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Mathematik · Klasse 9 und 10 · Kapitel

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Prüfungsvorbereitung (MSA / BBR)

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier ist eine ganze Prüfungsaufgabe mit vier Teilen. Du hast 8 Minuten. Los.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten stecken nach 8 Minuten im ersten Teil, der am wenigsten Punkte bringt. Die Klasse merkt, dass Rechnen allein die Prüfung nicht besteht. Erst die Punkte je Teil lesen, dann die Skizze, dann mit dem Teil beginnen, der am meisten bringt. Strategie ist ein Werkzeug wie eine Formel.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Aufgabe erkennt man am Typ

Prüfungsaufgaben sind Verkleidungen bekannter Typen: Prozent, Fläche, Funktion. Wer den Typ erkennt, weiß den Weg – die Zahlen sind Nebensache. Der Prüfblick fragt zuerst: Welcher Typ ist das?

Eine Prüfungsaufgabe wird einem Typ zugeordnet: Prozent, Fläche oder Funktion – dann ist der Weg bekanntAufgabein VerkleidungProzentFlächeFunktionErst der Typ, dann der Weg

WeiterdenkenDenk nach

Welche drei Wörter in einer Prüfungsaufgabe verraten, dass sie Prozentrechnung ist – auch wenn das Wort Prozent nicht vorkommt?

1Ich löse Aufgaben zu Flächen und Körpern im Prüfungsformat.

EntdeckenFrage

Warum verliert man Punkte bei Aufgaben, die man eigentlich rechnen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Zwischenschritte oder Einheiten fehlen. In den Berliner Prüfungen wird der Weg bewertet – ein richtiges Ergebnis ohne Rechnung bekommt nicht die volle Punktzahl.

MerkenOperatoren

„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

BeispielKegel: Volumen und Mantel mit Pythagoras

Ein Trichter hat die Form eines Kegels: Radius 5 cm, Höhe 15 cm. Berechne das Volumen.
15 cm5 cm
Schritt für Schritt
  1. Grundfläche: G = π · 5² ≈ 78,5 cm²
  2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 78,5 · 15 ≈ 392,7 cm³
  3. Antwort: Etwa 392,7 cm³ passen hinein.
  1. Grundfläche: G = π · 5² ≈ 78,5 cm²
  2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 78,5 · 15 ≈ 392,7 cm³
  3. Antwort: Etwa 392,7 cm³ passen hinein.
Ergebnis:
≈ 392,7 cm³

AchtungDrittel bei Pyramide oder Kegel vergessen

So nicht
Kegel G = 30 cm², h = 5 cm → 150 cm³
So richtig
Kegel G = 30 cm², h = 5 cm → 150 : 3 = 50 cm³

Rechne Grundfläche mal Höhe. Teile dann durch 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Eine Eistüte hat die Form eines Kegels: Radius 4 cm, Höhe 11 cm. Berechne das Volumen.
    11 cm4 cm
    So fängst du an:
    Grundfläche: G = π · 4² ≈ 50,3 cm²
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche: G = π · 4² ≈ 50,3 cm²
    2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 50,3 · 11 ≈ 184,3 cm³
    3. Antwort: Etwa 184,3 cm³ passen hinein.
    Ergebnis:
    ≈ 184,3 cm³
  2. ●2
    Ein Trichter hat die Form eines Kegels: Radius 7 cm, Höhe 9 cm. Berechne das Volumen.
    9 cm7 cm
    Lösung zeigen
    1. Grundfläche: G = π · 7² ≈ 153,9 cm²
    2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 153,9 · 9 ≈ 461,8 cm³
    3. Antwort: Etwa 461,8 cm³ passen hinein.
    Ergebnis:
    ≈ 461,8 cm³
  3. ★3
    Ein Zeltdach hat die Form eines Kegels: Radius 6 m, Höhe 8 m. Berechne, wie viel Stoff man für das Dach braucht.
    8 m6 m
    Lösung zeigen
    1. Mantellinie mit Pythagoras: s² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
    2. s = √100 = 10 m
    3. Mantelfläche: M = π · r · s = π · 6 · 10 ≈ 188,5 m²
    4. Antwort: Man braucht etwa 188,5 m² Stoff.
    Ergebnis:
    ≈ 188,5 m²

2Ich löse Aufgaben zu Daten und Wahrscheinlichkeit im Prüfungsformat.

