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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Kreisbewegungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Eine Schallplatte dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 1,8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
T = 1,8 sω = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 1,8 s
  3. ω ≈ 3,49 1/s
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 1,8 s
  3. ω ≈ 3,49 1/s
Ergebnis:
3,49 1/s

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 4 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 4 sω = ?
    So fängst du an:
    Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 4 s
    3. ω ≈ 1,57 1/s
    Ergebnis:
    1,57 1/s
  2. ●2
    Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 180 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 180 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 180 s
    3. ω ≈ 0,0349 1/s
    Ergebnis:
    0,0349 1/s
  3. ★3
    Ein Motor dreht sich gleichmäßig mit 2500 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    2500 Umdrehungen je Minuteω = ?
    Lösung zeigen
    1. Drehzahl je Sekunde: f = 2500 : 60 s = 41,7 1/s
    2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
    3. ω = 2π · 41,7 1/s
    4. ω ≈ 262 1/s
    Ergebnis:
    262 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 120 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
r = 120 mv = 30 m/sa_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (30 m/s)² : 120 m = 900 m²/s² : 120 m
  3. a_r ≈ 7,5 m/s²
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (30 m/s)² : 120 m = 900 m²/s² : 120 m
  3. a_r ≈ 7,5 m/s²
Ergebnis:
7,5 m/s²

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 50 m, gleichmäßig mit 40 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 50 mv = 40 m/sa_r = ?
    So fängst du an:
    Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (40 m/s)² : 50 m = 1600 m²/s² : 50 m
    3. a_r ≈ 32 m/s²
    Ergebnis:
    32 m/s²
  2. ●5
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 300 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 300 mv = 30 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (30 m/s)² : 300 m = 900 m²/s² : 300 m
    3. a_r ≈ 3 m/s²
    Ergebnis:
    3 m/s²
  3. ★6
    Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 18 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
    r = 12 mv = 18 km/ha_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: v = 18 km/h : 3,6 ≈ 5 m/s
    2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
    3. a_r = (5 m/s)² : 12 m
    4. a_r ≈ 2,08 m/s², zur Mitte der Kurve
    Ergebnis:
    2,08 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Kind auf einem Karussell der Masse 30 kg bewegt sich mit 2 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 2 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
r = 2 mv = 2 m/sF_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 30 kg · (2 m/s)² : 2 m
  3. F_r ≈ 60 N
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 30 kg · (2 m/s)² : 2 m
  3. F_r ≈ 60 N
Ergebnis:
60 N

AchtungKreisfläche und Kreisumfang verwechselt

So nicht
r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 5² = 78,5 cm
So richtig
r = 5 cm, Umfang → 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm

Frag dich: Weg um den Kreis oder Fläche innen? Nur die Fläche hat ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 10 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 10 mv = 12 m/sF_r = ?
    So fängst du an:
    Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 400 kg · (12 m/s)² : 10 m
    3. F_r ≈ 5760 N
    Ergebnis:
    5760 N
  2. ●8
    Ein Kind auf einem Karussell der Masse 35 kg bewegt sich mit 4 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 4 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 4 mv = 4 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 35 kg · (4 m/s)² : 4 m
    3. F_r ≈ 140 N
    Ergebnis:
    140 N
  3. ★9
    Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 7,26 kg auf einem Kreis mit r = 1,6 m, 1,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
    r = 1,6 m1,5 Umdrehungen je SekundeF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. ω = 2π · f = 2π · 1,5 1/s ≈ 9,42 1/s
    2. F_r = m · ω² · r
    3. F_r = 7,26 kg · (9,42 1/s)² · 1,6 m
    4. F_r ≈ 1030 N
    Ergebnis:
    1030 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Bus fährt auf ebener Straße durch eine Kurve. Welche Kraft hält das Fahrzeug auf der Kreisbahn?
zur MitteBus von obenF_r kommt woher?
Schritt für Schritt
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
Ergebnis:
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht
sin(30) im Modus RAD → −0,988
So richtig
sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Hammerwerfer dreht den Hammer an einem Seil. Welche Kraft hält den Hammer auf dem Kreis?
    zur MitteHammerwerfer von obenF_r kommt woher?
    So fängst du an:
    Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
    Ergebnis:
    die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
  2. ●11
    Der Mond umkreist die Erde. Welche Kraft wirkt als Radialkraft?
    zur MitteMond von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Gravitationskraft der Erde
    Ergebnis:
    die Gravitationskraft der Erde
  3. ★12
    Ein Wagen fährt oben durch einen Looping. Welche Kräfte liefern dort die Radialkraft?
    F_GF_KetteF_rαF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
    3. Also: Gewichtskraft und Schienenkraft, beide nach unten zur Mitte
    Ergebnis:
    Gewichtskraft und Schienenkraft, beide nach unten zur Mitte

