Physik · Klasse 11 · Kapitel

Einführungsphase: Kreisbewegungen

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Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 90 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 90 s
ω ≈ 0,0698 1/s

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 90 s
ω ≈ 0,0698 1/s

Ergebnis:

0,0698 1/s

ÜbenJetzt du

○1
Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 10 s
3. ω ≈ 0,628 1/s
Ergebnis:
0,628 1/s
●2
Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 8 s
3. ω ≈ 0,785 1/s
Ergebnis:
0,785 1/s
★3
Eine Festplatte dreht sich gleichmäßig mit 5400 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Drehzahl je Sekunde: f = 5400 : 60 s = 90 1/s
2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
3. ω = 2π · 90 1/s
4. ω ≈ 565 1/s
Ergebnis:
565 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (12 m/s)² : 15 m = 144 m²/s² : 15 m
a_r ≈ 9,6 m/s²

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (12 m/s)² : 15 m = 144 m²/s² : 15 m
a_r ≈ 9,6 m/s²

Ergebnis:

9,6 m/s²

ÜbenJetzt du

○4
Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (12 m/s)² : 10 m = 144 m²/s² : 10 m
3. a_r ≈ 14,4 m/s²
Ergebnis:
14,4 m/s²
●5
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (8 m/s)² : 10 m = 64 m²/s² : 10 m
3. a_r ≈ 6,4 m/s²
Ergebnis:
6,4 m/s²
★6
Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 25 m, gleichmäßig mit 36 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Erst umrechnen: v = 36 km/h : 3,6 ≈ 10 m/s
2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
3. a_r = (10 m/s)² : 25 m
4. a_r ≈ 4 m/s², zur Mitte der Kurve
Ergebnis:
4 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Auto der Masse 1000 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 80 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 1000 kg · (15 m/s)² : 80 m
F_r ≈ 2810 N

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 1000 kg · (15 m/s)² : 80 m
F_r ≈ 2810 N

Ergebnis:

2810 N

ÜbenJetzt du

○7
Ein Kind auf einem Karussell der Masse 30 kg bewegt sich mit 4 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 2 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 30 kg · (4 m/s)² : 2 m
3. F_r ≈ 240 N
Ergebnis:
240 N
●8
Ein Auto der Masse 1200 kg bewegt sich mit 20 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 50 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 1200 kg · (20 m/s)² : 50 m
3. F_r ≈ 9600 N
Ergebnis:
9600 N
★9
Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 5 kg auf einem Kreis mit r = 1,5 m, 1,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. ω = 2π · f = 2π · 1,5 1/s ≈ 9,42 1/s
2. F_r = m · ω² · r
3. F_r = 5 kg · (9,42 1/s)² · 1,5 m
4. F_r ≈ 666 N
Ergebnis:
666 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Regionalzug fährt durch einen Gleisbogen. Welche Kraft lenkt ihn auf die Kreisbahn?

Schritt für Schritt

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder

Ergebnis:

die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht

sin(30) im Modus RAD → −0,988

So richtig

sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Navigationssatellit kreist um die Erde. Was ist die Radialkraft?
So fängst du an:
Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
●11
Der Mond umkreist die Erde. Welche Kraft wirkt als Radialkraft?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Gravitationskraft der Erde
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Erde
★12
Eine Kurve der Bobbahn ist nach innen geneigt. Wozu dient das?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
3. Also: Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.
Ergebnis:
Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?

Schritt für Schritt

r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
v ≈ 232 m/s

r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
v ≈ 232 m/s

Ergebnis:

232 m/s

ÜbenJetzt du

○13
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
Lösung zeigen
1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 463 m/s
Ergebnis:
463 m/s
●14
Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
1. r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 463 m/s
Ergebnis:
463 m/s
★15
Madrid liegt auf etwa 40,4° Breite. Wie weit kommt die Stadt durch die Erddrehung in einer Stunde? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 40,4° ≈ 4850 km
2. Umfang des Kreises: 2π · r ≈ 30.500 km
3. In einer Stunde schafft die Stadt ein 24stel davon.
4. s = 2π · r : 24 ≈ 1270 km
Ergebnis:
1270 km

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Eine Schallplatte dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 1,8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 1,8 s
3. ω ≈ 3,49 1/s
Ergebnis:
3,49 1/s
●17
Ein Riesenrad hat einen Radius von 30 m und braucht für eine Umdrehung 60 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. v = 2π · r : T
2. v = 2π · 30 m : 60 s
3. v ≈ 3,14 m/s
Ergebnis:
3,14 m/s
●18
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (8 m/s)² : 12 m = 64 m²/s² : 12 m
3. a_r ≈ 5,33 m/s²
Ergebnis:
5,33 m/s²
●19
Ein Tennisball kreist an einer Schnur waagerecht über dem Kopf. Die Schnur reißt. Wie fliegt er von oben gesehen weiter?
Lösung zeigen
1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
3. Also: geradeaus entlang der Tangente an der Stelle des Risses
Ergebnis:
geradeaus entlang der Tangente an der Stelle des Risses
●20
Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 80 kg bewegt sich mit 6 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 20 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 80 kg · (6 m/s)² : 20 m
3. F_r ≈ 144 N
Ergebnis:
144 N
●21
Durch eine Kurve fährt ein Motorrad mit der Radialkraft F_r = 4,5 kN. Wie groß ist sie bei doppelt so großer Geschwindigkeit in derselben Kurve? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. F_r = m · v² : r, die Geschwindigkeit steht im Quadrat.
2. doppelt so schnell heißt 2² = 4-mal so viel Kraft.
3. F_r = 4 · 4,5 kN = 18 kN
Ergebnis:
18 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen: Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung: Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft: Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?: Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik: Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht

m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N

So richtig

F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht

Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.

So richtig

Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.
22
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,26 1/s
Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.
23
Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 25 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5,76 m/s²
Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.
24
Ein Kind auf einem Karussell der Masse 45 kg bewegt sich mit 2 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 4 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
45 N
Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.
25
Ein Motorrad fährt auf ebener Straße durch eine Kurve. Welche Kraft hält das Fahrzeug auf der Kreisbahn?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.
26
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Madrid auf einem Kreis mit r = 4850 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
Ergebnis:
353 m/s
Ich bereite die Klausur vor.
27
Eine Schallplatte dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 1,8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3,49 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

0,628 1/s
0,785 1/s
565 1/s
14,4 m/s²
6,4 m/s²
4 m/s²
240 N
9600 N
666 N
die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
die Gravitationskraft der Erde
Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.
463 m/s
463 m/s
1270 km
3,49 1/s
3,14 m/s
5,33 m/s²
geradeaus entlang der Tangente an der Stelle des Risses
144 N
18 kN
1,26 1/s
5,76 m/s²
45 N
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
353 m/s
3,49 1/s