EntdeckenFrage

Woran merkst du beim Üben, ob du etwas kannst – oder es nur wiedererkennst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Daran, ob du es ohne Vorlage aufschreiben kannst. Wiedererkennen fühlt sich nach Können an und täuscht am häufigsten; deshalb zudecken und selbst rechnen.

MerkenOperatoren

„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt die tägliche Bildschirmzeit von 33 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 120 Minuten liegen.
0246810060120180240300MinutenAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Alle Säulen links von 120 zählen.
  2. 7 + 5 = 12
  3. Antwort: 12 Jugendliche.
  1. Alle Säulen links von 120 zählen.
  2. 7 + 5 = 12
  3. Antwort: 12 Jugendliche.
Ergebnis:
12 Jugendliche

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 23 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 30 Minuten liegen.
    024681001020304050MinutenAnzahl
    So fängst du an:
    Alle Säulen links von 30 zählen.
    Lösung zeigen
    1. Alle Säulen links von 30 zählen.
    2. 3 + 8 + 9 = 20
    3. Antwort: 20 Jugendliche.
    Ergebnis:
    20 Jugendliche
  2. ●5
    Das Histogramm zeigt die Körpergrößen von 23 Jugendlichen. Bestimme, wie viele bei mindestens 170 und unter 180 cm liegen.
    02468140150160170180190cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säule von 170 bis 180 cm suchen.
    2. Höhe an der Achse ablesen: 5
    3. Antwort: 5 Jugendliche.
    Ergebnis:
    5 Jugendliche
  3. ★6
    Das Histogramm zeigt die Körpergrößen von 22 Jugendlichen. Bestimme den Bereich, in dem der Median liegt.
    0246810140150160170180190cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. 22 Werte: Der Median ist der 11. und 12. Wert.
    2. Von links aufsummieren: 1, 10, 14, 20, 22
    3. Der Wert liegt in der Säule von 160 bis 170.
    4. Antwort: zwischen 160 und 170 cm.
    Ergebnis:
    zwischen 160 und 170 cm

