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Mathematik · Klasse 9 und 10 · Kapitel

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Prüfungsvorbereitung (MSA / BBR)

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier ist eine ganze Prüfungsaufgabe mit vier Teilen. Du hast 8 Minuten. Los.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten stecken nach 8 Minuten im ersten Teil, der am wenigsten Punkte bringt. Die Klasse merkt, dass Rechnen allein die Prüfung nicht besteht. Erst die Punkte je Teil lesen, dann die Skizze, dann mit dem Teil beginnen, der am meisten bringt. Strategie ist ein Werkzeug wie eine Formel.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Aufgabe erkennt man am Typ

Prüfungsaufgaben sind Verkleidungen bekannter Typen: Prozent, Fläche, Funktion. Wer den Typ erkennt, weiß den Weg – die Zahlen sind Nebensache. Der Prüfblick fragt zuerst: Welcher Typ ist das?

Eine Prüfungsaufgabe wird einem Typ zugeordnet: Prozent, Fläche oder Funktion – dann ist der Weg bekanntAufgabein VerkleidungProzentFlächeFunktionErst der Typ, dann der Weg

WeiterdenkenDenk nach

Welche drei Wörter in einer Prüfungsaufgabe verraten, dass sie Prozentrechnung ist – auch wenn das Wort Prozent nicht vorkommt?

1Ich löse Aufgaben zu Flächen und Körpern im Prüfungsformat.

EntdeckenFrage

Warum verliert man Punkte bei Aufgaben, die man eigentlich rechnen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Zwischenschritte oder Einheiten fehlen. In den Berliner Prüfungen wird der Weg bewertet – ein richtiges Ergebnis ohne Rechnung bekommt nicht die volle Punktzahl.

MerkenOperatoren

„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

BeispielKegel: Volumen und Mantel mit Pythagoras

Ein Sandhaufen hat die Form eines Kegels: Radius 4 m, Höhe 3 m. Berechne das Volumen.
3 m4 m
Schritt für Schritt
  1. Grundfläche: G = π · 4² ≈ 50,3 m²
  2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 50,3 · 3 ≈ 50,3 m³
  3. Antwort: Etwa 50,3 m³ Sand liegen dort.
  1. Grundfläche: G = π · 4² ≈ 50,3 m²
  2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 50,3 · 3 ≈ 50,3 m³
  3. Antwort: Etwa 50,3 m³ Sand liegen dort.
Ergebnis:
≈ 50,3 m³

AchtungKreisfläche und Kreisumfang verwechselt

So nicht
r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 5² = 78,5 cm
So richtig
r = 5 cm, Umfang → 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm

Frag dich: Weg um den Kreis oder Fläche innen? Nur die Fläche hat ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Sandhaufen hat die Form eines Kegels: Radius 2 m, Höhe 1 m. Berechne das Volumen.
    1 m2 m
    So fängst du an:
    Grundfläche: G = π · 2² ≈ 12,6 m²
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche: G = π · 2² ≈ 12,6 m²
    2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 12,6 · 1 ≈ 4,2 m³
    3. Antwort: Etwa 4,2 m³ Sand liegen dort.
    Ergebnis:
    ≈ 4,2 m³
  2. ●2
    Ein Sandhaufen hat die Form eines Kegels: Radius 5 m, Höhe 3 m. Berechne das Volumen.
    3 m5 m
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche: G = π · 5² ≈ 78,5 m²
    2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 78,5 · 3 ≈ 78,5 m³
    3. Antwort: Etwa 78,5 m³ Sand liegen dort.
    Ergebnis:
    ≈ 78,5 m³
  3. ★3
    Ein Zeltdach hat die Form eines Kegels: Radius 3 m, Höhe 4 m. Berechne, wie viel Stoff man für das Dach braucht.
    4 m3 m
    Lösung zeigen
    1. Mantellinie mit Pythagoras: s² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
    2. s = √25 = 5 m
    3. Mantelfläche: M = π · r · s = π · 3 · 5 ≈ 47,1 m²
    4. Antwort: Man braucht etwa 47,1 m² Stoff.
    Ergebnis:
    ≈ 47,1 m²

2Ich löse Aufgaben zu Daten und Wahrscheinlichkeit im Prüfungsformat.

