Physik · Klasse 11 · Kapitel

Einführungsphase: Kreisbewegungen

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Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
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Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 5 s
ω ≈ 1,26 1/s

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 5 s
ω ≈ 1,26 1/s

Ergebnis:

1,26 1/s

ÜbenJetzt du

○1
Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 8 s
3. ω ≈ 0,785 1/s
Ergebnis:
0,785 1/s
●2
Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 7 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 7 s
3. ω ≈ 0,898 1/s
Ergebnis:
0,898 1/s
★3
Eine Bohrmaschine dreht sich gleichmäßig mit 1500 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Drehzahl je Sekunde: f = 1500 : 60 s = 25 1/s
2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
3. ω = 2π · 25 1/s
4. ω ≈ 157 1/s
Ergebnis:
157 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 6 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (6 m/s)² : 10 m = 36 m²/s² : 10 m
a_r ≈ 3,6 m/s²

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (6 m/s)² : 10 m = 36 m²/s² : 10 m
a_r ≈ 3,6 m/s²

Ergebnis:

3,6 m/s²

ÜbenJetzt du

○4
Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (8 m/s)² : 80 m = 64 m²/s² : 80 m
3. a_r ≈ 0,8 m/s²
Ergebnis:
0,8 m/s²
●5
Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 50 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (50 m/s)² : 80 m = 2500 m²/s² : 80 m
3. a_r ≈ 31,3 m/s²
Ergebnis:
31,3 m/s²
★6
Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 18 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Erst umrechnen: v = 18 km/h : 3,6 ≈ 5 m/s
2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
3. a_r = (5 m/s)² : 80 m
4. a_r ≈ 0,313 m/s², zur Mitte der Kurve
Ergebnis:
0,313 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Kind auf einem Karussell der Masse 40 kg bewegt sich mit 2 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 5 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 40 kg · (2 m/s)² : 5 m
F_r ≈ 32 N

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 40 kg · (2 m/s)² : 5 m
F_r ≈ 32 N

Ergebnis:

32 N

ÜbenJetzt du

○7
Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 60 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 60 kg · (10 m/s)² : 12 m
3. F_r ≈ 500 N
Ergebnis:
500 N
●8
Ein Auto der Masse 1200 kg bewegt sich mit 20 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 40 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 1200 kg · (20 m/s)² : 40 m
3. F_r ≈ 12.000 N
Ergebnis:
12.000 N
★9
Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 4 kg auf einem Kreis mit r = 1,8 m, 2,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. ω = 2π · f = 2π · 2,5 1/s ≈ 15,7 1/s
2. F_r = m · ω² · r
3. F_r = 4 kg · (15,7 1/s)² · 1,8 m
4. F_r ≈ 1780 N
Ergebnis:
1780 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Kind wird an den Armen im Kreis herumgeschleudert. Welche Kraft hält es auf dem Kreis?

Schritt für Schritt

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet

Ergebnis:

die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht

sin(30) im Modus RAD → −0,988

So richtig

sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

○10
Die Erde läuft auf einer fast kreisförmigen Bahn um die Sonne. Welche Kraft hält sie auf dieser Bahn?
So fängst du an:
Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Gravitationskraft der Sonne
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Sonne
●11
Der Mond umkreist die Erde. Welche Kraft wirkt als Radialkraft?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Gravitationskraft der Erde
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Erde
★12
Ein Wagen fährt oben durch einen Looping. Welche Kräfte liefern dort die Radialkraft?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
3. Also: Gewichtskraft und Schienenkraft, beide nach unten zur Mitte
Ergebnis:
Gewichtskraft und Schienenkraft, beide nach unten zur Mitte

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?

Schritt für Schritt

r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
v ≈ 463 m/s

r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
v ≈ 463 m/s

Ergebnis:

463 m/s

ÜbenJetzt du

○13
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
So fängst du an:
r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
Lösung zeigen
1. r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 232 m/s
Ergebnis:
232 m/s
●14
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
1. r = 4740 km = 4.740.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 4.740.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 345 m/s
Ergebnis:
345 m/s
★15
Oslo liegt auf etwa 59,9° nördlicher Breite. Wie schnell bewegt sich die Stadt durch die Erddrehung? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 59,9° ≈ 3200 km
2. T = 24 h = 86.400 s
3. v = 2π · r : T = 2π · 3200 km : 86.400 s
4. v ≈ 232 m/s
Ergebnis:
232 m/s

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 12 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 12 s
3. ω ≈ 0,524 1/s
Ergebnis:
0,524 1/s
●17
Ein Windrad hat einen Radius von 60 m und braucht für eine Umdrehung 3 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. v = 2π · r : T
2. v = 2π · 60 m : 3 s
3. v ≈ 126 m/s
Ergebnis:
126 m/s
●18
Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (12 m/s)² : 80 m = 144 m²/s² : 80 m
3. a_r ≈ 1,8 m/s²
Ergebnis:
1,8 m/s²
●19
Ein Tennisball kreist an einer Schnur waagerecht über dem Kopf. Die Schnur reißt. Wie fliegt er von oben gesehen weiter?
Lösung zeigen
1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
3. Also: geradeaus entlang der Tangente an der Stelle des Risses
Ergebnis:
geradeaus entlang der Tangente an der Stelle des Risses
●20
Ein Auto der Masse 1000 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 60 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 1000 kg · (12 m/s)² : 60 m
3. F_r ≈ 2400 N
Ergebnis:
2400 N
●21
Durch eine Kurve fährt eine Radfahrerin mit der Radialkraft F_r = 1,2 kN. Wie groß ist sie bei doppelt so großer Geschwindigkeit in derselben Kurve? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. F_r = m · v² : r, die Geschwindigkeit steht im Quadrat.
2. doppelt so schnell heißt 2² = 4-mal so viel Kraft.
3. F_r = 4 · 1,2 kN = 4,8 kN
Ergebnis:
4,8 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen: Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung: Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft: Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?: Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik: Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht

m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N

So richtig

F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht

Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.

So richtig

Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.
22
Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,628 1/s
Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.
23
Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 400 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,25 m/s²
Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.
24
Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3330 N
Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.
25
Ein Bus fährt auf ebener Straße durch eine Kurve. Welche Kraft hält das Fahrzeug auf der Kreisbahn?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.
26
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
Ergebnis:
463 m/s
Ich bereite die Klausur vor.
27
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,05 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

0,785 1/s
0,898 1/s
157 1/s
0,8 m/s²
31,3 m/s²
0,313 m/s²
500 N
12.000 N
1780 N
die Gravitationskraft der Sonne
die Gravitationskraft der Erde
Gewichtskraft und Schienenkraft, beide nach unten zur Mitte
232 m/s
345 m/s
232 m/s
0,524 1/s
126 m/s
1,8 m/s²
geradeaus entlang der Tangente an der Stelle des Risses
2400 N
4,8 kN
0,628 1/s
2,25 m/s²
3330 N
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
463 m/s
1,05 1/s