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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Kreisbewegungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
T = 5 sω = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 5 s
  3. ω ≈ 1,26 1/s
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 5 s
  3. ω ≈ 1,26 1/s
Ergebnis:
1,26 1/s

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 12 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 12 sω = ?
    So fängst du an:
    Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 12 s
    3. ω ≈ 0,524 1/s
    Ergebnis:
    0,524 1/s
  2. ●2
    Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 5 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 5 s
    3. ω ≈ 1,26 1/s
    Ergebnis:
    1,26 1/s
  3. ★3
    Eine Waschmaschinentrommel dreht sich gleichmäßig mit 1000 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    1000 Umdrehungen je Minuteω = ?
    Lösung zeigen
    1. Drehzahl je Sekunde: f = 1000 : 60 s = 16,7 1/s
    2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
    3. ω = 2π · 16,7 1/s
    4. ω ≈ 105 1/s
    Ergebnis:
    105 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 100 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
r = 100 mv = 12 m/sa_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (12 m/s)² : 100 m = 144 m²/s² : 100 m
  3. a_r ≈ 1,44 m/s²
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (12 m/s)² : 100 m = 144 m²/s² : 100 m
  3. a_r ≈ 1,44 m/s²
Ergebnis:
1,44 m/s²

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 20 m, gleichmäßig mit 18 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 20 mv = 18 m/sa_r = ?
    So fängst du an:
    Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (18 m/s)² : 20 m = 324 m²/s² : 20 m
    3. a_r ≈ 16,2 m/s²
    Ergebnis:
    16,2 m/s²
  2. ●5
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 300 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 300 mv = 20 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (20 m/s)² : 300 m = 400 m²/s² : 300 m
    3. a_r ≈ 1,33 m/s²
    Ergebnis:
    1,33 m/s²
  3. ★6
    Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 72 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
    r = 80 mv = 72 km/ha_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: v = 72 km/h : 3,6 ≈ 20 m/s
    2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
    3. a_r = (20 m/s)² : 80 m
    4. a_r ≈ 5 m/s², zur Mitte der Kurve
    Ergebnis:
    5 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 70 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
r = 15 mv = 10 m/sF_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 70 kg · (10 m/s)² : 15 m
  3. F_r ≈ 467 N
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 70 kg · (10 m/s)² : 15 m
  3. F_r ≈ 467 N
Ergebnis:
467 N

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Wagen der Achterbahn der Masse 500 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 12 mv = 10 m/sF_r = ?
    So fängst du an:
    Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 500 kg · (10 m/s)² : 12 m
    3. F_r ≈ 4170 N
    Ergebnis:
    4170 N
  2. ●8
    Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 250 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 25 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 25 mv = 10 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 250 kg · (10 m/s)² : 25 m
    3. F_r ≈ 1000 N
    Ergebnis:
    1000 N
  3. ★9
    Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 6 kg auf einem Kreis mit r = 1,8 m, 1,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
    r = 1,8 m1,5 Umdrehungen je SekundeF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. ω = 2π · f = 2π · 1,5 1/s ≈ 9,42 1/s
    2. F_r = m · ω² · r
    3. F_r = 6 kg · (9,42 1/s)² · 1,8 m
    4. F_r ≈ 959 N
    Ergebnis:
    959 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Wäsche kreist in der Trommel einer Waschmaschine. Welche Kraft hält sie auf der Kreisbahn?
zur MitteTrommel von obenF_r kommt woher?
Schritt für Schritt
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
Ergebnis:
die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht
sin(30) im Modus RAD → −0,988
So richtig
sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Puck gleitet an einer Schnur auf dem Eis im Kreis um einen Pflock. Welche Kraft hält ihn auf dem Kreis?
    zur MittePuck von obenF_r kommt woher?
    So fängst du an:
    Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Kraft der Schnur zum Pflock hin
    Ergebnis:
    die Kraft der Schnur zum Pflock hin
  2. ●11
    Ein Hammerwerfer dreht den Hammer an einem Seil. Welche Kraft hält den Hammer auf dem Kreis?
    zur MitteHammerwerfer von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
    Ergebnis:
    die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
  3. ★12
    Ein Bus fährt unten durch eine Senke, die wie ein Kreisbogen geformt ist. Was gilt dort für die Kraft der Fahrbahn?
    F_GF_KetteF_rαF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
    3. Also: Sie ist größer als die Gewichtskraft, um die Radialkraft.
    Ergebnis:
    Sie ist größer als die Gewichtskraft, um die Radialkraft.