EntdeckenFrage

Woran merkst du beim Üben, ob du etwas kannst – oder es nur wiedererkennst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Daran, ob du es ohne Vorlage aufschreiben kannst. Wiedererkennen fühlt sich nach Können an und täuscht am häufigsten; deshalb zudecken und selbst rechnen.

MerkenOperatoren

„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 40 Jugendlichen. Bestimme, wie viele bei mindestens 40 und unter 50 Minuten liegen.
024681001020304050MinutenAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säule von 40 bis 50 Minuten suchen.
  2. Höhe an der Achse ablesen: 8
  3. Antwort: 8 Jugendliche.
  1. Säule von 40 bis 50 Minuten suchen.
  2. Höhe an der Achse ablesen: 8
  3. Antwort: 8 Jugendliche.
Ergebnis:
8 Jugendliche

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Das Histogramm zeigt die tägliche Bildschirmzeit von 28 Jugendlichen. Bestimme, wie viele bei mindestens 0 und unter 60 Minuten liegen.
    0246810060120180240300MinutenAnzahl
    So fängst du an:
    Säule von 0 bis 60 Minuten suchen.
    Lösung zeigen
    1. Säule von 0 bis 60 Minuten suchen.
    2. Höhe an der Achse ablesen: 9
    3. Antwort: 9 Jugendliche.
    Ergebnis:
    9 Jugendliche
  2. ●5
    Das Histogramm zeigt die tägliche Bildschirmzeit von 19 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 180 Minuten liegen.
    02468060120180240300MinutenAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Alle Säulen links von 180 zählen.
    2. 2 + 2 + 6 = 10
    3. Antwort: 10 Jugendliche.
    Ergebnis:
    10 Jugendliche
  3. ★6
    Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 29 Jugendlichen. Berechne, wie viel Prozent bei mindestens 40 Minuten liegen.
    024681001020304050MinutenAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen ab 40: 6
    2. Anteil: 6 : 29 ≈ 0,207
    3. Antwort: etwa 21 % der Jugendlichen.
    Ergebnis:
    ≈ 21 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●7
    Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,29 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 200 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    1. a) A: 9,99 € + 200 · 0,05 € = 19,99 €; B: 200 · 0,29 € = 58,00 €
    2. b) A: y = 0,05x + 9,99; B: y = 0,29x
    3. c) Gleichsetzen: 0,05x + 9,99 = 0,29x → x = 9,99 : 0,24 ≈ 41,6
    4. Ab 42 Minuten ist A günstiger (ab dem Schnittpunkt liegt die Gerade von A unter B)
    Ergebnis:
    a) A 19,99 €, B 58,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 42 min
  2. ●8
    Ein E-Bike. Ein Fahrrad kostet 650,00 €. Der Preis wird zuerst um 10 % erhöht, dann um 12 % gesenkt.
    a) Berechne den Preis nach beiden Änderungen.
    b) Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt verändert? Begründe, warum es nicht −2 % sind.
    c) Ein anderes Modell kostet nach 40 % Rabatt 540,00 €. Berechne den ursprünglichen Preis.
    Lösung zeigen
    1. a) 650,00 € · 1,1 = 715,00 €; 715,00 € · 0,88 = 629,20 €
    2. b) 629,20 € : 650,00 € = 0,968 → −3,2 % Veränderung
    3. Grund: Die Senkung bezieht sich auf den schon erhöhten Preis (anderer Grundwert)
    4. c) 540,00 € entsprechen 60 %: 540,00 € : 0,6 = 900,00 €
    Ergebnis:
    a) 629,20 € · b) −3,2 % · c) 900,00 €
  3. ●9
    Verpackungen. Ein Saft wird in einer quaderförmigen Packung (6 cm × 6 cm × 15 cm) und in einer Dose (Radius 3 cm, Höhe 15 cm) angeboten.
    a) Berechne das Volumen beider Verpackungen in cm³ und in Litern.
    b) Berechne, wie viel cm² Material für jede Verpackung nötig sind (ohne Klebefalz).
    c) Welche Verpackung braucht pro Liter Inhalt weniger Material? Begründe mit einer Rechnung.
    6 cm15 cm6 cm
    Lösung zeigen
    1. a) Quader: 6 · 6 · 15 = 540 cm³ = 0,54 l; Dose: π · 3² · 15 ≈ 424,12 cm³ = 0,424 l
    2. b) Quader O = 2(6·6 + 6·15 + 6·15) = 432 cm²; Dose O = 2π·3² + 2π·3·15 ≈ 339,29 cm²
    3. c) Material pro Liter: Quader 800 cm²/l, Dose 799,99 cm²/l → Dose ist sparsamer
    Ergebnis:
    a) 540 cm³ · ≈ 424,12 cm³ · b) 432 cm² · ≈ 339,29 cm² · c) Dose
  4. ●10
    Ein Satteldach. Das Haus ist 9 m breit und 10 m lang, der Dachfirst liegt 3,5 m über der Traufe (Querschnitt: gleichschenkliges Dreieck).
    a) Berechne die Länge eines Sparrens (von der Traufe bis zum First).
    b) Berechne die gesamte Dachfläche. Für 1 m² braucht man 12 Dachziegel – wie viele Ziegel sind nötig?
    Lösung zeigen
    1. a) Rechtwinkliges Dreieck: halbe Breite 4,5 m und Höhe 3,5 m → s = √4,5² + 3,5² = √32,5 ≈ 5,7 m
    2. b) Fläche = 2 · 5,7 · 10 ≈ 114 m²; Ziegel: 114 · 12 ≈ 1368
    Ergebnis:
    a) ≈ 5,7 m · b) ≈ 114 m², 1368 Ziegel
  5. ●11
    Ergebnisse einer Klassenarbeit.
    Note123456gesamt
    Anzahl25457225

