Mathematik · Klasse 13 · Kapitel

Normalverteilung

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Flugzeug hat 180 Plätze, 190 Tickets sind verkauft, 90 % der Gäste kommen. Wie wahrscheinlich ist es, dass mehr als 180 kommen? Rechne mit der Bernoulli-Formel.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Zehn Summanden mit 190 über k und Potenzen von 0,9 – ohne Rechner unmöglich, mit Rechner mühsam. Die Klasse braucht eine Kurve, die die Summe ersetzt. Bei so vielen Versuchen liegt die Verteilung nahe an der Glockenkurve: Mittelwert 171, Standardabweichung 4,1 – und die Wahrscheinlichkeit liest man aus der Tabelle.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Erwartungswert und Standardabweichung beschreiben Lage und Streuung einer Verteilung.

●28
Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,25 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 3 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,25
2. P(X = 3) = (5 über 3) · 0,25³ · 0,75²
3. = 10 · 0,01563 · 0,5625 ≈ 0,0879
Ergebnis:
≈ 8,8 %
●29
Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,2
2. P(X = 2) = (5 über 2) · 0,2² · 0,8³
3. = 10 · 0,04 · 0,512 ≈ 0,2048
Ergebnis:
≈ 20,5 %

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenViele kleine Einflüsse ergeben die Glocke

Wo sich viele unabhängige kleine Einflüsse addieren, entsteht die Glockenkurve. μ sagt, wo sie liegt, σ, wie breit sie ist.

WeiterdenkenDenk nach

Warum sind Körpergrößen annähernd normalverteilt, Lottozahlen aber nicht?

1Ich erkenne, wann eine Binomialverteilung durch die Normalverteilung genähert werden kann.

EntdeckenFrage

Warum passen Standardgrößen den meisten – und niemandem richtig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Körpermaße sind normalverteilt: Die Mitte ist voll, die Ränder sind leer. Die US-Luftwaffe stellte 1950 fest, dass von 4 000 Piloten keiner in allen zehn Maßen „durchschnittlich“ war – seitdem sind Sitze verstellbar.

MerkenNäherung

Für σ > 3 (Laplace-Bedingung) ist die Binomialverteilung glockenförmig – die Normalverteilung nähert sie gut an.

Eselsbrücke: 68 – 95 – 99,7: eine, zwei, drei Sigma um den Mittelwert

BeispielDarf man mit der Normalverteilung nähern?

1000 Fahrgäste, jeder erscheint mit p = 0,1 nicht. Entscheide, ob die Anzahl X mit der Normalverteilung genähert werden darf.

Schritt für Schritt

Laplace-Bedingung: σ = √n · p · (1 − p) > 3
σ = √1000 · 0,1 · 0,9 = √90 ≈ 9,49
9,49 > 3 → ja, die Näherung ist zulässig.

Laplace-Bedingung: σ = √n · p · (1 − p) > 3
σ = √1000 · 0,1 · 0,9 = √90 ≈ 9,49
9,49 > 3 → ja, die Näherung ist zulässig.

Ergebnis:

ja (σ ≈ 9,49 > 3)

AchtungSigma-Regel falsch zugeordnet

So nicht

μ = 100, σ = 10: 95 % liegen zwischen 90 und 110

So richtig

μ = 100, σ = 10: 68 % zwischen 90 und 110 (1σ), 95 % zwischen 80 und 120 (2σ)

1σ ≈ 68 %, 2σ ≈ 95 %, 3σ ≈ 99,7 %.

ÜbenJetzt du

○1
30 Würfe, Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,3. Entscheide, ob die Anzahl X mit der Normalverteilung genähert werden darf.
So fängst du an:
Laplace-Bedingung: σ = √n · p · (1 − p) > 3
Lösung zeigen
1. Laplace-Bedingung: σ = √n · p · (1 − p) > 3
2. σ = √30 · 0,3 · 0,7 = √6,3 ≈ 2,51
3. 2,51 ≤ 3 → nein, die Verteilung ist noch zu schief.
Ergebnis:
nein (σ ≈ 2,51 ≤ 3)
●2
150 Fahrgäste, jeder erscheint mit p = 0,5 nicht. Entscheide, ob die Anzahl X mit der Normalverteilung genähert werden darf.
Lösung zeigen
1. Laplace-Bedingung: σ = √n · p · (1 − p) > 3
2. σ = √150 · 0,5 · 0,5 = √37,5 ≈ 6,12
3. 6,12 > 3 → ja, die Näherung ist zulässig.
Ergebnis:
ja (σ ≈ 6,12 > 3)
★3
X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,02. Entscheide, ob die Normalverteilung als Näherung verwendet werden darf.
Lösung zeigen
1. Laplace-Bedingung: σ = √n · p · (1 − p) > 3
2. σ = √50 · 0,02 · 0,98 = √0,98 ≈ 0,99
3. 0,99 ≤ 3 → nein, die Verteilung ist noch zu schief.
Ergebnis:
nein (σ ≈ 0,99 ≤ 3)

