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Mathematik · Klasse 3 · Kapitel

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Muster, Zahlenfolgen und Platzhalter

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Figur 1 hat 4 Plättchen, Figur 2 hat 7, Figur 3 hat 10. Wie viele Plättchen hat Figur 50?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Kinder zeichnen oder zählen in Dreierschritten weiter. Nach Figur 12 verzählen sich die ersten, und Figur 50 erreicht fast niemand. Wir schauen nicht auf die Zeichnung, sondern auf die Regel: 1 Plättchen am Anfang, je Figur 3 dazu. Figur 50 hat also 1 + 50 · 3 = 151 Plättchen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Plus und minus gehören zusammen: Aus einer Plusaufgabe entstehen zwei Minusaufgaben.

  1. ●39
    2 + 4 = 6. Schreibe die Tauschaufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 + 2 = 6
  2. ●40
    Rechenkette: Start 24 + 23 − 9 = ___
    24+ 23− 9?
    Lösung zeigen
    1. + 23 → 47
    2. − 9 → 38
    Ergebnis:
    38

ÜbenWeißt du das noch?

Mal und geteilt gehören zusammen: 3 · 4 = 12, also 12 : 4 = 3.

  1. ●41
    6 : 2 = ___
    ? in jeder Reihe2 Reihen6 Punkte gesamt
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2 · ___ = 6
    2. 2 · 3 = 6, also 6 : 2 = 3
    Ergebnis:
    3
  2. ●42
    70 : 10 = ___
    ? in jeder Reihe10 Reihen70 Punkte gesamt
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 10 · ___ = 70
    2. 10 · 7 = 70, also 70 : 10 = 7
    Ergebnis:
    7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMuster haben Regeln, „=“ heißt gleich viel

Ein Muster ist nicht zufällig: Es gibt eine Regel, die für jede Stelle gilt. Wer die Regel kennt, kann weit vorausspringen, ohne alles zu zeichnen. Und „=“ heißt nicht „jetzt kommt das Ergebnis“, sondern „beide Seiten sind gleich viel“ – deshalb darf das Kästchen auch links stehen.

Eine Waage im Gleichgewicht: 9 plus 14 ist gleich viel wie 10 plus Kästchen, das Kästchen ist 139 + 1410 + □beide Seiten gleich viel□ = 13, denn 9 + 14 = 23 und 10 + 13 = 23

WeiterdenkenDenk nach

Stimmt 9 + 14 = 10 + 13 – und woran siehst du es, ohne beide Seiten auszurechnen?

1Ich setze Zahlenfolgen fort und beschreibe die Regel.

EntdeckenFrage

Kaninchen bekommen jeden Monat ein junges Paar, junge Paare ab dem zweiten Monat auch. Wie viele Paare sind es nach einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Leonardo von Pisa rechnete es 1202 vor und kam auf 377 Paare. In seiner Liste ist jede Zahl die Summe der zwei davor. Sie beginnt so: 1, 2, 3, 5, 8, 13.

EntdeckenSchritte legen

Das brauchst du: Zahlenkarten und Wendeplättchen

Leg die Zahlenkarten in eine Reihe. Leg zwischen zwei Karten so viele Plättchen, wie der Schritt ist.

Mach die Augen zu. Wie viele Plättchen liegen vor der nächsten Karte?

MerkenZahlenfolge

Eine Zahlenfolge hat eine Regel.

Prüfe den Schritt zwischen allen Nachbarn, nicht nur zwischen zwei. Mal bleibt der Schritt gleich, mal wächst er, mal wird verdoppelt.

BeispielZahlenfolgen fortsetzen

Setze die Zahlenfolge fort: 30, 38, 46, 54, ?
30384654?
Schritt für Schritt
  1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 8.
  2. 54 + 8 = 62
  1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 8.
  2. 54 + 8 = 62
Ergebnis:
62

AchtungRegel nur an zwei Zahlen geprüft

So nicht
3, 5, 8, 12, ? → 16 (immer plus 4)
So richtig
3, 5, 8, 12, ? → Schritte 2, 3, 4, also plus 5: 17

Den Schritt zwischen ALLEN Nachbarn aufschreiben lassen – erst dann fortsetzen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Setze die Zahlenfolge fort: 4, 7, 10, 13, ?
    471013?
    So fängst du an:
    Von Zahl zu Zahl: immer plus 3.
    Lösung zeigen
    1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 3.
    2. 13 + 3 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●2
    Setze die Zahlenfolge fort: 17, 27, 37, 47, ?
    17273747?
    Lösung zeigen
    1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 10.
    2. 47 + 10 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★3
    Setze die Zahlenfolge fort: 3, 6, 12, 24, ? Schau genau: Wie kommt man von einer Zahl zur nächsten?
    361224?
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl ist das Doppelte der Zahl davor: mal 2.
    2. 24 · 2 = 48
    Ergebnis:
    48

2Ich setze schöne Päckchen fort und finde Fehler mit dem Muster.

