Mathematik · Klasse 9 und 10 · Kapitel

Prüfungsvorbereitung (MSA / BBR)

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier ist eine ganze Prüfungsaufgabe mit vier Teilen. Du hast 8 Minuten. Los.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten stecken nach 8 Minuten im ersten Teil, der am wenigsten Punkte bringt. Die Klasse merkt, dass Rechnen allein die Prüfung nicht besteht. Erst die Punkte je Teil lesen, dann die Skizze, dann mit dem Teil beginnen, der am meisten bringt. Strategie ist ein Werkzeug wie eine Formel.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Aufgabe erkennt man am Typ

Prüfungsaufgaben sind Verkleidungen bekannter Typen: Prozent, Fläche, Funktion. Wer den Typ erkennt, weiß den Weg – die Zahlen sind Nebensache. Der Prüfblick fragt zuerst: Welcher Typ ist das?

WeiterdenkenDenk nach

Welche drei Wörter in einer Prüfungsaufgabe verraten, dass sie Prozentrechnung ist – auch wenn das Wort Prozent nicht vorkommt?

1Ich löse Aufgaben zu Flächen und Körpern im Prüfungsformat.

EntdeckenFrage

Warum verliert man Punkte bei Aufgaben, die man eigentlich rechnen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Zwischenschritte oder Einheiten fehlen. In den Berliner Prüfungen wird der Weg bewertet – ein richtiges Ergebnis ohne Rechnung bekommt nicht die volle Punktzahl.

MerkenOperatoren

„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

BeispielKegel: Volumen und Mantel mit Pythagoras

Ein Kegeldach hat die Form eines Kegels: Radius 5 m, Höhe 5 m. Berechne das Volumen.

Schritt für Schritt

Grundfläche: G = π · 5² ≈ 78,5 m²
Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 78,5 · 5 ≈ 130,9 m³
Antwort: Etwa 130,9 m³ Luft sind darunter.

Grundfläche: G = π · 5² ≈ 78,5 m²
Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 78,5 · 5 ≈ 130,9 m³
Antwort: Etwa 130,9 m³ Luft sind darunter.

Ergebnis:

≈ 130,9 m³

ÜbenJetzt du

○1
Ein Kegeldach hat die Form eines Kegels: Radius 4 m, Höhe 4 m. Berechne das Volumen.
So fängst du an:
Grundfläche: G = π · 4² ≈ 50,3 m²
Lösung zeigen
1. Grundfläche: G = π · 4² ≈ 50,3 m²
2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 50,3 · 4 ≈ 67 m³
3. Antwort: Etwa 67 m³ Luft sind darunter.
Ergebnis:
≈ 67 m³
●2
Ein Trichter hat die Form eines Kegels: Radius 7 cm, Höhe 8 cm. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
1. Grundfläche: G = π · 7² ≈ 153,9 cm²
2. Volumen: V = ⅓ · G · h ≈ ⅓ · 153,9 · 8 ≈ 410,5 cm³
3. Antwort: Etwa 410,5 cm³ passen hinein.
Ergebnis:
≈ 410,5 cm³
★3
Ein Zeltdach hat die Form eines Kegels: Radius 8 m, Höhe 15 m. Berechne, wie viel Stoff man für das Dach braucht.
Lösung zeigen
1. Mantellinie mit Pythagoras: s² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289
2. s = √289 = 17 m
3. Mantelfläche: M = π · r · s = π · 8 · 17 ≈ 427,3 m²
4. Antwort: Man braucht etwa 427,3 m² Stoff.
Ergebnis:
≈ 427,3 m²

2Ich löse Aufgaben zu Daten und Wahrscheinlichkeit im Prüfungsformat.

EntdeckenFrage

Woran merkst du beim Üben, ob du etwas kannst – oder es nur wiedererkennst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Daran, ob du es ohne Vorlage aufschreiben kannst. Wiedererkennen fühlt sich nach Können an und täuscht am häufigsten; deshalb zudecken und selbst rechnen.

MerkenOperatoren

„Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 25 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 30 Minuten liegen.

Schritt für Schritt

Alle Säulen links von 30 zählen.
2 + 9 + 5 = 16
Antwort: 16 Jugendliche.

Alle Säulen links von 30 zählen.
2 + 9 + 5 = 16
Antwort: 16 Jugendliche.

Ergebnis:

16 Jugendliche

ÜbenJetzt du

○4
Das Histogramm zeigt die Körpergrößen von 15 Jugendlichen. Bestimme, wie viele bei mindestens 150 und unter 160 cm liegen.
So fängst du an:
Säule von 150 bis 160 cm suchen.
Lösung zeigen
1. Säule von 150 bis 160 cm suchen.
2. Höhe an der Achse ablesen: 5
3. Antwort: 5 Jugendliche.
Ergebnis:
5 Jugendliche
●5
Das Histogramm zeigt die tägliche Bildschirmzeit von 31 Jugendlichen. Bestimme, wie viele unter 120 Minuten liegen.
Lösung zeigen
1. Alle Säulen links von 120 zählen.
2. 7 + 5 = 12
3. Antwort: 12 Jugendliche.
Ergebnis:
12 Jugendliche
★6
Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 20 Jugendlichen. Bestimme den Bereich, in dem der Median liegt.
Lösung zeigen
1. 20 Werte: Der Median ist der 10. und 11. Wert.
2. Von links aufsummieren: 2, 3, 5, 12, 20
3. Der Wert liegt in der Säule von 30 bis 40.
4. Antwort: zwischen 30 und 40 Minuten.
Ergebnis:
zwischen 30 und 40 Minuten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●7
Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 60 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
1. a) A: 14,99 € + 60 · 0,1 € = 20,99 €; B: 60 · 0,25 € = 15,00 €
2. b) A: y = 0,1x + 14,99; B: y = 0,25x
3. c) Gleichsetzen: 0,1x + 14,99 = 0,25x → x = 14,99 : 0,15 ≈ 99,9
4. Ab 100 Minuten ist A günstiger (ab dem Schnittpunkt liegt die Gerade von A unter B)
Ergebnis:
a) A 20,99 €, B 15,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 100 min
●8
Ein E-Bike. Ein Fahrrad kostet 480,00 €. Der Preis wird zuerst um 10 % erhöht, dann um 12 % gesenkt.
a) Berechne den Preis nach beiden Änderungen.
b) Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt verändert? Begründe, warum es nicht −2 % sind.
c) Ein anderes Modell kostet nach 30 % Rabatt 999,00 €. Berechne den ursprünglichen Preis.
Lösung zeigen
1. a) 480,00 € · 1,1 = 528,00 €; 528,00 € · 0,88 = 464,64 €
2. b) 464,64 € : 480,00 € = 0,968 → −3,2 % Veränderung
3. Grund: Die Senkung bezieht sich auf den schon erhöhten Preis (anderer Grundwert)
4. c) 999,00 € entsprechen 70 %: 999,00 € : 0,7 = 1.427,14 €
Ergebnis:
a) 464,64 € · b) −3,2 % · c) 1.427,14 €
●9
Verpackungen. Ein Saft wird in einer quaderförmigen Packung (6 cm × 8 cm × 12 cm) und in einer Dose (Radius 5 cm, Höhe 12 cm) angeboten.
a) Berechne das Volumen beider Verpackungen in cm³ und in Litern.
b) Berechne, wie viel cm² Material für jede Verpackung nötig sind (ohne Klebefalz).
c) Welche Verpackung braucht pro Liter Inhalt weniger Material? Begründe mit einer Rechnung.
Lösung zeigen
1. a) Quader: 6 · 8 · 12 = 576 cm³ = 0,576 l; Dose: π · 5² · 12 ≈ 942,48 cm³ = 0,942 l
2. b) Quader O = 2(6·8 + 6·12 + 8·12) = 432 cm²; Dose O = 2π·5² + 2π·5·12 ≈ 534,07 cm²
3. c) Material pro Liter: Quader 750 cm²/l, Dose 566,66 cm²/l → Dose ist sparsamer
Ergebnis:
a) 576 cm³ · ≈ 942,48 cm³ · b) 432 cm² · ≈ 534,07 cm² · c) Dose
●10
Ein Satteldach. Das Haus ist 8 m breit und 12 m lang, der Dachfirst liegt 3 m über der Traufe (Querschnitt: gleichschenkliges Dreieck).
a) Berechne die Länge eines Sparrens (von der Traufe bis zum First).
b) Berechne die gesamte Dachfläche. Für 1 m² braucht man 12 Dachziegel – wie viele Ziegel sind nötig?
Lösung zeigen
1. a) Rechtwinkliges Dreieck: halbe Breite 4 m und Höhe 3 m → s = √4² + 3² = √25 ≈ 5 m
2. b) Fläche = 2 · 5 · 12 ≈ 120 m²; Ziegel: 120 · 12 ≈ 1440
Ergebnis:
a) ≈ 5 m · b) ≈ 120 m², 1440 Ziegel
●11
Ergebnisse einer Klassenarbeit.
Note 1 2 3 4 5 6 gesamt
Anzahl 1 2 3 7 4 0 17