2Ich kenne die Gauß-Glockenkurve und ihre Parameter μ und σ.

EntdeckenFrage

Warum sehen ganz verschiedene Messreihen am Ende gleich aus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sich viele kleine, voneinander unabhängige Einflüsse zu einer Glockenkurve summieren. Das ist der zentrale Grenzwertsatz – er gilt für Körpergrößen, Messfehler und Füllmengen gleichermaßen.

MerkenGlockenkurve

Symmetrisch um μ; σ bestimmt die Breite. Die Gesamtfläche ist 1.

Beispielμ und σ an der Glockenkurve ablesen

Die Glockenkurve beschreibt die Körpergröße (cm) als normalverteilte Größe. Lies μ und σ ab. Wie viel Prozent der Werte liegen etwa im markierten Bereich?

Schritt für Schritt

μ liegt unter dem Hochpunkt: μ = 180.
Die Marken haben den Abstand σ, die Wendestellen liegen bei μ ± σ: σ = 6.
Markiert ist μ ± 2σ, also von 168 bis 192: etwa 95,4 %.

μ liegt unter dem Hochpunkt: μ = 180.
Die Marken haben den Abstand σ, die Wendestellen liegen bei μ ± σ: σ = 6.
Markiert ist μ ± 2σ, also von 168 bis 192: etwa 95,4 %.

Ergebnis:

μ = 180, σ = 6, etwa 95,4 %

ÜbenJetzt du

○4
Die Glockenkurve beschreibt die Masse von Äpfeln (g) als normalverteilte Größe. Lies μ und σ ab. Wie viel Prozent der Werte liegen etwa im markierten Bereich?
So fängst du an:
μ liegt unter dem Hochpunkt: μ = 150.
Lösung zeigen
1. μ liegt unter dem Hochpunkt: μ = 150.
2. Die Marken haben den Abstand σ, die Wendestellen liegen bei μ ± σ: σ = 10.
3. Markiert ist μ ± 3σ, also von 120 bis 180: etwa 99,7 %.
Ergebnis:
μ = 150, σ = 10, etwa 99,7 %
●5
Die Glockenkurve beschreibt die Füllmenge von Flaschen (ml) als normalverteilte Größe. Lies μ und σ ab. Wie viel Prozent der Werte liegen etwa im markierten Bereich?
Lösung zeigen
1. μ liegt unter dem Hochpunkt: μ = 750.
2. Die Marken haben den Abstand σ, die Wendestellen liegen bei μ ± σ: σ = 5.
3. Markiert ist μ ± 2σ, also von 740 bis 760: etwa 95,4 %.
Ergebnis:
μ = 750, σ = 5, etwa 95,4 %
★6
Die Glockenkurve beschreibt die Füllmenge von Flaschen (ml). Lies μ und σ ab. Wie viele von 200 Werten liegen etwa außerhalb des markierten Bereichs?
Lösung zeigen
1. μ liegt unter dem Hochpunkt: μ = 750.
2. Die Marken haben den Abstand σ, die Wendestellen liegen bei μ ± σ: σ = 2.
3. Markiert ist μ ± 3σ, also von 744 bis 756: etwa 99,7 %.
4. Außerhalb: 0,3 %, von 200 sind das etwa 0,6.
Ergebnis:
μ = 750, σ = 2, etwa 1 Werte außerhalb

3Ich wende die Sigma-Regeln an.

EntdeckenFrage

Warum steht auf einer Packung 500 Gramm, obwohl nie genau 500 darin sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil jede Abfüllmaschine streut. Vorgeschrieben ist, dass der Mittelwert stimmt; rund zwei Drittel aller Packungen liegen innerhalb einer Standardabweichung um diesen Wert.