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●7
    Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 60 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    1. a) A: 14,99 € + 60 · 0,1 € = 20,99 €; B: 60 · 0,3 € = 18,00 €
    2. b) A: y = 0,1x + 14,99; B: y = 0,3x
    3. c) Gleichsetzen: 0,1x + 14,99 = 0,3x → x = 14,99 : 0,2 ≈ 75
    4. Ab 75 Minuten ist A günstiger (ab dem Schnittpunkt liegt die Gerade von A unter B)
    Ergebnis:
    a) A 20,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 75 min
  2. ●8
    Ein E-Bike. Ein Fahrrad kostet 480,00 €. Der Preis wird zuerst um 20 % erhöht, dann um 12 % gesenkt.
    a) Berechne den Preis nach beiden Änderungen.
    b) Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt verändert? Begründe, warum es nicht 8 % sind.
    c) Ein anderes Modell kostet nach 25 % Rabatt 540,00 €. Berechne den ursprünglichen Preis.
    Lösung zeigen
    1. a) 480,00 € · 1,2 = 576,00 €; 576,00 € · 0,88 = 506,88 €
    2. b) 506,88 € : 480,00 € = 1,056 → 5,6 % Veränderung
    3. Grund: Die Senkung bezieht sich auf den schon erhöhten Preis (anderer Grundwert)
    4. c) 540,00 € entsprechen 75 %: 540,00 € : 0,75 = 720,00 €
    Ergebnis:
    a) 506,88 € · b) 5,6 % · c) 720,00 €
  3. ●9
    Verpackungen. Ein Saft wird in einer quaderförmigen Packung (8 cm × 6 cm × 20 cm) und in einer Dose (Radius 4 cm, Höhe 20 cm) angeboten.
    a) Berechne das Volumen beider Verpackungen in cm³ und in Litern.
    b) Berechne, wie viel cm² Material für jede Verpackung nötig sind (ohne Klebefalz).
    c) Welche Verpackung braucht pro Liter Inhalt weniger Material? Begründe mit einer Rechnung.
    8 cm20 cm6 cm
    Lösung zeigen
    1. a) Quader: 8 · 6 · 20 = 960 cm³ = 0,96 l; Dose: π · 4² · 20 ≈ 1005,31 cm³ = 1,005 l
    2. b) Quader O = 2(8·6 + 8·20 + 6·20) = 656 cm²; Dose O = 2π·4² + 2π·4·20 ≈ 603,19 cm²
    3. c) Material pro Liter: Quader 683,33 cm²/l, Dose 600 cm²/l → Dose ist sparsamer
    Ergebnis:
    a) 960 cm³ · ≈ 1005,31 cm³ · b) 656 cm² · ≈ 603,19 cm² · c) Dose
  4. ●10
    Ein Satteldach. Das Haus ist 12 m breit und 10 m lang, der Dachfirst liegt 3,5 m über der Traufe (Querschnitt: gleichschenkliges Dreieck).
    a) Berechne die Länge eines Sparrens (von der Traufe bis zum First).
    b) Berechne die gesamte Dachfläche. Für 1 m² braucht man 12 Dachziegel – wie viele Ziegel sind nötig?
    Lösung zeigen
    1. a) Rechtwinkliges Dreieck: halbe Breite 6 m und Höhe 3,5 m → s = √6² + 3,5² = √48,25 ≈ 6,95 m
    2. b) Fläche = 2 · 6,95 · 10 ≈ 139 m²; Ziegel: 139 · 12 ≈ 1668
    Ergebnis:
    a) ≈ 6,95 m · b) ≈ 139 m², 1668 Ziegel
  5. ●11
    Ergebnisse einer Klassenarbeit.
    Note123456gesamt
    Anzahl33253218

    a) Wie viele Arbeiten wurden geschrieben? Berechne den Notendurchschnitt (auf zwei Nachkommastellen).
    b) Bestimme den Median. Erkläre, was der Median hier aussagt.
    c) Wie viel Prozent der Arbeiten sind „gut“ oder besser (Note 1 oder 2)? Welchen Winkel hätte dieser Anteil im Kreisdiagramm?
    313223543526
    Lösung zeigen
    1. a) N = 3 + 3 + 2 + 5 + 3 + 2 = 18; Summe der Noten 62; Durchschnitt 62 : 18 ≈ 3,44
    2. b) Sortieren, mittlerer Wert: Median = 4 – die Hälfte der Klasse hat diese Note oder besser
    3. c) 6 von 18: 6 : 18 = 33,3 %; Winkel: 618 · 360° ≈ 120°
    Ergebnis:
    a) 18 Arbeiten, Ø 3,44 · b) Median 4 · c) 33,3 %, ≈ 120°
  6. ●12
    Sparplan. 2.000,00 € werden zu 3 % Zinsen pro Jahr angelegt. Die Zinsen bleiben auf dem Konto.
    a) Berechne das Guthaben nach 5 Jahren.
    b) Wie viel wäre es mit einfacher Verzinsung (Zinsen werden jedes Jahr ausgezahlt)? Erkläre den Unterschied.
    c) Nach wie vielen Jahren sind mindestens 2.400,00 € auf dem Konto? Probiere systematisch oder rechne.
    Lösung zeigen
    1. a) K · qⁿ = 2.000,00 € · 1,035 = 2.318,55 €
    2. b) einfach: 2.000,00 € · (1 + 5 · 0,03) = 2.300,00 €
    3. Unterschied: 18,55 € – beim Zinseszins werden auch die Zinsen verzinst
    4. c) 2.000,00 € · 1,03ⁿ ≥ 2.400,00 € → n = 7 Jahre
    Ergebnis:
    a) 2.318,55 € · b) 2.300,00 € · c) 7 Jahre

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Operatoren
„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

AchtungAntwortsatz fehlt

So nicht
1240 : 4 = 310
So richtig
1240 : 4 = 310
Antwort: Jede Gruppe bekommt 310 €.