a) Wie viele Arbeiten wurden geschrieben? Berechne den Notendurchschnitt (auf zwei Nachkommastellen).
b) Bestimme den Median. Erkläre, was der Median hier aussagt.
c) Wie viel Prozent der Arbeiten sind „gut“ oder besser (Note 1 oder 2)? Welchen Winkel hätte dieser Anteil im Kreisdiagramm?
Lösung zeigen
1. a) N = 1 + 2 + 3 + 7 + 4 + 0 = 17; Summe der Noten 62; Durchschnitt 62 : 17 ≈ 3,65
2. b) Sortieren, mittlerer Wert: Median = 4 – die Hälfte der Klasse hat diese Note oder besser
3. c) 3 von 17: 3 : 17 = 17,6 %; Winkel: 317 · 360° ≈ 64°
Ergebnis:
a) 17 Arbeiten, Ø 3,65 · b) Median 4 · c) 17,6 %, ≈ 64°
●12
Sparplan. 5.000,00 € werden zu 3 % Zinsen pro Jahr angelegt. Die Zinsen bleiben auf dem Konto.
a) Berechne das Guthaben nach 5 Jahren.
b) Wie viel wäre es mit einfacher Verzinsung (Zinsen werden jedes Jahr ausgezahlt)? Erkläre den Unterschied.
c) Nach wie vielen Jahren sind mindestens 6.000,00 € auf dem Konto? Probiere systematisch oder rechne.
Lösung zeigen
1. a) K · qⁿ = 5.000,00 € · 1,03⁵ = 5.796,37 €
2. b) einfach: 5.000,00 € · (1 + 5 · 0,03) = 5.750,00 €
3. Unterschied: 46,37 € – beim Zinseszins werden auch die Zinsen verzinst
4. c) 5.000,00 € · 1,03ⁿ ≥ 6.000,00 € → n = 7 Jahre
Ergebnis:
a) 5.796,37 € · b) 5.750,00 € · c) 7 Jahre

Note	1	2	3	4	5	6	gesamt
Anzahl	1	2	3	7	4	0	17

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Operatoren: „Berechne“ verlangt einen Rechenweg, „Begründe“ einen Satz mit Weil, „Zeige“ eine vollständige Rechnung.

AchtungAntwortsatz fehlt

So nicht

1240 : 4 = 310

So richtig

1240 : 4 = 310
Antwort: Jede Gruppe bekommt 310 €.

Sachaufgaben brauchen einen Antwortsatz mit Einheit.

AchtungEinheit vergessen

So nicht

3 · 15 = 45
Der Tank fasst 45.

So richtig

3 · 15 l = 45 l
Der Tank fasst 45 Liter.

Ergebnis ohne Einheit kostet in der Prüfung Punkte.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich verschaffe mir einen Überblick über Aufbau und Ablauf der Prüfung.
13
Handytarife. Tarif A: 12,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,29 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 24,99 €, B 34,80 € · b) y = 0,1x + 12,99, y = 0,29x · c) ab 69 min
Ich löse Aufgaben zu Prozent und Zinsen im Prüfungsformat.
14
Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 60 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 20,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 75 min
Ich löse Aufgaben zu Flächen und Körpern im Prüfungsformat.
15
Eine Eistüte hat die Form eines Kegels: Radius 2 cm, Höhe 9 cm. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 37,7 cm³
Ich löse Aufgaben zu Funktionen und Gleichungen im Prüfungsformat.
16
Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 20,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 60 min
Ich löse Aufgaben zu Daten und Wahrscheinlichkeit im Prüfungsformat.
17
Das Histogramm zeigt die Länge des Schulwegs von 29 Jugendlichen. Bestimme, wie viele bei mindestens 10 und unter 20 Minuten liegen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Jugendliche
Ich arbeite mit den Operatoren (berechne, begründe, zeige, beurteile).
18
Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,1 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,3 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 26,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 75 min
Ich teile mir die Zeit in der Prüfung ein und lasse keine Aufgabe leer.
19
Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 120 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 20,99 €, B 30,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 75 min
Ich übe eine vollständige Übungsprüfung unter Zeitbedingungen.
20
Handytarife. Tarif A: 14,99 € Grundgebühr, dazu 0,05 € pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, 0,25 € pro Minute.
a) Berechne die Kosten beider Tarife für 60 Minuten im Monat.
b) Stelle für beide Tarife eine Gleichung der Form y = m · x + n auf.
c) Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger? Berechne und begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
a) A 17,99 €, B 15,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 75 min

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier ist eine ganze Prüfungsaufgabe mit vier Teilen. Du hast 8 Minuten. Los.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Prüfungsstrategie: Zeit einteilen, Operatoren lesen, Skizze zuerst.

Wörter

Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert

Lösungen

≈ 67 m³
≈ 410,5 cm³
≈ 427,3 m²
5 Jugendliche
12 Jugendliche
zwischen 30 und 40 Minuten
a) A 20,99 €, B 15,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 100 min
a) 464,64 € · b) −3,2 % · c) 1.427,14 €
a) 576 cm³ · ≈ 942,48 cm³ · b) 432 cm² · ≈ 534,07 cm² · c) Dose
a) ≈ 5 m · b) ≈ 120 m², 1440 Ziegel
a) 17 Arbeiten, Ø 3,65 · b) Median 4 · c) 17,6 %, ≈ 64°
a) 5.796,37 € · b) 5.750,00 € · c) 7 Jahre
a) A 24,99 €, B 34,80 € · b) y = 0,1x + 12,99, y = 0,29x · c) ab 69 min
a) A 20,99 €, B 18,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 75 min
≈ 37,7 cm³
a) A 20,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 60 min
4 Jugendliche
a) A 26,99 €, B 36,00 € · b) y = 0,1x + 14,99, y = 0,3x · c) ab 75 min
a) A 20,99 €, B 30,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 75 min
a) A 17,99 €, B 15,00 € · b) y = 0,05x + 14,99, y = 0,25x · c) ab 75 min