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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Kreisbewegungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 7 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
T = 7 sω = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 7 s
  3. ω ≈ 0,898 1/s
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 7 s
  3. ω ≈ 0,898 1/s
Ergebnis:
0,898 1/s

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 5 sω = ?
    So fängst du an:
    Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 5 s
    3. ω ≈ 1,26 1/s
    Ergebnis:
    1,26 1/s
  2. ●2
    Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 5 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 5 s
    3. ω ≈ 1,26 1/s
    Ergebnis:
    1,26 1/s
  3. ★3
    Eine Waschmaschinentrommel dreht sich gleichmäßig mit 400 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    400 Umdrehungen je Minuteω = ?
    Lösung zeigen
    1. Drehzahl je Sekunde: f = 400 : 60 s = 6,67 1/s
    2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
    3. ω = 2π · 6,67 1/s
    4. ω ≈ 41,9 1/s
    Ergebnis:
    41,9 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 15 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
r = 12 mv = 15 m/sa_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (15 m/s)² : 12 m = 225 m²/s² : 12 m
  3. a_r ≈ 18,8 m/s²
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (15 m/s)² : 12 m = 225 m²/s² : 12 m
  3. a_r ≈ 18,8 m/s²
Ergebnis:
18,8 m/s²

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 18 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 12 mv = 18 m/sa_r = ?
    So fängst du an:
    Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (18 m/s)² : 12 m = 324 m²/s² : 12 m
    3. a_r ≈ 27 m/s²
    Ergebnis:
    27 m/s²
  2. ●5
    Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 80 mv = 30 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (30 m/s)² : 80 m = 900 m²/s² : 80 m
    3. a_r ≈ 11,3 m/s²
    Ergebnis:
    11,3 m/s²
  3. ★6
    Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 18 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
    r = 80 mv = 18 km/ha_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: v = 18 km/h : 3,6 ≈ 5 m/s
    2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
    3. a_r = (5 m/s)² : 80 m
    4. a_r ≈ 0,313 m/s², zur Mitte der Kurve
    Ergebnis:
    0,313 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Kind auf einem Karussell der Masse 35 kg bewegt sich mit 4 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 5 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
r = 5 mv = 4 m/sF_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 35 kg · (4 m/s)² : 5 m
  3. F_r ≈ 112 N
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 35 kg · (4 m/s)² : 5 m
  3. F_r ≈ 112 N
Ergebnis:
112 N

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Wagen der Achterbahn der Masse 500 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 15 mv = 12 m/sF_r = ?
    So fängst du an:
    Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 500 kg · (12 m/s)² : 15 m
    3. F_r ≈ 4800 N
    Ergebnis:
    4800 N
  2. ●8
    Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 250 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 30 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 30 mv = 10 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 250 kg · (10 m/s)² : 30 m
    3. F_r ≈ 833 N
    Ergebnis:
    833 N
  3. ★9
    Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 5 kg auf einem Kreis mit r = 2 m, 1,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
    r = 2 m1,5 Umdrehungen je SekundeF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. ω = 2π · f = 2π · 1,5 1/s ≈ 9,42 1/s
    2. F_r = m · ω² · r
    3. F_r = 5 kg · (9,42 1/s)² · 2 m
    4. F_r ≈ 888 N
    Ergebnis:
    888 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Bus fährt auf ebener Straße durch eine Kurve. Welche Kraft hält das Fahrzeug auf der Kreisbahn?
zur MitteBus von obenF_r kommt woher?
Schritt für Schritt
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
Ergebnis:
die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht
sin(30) im Modus RAD → −0,988
So richtig
sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen. Welche Kraft lenkt ihn auf die Kreisbahn?
    zur MitteZug von obenF_r kommt woher?
    So fängst du an:
    Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
    Ergebnis:
    die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
  2. ●11
    Ein Satellit kreist um die Erde. Was ist die Radialkraft?
    zur MitteSatellit von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
    Ergebnis:
    die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
  3. ★12
    Eine Eiskunstläuferin dreht sich an der Hand ihres Partners im Kreis. Welche Kraft hält sie auf der Bahn?
    F_GF_KetteF_rαF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
    3. Also: die Zugkraft des Partners über die Arme, zur Mitte hin
    Ergebnis:
    die Zugkraft des Partners über die Arme, zur Mitte hin

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Madrid auf einem Kreis mit r = 4850 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
r = ?r = 4850 kmv = ?
Schritt für Schritt
  1. r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 353 m/s
  1. r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 353 m/s
Ergebnis:
353 m/s

AchtungKreisfläche und Kreisumfang verwechselt

So nicht
r = 5 cm, Umfang → 3,14 · 5² = 78,5 cm
So richtig
r = 5 cm, Umfang → 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm

Frag dich: Weg um den Kreis oder Fläche innen? Nur die Fläche hat ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Kairo auf einem Kreis mit r = 5520 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 5520 kmv = ?
    So fängst du an:
    r = 5520 km = 5.520.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    Lösung zeigen
    1. r = 5520 km = 5.520.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 5.520.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 401 m/s
    Ergebnis:
    401 m/s
  2. ●14
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 3190 kmv = ?
    Lösung zeigen
    1. r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 232 m/s
    Ergebnis:
    232 m/s
  3. ★15
    Helsinki liegt auf etwa 60,2° nördlicher Breite. Wie schnell bewegt sich die Stadt durch die Erddrehung? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
    r = ?φ = 60,2°v = ?
    Lösung zeigen
    1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 60,2° ≈ 3170 km
    2. T = 24 h = 86.400 s
    3. v = 2π · r : T = 2π · 3170 km : 86.400 s
    4. v ≈ 230 m/s
    Ergebnis:
    230 m/s

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 10 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 10 s
    3. ω ≈ 0,628 1/s
    Ergebnis:
    0,628 1/s
  2. ●17
    Ein Karussell hat einen Radius von 6 m und braucht für eine Umdrehung 6 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
    r = 6 mT = 6 sv = ?
    Lösung zeigen
    1. v = 2π · r : T
    2. v = 2π · 6 m : 6 s
    3. v ≈ 6,28 m/s
    Ergebnis:
    6,28 m/s
  3. ●18
    Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 20 m, gleichmäßig mit 15 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 20 mv = 15 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (15 m/s)² : 20 m = 225 m²/s² : 20 m
    3. a_r ≈ 11,3 m/s²
    Ergebnis:
    11,3 m/s²
  4. ●19
    Ein Kind sitzt auf einem Kettenkarussell, das sich gleichmäßig dreht. Was gilt für seine Geschwindigkeit?
    Kind?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
    2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
    3. Also: Ihr Betrag bleibt gleich, ihre Richtung dreht sich mit.
    Ergebnis:
    Ihr Betrag bleibt gleich, ihre Richtung dreht sich mit.
  5. ●20
    Ein Auto der Masse 800 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 50 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 50 mv = 10 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 800 kg · (10 m/s)² : 50 m
    3. F_r ≈ 1600 N
    Ergebnis:
    1600 N
  6. ●21
    Durch eine Kurve fährt ein Bus mit der Radialkraft F_r = 4,5 kN. Wie groß ist sie bei gleicher Geschwindigkeit in einer Kurve mit dreifachem Radius? Berechne mit Einheit.
    vorher F_r = 4,5 kNF_r neu = ?
    Lösung zeigen
    1. F_r = m · v² : r, bei gleichem v steht der Radius unter dem Bruchstrich.
    2. 3-facher Radius heißt ein Drittel der Kraft.
    3. F_r = 4,5 kN : 3 = 1,5 kN
    Ergebnis:
    1,5 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen
Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung
Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft
Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?
Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik
Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht
m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N
So richtig
F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht
Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.
So richtig
Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

    22
    Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 8 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,785 1/s

  2. Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

    23
    Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 15 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 15 mv = 15 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 m/s²

  3. Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

    24
    Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 60 kg bewegt sich mit 6 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 10 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 10 mv = 6 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    216 N

  4. Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

    25
    Ein Bus fährt auf ebener Straße durch eine Kurve. Welche Kraft hält das Fahrzeug auf der Kreisbahn?
    zur MitteBus von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin

  5. Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

    26
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Kairo auf einem Kreis mit r = 5520 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 5520 kmv = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    401 m/s

  6. Ich bereite die Klausur vor.

    27
    Eine Schallplatte dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 1,8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 1,8 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,49 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

  1. 1,26 1/s
  2. 1,26 1/s
  3. 41,9 1/s
  4. 27 m/s²
  5. 11,3 m/s²
  6. 0,313 m/s²
  7. 4800 N
  8. 833 N
  9. 888 N
  10. die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
  11. die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
  12. die Zugkraft des Partners über die Arme, zur Mitte hin
  13. 401 m/s
  14. 232 m/s
  15. 230 m/s
  16. 0,628 1/s
  17. 6,28 m/s
  18. 11,3 m/s²
  19. Ihr Betrag bleibt gleich, ihre Richtung dreht sich mit.
  20. 1600 N
  21. 1,5 kN
  22. 0,785 1/s
  23. 15 m/s²
  24. 216 N
  25. die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
  26. 401 m/s
  27. 3,49 1/s