der Tank fasst 45 Liter.

Ergebnis ohne Einheit kostet in der Prüfung Punkte.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich verschaffe mir einen Überblick über Aufbau und Ablauf der Prüfung.
13
Handytarife. Tarif A: 12,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 60 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 18,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,1x + 12,99, y = 0,3x · c) ab 65 min
Ich löse Aufgaben zu Prozent und Zinsen im Prüfungsformat.
14
Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 20,99 €, B 30,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 75 min
Ich löse Aufgaben zu Flächen und Körpern im Prüfungsformat.
15
Ein Kegeldach hat die Form eines Kegels: Radius 4 m, Höhe 5 m. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 83,8 m³
Ich löse Aufgaben zu Funktionen und Gleichungen im Prüfungsformat.
16
Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,29 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 200 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 29,99 €, B 58,00 € · b) y = 0,1x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 53 min
Ich löse Aufgaben zu Daten und Wahrscheinlichkeit im Prüfungsformat.
17
Das Histogramm zeigt die tägliche Bildschirmzeit von 22 Jugendlichen. Bestimme, wie viele bei mindestens 60 und unter 120 Minuten liegen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Jugendliche
Ich arbeite mit den Operatoren (berechne, begründe, zeige, beurteile).
18
Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,29 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 15,99 €, B 34,80 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 42 min
Ich teile mir die Zeit in der Prüfung ein und lasse keine Aufgabe leer.
19
Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 15,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,3x · c) ab 40 min
Ich übe eine vollständige Übungsprüfung unter Zeitbedingungen.
20
Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 200 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 19,99 €, B 50,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,25x · c) ab 50 min

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier ist eine ganze Prüfungsaufgabe mit vier Teilen. Du hast 8 Minuten. Los.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Prüfungsstrategie: Zeit einteilen, Operatoren lesen, Skizze zuerst.

Wörter

Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert

Lösungen

≈ 75,4 cm³
≈ 670,2 cm³
≈ 204,2 m²
10 Jugendliche
24 Jugendliche
≈ 84 %
a) A 21,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,1x + 9,99, y = 0,3x · c) ab 50 min
a) 741,00 € · b) 14 % · c) 1.200,00 €
a) 1200 cm³ · ≈ 1570,8 cm³ · b) 760 cm² · ≈ 785,4 cm² · c) Dose
a) ≈ 5,66 m · b) ≈ 113,2 m², 1359 Ziegel
a) 13 Arbeiten, Ø 3,15 · b) Median 3 · c) 30,8 %, ≈ 111°
a) 2.122,42 € · b) 2.120,00 € · c) 10 Jahre
a) A 18,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,1x + 12,99, y = 0,3x · c) ab 65 min
a) A 20,99 €, B 30,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 75 min
≈ 83,8 m³
a) A 29,99 €, B 58,00 € · b) y = 0,1x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 53 min
6 Jugendliche
a) A 15,99 €, B 34,80 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 42 min
a) A 15,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,3x · c) ab 40 min
a) A 19,99 €, B 50,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,25x · c) ab 50 min