Physik · Klasse 11 · Kapitel

Einführungsphase: Kreisbewegungen

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Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
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Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 180 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 180 s
ω ≈ 0,0349 1/s

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 180 s
ω ≈ 0,0349 1/s

Ergebnis:

0,0349 1/s

ÜbenJetzt du

○1
Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 5 s
3. ω ≈ 1,26 1/s
Ergebnis:
1,26 1/s
●2
Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 6 s
3. ω ≈ 1,05 1/s
Ergebnis:
1,05 1/s
★3
Eine Bohrmaschine dreht sich gleichmäßig mit 3000 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Drehzahl je Sekunde: f = 3000 : 60 s = 50 1/s
2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
3. ω = 2π · 50 1/s
4. ω ≈ 314 1/s
Ergebnis:
314 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 4 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (4 m/s)² : 15 m = 16 m²/s² : 15 m
a_r ≈ 1,07 m/s²

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (4 m/s)² : 15 m = 16 m²/s² : 15 m
a_r ≈ 1,07 m/s²

Ergebnis:

1,07 m/s²

ÜbenJetzt du

○4
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (8 m/s)² : 15 m = 64 m²/s² : 15 m
3. a_r ≈ 4,27 m/s²
Ergebnis:
4,27 m/s²
●5
Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 15 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (15 m/s)² : 10 m = 225 m²/s² : 10 m
3. a_r ≈ 22,5 m/s²
Ergebnis:
22,5 m/s²
★6
Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 9 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Erst umrechnen: v = 9 km/h : 3,6 ≈ 2,5 m/s
2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
3. a_r = (2,5 m/s)² : 15 m
4. a_r ≈ 0,417 m/s², zur Mitte der Kurve
Ergebnis:
0,417 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Kind auf einem Karussell der Masse 35 kg bewegt sich mit 3 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 3 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 35 kg · (3 m/s)² : 3 m
F_r ≈ 105 N

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 35 kg · (3 m/s)² : 3 m
F_r ≈ 105 N

Ergebnis:

105 N

ÜbenJetzt du

○7
Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 80 kg bewegt sich mit 6 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 20 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 80 kg · (6 m/s)² : 20 m
3. F_r ≈ 144 N
Ergebnis:
144 N
●8
Ein Auto der Masse 1500 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 60 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 1500 kg · (15 m/s)² : 60 m
3. F_r ≈ 5630 N
Ergebnis:
5630 N
★9
Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 6 kg auf einem Kreis mit r = 1,8 m, 2,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. ω = 2π · f = 2π · 2,5 1/s ≈ 15,7 1/s
2. F_r = m · ω² · r
3. F_r = 6 kg · (15,7 1/s)² · 1,8 m
4. F_r ≈ 2660 N
Ergebnis:
2660 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Auto fährt auf ebener Straße durch eine Kurve. Welche Kraft hält das Fahrzeug auf der Kreisbahn?

Schritt für Schritt

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin

Ergebnis:

die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht

sin(30) im Modus RAD → −0,988

So richtig

sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Regionalzug fährt durch einen Gleisbogen. Welche Kraft lenkt ihn auf die Kreisbahn?
So fängst du an:
Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
Ergebnis:
die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
●11
Ein Güterzug fährt durch einen Gleisbogen. Welche Kraft lenkt ihn auf die Kreisbahn?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
Ergebnis:
die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
★12
Eine Kurve der Bobbahn ist nach innen geneigt. Wozu dient das?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
3. Also: Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.
Ergebnis:
Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?

Schritt für Schritt

r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
v ≈ 463 m/s

r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
v ≈ 463 m/s

Ergebnis:

463 m/s

ÜbenJetzt du

○13
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Madrid auf einem Kreis mit r = 4850 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
Lösung zeigen
1. r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 353 m/s
Ergebnis:
353 m/s
●14
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
1. r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 232 m/s
Ergebnis:
232 m/s
★15
Helsinki liegt auf etwa 60,2° nördlicher Breite. Wie schnell bewegt sich die Stadt durch die Erddrehung? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 60,2° ≈ 3170 km
2. T = 24 h = 86.400 s
3. v = 2π · r : T = 2π · 3170 km : 86.400 s
4. v ≈ 230 m/s
Ergebnis:
230 m/s

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Eine Zentrifuge im Training von Astronauten hat einen Radius von 8 m und braucht für eine Umdrehung 2,5 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. v = 2π · r : T
2. v = 2π · 8 m : 2,5 s
3. v ≈ 20,1 m/s
Ergebnis:
20,1 m/s
●17
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 4 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (4 m/s)² : 12 m = 16 m²/s² : 12 m
3. a_r ≈ 1,33 m/s²
Ergebnis:
1,33 m/s²
●18
Eine Murmel rollt durch eine halbkreisförmige Rinne auf einem Tisch und verlässt sie am Ende. Wie rollt sie weiter?
Lösung zeigen
1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
3. Also: geradeaus in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hatte
Ergebnis:
geradeaus in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hatte
●19
Ein Auto der Masse 1000 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 80 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 1000 kg · (10 m/s)² : 80 m
3. F_r ≈ 1250 N
Ergebnis:
1250 N
●20
Durch eine Kurve fährt ein Zug mit der Radialkraft F_r = 3 kN. Wie groß ist sie bei gleicher Geschwindigkeit in einer Kurve mit vierfachem Radius? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. F_r = m · v² : r, bei gleichem v steht der Radius unter dem Bruchstrich.
2. 4-facher Radius heißt ein Viertel der Kraft.
3. F_r = 3 kN : 4 = 0,75 kN
Ergebnis:
0,75 kN
●21
Ein Motorrad fährt auf ebener Straße durch eine Kurve. Welche Kraft hält das Fahrzeug auf der Kreisbahn?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
Ergebnis:
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen: Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung: Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft: Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?: Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik: Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht

m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N

So richtig

F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht

Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.

So richtig

Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.
22
Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,785 1/s
Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.
23
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 6 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,4 m/s²
Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.
24
Ein Kind auf einem Karussell der Masse 30 kg bewegt sich mit 3 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 3 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
90 N
Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.
25
Ein Puck gleitet an einer Schnur auf dem Eis im Kreis um einen Pflock. Welche Kraft hält ihn auf dem Kreis?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Kraft der Schnur zum Pflock hin
Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.
26
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Berlin auf einem Kreis mit r = 3880 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
Ergebnis:
282 m/s
Ich bereite die Klausur vor.
27
Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 60 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,105 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

1,26 1/s
1,05 1/s
314 1/s
4,27 m/s²
22,5 m/s²
0,417 m/s²
144 N
5630 N
2660 N
die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.
353 m/s
232 m/s
230 m/s
20,1 m/s
1,33 m/s²
geradeaus in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hatte
1250 N
0,75 kN
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
0,785 1/s
2,4 m/s²
90 N
die Kraft der Schnur zum Pflock hin
282 m/s
0,105 1/s