MerkenSigma-Regeln der Normalverteilung

Im Intervall μ ± σ liegen 68,3 %, in μ ± 2σ 95,4 %, in μ ± 3σ 99,7 % aller Werte.

BeispielSigma-Regeln der Normalverteilung

Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 170 und σ = 10. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen 150 und 190?

Schritt für Schritt

150 = μ − 2σ, 190 = μ + 2σ
2σ-Regel: ≈ 95,4 %

150 = μ − 2σ, 190 = μ + 2σ
2σ-Regel: ≈ 95,4 %

Ergebnis:

≈ 95,4 %

ÜbenJetzt du

○7
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 500 und σ = 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen 496 und 504?
So fängst du an:
496 = μ − 2σ, 504 = μ + 2σ
Lösung zeigen
1. 496 = μ − 2σ, 504 = μ + 2σ
2. 2σ-Regel: ≈ 95,4 %
Ergebnis:
≈ 95,4 %
●8
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 100 und σ = 10. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen 80 und 120?
Lösung zeigen
1. 80 = μ − 2σ, 120 = μ + 2σ
2. 2σ-Regel: ≈ 95,4 %
Ergebnis:
≈ 95,4 %
★9
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 170 und σ = 10. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen 140 und 200?
Lösung zeigen
1. 140 = μ − 3σ, 200 = μ + 3σ
2. 3σ-Regel: ≈ 99,7 %
Ergebnis:
≈ 99,7 %

4Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit der Normalverteilung (Rechner).

EntdeckenFrage

Wie viele Männer in Deutschland sind größer als 1,90 Meter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Etwa 6 von 100. Die Körpergrößen folgen einer Glockenkurve mit rund 1,79 Metern in der Mitte und etwa 7 Zentimetern Streuung.

MerkenRechner

P(a ≤ X ≤ b) mit normalcdf(a, b, μ, σ).

BeispielWahrscheinlichkeit mit der Normalverteilung

Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 500 und σ = 5. Berechne P(X ≤ 505). (Φ(1) = 0,8413)

Schritt für Schritt

Standardisieren: z = (x − μ) / σ = (505 − 500) / 5 = 1
P(X ≤ 505) = Φ(1) = 0,8413
Also etwa 84,1 %.

Standardisieren: z = (x − μ) / σ = (505 − 500) / 5 = 1
P(X ≤ 505) = Φ(1) = 0,8413
Also etwa 84,1 %.

Ergebnis:

≈ 84,1 %

ÜbenJetzt du

○10
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 10. Berechne P(X ≤ 65). (Φ(1,5) = 0,9332)
So fängst du an:
Standardisieren: z = (x − μ) / σ = (65 − 50) / 10 = 1,5
Lösung zeigen
1. Standardisieren: z = (x − μ) / σ = (65 − 50) / 10 = 1,5
2. P(X ≤ 65) = Φ(1,5) = 0,9332
3. Also etwa 93,3 %.
Ergebnis:
≈ 93,3 %
●11
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 500 und σ = 4. Berechne P(X ≤ 502). (Φ(0,5) = 0,6915)
Lösung zeigen
1. Standardisieren: z = (x − μ) / σ = (502 − 500) / 4 = 0,5
2. P(X ≤ 502) = Φ(0,5) = 0,6915
3. Also etwa 69,2 %.
Ergebnis:
≈ 69,2 %
★12
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 10. Berechne P(X ≤ 70). (Φ(2) = 0,9772)
Lösung zeigen
1. Standardisieren: z = (x − μ) / σ = (70 − 50) / 10 = 2
2. P(X ≤ 70) = Φ(2) = 0,9772
3. Also etwa 97,7 %.
Ergebnis:
≈ 97,7 %

5Ich löse Anwendungsaufgaben (Körpergrößen, Füllmengen).

EntdeckenFrage

Warum genügen zwei Zahlen, um eine ganze Verteilung zu beschreiben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Glockenkurve durch Mittelwert und Streuung vollständig festgelegt ist. Der eine sagt, wo sie liegt, die andere, wie breit sie ist – mehr braucht es nicht.

MerkenAnwendung

Gegeben μ und σ: Intervall in Vielfache von σ übersetzen oder mit dem Rechner P(a ≤ X ≤ b) bestimmen.

Antwort als Prozent und im Sachzusammenhang.