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
r = ?r = 6371 kmv = ?
Schritt für Schritt
  1. r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
  1. r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
Ergebnis:
463 m/s

AchtungKreisfläche und Kreisumfang verwechselt

So nicht
r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 5² = 78,5 cm
So richtig
r = 5 cm, Umfang → 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm

Frag dich: Weg um den Kreis oder Fläche innen? Nur die Fläche hat ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 6371 kmv = ?
    So fängst du an:
    r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    Lösung zeigen
    1. r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 463 m/s
    Ergebnis:
    463 m/s
  2. ●14
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Madrid auf einem Kreis mit r = 4850 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 4850 kmv = ?
    Lösung zeigen
    1. r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 353 m/s
    Ergebnis:
    353 m/s
  3. ★15
    Berlin liegt auf etwa 52,5° Breite. Wie weit kommt die Stadt durch die Erddrehung in einer Stunde? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
    r = ?φ = 52,5°Weg in 1 h = ?
    Lösung zeigen
    1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 52,5° ≈ 3880 km
    2. Umfang des Kreises: 2π · r ≈ 24.400 km
    3. In einer Stunde schafft die Stadt ein 24stel davon.
    4. s = 2π · r : 24 ≈ 1020 km
    Ergebnis:
    1020 km

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 8 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 8 s
    3. ω ≈ 0,785 1/s
    Ergebnis:
    0,785 1/s
  2. ●17
    Ein Riesenrad hat einen Radius von 15 m und braucht für eine Umdrehung 60 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
    r = 15 mT = 60 sv = ?
    Lösung zeigen
    1. v = 2π · r : T
    2. v = 2π · 15 m : 60 s
    3. v ≈ 1,57 m/s
    Ergebnis:
    1,57 m/s
  3. ●18
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 400 m, gleichmäßig mit 40 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 400 mv = 40 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (40 m/s)² : 400 m = 1600 m²/s² : 400 m
    3. a_r ≈ 4 m/s²
    Ergebnis:
    4 m/s²
  4. ●19
    Ein Motorrad fährt mit gleichbleibendem Tempo durch eine Kreiskurve. Ist es beschleunigt?
    Motorrad?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
    2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
    3. Also: Ja, die Richtung seiner Geschwindigkeit ändert sich ständig.
    Ergebnis:
    Ja, die Richtung seiner Geschwindigkeit ändert sich ständig.
  5. ●20
    Ein Auto der Masse 800 kg bewegt sich mit 20 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 60 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 60 mv = 20 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 800 kg · (20 m/s)² : 60 m
    3. F_r ≈ 5330 N
    Ergebnis:
    5330 N
  6. ●21
    Durch eine Kurve fährt ein Zug mit der Radialkraft F_r = 1,8 kN. Wie groß ist sie bei gleicher Geschwindigkeit in einer Kurve mit vierfachem Radius? Berechne mit Einheit.
    vorher F_r = 1,8 kNF_r neu = ?
    Lösung zeigen
    1. F_r = m · v² : r, bei gleichem v steht der Radius unter dem Bruchstrich.
    2. 4-facher Radius heißt ein Viertel der Kraft.
    3. F_r = 1,8 kN : 4 = 0,45 kN
    Ergebnis:
    0,45 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen
Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung
Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft
Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?
Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik
Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht
m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N
So richtig
F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht
Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.
So richtig
Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

    22
    Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 6 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,05 1/s

  2. Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

    23
    Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 50 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 50 mv = 30 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 m/s²

  3. Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

    24
    Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 10 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 10 mv = 12 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5760 N

  4. Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

    25
    Ein Puck gleitet an einer Schnur auf dem Eis im Kreis um einen Pflock. Welche Kraft hält ihn auf dem Kreis?
    zur MittePuck von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Kraft der Schnur zum Pflock hin

  5. Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

    26
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 3190 kmv = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232 m/s

  6. Ich bereite die Klausur vor.

    27
    Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 5 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,26 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

  1. 0,524 1/s
  2. 1,26 1/s
  3. 105 1/s
  4. 16,2 m/s²
  5. 1,33 m/s²
  6. 5 m/s²
  7. 4170 N
  8. 1000 N
  9. 959 N
  10. die Kraft der Schnur zum Pflock hin
  11. die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
  12. Sie ist größer als die Gewichtskraft, um die Radialkraft.
  13. 463 m/s
  14. 353 m/s
  15. 1020 km
  16. 0,785 1/s
  17. 1,57 m/s
  18. 4 m/s²
  19. Ja, die Richtung seiner Geschwindigkeit ändert sich ständig.
  20. 5330 N
  21. 0,45 kN
  22. 1,05 1/s
  23. 18 m/s²
  24. 5760 N
  25. die Kraft der Schnur zum Pflock hin
  26. 232 m/s
  27. 1,26 1/s