EntdeckenFrage

Warum ergibt 11 · 13 genau eins weniger als 12 · 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

12 · 12 = 144 und 11 · 13 = 143. Das Päckchen 10 · 10 = 100, 9 · 11 = 99, 8 · 12 = 96 zeigt das Muster: Beim ersten Schritt fehlt genau 1, beim nächsten 4, dann 9 – die Quadratzahlen.

EntdeckenWas sich ändert

Das brauchst du: Buntstifte und das Päckchen im Heft

Male in jeder Zeile die Zahl rot an, die sich ändert.

Mach die Augen zu. Was passiert mit dem Ergebnis in der nächsten Zeile?

MerkenSchönes Päckchen

Im schönen Päckchen ändert sich jede Zeile gleich.

Wächst eine Zahl um 1, wächst die Summe um 1. Wächst eine Zahl und schrumpft die andere, bleibt die Summe gleich.

BeispielSchöne Päckchen fortsetzen

Setze das Päckchen fort, das mit 27 + 39 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
27 + 39 = 6628 + 39 = 6729 + 39 = 6830 + 39 = ?
Schritt für Schritt
  1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite bleibt.
  2. Also wächst das Ergebnis um 1: 30 + 39 = 69
  1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite bleibt.
  2. Also wächst das Ergebnis um 1: 30 + 39 = 69
Ergebnis:
69

AchtungMuster im Päckchen nicht genutzt

So nicht
25 + 10 = 35, 26 + 10 = 35
So richtig
Erste Zahl plus 1, Ergebnis plus 1: 26 + 10 = 36

Mit Farbe markieren, welche Zahl sich ändert und welche bleibt; dann vorhersagen, erst danach rechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Setze das Päckchen fort, das mit 18 + 38 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
    18 + 38 = 5619 + 37 = 5620 + 36 = 5621 + 35 = ?
    So fängst du an:
    Die erste Zahl wächst um 1, die zweite schrumpft um 1.
    Lösung zeigen
    1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite schrumpft um 1.
    2. Das Ergebnis bleibt gleich: 21 + 35 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●5
    Setze das Päckchen fort, das mit 19 + 40 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
    19 + 40 = 5920 + 39 = 5921 + 38 = 5922 + 37 = ?
    Lösung zeigen
    1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite schrumpft um 1.
    2. Das Ergebnis bleibt gleich: 22 + 37 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★6
    Setze das Päckchen fort, das mit 5 · 16 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe? Erkläre, warum es so weitergeht.
    5 · 16 = 805 · 17 = 855 · 18 = 905 · 19 = ?
    Lösung zeigen
    1. Die zweite Zahl wächst jedes Mal um 1.
    2. 5 mal eins mehr ist 5 mehr: Das Ergebnis wächst um 5.
    3. 5 · 19 = 95
    Ergebnis:
    95

3Ich sage voraus, wie sich eine Zahlenmauer verändert.

EntdeckenFrage

Was hat eine Zahlenmauer mit dem Zahlendreieck von Blaise Pascal zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Deckstein ist die Summe der Grundsteine, aber sie zählen verschieden oft. Bei drei Grundsteinen zählen sie 1-, 2- und 1-mal, bei vier Grundsteinen 1-, 3-, 3- und 1-mal. Genau diese Zahlen stehen in Pascals Zahlendreieck.

EntdeckenDer mittlere Stein wandert

Das brauchst du: Wendeplättchen und eine gezeichnete Zahlenmauer

Leg auf den mittleren Grundstein 3 Plättchen dazu. Schieb sie in die Steine darüber.

Mach die Augen zu. Wie viele Plättchen kommen oben im Deckstein an?

MerkenZahlenmauer

Jeder Stein ist die Summe der zwei Steine darunter.

Der mittlere Grundstein zählt für den Deckstein doppelt, ein Randstein nur einmal.