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
r = ?r = 6370 kmv = ?
Schritt für Schritt
  1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
  1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
Ergebnis:
463 m/s

AchtungDurchmesser als Radius

So nicht
r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 5
So richtig
r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 10 = 31,4 cm

Schreib auf, was gegeben ist: r oder d. Der Durchmesser ist 2 · r.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 3190 kmv = ?
    So fängst du an:
    r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    Lösung zeigen
    1. r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 232 m/s
    Ergebnis:
    232 m/s
  2. ●14
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 4740 kmv = ?
    Lösung zeigen
    1. r = 4740 km = 4.740.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 4.740.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 345 m/s
    Ergebnis:
    345 m/s
  3. ★15
    Helsinki liegt auf etwa 60,2° Breite. Wie weit kommt die Stadt durch die Erddrehung in einer Stunde? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
    r = ?φ = 60,2°Weg in 1 h = ?
    Lösung zeigen
    1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 60,2° ≈ 3170 km
    2. Umfang des Kreises: 2π · r ≈ 19.900 km
    3. In einer Stunde schafft die Stadt ein 24stel davon.
    4. s = 2π · r : 24 ≈ 829 km
    Ergebnis:
    829 km

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 8 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 8 s
    3. ω ≈ 0,785 1/s
    Ergebnis:
    0,785 1/s
  2. ●17
    Eine Zentrifuge im Training von Astronauten hat einen Radius von 6 m und braucht für eine Umdrehung 2,5 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
    r = 6 mT = 2,5 sv = ?
    Lösung zeigen
    1. v = 2π · r : T
    2. v = 2π · 6 m : 2,5 s
    3. v ≈ 15,1 m/s
    Ergebnis:
    15,1 m/s
  3. ●18
    Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 15 mv = 20 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (20 m/s)² : 15 m = 400 m²/s² : 15 m
    3. a_r ≈ 26,7 m/s²
    Ergebnis:
    26,7 m/s²
  4. ●19
    Ein Motorrad fährt mit gleichbleibendem Tempo durch eine Kreiskurve. Ist es beschleunigt?
    Motorrad?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
    2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
    3. Also: Ja, die Richtung seiner Geschwindigkeit ändert sich ständig.
    Ergebnis:
    Ja, die Richtung seiner Geschwindigkeit ändert sich ständig.
  5. ●20
    Ein Auto der Masse 1000 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 40 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 40 mv = 10 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 1000 kg · (10 m/s)² : 40 m
    3. F_r ≈ 2500 N
    Ergebnis:
    2500 N
  6. ●21
    Durch eine Kurve fährt ein Bus mit der Radialkraft F_r = 3 kN. Wie groß ist sie bei gleicher Geschwindigkeit in einer Kurve mit dreifachem Radius? Berechne mit Einheit.
    vorher F_r = 3 kNF_r neu = ?
    Lösung zeigen
    1. F_r = m · v² : r, bei gleichem v steht der Radius unter dem Bruchstrich.
    2. 3-facher Radius heißt ein Drittel der Kraft.
    3. F_r = 3 kN : 3 = 1 kN
    Ergebnis:
    1 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen
Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung
Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft
Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?
Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik
Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht
m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N
So richtig
F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht
Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.
So richtig
Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

    22
    Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 6 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,05 1/s

  2. Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

    23
    Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 20 m, gleichmäßig mit 15 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 20 mv = 15 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11,3 m/s²

  3. Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

    24
    Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 15 mv = 10 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2670 N

  4. Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

    25
    Ein Hammerwerfer dreht den Hammer an einem Seil. Welche Kraft hält den Hammer auf dem Kreis?
    zur MitteHammerwerfer von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Seilkraft, die zur Hand hin zieht

  5. Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

    26
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 4740 kmv = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    345 m/s

  6. Ich bereite die Klausur vor.

    27
    Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 5 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,26 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

  1. 1,57 1/s
  2. 0,0349 1/s
  3. 262 1/s
  4. 32 m/s²
  5. 3 m/s²
  6. 2,08 m/s²
  7. 5760 N
  8. 140 N
  9. 1030 N
  10. die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
  11. die Gravitationskraft der Erde
  12. Gewichtskraft und Schienenkraft, beide nach unten zur Mitte
  13. 232 m/s
  14. 345 m/s
  15. 829 km
  16. 0,785 1/s
  17. 15,1 m/s
  18. 26,7 m/s²
  19. Ja, die Richtung seiner Geschwindigkeit ändert sich ständig.
  20. 2500 N
  21. 1 kN
  22. 1,05 1/s
  23. 11,3 m/s²
  24. 2670 N
  25. die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
  26. 345 m/s
  27. 1,26 1/s