Physik · Klasse 11 · Kapitel

Einführungsphase: Kreisbewegungen

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○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 300 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 300 s
ω ≈ 0,0209 1/s

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 300 s
ω ≈ 0,0209 1/s

Ergebnis:

0,0209 1/s

ÜbenJetzt du

○1
Eine Schallplatte dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 1,8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 1,8 s
3. ω ≈ 3,49 1/s
Ergebnis:
3,49 1/s
●2
Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 5 s
3. ω ≈ 1,26 1/s
Ergebnis:
1,26 1/s
★3
Ein Ventilator dreht sich gleichmäßig mit 1500 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Drehzahl je Sekunde: f = 1500 : 60 s = 25 1/s
2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
3. ω = 2π · 25 1/s
4. ω ≈ 157 1/s
Ergebnis:
157 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 4 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (4 m/s)² : 15 m = 16 m²/s² : 15 m
a_r ≈ 1,07 m/s²

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (4 m/s)² : 15 m = 16 m²/s² : 15 m
a_r ≈ 1,07 m/s²

Ergebnis:

1,07 m/s²

ÜbenJetzt du

○4
Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (20 m/s)² : 12 m = 400 m²/s² : 12 m
3. a_r ≈ 33,3 m/s²
Ergebnis:
33,3 m/s²
●5
Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 100 m, gleichmäßig mit 10 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (10 m/s)² : 100 m = 100 m²/s² : 100 m
3. a_r ≈ 1 m/s²
Ergebnis:
1 m/s²
★6
Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 120 m, gleichmäßig mit 36 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Erst umrechnen: v = 36 km/h : 3,6 ≈ 10 m/s
2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
3. a_r = (10 m/s)² : 120 m
4. a_r ≈ 0,833 m/s², zur Mitte der Kurve
Ergebnis:
0,833 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 350 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 30 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 350 kg · (10 m/s)² : 30 m
F_r ≈ 1170 N

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 350 kg · (10 m/s)² : 30 m
F_r ≈ 1170 N

Ergebnis:

1170 N

AchtungKreisfläche und Kreisumfang verwechselt

So nicht

r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 5² = 78,5 cm

So richtig

r = 5 cm, Umfang → 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm

Frag dich: Weg um den Kreis oder Fläche innen? Nur die Fläche hat ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 400 kg · (10 m/s)² : 12 m
3. F_r ≈ 3330 N
Ergebnis:
3330 N
●8
Ein Auto der Masse 1000 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 60 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 1000 kg · (15 m/s)² : 60 m
3. F_r ≈ 3750 N
Ergebnis:
3750 N
★9
Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 7,26 kg auf einem Kreis mit r = 1,5 m, 2-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. ω = 2π · f = 2π · 2 1/s ≈ 12,6 1/s
2. F_r = m · ω² · r
3. F_r = 7,26 kg · (12,6 1/s)² · 1,5 m
4. F_r ≈ 1720 N
Ergebnis:
1720 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Kind wird an den Armen im Kreis herumgeschleudert. Welche Kraft hält es auf dem Kreis?

Schritt für Schritt

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet

Ergebnis:

die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht

sin(30) im Modus RAD → −0,988

So richtig

sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

○10
Der Mond umkreist die Erde. Welche Kraft wirkt als Radialkraft?
So fängst du an:
Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Gravitationskraft der Erde
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Erde
●11
Die Erde läuft auf einer fast kreisförmigen Bahn um die Sonne. Welche Kraft hält sie auf dieser Bahn?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Gravitationskraft der Sonne
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Sonne
★12
Bei einem Kettenkarussell hängen die Ketten schräg nach außen. Welche Kraft liefert die Radialkraft?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
3. Also: die waagerechte Komponente der Kettenkraft
Ergebnis:
die waagerechte Komponente der Kettenkraft

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Madrid auf einem Kreis mit r = 4850 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?

Schritt für Schritt

r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
v ≈ 353 m/s

r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
v ≈ 353 m/s

Ergebnis:

353 m/s

AchtungDurchmesser als Radius

So nicht

r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 5

So richtig

r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 10 = 31,4 cm

Schreib auf, was gegeben ist: r oder d. Der Durchmesser ist 2 · r.

ÜbenJetzt du

○13
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
Lösung zeigen
1. r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 232 m/s
Ergebnis:
232 m/s
●14
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
1. r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 232 m/s
Ergebnis:
232 m/s
★15
Rom liegt auf etwa 41,9° Breite. Wie weit kommt die Stadt durch die Erddrehung in einer Stunde? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 41,9° ≈ 4740 km
2. Umfang des Kreises: 2π · r ≈ 29.800 km
3. In einer Stunde schafft die Stadt ein 24stel davon.
4. s = 2π · r : 24 ≈ 1240 km
Ergebnis:
1240 km

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 12 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 12 s
3. ω ≈ 0,524 1/s
Ergebnis:
0,524 1/s
●17
Ein Karussell hat einen Radius von 3 m und braucht für eine Umdrehung 4 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. v = 2π · r : T
2. v = 2π · 3 m : 4 s
3. v ≈ 4,71 m/s
Ergebnis:
4,71 m/s
●18
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (8 m/s)² : 10 m = 64 m²/s² : 10 m
3. a_r ≈ 6,4 m/s²
Ergebnis:
6,4 m/s²
●19
Eine Kugel rollt durch eine halbkreisförmige Rinne auf einem Tisch und verlässt sie am Ende. Wie rollt sie weiter?
Lösung zeigen
1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
3. Also: geradeaus in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hatte
Ergebnis:
geradeaus in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hatte
●20
Ein Wagen der Achterbahn der Masse 600 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 600 kg · (12 m/s)² : 15 m
3. F_r ≈ 5760 N
Ergebnis:
5760 N
●21
Durch eine Kurve fährt eine Radfahrerin mit der Radialkraft F_r = 1,2 kN. Wie groß ist sie bei viermal so großer Geschwindigkeit in derselben Kurve? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. F_r = m · v² : r, die Geschwindigkeit steht im Quadrat.
2. viermal so schnell heißt 4² = 16-mal so viel Kraft.
3. F_r = 16 · 1,2 kN = 19,2 kN
Ergebnis:
19,2 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen: Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung: Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft: Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?: Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik: Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht

m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N

So richtig

F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht

Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.

So richtig

Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.
22
Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,05 1/s
Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.
23
Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 120 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
7,5 m/s²
Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.
24
Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3840 N
Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.
25
Die Erde läuft auf einer fast kreisförmigen Bahn um die Sonne. Welche Kraft hält sie auf dieser Bahn?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Sonne
Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.
26
Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
463 m/s
Ich bereite die Klausur vor.
27
Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,05 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

3,49 1/s
1,26 1/s
157 1/s
33,3 m/s²
1 m/s²
0,833 m/s²
3330 N
3750 N
1720 N
die Gravitationskraft der Erde
die Gravitationskraft der Sonne
die waagerechte Komponente der Kettenkraft
232 m/s
232 m/s
1240 km
0,524 1/s
4,71 m/s
6,4 m/s²
geradeaus in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hatte
5760 N
19,2 kN
1,05 1/s
7,5 m/s²
3840 N
die Gravitationskraft der Sonne
463 m/s
1,05 1/s