BeispielZahlenmauern verändern

Zahlenmauer mit den Grundsteinen 38, 30 und 7. Der linke Grundstein wird um 3 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
105683738307
Schritt für Schritt
  1. Oben stand 38 + 30 + 30 + 7 = 105
  2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
  3. Der Deckstein wird um 3 erhöht.
  1. Oben stand 38 + 30 + 30 + 7 = 105
  2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
  3. Der Deckstein wird um 3 erhöht.
Ergebnis:
3

AchtungMittlerer Grundstein einmal gezählt

So nicht
Mittlerer Grundstein plus 3 → Deckstein plus 3
So richtig
Mittlerer Grundstein plus 3 → beide Steine darüber plus 3 → Deckstein plus 6

Mit Plättchen legen: Der mittlere Stein wandert in beide Steine darüber.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 21, 5 und 28. Der linke Grundstein wird um 6 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
    59263321528
    So fängst du an:
    Oben stand 21 + 5 + 5 + 28 = 59
    Lösung zeigen
    1. Oben stand 21 + 5 + 5 + 28 = 59
    2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
    3. Der Deckstein wird um 6 erhöht.
    Ergebnis:
    6
  2. ●8
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 11, 23 und 14. Der linke Grundstein wird um 2 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
    713437112314
    Lösung zeigen
    1. Oben stand 11 + 23 + 23 + 14 = 71
    2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
    3. Der Deckstein wird um 2 erhöht.
    Ergebnis:
    2
  3. ★9
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 28, 33 und 9. Der mittlere Grundstein wird um 2 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein? Begründe.
    103614228339
    Lösung zeigen
    1. Der mittlere Grundstein steckt in beiden Steinen darüber.
    2. Beide werden um 2 erhöht.
    3. Der Deckstein wird um 2 + 2 = 4 erhöht
    Ergebnis:
    4

4Ich setze Plättchenmuster fort und berechne eine späte Figur.

EntdeckenFrage

An einen Tisch passen vier Kinder. Wie viele Tische braucht eine lange Tafel für 30 Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

14. Stellt man Tische aneinander, sitzen an jedem Tisch zwei Kinder an den Seiten und dazu je eines an den beiden Enden: 14 · 2 + 2 = 30. Wer 30 : 4 rechnet, stellt zu wenige Tische hin.

EntdeckenAnfang und Zuwachs

Das brauchst du: Wendeplättchen in zwei Farben

Leg Figur 1, 2 und 3. Nimm für den Anfang gelbe Plättchen, für den Zuwachs blaue.

Mach die Augen zu. Wie sieht Figur 10 aus?

MerkenPlättchenmuster

Zähle, was am Anfang liegt und was je Figur dazukommt.

Figur 10 = Anfang + 10 mal das, was dazukommt. Verdoppeln stimmt fast nie.

BeispielPlättchenmuster fortsetzen

Figur 1 hat 6 Plättchen, Figur 2 hat 9, Figur 3 hat 12. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 6?
Figur 1Figur 2Figur 3
Schritt für Schritt
  1. Von Figur zu Figur kommen 3 Plättchen dazu.
  2. Am Anfang liegen immer 3 gelbe Plättchen.
  3. Figur 6: 3 + 6 · 3 = 21
  1. Von Figur zu Figur kommen 3 Plättchen dazu.
  2. Am Anfang liegen immer 3 gelbe Plättchen.
  3. Figur 6: 3 + 6 · 3 = 21
Ergebnis:
21

AchtungFigur verdoppelt statt fortgesetzt

So nicht
Figur 5 hat 11, also Figur 10 dann 22
So richtig
Figur 5 hat 11 = 1 + 5 · 2, also Figur 10: 1 + 10 · 2 = 21

Tabelle Figur – Anzahl anlegen, Anfang und Zuwachs farbig trennen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Figur 1 hat 7 Plättchen, Figur 2 hat 12, Figur 3 hat 17. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 4?
    Figur 1Figur 2Figur 3
    So fängst du an:
    Von Figur zu Figur kommen 5 Plättchen dazu.
    Lösung zeigen
    1. Von Figur zu Figur kommen 5 Plättchen dazu.
    2. Am Anfang liegen immer 2 gelbe Plättchen.
    3. Figur 4: 2 + 4 · 5 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●11
    Figur 1 hat 5 Plättchen, Figur 2 hat 8, Figur 3 hat 11. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 6?
    Figur 1Figur 2Figur 3
    Lösung zeigen
    1. Von Figur zu Figur kommen 3 Plättchen dazu.
    2. Am Anfang liegen immer 2 gelbe Plättchen.
    3. Figur 6: 2 + 6 · 3 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★12
    Figur 1 hat 6 Plättchen, Figur 2 hat 8, Figur 3 hat 10. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 6?
    Figur 1Figur 2Figur 3
    Lösung zeigen
    1. Von Figur zu Figur kommen 2 Plättchen dazu.
    2. Am Anfang liegen immer 4 gelbe Plättchen.
    3. Figur 6: 4 + 6 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