    a) Wie viele Arbeiten wurden geschrieben? Berechne den Notendurchschnitt (auf zwei Nachkommastellen).
    b) Bestimme den Median. Erkläre, was der Median hier aussagt.
    c) Wie viel Prozent der Arbeiten sind „gut“ oder besser (Note 1 oder 2)? Welchen Winkel hätte dieser Anteil im Kreisdiagramm?
    215243547526
    Lösung zeigen
    1. a) N = 2 + 5 + 4 + 5 + 7 + 2 = 25; Summe der Noten 91; Durchschnitt 91 : 25 ≈ 3,64
    2. b) Sortieren, mittlerer Wert: Median = 4 – die Hälfte der Klasse hat diese Note oder besser
    3. c) 7 von 25: 7 : 25 = 28 %; Winkel: 725 · 360° ≈ 101°
    Ergebnis:
    a) 25 Arbeiten, Ø 3,64 · b) Median 4 · c) 28 %, ≈ 101°
  6. ●12
    Sparplan. 2.000,00 € werden zu 3 % Zinsen pro Jahr angelegt. Die Zinsen bleiben auf dem Konto.
    a) Berechne das Guthaben nach 4 Jahren.
    b) Wie viel wäre es mit einfacher Verzinsung (Zinsen werden jedes Jahr ausgezahlt)? Erkläre den Unterschied.
    c) Nach wie vielen Jahren sind mindestens 2.400,00 € auf dem Konto? Probiere systematisch oder rechne.
    Lösung zeigen
    1. a) K · qⁿ = 2.000,00 € · 1,034 = 2.251,02 €
    2. b) einfach: 2.000,00 € · (1 + 4 · 0,03) = 2.240,00 €
    3. Unterschied: 11,02 € – beim Zinseszins werden auch die Zinsen verzinst
    4. c) 2.000,00 € · 1,03ⁿ ≥ 2.400,00 € → n = 7 Jahre
    Ergebnis:
    a) 2.251,02 € · b) 2.240,00 € · c) 7 Jahre

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Operatoren
„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

AchtungAntwortsatz fehlt

So nicht
1240 : 4 = 310
So richtig
1240 : 4 = 310
Antwort: Jede Gruppe bekommt 310 €.

