Physik · Klasse 11 · Kapitel

Einführungsphase: Kreisbewegungen

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Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 90 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 90 s
ω ≈ 0,0698 1/s

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 90 s
ω ≈ 0,0698 1/s

Ergebnis:

0,0698 1/s

ÜbenJetzt du

○1
Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 10 s
3. ω ≈ 0,628 1/s
Ergebnis:
0,628 1/s
●2
Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 60 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 60 s
3. ω ≈ 0,105 1/s
Ergebnis:
0,105 1/s
★3
Eine Waschmaschinentrommel dreht sich gleichmäßig mit 1000 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Drehzahl je Sekunde: f = 1000 : 60 s = 16,7 1/s
2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
3. ω = 2π · 16,7 1/s
4. ω ≈ 105 1/s
Ergebnis:
105 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 20 m, gleichmäßig mit 18 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (18 m/s)² : 20 m = 324 m²/s² : 20 m
a_r ≈ 16,2 m/s²

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (18 m/s)² : 20 m = 324 m²/s² : 20 m
a_r ≈ 16,2 m/s²

Ergebnis:

16,2 m/s²

ÜbenJetzt du

○4
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 8 m, gleichmäßig mit 5 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (5 m/s)² : 8 m = 25 m²/s² : 8 m
3. a_r ≈ 3,13 m/s²
Ergebnis:
3,13 m/s²
●5
Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 300 m, gleichmäßig mit 25 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (25 m/s)² : 300 m = 625 m²/s² : 300 m
3. a_r ≈ 2,08 m/s²
Ergebnis:
2,08 m/s²
★6
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 36 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Erst umrechnen: v = 36 km/h : 3,6 ≈ 10 m/s
2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
3. a_r = (10 m/s)² : 12 m
4. a_r ≈ 8,33 m/s², zur Mitte der Kurve
Ergebnis:
8,33 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 400 kg · (15 m/s)² : 15 m
F_r ≈ 6000 N

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 400 kg · (15 m/s)² : 15 m
F_r ≈ 6000 N

Ergebnis:

6000 N

ÜbenJetzt du

○7
Ein Auto der Masse 1000 kg bewegt sich mit 20 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 40 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 1000 kg · (20 m/s)² : 40 m
3. F_r ≈ 10.000 N
Ergebnis:
10.000 N
●8
Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 400 kg · (15 m/s)² : 12 m
3. F_r ≈ 7500 N
Ergebnis:
7500 N
★9
Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 6 kg auf einem Kreis mit r = 1,6 m, 2,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. ω = 2π · f = 2π · 2,5 1/s ≈ 15,7 1/s
2. F_r = m · ω² · r
3. F_r = 6 kg · (15,7 1/s)² · 1,6 m
4. F_r ≈ 2370 N
Ergebnis:
2370 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Hammerwerfer dreht den Hammer an einem Seil. Welche Kraft hält den Hammer auf dem Kreis?

Schritt für Schritt

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Seilkraft, die zur Hand hin zieht

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Seilkraft, die zur Hand hin zieht

Ergebnis:

die Seilkraft, die zur Hand hin zieht

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht

sin(30) im Modus RAD → −0,988

So richtig

sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Wettersatellit kreist um die Erde. Was ist die Radialkraft?
So fängst du an:
Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
●11
Wäsche kreist in der Trommel einer Waschmaschine. Welche Kraft hält sie auf der Kreisbahn?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
Ergebnis:
die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
★12
Eine Eiskunstläuferin dreht sich an der Hand ihres Partners im Kreis. Welche Kraft hält sie auf der Bahn?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
3. Also: die Zugkraft des Partners über die Arme, zur Mitte hin
Ergebnis:
die Zugkraft des Partners über die Arme, zur Mitte hin

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Kairo auf einem Kreis mit r = 5520 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?

Schritt für Schritt

r = 5520 km = 5.520.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 5.520.000 m : 86.400 s
v ≈ 401 m/s

r = 5520 km = 5.520.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 5.520.000 m : 86.400 s
v ≈ 401 m/s

Ergebnis:

401 m/s

ÜbenJetzt du

○13
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Berlin auf einem Kreis mit r = 3880 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
So fängst du an:
r = 3880 km = 3.880.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
Lösung zeigen
1. r = 3880 km = 3.880.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 3.880.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 282 m/s
Ergebnis:
282 m/s
●14
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 463 m/s
Ergebnis:
463 m/s
★15
Berlin liegt auf etwa 52,5° Breite. Wie weit kommt die Stadt durch die Erddrehung in einer Stunde? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 52,5° ≈ 3880 km
2. Umfang des Kreises: 2π · r ≈ 24.400 km
3. In einer Stunde schafft die Stadt ein 24stel davon.
4. s = 2π · r : 24 ≈ 1020 km
Ergebnis:
1020 km

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 6 s
3. ω ≈ 1,05 1/s
Ergebnis:
1,05 1/s
●17
Ein Riesenrad hat einen Radius von 30 m und braucht für eine Umdrehung 60 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. v = 2π · r : T
2. v = 2π · 30 m : 60 s
3. v ≈ 3,14 m/s
Ergebnis:
3,14 m/s
●18
Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 400 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (20 m/s)² : 400 m = 400 m²/s² : 400 m
3. a_r ≈ 1 m/s²
Ergebnis:
1 m/s²
●19
In welche Richtung zeigt die Beschleunigung bei einer gleichförmigen Kreisbewegung?
Lösung zeigen
1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
3. Also: zum Mittelpunkt des Kreises
Ergebnis:
zum Mittelpunkt des Kreises
●20
Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 350 kg bewegt sich mit 20 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 20 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 350 kg · (20 m/s)² : 20 m
3. F_r ≈ 7000 N
Ergebnis:
7000 N
●21
Durch eine Kurve fährt ein Bus mit der Radialkraft F_r = 3,6 kN. Wie groß ist sie bei gleichem Tempo, wenn die Masse dreimal so groß ist? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. F_r = m · v² : r, die Masse steht einfach im Zähler.
2. 3-fache Masse heißt 3-fache Kraft.
3. F_r = 3 · 3,6 kN = 10,8 kN
Ergebnis:
10,8 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen: Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung: Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft: Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?: Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik: Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht

m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N

So richtig

F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht

Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.

So richtig

Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.
22
Eine Schallplatte dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 1,8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3,49 1/s
Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.
23
Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 100 m, gleichmäßig mit 50 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 m/s²
Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.
24
Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 75 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
500 N
Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.
25
Ein Puck gleitet an einer Schnur auf dem Eis im Kreis um einen Pflock. Welche Kraft hält ihn auf dem Kreis?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Kraft der Schnur zum Pflock hin
Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.
26
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
345 m/s
Ich bereite die Klausur vor.
27
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 3 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,09 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

0,628 1/s
0,105 1/s
105 1/s
3,13 m/s²
2,08 m/s²
8,33 m/s²
10.000 N
7500 N
2370 N
die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
die Zugkraft des Partners über die Arme, zur Mitte hin
282 m/s
463 m/s
1020 km
1,05 1/s
3,14 m/s
1 m/s²
zum Mittelpunkt des Kreises
7000 N
10,8 kN
3,49 1/s
25 m/s²
500 N
die Kraft der Schnur zum Pflock hin
345 m/s
2,09 1/s