BeispielNormalverteilung im Betrieb

Eine Maschine füllt Flaschen. Die Füllmenge ist normalverteilt mit μ = 330 ml und σ = 5 ml. Eine Flasche gilt als zu leer, wenn weniger als 315 ml darin sind. Wie viel Prozent der Flaschen sind zu leer?

Schritt für Schritt

315 ml sind μ − 3σ
Zwischen μ − 3σ und μ + 3σ liegen 99,7 %
Außerhalb bleiben 0,3 %, davon die Hälfte unten: 0,1 %

315 ml sind μ − 3σ
Zwischen μ − 3σ und μ + 3σ liegen 99,7 %
Außerhalb bleiben 0,3 %, davon die Hälfte unten: 0,1 %

Ergebnis:

0,1 %

ÜbenJetzt du

○13
Eine Maschine füllt Flaschen. Die Füllmenge ist normalverteilt mit μ = 330 ml und σ = 4 ml. Eine Flasche gilt als zu leer, wenn weniger als 318 ml darin sind. Wie viel Prozent der Flaschen sind zu leer?
So fängst du an:
318 ml sind μ − 3σ
Lösung zeigen
1. 318 ml sind μ − 3σ
2. Zwischen μ − 3σ und μ + 3σ liegen 99,7 %
3. Außerhalb bleiben 0,3 %, davon die Hälfte unten: 0,1 %
Ergebnis:
0,1 %
●14
Eine Maschine füllt Flaschen. Die Füllmenge ist normalverteilt mit μ = 750 ml und σ = 2 ml. Eine Flasche gilt als zu leer, wenn weniger als 748 ml darin sind. Wie viel Prozent der Flaschen sind zu leer?
Lösung zeigen
1. 748 ml sind μ − 1σ
2. Zwischen μ − 1σ und μ + 1σ liegen 68,3 %
3. Außerhalb bleiben 31,7 %, davon die Hälfte unten: 15,9 %
Ergebnis:
15,9 %
★15
Eine Maschine füllt Flaschen. Die Füllmenge ist normalverteilt mit μ = 330 ml und σ = 4 ml. Eine Flasche gilt als zu leer, wenn weniger als 318 ml darin sind. Wie viele der 5000 Flaschen einer Schicht sind das ungefähr?
Lösung zeigen
1. 318 ml sind μ − 3σ; außerhalb von 3σ liegen 0,3 %
2. Unten davon die Hälfte: 0,1 %
3. 0,1 % von 5000 sind ungefähr 5 Flaschen.
Ergebnis:
ungefähr 5 Flaschen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 170 und σ = 8. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen 162 und 178?
Lösung zeigen
1. 162 = μ − 1σ, 178 = μ + 1σ
2. 1σ-Regel: ≈ 68,3 %
Ergebnis:
≈ 68,3 %
●17
X ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,4. Berechne Erwartungswert.
Lösung zeigen
1. Erwartungswert heißt: So viele Treffer sind auf lange Sicht im Mittel zu erwarten.
2. μ = n · p = 100 · 0,4 = 40
Ergebnis:
μ = 40
●18
Ein Test mit 1000 Fragen, Ratewahrscheinlichkeit p = 0,02. Entscheide, ob die Anzahl X mit der Normalverteilung genähert werden darf.
Lösung zeigen
1. Laplace-Bedingung: σ = √n · p · (1 − p) > 3
2. σ = √1000 · 0,02 · 0,98 = √19,6 ≈ 4,43
3. 4,43 > 3 → ja, die Näherung ist zulässig.
Ergebnis:
ja (σ ≈ 4,43 > 3)
●19
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 10. Berechne P(X ≤ 55). (Φ(0,5) = 0,6915)
Lösung zeigen
1. Standardisieren: z = (x − μ) / σ = (55 − 50) / 10 = 0,5
2. P(X ≤ 55) = Φ(0,5) = 0,6915
3. Also etwa 69,2 %.
Ergebnis:
≈ 69,2 %
●20
X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,2. Berechne P(X ≤ 1).
Lösung zeigen
1. P(X ≤ 1) = P(X = 0) + … + P(X = 1)
2. P(X = 0) = C(5;0) · 0,2⁰ · 0,8⁵ = 0,3277
3. P(X = 1) = C(5;1) · 0,2¹ · 0,8⁴ = 0,4096
4. Summe ≈ 0,7373
Ergebnis:
P(X ≤ 1) ≈ 0,7373 (73,7 %)
●21
Eine Maschine füllt Flaschen. Die Füllmenge ist normalverteilt mit μ = 500 ml und σ = 5 ml. Eine Flasche gilt als zu leer, wenn weniger als 490 ml darin sind. Wie viel Prozent der Flaschen sind zu leer?
Lösung zeigen
1. 490 ml sind μ − 2σ
2. Zwischen μ − 2σ und μ + 2σ liegen 95,4 %
3. Außerhalb bleiben 4,6 %, davon die Hälfte unten: 2,3 %
Ergebnis:
2,3 %