Sachaufgaben brauchen einen Antwortsatz mit Einheit.

AchtungEinheit vergessen

So nicht
3 · 15 = 45
Der Tank fasst 45.
So richtig
3 · 15 l = 45 l
Der Tank fasst 45 Liter.

Ergebnis ohne Einheit kostet in der Prüfung Punkte.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich verschaffe mir einen Überblick über Aufbau und Ablauf der Prüfung.

    13
    Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 60 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 12,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,3x · c) ab 40 min

  2. Ich löse Aufgaben zu Prozent und Zinsen im Prüfungsformat.

    14
    Handytarife. Tarif A: 12,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 200 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 32,99 €, B 50,00 € · b) y = 0,1x + 12,99, y = 0,25x · c) ab 87 min

  3. Ich löse Aufgaben zu Flächen und Körpern im Prüfungsformat.

    15
    Ein Trichter hat die Form eines Kegels: Radius 9 cm, Höhe 8 cm. Berechne das Volumen.
    8 cm9 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 678,6 cm³

  4. Ich löse Aufgaben zu Funktionen und Gleichungen im Prüfungsformat.

    16
    Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 15,99 €, B 30,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,25x · c) ab 50 min

  5. Ich löse Aufgaben zu Daten und Wahrscheinlichkeit im Prüfungsformat.

    17
    Das Histogramm zeigt die Körpergrößen von 30 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 170 cm liegen.
    0246810140150160170180190cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Jugendliche

  6. Ich arbeite mit den Operatoren (berechne, begründe, zeige, beurteile).

    18
    Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,29 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 200 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 34,99 €, B 58,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,29x · c) ab 79 min

  7. Ich teile mir die Zeit in der Prüfung ein und lasse keine Aufgabe leer.

    19
    Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 15,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,3x · c) ab 40 min

  8. Ich übe eine vollständige Übungsprüfung unter Zeitbedingungen.

    20
    Handytarife. Tarif A: 12,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 24,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,1x + 12,99, y = 0,3x · c) ab 65 min

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier ist eine ganze Prüfungsaufgabe mit vier Teilen. Du hast 8 Minuten. Los.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Prüfungsstrategie: Zeit einteilen, Operatoren lesen, Skizze zuerst.

Wörter

Wahrscheinlichkeit
wie sicher etwas passiert

Lösungen

  1. ≈ 4,2 m³
  2. ≈ 78,5 m³
  3. ≈ 47,1 m²
  4. 9 Jugendliche
  5. 10 Jugendliche
  6. ≈ 21 %
  7. a) A 19,99 €, B 58,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 42 min
  8. a) 629,20 € · b) −3,2 % · c) 900,00 €
  9. a) 540 cm³ · ≈ 424,12 cm³ · b) 432 cm² · ≈ 339,29 cm² · c) Dose
  10. a) ≈ 5,7 m · b) ≈ 114 m², 1368 Ziegel
  11. a) 25 Arbeiten, Ø 3,64 · b) Median 4 · c) 28 %, ≈ 101°
  12. a) 2.251,02 € · b) 2.240,00 € · c) 7 Jahre
  13. a) A 12,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,3x · c) ab 40 min
  14. a) A 32,99 €, B 50,00 € · b) y = 0,1x + 12,99, y = 0,25x · c) ab 87 min
  15. ≈ 678,6 cm³
  16. a) A 15,99 €, B 30,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,25x · c) ab 50 min
  17. 12 Jugendliche
  18. a) A 34,99 €, B 58,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,29x · c) ab 79 min
  19. a) A 15,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,3x · c) ab 40 min
  20. a) A 24,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,1x + 12,99, y = 0,3x · c) ab 65 min