Physik · Klasse 11 · Kapitel

Einführungsphase: Kreisbewegungen

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Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
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Achtung typischer Fehler
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○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 8 s
ω ≈ 0,785 1/s

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 8 s
ω ≈ 0,785 1/s

Ergebnis:

0,785 1/s

ÜbenJetzt du

○1
Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 8 s
3. ω ≈ 0,785 1/s
Ergebnis:
0,785 1/s
●2
Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 6 s
3. ω ≈ 1,05 1/s
Ergebnis:
1,05 1/s
★3
Ein Ventilator dreht sich gleichmäßig mit 1200 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Drehzahl je Sekunde: f = 1200 : 60 s = 20 1/s
2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
3. ω = 2π · 20 1/s
4. ω ≈ 126 1/s
Ergebnis:
126 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 50 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (8 m/s)² : 50 m = 64 m²/s² : 50 m
a_r ≈ 1,28 m/s²

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (8 m/s)² : 50 m = 64 m²/s² : 50 m
a_r ≈ 1,28 m/s²

Ergebnis:

1,28 m/s²

ÜbenJetzt du

○4
Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 8 m, gleichmäßig mit 4 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (4 m/s)² : 8 m = 16 m²/s² : 8 m
3. a_r ≈ 2 m/s²
Ergebnis:
2 m/s²
●5
Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 20 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (12 m/s)² : 20 m = 144 m²/s² : 20 m
3. a_r ≈ 7,2 m/s²
Ergebnis:
7,2 m/s²
★6
Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 400 m, gleichmäßig mit 180 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Erst umrechnen: v = 180 km/h : 3,6 ≈ 50 m/s
2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
3. a_r = (50 m/s)² : 400 m
4. a_r ≈ 6,25 m/s², zur Mitte der Kurve
Ergebnis:
6,25 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Wagen der Achterbahn der Masse 600 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 10 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 600 kg · (12 m/s)² : 10 m
F_r ≈ 8640 N

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 600 kg · (12 m/s)² : 10 m
F_r ≈ 8640 N

Ergebnis:

8640 N

ÜbenJetzt du

○7
Ein Wagen der Achterbahn der Masse 600 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 600 kg · (12 m/s)² : 12 m
3. F_r ≈ 7200 N
Ergebnis:
7200 N
●8
Ein Auto der Masse 800 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 30 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 800 kg · (15 m/s)² : 30 m
3. F_r ≈ 6000 N
Ergebnis:
6000 N
★9
Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 5 kg auf einem Kreis mit r = 1,8 m, 2,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. ω = 2π · f = 2π · 2,5 1/s ≈ 15,7 1/s
2. F_r = m · ω² · r
3. F_r = 5 kg · (15,7 1/s)² · 1,8 m
4. F_r ≈ 2220 N
Ergebnis:
2220 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Hammerwerfer dreht den Hammer an einem Seil. Welche Kraft hält den Hammer auf dem Kreis?

Schritt für Schritt

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Seilkraft, die zur Hand hin zieht

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Seilkraft, die zur Hand hin zieht

Ergebnis:

die Seilkraft, die zur Hand hin zieht

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht

sin(30) im Modus RAD → −0,988

So richtig

sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Kind wird an den Armen im Kreis herumgeschleudert. Welche Kraft hält es auf dem Kreis?
So fängst du an:
Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
Ergebnis:
die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
●11
Die Erde läuft auf einer fast kreisförmigen Bahn um die Sonne. Welche Kraft hält sie auf dieser Bahn?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Gravitationskraft der Sonne
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Sonne
★12
Ein Bus fährt unten durch eine Senke, die wie ein Kreisbogen geformt ist. Was gilt dort für die Kraft der Fahrbahn?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
3. Also: Sie ist größer als die Gewichtskraft, um die Radialkraft.
Ergebnis:
Sie ist größer als die Gewichtskraft, um die Radialkraft.

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

r = 4740 km = 4.740.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 4.740.000 m : 86.400 s
v ≈ 345 m/s

r = 4740 km = 4.740.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 4.740.000 m : 86.400 s
v ≈ 345 m/s

Ergebnis:

345 m/s

ÜbenJetzt du

○13
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Berlin auf einem Kreis mit r = 3880 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
So fängst du an:
r = 3880 km = 3.880.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
Lösung zeigen
1. r = 3880 km = 3.880.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 3.880.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 282 m/s
Ergebnis:
282 m/s
●14
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Kairo auf einem Kreis mit r = 5520 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
1. r = 5520 km = 5.520.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 5.520.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 401 m/s
Ergebnis:
401 m/s
★15
Madrid liegt auf etwa 40,4° nördlicher Breite. Wie schnell bewegt sich die Stadt durch die Erddrehung? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 40,4° ≈ 4850 km
2. T = 24 h = 86.400 s
3. v = 2π · r : T = 2π · 4850 km : 86.400 s
4. v ≈ 353 m/s
Ergebnis:
353 m/s

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 90 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 90 s
3. ω ≈ 0,0698 1/s
Ergebnis:
0,0698 1/s
●17
Ein Karussell hat einen Radius von 4 m und braucht für eine Umdrehung 8 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. v = 2π · r : T
2. v = 2π · 4 m : 8 s
3. v ≈ 3,14 m/s
Ergebnis:
3,14 m/s
●18
Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 10 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (10 m/s)² : 80 m = 100 m²/s² : 80 m
3. a_r ≈ 1,25 m/s²
Ergebnis:
1,25 m/s²
●19
Eine Tasche liegt auf dem Armaturenbrett. Das Auto fährt in eine Kurve. Wohin rutscht sie, von der Straße aus gesehen?
Lösung zeigen
1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
3. Also: geradeaus weiter, während das Auto in die Kurve abbiegt
Ergebnis:
geradeaus weiter, während das Auto in die Kurve abbiegt
●20
Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 75 kg bewegt sich mit 8 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 75 kg · (8 m/s)² : 15 m
3. F_r ≈ 320 N
Ergebnis:
320 N
●21
Durch eine Kurve fährt ein Motorrad mit der Radialkraft F_r = 1,5 kN. Wie groß ist sie bei dreimal so großer Geschwindigkeit in derselben Kurve? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. F_r = m · v² : r, die Geschwindigkeit steht im Quadrat.
2. dreimal so schnell heißt 3² = 9-mal so viel Kraft.
3. F_r = 9 · 1,5 kN = 13,5 kN
Ergebnis:
13,5 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen: Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung: Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft: Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?: Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik: Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht

m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N

So richtig

F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht

Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.

So richtig

Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.
22
Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,628 1/s
Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.
23
Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
14,4 m/s²
Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.
24
Ein Wagen der Achterbahn der Masse 600 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5000 N
Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.
25
Ein Hammerwerfer dreht den Hammer an einem Seil. Welche Kraft hält den Hammer auf dem Kreis?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.
26
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
345 m/s
Ich bereite die Klausur vor.
27
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 4 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,57 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

0,785 1/s
1,05 1/s
126 1/s
2 m/s²
7,2 m/s²
6,25 m/s²
7200 N
6000 N
2220 N
die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
die Gravitationskraft der Sonne
Sie ist größer als die Gewichtskraft, um die Radialkraft.
282 m/s
401 m/s
353 m/s
0,0698 1/s
3,14 m/s
1,25 m/s²
geradeaus weiter, während das Auto in die Kurve abbiegt
320 N
13,5 kN
0,628 1/s
14,4 m/s²
5000 N
die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
345 m/s
1,57 1/s