5Ich löse Platzhalteraufgaben mit der Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Wie schrieben Rechenmeister im alten Ägypten eine Zahl, die sie noch nicht kannten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie nannten sie „Haufen“. Im Papyrus Rhind, um 1550 vor Christus abgeschrieben, steht: Ein Haufen und sein Siebtel ergeben zusammen 19. Der Haufen war ihr Kästchen, und gelöst wurde durch Probieren und Zurückrechnen.

EntdeckenWas fehlt im Kästchen?

Das brauchst du: Wendeplättchen und ein umgedrehter Becher

Leg 60 Plättchen hin. Versteck einige unter dem Becher, 25 bleiben sichtbar.

Mach die Augen zu. Wie viele liegen unter dem Becher?

MerkenPlatzhalter

Das Kästchen steht für eine Zahl, die fehlt.

Die Umkehraufgabe findet sie: Bei □ + 25 = 60 rechnest du 60 − 25 = 35. Danach machst du die Probe.

BeispielPlatzhalteraufgaben mit plus und minus

Ergänze die Zahl im Kästchen. □ + 29 = 71
29+ ?71
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 71 − 29 = 42
  2. Probe: 42 + 29 = 71
  1. Umkehraufgabe: 71 − 29 = 42
  2. Probe: 42 + 29 = 71
Ergebnis:
42

AchtungUmkehraufgabe falsch gebildet

So nicht
□ + 25 = 60 → □ = 85
So richtig
□ + 25 = 60 → 60 − 25 = 35, Probe: 35 + 25 = 60

Aufgabenfamilie legen: Teil + Teil = Ganzes; das Ganze minus ein Teil gibt den anderen Teil.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Zahl im Kästchen. □ + 12 = 43
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 43 − 12 = 31
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 43 − 12 = 31
    2. Probe: 31 + 12 = 43
    Ergebnis:
    31
  2. ●14
    Ergänze die Zahl im Kästchen. 29 + □ = 43
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 43 − 29 = 14
    2. Probe: 29 + 14 = 43
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Ergänze die Zahl im Kästchen. 248 − □ = 220
    Lösung zeigen
    1. Von 248 bis 220 fehlt so viel, wie weggenommen wurde.
    2. 248 − 220 = 28
    3. Probe: 248 − 28 = 220
    Ergebnis:
    28

6Ich vergleiche Rechenausdrücke mit kleiner, größer und gleich.

EntdeckenFrage

Wer hat das Gleichheitszeichen erfunden – und warum besteht es aus zwei gleich langen Strichen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Robert Recorde, ein walisischer Arzt und Rechenmeister, im Jahr 1557. Er schrieb, nichts sei gleicher als zwei parallele Striche von gleicher Länge. Vorher schrieb man jedes Mal das Wort aus. Das Zeichen heißt: Links und rechts ist gleich viel.

EntdeckenDie Waage

Das brauchst du: Balkenwaage und Steckwürfel

Leg links 9 und 14 Würfel, rechts 10 und 13 Würfel.

Mach die Augen zu. Was passiert, wenn rechts ein Würfel fehlt?

MerkenKleiner, größer, gleich

Das Gleichheitszeichen heißt: gleich viel.

Die Spitze von < und > zeigt immer zur Zahl, die weniger ist. Oft siehst du es, ohne auszurechnen.