Sachaufgaben brauchen einen Antwortsatz mit Einheit.

AchtungEinheit vergessen

So nicht
3 · 15 = 45
Der Tank fasst 45.
So richtig
3 · 15 l = 45 l
Der Tank fasst 45 Liter.

Ergebnis ohne Einheit kostet in der Prüfung Punkte.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich verschaffe mir einen Überblick über Aufbau und Ablauf der Prüfung.

    13
    Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 200 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 34,99 €, B 50,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 100 min

  2. Ich löse Aufgaben zu Prozent und Zinsen im Prüfungsformat.

    14
    Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 60 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 12,99 €, B 15,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,25x · c) ab 50 min

  3. Ich löse Aufgaben zu Flächen und Körpern im Prüfungsformat.

    15
    Ein Trichter hat die Form eines Kegels: Radius 9 cm, Höhe 12 cm. Berechne das Volumen.
    12 cm9 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 1017,9 cm³

  4. Ich löse Aufgaben zu Funktionen und Gleichungen im Prüfungsformat.

    16
    Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 60 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 17,99 €, B 15,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 75 min

  5. Ich löse Aufgaben zu Daten und Wahrscheinlichkeit im Prüfungsformat.

    17
    Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 28 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 30 Minuten liegen.
    0246801020304050MinutenAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19 Jugendliche

  6. Ich arbeite mit den Operatoren (berechne, begründe, zeige, beurteile).

    18
    Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,29 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 21,99 €, B 34,80 € · b) y = 0,1x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 53 min

  7. Ich teile mir die Zeit in der Prüfung ein und lasse keine Aufgabe leer.

    19
    Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 60 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 17,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 60 min

  8. Ich übe eine vollständige Übungsprüfung unter Zeitbedingungen.

    20
    Handytarife. Tarif A: 9,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,29 € pro Minute.
    a) Berechne die Kosten beider Tarife für 200 Minuten im Monat.
    b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
    c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) A 29,99 €, B 58,00 € · b) y = 0,1x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 53 min

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier ist eine ganze Prüfungsaufgabe mit vier Teilen. Du hast 8 Minuten. Los.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Prüfungsstrategie: Zeit einteilen, Operatoren lesen, Skizze zuerst.

Wörter

Wahrscheinlichkeit
wie sicher etwas passiert

Lösungen

  1. ≈ 184,3 cm³
  2. ≈ 461,8 cm³
  3. ≈ 188,5 m²
  4. 20 Jugendliche
  5. 5 Jugendliche
  6. zwischen 160 und 170 cm
  7. a) A 20,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 75 min
  8. a) 506,88 € · b) 5,6 % · c) 720,00 €
  9. a) 960 cm³ · ≈ 1005,31 cm³ · b) 656 cm² · ≈ 603,19 cm² · c) Dose
  10. a) ≈ 6,95 m · b) ≈ 139 m², 1668 Ziegel
  11. a) 18 Arbeiten, Ø 3,44 · b) Median 4 · c) 33,3 %, ≈ 120°
  12. a) 2.318,55 € · b) 2.300,00 € · c) 7 Jahre
  13. a) A 34,99 €, B 50,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 100 min
  14. a) A 12,99 €, B 15,00 € · b) y = 0,05x + 9,99, y = 0,25x · c) ab 50 min
  15. ≈ 1017,9 cm³
  16. a) A 17,99 €, B 15,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 75 min
  17. 19 Jugendliche
  18. a) A 21,99 €, B 34,80 € · b) y = 0,1x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 53 min
  19. a) A 17,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 60 min
  20. a) A 29,99 €, B 58,00 € · b) y = 0,1x + 9,99, y = 0,29x · c) ab 53 min