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Näherung: Für σ > 3 (Laplace-Bedingung) ist die Binomialverteilung glockenförmig – die Normalverteilung nähert sie gut an.
Glockenkurve: Symmetrisch um μ; σ bestimmt die Breite. Die Gesamtfläche ist 1.
Sigma-Regeln der Normalverteilung: Im Intervall μ ± σ liegen 68,3 %, in μ ± 2σ 95,4 %, in μ ± 3σ 99,7 % aller Werte.
Rechner: P(a ≤ X ≤ b) mit normalcdf(a, b, μ, σ).
Anwendung: Gegeben μ und σ: Intervall in Vielfache von σ übersetzen oder mit dem Rechner P(a ≤ X ≤ b) bestimmen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich erkenne, wann eine Binomialverteilung durch die Normalverteilung genähert werden kann.
22
Von 200 Bauteilen ist jedes mit p = 0,1 defekt. Entscheide, ob die Anzahl X mit der Normalverteilung genähert werden darf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
ja (σ ≈ 4,24 > 3)
Ich kenne die Gauß-Glockenkurve und ihre Parameter μ und σ.
23
Die Glockenkurve beschreibt die Körpergröße (cm) als normalverteilte Größe. Lies μ und σ ab. Wie viel Prozent der Werte liegen etwa im markierten Bereich?
Lösung zeigen
Ergebnis:
μ = 180, σ = 6, etwa 99,7 %
Ich wende die Sigma-Regeln an.
24
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 5. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen 45 und 55?
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 68,3 %
Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit der Normalverteilung (Rechner).
25
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 500 und σ = 10. Berechne P(X ≤ 510). (Φ(1) = 0,8413)
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 84,1 %
Ich löse Anwendungsaufgaben (Körpergrößen, Füllmengen).
26
Eine Maschine füllt Flaschen. Die Füllmenge ist normalverteilt mit μ = 500 ml und σ = 5 ml. Eine Flasche gilt als zu leer, wenn weniger als 485 ml darin sind. Wie viel Prozent der Flaschen sind zu leer?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,1 %
Ich bereite die Klausur vor.
27
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 100 und σ = 10. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen 90 und 110?
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 68,3 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Flugzeug hat 180 Plätze, 190 Tickets sind verkauft, 90 % der Gäste kommen. Wie wahrscheinlich ist es, dass mehr als 180 kommen? Rechne mit der Bernoulli-Formel.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Normalverteilung als Näherung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Körpergrößen, Schuhgrößen, Messfehler. Beruf: Industrie (Toleranzen), Psychologie, Finanzen.

Wörter

Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Vielfaches: das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt
Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Binomialverteilung

Lösungen

nein (σ ≈ 2,51 ≤ 3)
ja (σ ≈ 6,12 > 3)
nein (σ ≈ 0,99 ≤ 3)
μ = 150, σ = 10, etwa 99,7 %
μ = 750, σ = 5, etwa 95,4 %
μ = 750, σ = 2, etwa 1 Werte außerhalb
≈ 95,4 %
≈ 95,4 %
≈ 99,7 %
≈ 93,3 %
≈ 69,2 %
≈ 97,7 %
0,1 %
15,9 %
ungefähr 5 Flaschen
≈ 68,3 %
μ = 40
ja (σ ≈ 4,43 > 3)
≈ 69,2 %
P(X ≤ 1) ≈ 0,7373 (73,7 %)
2,3 %
ja (σ ≈ 4,24 > 3)
μ = 180, σ = 6, etwa 99,7 %
≈ 68,3 %
≈ 84,1 %
0,1 %
≈ 68,3 %
≈ 8,8 %
≈ 20,5 %