BeispielRechenausdrücke vergleichen

Setze <, > oder = ein: 42 + 19 ___ 62
Schritt für Schritt
  1. Erst rechnen: 42 + 19 = 61
  2. Die Spitze zeigt zu der Zahl, die weniger ist: 61
  1. Erst rechnen: 42 + 19 = 61
  2. Die Spitze zeigt zu der Zahl, die weniger ist: 61
Ergebnis:
42 + 19 < 62

AchtungGleichheitszeichen als „Ergebnis kommt“ gelesen

So nicht
9 + 14 = 10 + □ → □ = 23
So richtig
9 + 14 = 23, also 10 + 13 = 23 → □ = 13

Balkenwaage: Beide Seiten müssen gleich schwer sein, egal wo die Rechnung steht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Setze <, > oder = ein: 38 + 26 ___ 68
    So fängst du an:
    Erst rechnen: 38 + 26 = 64
    Lösung zeigen
    1. Erst rechnen: 38 + 26 = 64
    2. Die Spitze zeigt zu der Zahl, die weniger ist: 64
    Ergebnis:
    38 + 26 < 68
  2. ●17
    Setze <, > oder = ein: 23 + 18 ___ 38
    Lösung zeigen
    1. Erst rechnen: 23 + 18 = 41
    2. Die Spitze zeigt zu der Zahl, die weniger ist: 38
    Ergebnis:
    23 + 18 > 38
  3. ★18
    Setze <, > oder = ein. Versuch es erst ohne Ausrechnen. 396 + 324 ___ 389 + 331
    Lösung zeigen
    1. Rechts ist die erste Zahl um 7 weniger, die zweite um 7 mehr.
    2. 720 = 720
    Ergebnis:
    396 + 324 = 389 + 331

7Ich löse Zahlenrätsel mit Pfeilen und rechne rückwärts.

EntdeckenFrage

Wie fand Theseus aus dem Labyrinth des Minotaurus wieder heraus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ariadne gab ihm einen Faden, den er beim Hineingehen abwickelte. Zurück folgte er dem Faden rückwärts: jede Abbiegung umgekehrt, die letzte zuerst. Genauso rechnet man eine Pfeilkette zurück – aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

EntdeckenDen Weg zurückgehen

Das brauchst du: Pfeilkarten und Zahlenkarten

Leg die Pfeilkette. Dreh jede Pfeilkarte um und leg sie andersherum.

Mach die Augen zu. Geh die Kette vom Ende zum Anfang.

MerkenRückwärts rechnen

Beim Rückwärtsrechnen fängst du beim letzten Pfeil an.

Aus plus wird minus, aus mal wird geteilt. Die Probe rechnet wieder vorwärts.

BeispielZahlenrätsel rückwärts lösen

Ich denke mir eine Zahl. Ich rechne minus 34 und erhalte 30. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
?− 3430
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts wird aus minus ein plus.
  2. 30 + 34 = 64
  3. Probe: 64 − 34 = 30
  1. Rückwärts wird aus minus ein plus.
  2. 30 + 34 = 64
  3. Probe: 64 − 34 = 30
Ergebnis:
64

AchtungPfeil vorwärts statt rückwärts gerechnet

So nicht
Zahl plus 15 ergibt 42 → 42 + 15 = 57
So richtig
Rückwärts: 42 − 15 = 27, Probe: 27 + 15 = 42

Die Pfeilkette rückwärts neu zeichnen und die Zeichen umdrehen, bevor gerechnet wird.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ich denke mir eine Zahl. Ich rechne minus 30 und erhalte 34. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
    ?− 3034
    So fängst du an:
    Rückwärts wird aus minus ein plus.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts wird aus minus ein plus.
    2. 34 + 30 = 64
    3. Probe: 64 − 30 = 34
    Ergebnis:
    64
  2. ●20
    Ich denke mir eine Zahl. Ich rechne plus 19 und erhalte 83. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
    ?+ 1983
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts wird aus plus ein minus.
    2. 83 − 19 = 64
    3. Probe: 64 + 19 = 83
    Ergebnis:
    64
  3. ★21
    Ich denke mir eine Zahl. Ich nehme sie mal 6 und rechne dann plus 22. Ich erhalte 82. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
    ?· 6+ 2282
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, beim letzten Pfeil anfangen: 82 − 22 = 60
    2. Aus mal 6 wird geteilt durch 6: 60 : 6 = 10
    3. Probe: 10 · 6 + 22 = 82
    Ergebnis:
    10

8Ich fülle Tabellen „je mehr, desto mehr“ aus und entschlüssle Geheimschriften.

EntdeckenFrage

Wie kann man eine geheime Nachricht schreiben, die nur die Freundin lesen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man verschiebt jeden Buchstaben im Alphabet um dieselbe Zahl. Julius Caesar soll so Briefe verschlüsselt haben, mit einer Verschiebung um drei: aus A wird D.

EntdeckenHefte und Preise

Das brauchst du: Spielgeld und Hefte

Leg zu jedem Heft 2 Euro Spielgeld.

Mach die Augen zu. Wie viel Geld liegt bei 5 Heften?

MerkenJe mehr, desto mehr

Doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel.

In der Tabelle rechnest du zuerst den Preis für ein Stück. Auch eine Geheimschrift folgt einer Regel.

BeispielJe mehr, desto mehr: Tabellen

1 Heft kostet 2 €. Zwei kosten 4 €. Drei kosten 6 €. Rechne: Was kosten 8 Hefte?
AnzahlPreis in €1224368?
Schritt für Schritt
  1. Je mehr Hefte, desto mehr Euro: Jedes kostet 2 €.
  2. 8 · 2 € = 16 €
  1. Je mehr Hefte, desto mehr Euro: Jedes kostet 2 €.
  2. 8 · 2 € = 16 €
Ergebnis:
16 €

AchtungZuordnung additiv fortgesetzt

So nicht
3 Hefte 6 €, also 5 Hefte 8 €
So richtig
3 Hefte 6 €, also 1 Heft 2 € und 5 Hefte 5 · 2 € = 10 €

Erst den Wert für 1 Stück in die Tabelle, dann vervielfachen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    1 Kugel Eis kostet 2 €. Zwei kosten 4 €. Drei kosten 6 €. Rechne: Was kosten 8 Kugeln Eis?
    AnzahlPreis in €1224368?
    So fängst du an:
    Je mehr Kugeln Eis, desto mehr Euro: Jedes kostet 2 €.
    Lösung zeigen
    1. Je mehr Kugeln Eis, desto mehr Euro: Jedes kostet 2 €.
    2. 8 · 2 € = 16 €
    Ergebnis:
    16 €
  2. ●23
    1 Karte fürs Kino kostet 4 €. Zwei kosten 8 €. Drei kosten 12 €. Rechne: Was kosten 10 Karten fürs Kino?
    AnzahlPreis in €142831210?
    Lösung zeigen
    1. Je mehr Karten fürs Kino, desto mehr Euro: Jedes kostet 4 €.
    2. 10 · 4 € = 40 €
    Ergebnis:
    40 €
  3. ★24
    3 Kugeln Eis kosten 6 €. Wie viele Kugeln Eis bekommst du für 66 €? Rechne mit einer Tabelle.
    AnzahlPreis in €36612?66
    Lösung zeigen
    1. Erst 1 Stück: 6 € : 3 = 2 €
    2. 66 € : 2 € = 33
    Ergebnis:
    33

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Setze die Zahlenfolge fort: 22, 32, 42, 52, ?
    22324252?
    Lösung zeigen
    1. Von Zahl zu Zahl: immer plus 10.
    2. 52 + 10 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●26
    In der Zahlenfolge fehlt eine Zahl: 71, 61, ?, 41, 31. Ergänze die Zahl an der Stelle mit dem Fragezeichen.
    7161?4131
    Lösung zeigen
    1. Von Zahl zu Zahl: immer minus 10.
    2. 61 − 10 = 51
    3. Probe: 51 − 10 = 41
    Ergebnis:
    51
  3. ●27
    Setze das Päckchen fort, das mit 29 + 40 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
    29 + 40 = 6930 + 39 = 6931 + 38 = 6932 + 37 = ?
    Lösung zeigen
    1. Die erste Zahl wächst um 1, die zweite schrumpft um 1.
    2. Das Ergebnis bleibt gleich: 32 + 37 = 69
    Ergebnis:
    69
  4. ●28
    Päckchen ab 20 + 14: In einer Zeile ist das Ergebnis falsch. Prüfe: Welches Ergebnis ist richtig? Nutze das Muster.
    20 + 14 = 3421 + 14 = 3522 + 14 = 2623 + 14 = 37
    Lösung zeigen
    1. Die erste Zahl wächst um 1: Jedes Ergebnis ist eins mehr als davor.
    2. In Zeile 3 steht 26.
    3. Richtig ist 22 + 14 = 36
    Ergebnis:
    36
  5. ●29
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 14, 22 und 12. Der linke Grundstein wird um 4 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
    703634142212
    Lösung zeigen
    1. Oben stand 14 + 22 + 22 + 12 = 70
    2. Der linke Grundstein steckt nur in einem Stein darüber.
    3. Der Deckstein wird um 4 erhöht.
    Ergebnis:
    4
  6. ●30
    Zahlenmauer: unten 5, 15, 14. Rechne bis oben.
    ???51514
    Lösung zeigen
    1. 5 + 15 = 20, 15 + 14 = 29
    2. 20 + 29 = 49
    Ergebnis:
    oben 49

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge hat eine Regel.
Schönes Päckchen
Im schönen Päckchen ändert sich jede Zeile gleich.
Zahlenmauer
Jeder Stein ist die Summe der zwei Steine darunter.
Plättchenmuster
Zähle, was am Anfang liegt und was je Figur dazukommt.
Platzhalter
Das Kästchen steht für eine Zahl, die fehlt.
Kleiner, größer, gleich
Das Gleichheitszeichen heißt: gleich viel.
Rückwärts rechnen
Beim Rückwärtsrechnen fängst du beim letzten Pfeil an.
Je mehr, desto mehr
Doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich setze Zahlenfolgen fort und beschreibe die Regel.

    31
    Setze die Zahlenfolge fort: 33, 38, 43, 48, ?
    33384348?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

  2. Ich setze schöne Päckchen fort und finde Fehler mit dem Muster.

    32
    Setze das Päckchen fort, das mit 17 + 30 beginnt. Welches Ergebnis hat die nächste Aufgabe?
    17 + 30 = 4718 + 29 = 4719 + 28 = 4720 + 27 = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  3. Ich sage voraus, wie sich eine Zahlenmauer verändert.

    33
    Zahlenmauer mit den Grundsteinen 39, 16 und 31. Der linke Grundstein wird um 2 erhöht. Bestimme: Um wie viel ändert sich der Deckstein?
    1025547391631
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2

  4. Ich setze Plättchenmuster fort und berechne eine späte Figur.

    34
    Figur 1 hat 4 Plättchen, Figur 2 hat 6, Figur 3 hat 8. Setze das Muster fort: Wie viele Plättchen hat Figur 6?
    Figur 1Figur 2Figur 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  5. Ich löse Platzhalteraufgaben mit der Umkehraufgabe.

    35
    Ergänze die Zahl im Kästchen. □ + 36 = 90
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  6. Ich vergleiche Rechenausdrücke mit kleiner, größer und gleich.

    36
    Setze <, > oder = ein: 36 + 38 ___ 75
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 + 38 < 75

  7. Ich löse Zahlenrätsel mit Pfeilen und rechne rückwärts.

    37
    Ich denke mir eine Zahl. Ich rechne minus 34 und erhalte 3. Rechne rückwärts: Welche Zahl habe ich mir gedacht?
    ?− 343
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

  8. Ich fülle Tabellen „je mehr, desto mehr“ aus und entschlüssle Geheimschriften.

    38
    1 Kugel Eis kostet 2 €. Zwei kosten 4 €. Drei kosten 6 €. Rechne: Was kosten 5 Kugeln Eis?
    AnzahlPreis in €1224365?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Figur 1 hat 4 Plättchen, Figur 2 hat 7, Figur 3 hat 10. Wie viele Plättchen hat Figur 50?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Regel der Folge: Anfang und Zuwachs statt Weiterzählen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preistabellen im Laden, Geheimschriften, Muster auf Fliesen und Stoffen, Rätsel mit gedachten Zahlen. Beruf: Programmieren: Schleifen und Regeln; Muster in der Weberei und im Fliesenlegen.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zahlen bis 1000, Einmaleins und Teilen, Zahlen bis 100

Darauf baut auf: Terme und einfache Gleichungen

Lösungen

  1. 16
  2. 57
  3. 48
  4. 56
  5. 59
  6. 95
  7. 6
  8. 2
  9. 4
  10. 22
  11. 20
  12. 16
  13. 31
  14. 14
  15. 28
  16. 38 + 26 < 68
  17. 23 + 18 > 38
  18. 396 + 324 = 389 + 331
  19. 64
  20. 64
  21. 10
  22. 16 €
  23. 40 €
  24. 33
  25. 62
  26. 51
  27. 69
  28. 36
  29. 4
  30. oben 49
  31. 53
  32. 47
  33. 2
  34. 14
  35. 54
  36. 36 + 38 < 75
  37. 37
  38. 10 €
  39. 4 + 2 = 6
  40. 38
  41. 3
  42. 7