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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Kreisbewegungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
T = 8 sω = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 8 s
  3. ω ≈ 0,785 1/s
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 8 s
  3. ω ≈ 0,785 1/s
Ergebnis:
0,785 1/s

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Eine Schallplatte dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 1,8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 1,8 sω = ?
    So fängst du an:
    Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 1,8 s
    3. ω ≈ 3,49 1/s
    Ergebnis:
    3,49 1/s
  2. ●2
    Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 10 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 10 s
    3. ω ≈ 0,628 1/s
    Ergebnis:
    0,628 1/s
  3. ★3
    Ein Motor dreht sich gleichmäßig mit 3000 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    3000 Umdrehungen je Minuteω = ?
    Lösung zeigen
    1. Drehzahl je Sekunde: f = 3000 : 60 s = 50 1/s
    2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
    3. ω = 2π · 50 1/s
    4. ω ≈ 314 1/s
    Ergebnis:
    314 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 120 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
r = 120 mv = 30 m/sa_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (30 m/s)² : 120 m = 900 m²/s² : 120 m
  3. a_r ≈ 7,5 m/s²
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (30 m/s)² : 120 m = 900 m²/s² : 120 m
  3. a_r ≈ 7,5 m/s²
Ergebnis:
7,5 m/s²

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 8 m, gleichmäßig mit 6 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 8 mv = 6 m/sa_r = ?
    So fängst du an:
    Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (6 m/s)² : 8 m = 36 m²/s² : 8 m
    3. a_r ≈ 4,5 m/s²
    Ergebnis:
    4,5 m/s²
  2. ●5
    Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 50 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 50 mv = 12 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (12 m/s)² : 50 m = 144 m²/s² : 50 m
    3. a_r ≈ 2,88 m/s²
    Ergebnis:
    2,88 m/s²
  3. ★6
    Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 18 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
    r = 10 mv = 18 km/ha_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: v = 18 km/h : 3,6 ≈ 5 m/s
    2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
    3. a_r = (5 m/s)² : 10 m
    4. a_r ≈ 2,5 m/s², zur Mitte der Kurve
    Ergebnis:
    2,5 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 80 kg bewegt sich mit 5 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 10 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
r = 10 mv = 5 m/sF_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 80 kg · (5 m/s)² : 10 m
  3. F_r ≈ 200 N
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 80 kg · (5 m/s)² : 10 m
  3. F_r ≈ 200 N
Ergebnis:
200 N

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 300 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 25 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 25 mv = 15 m/sF_r = ?
    So fängst du an:
    Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 300 kg · (15 m/s)² : 25 m
    3. F_r ≈ 2700 N
    Ergebnis:
    2700 N
  2. ●8
    Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 12 mv = 12 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 400 kg · (12 m/s)² : 12 m
    3. F_r ≈ 4800 N
    Ergebnis:
    4800 N
  3. ★9
    Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 6 kg auf einem Kreis mit r = 2 m, 2-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
    r = 2 m2 Umdrehungen je SekundeF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. ω = 2π · f = 2π · 2 1/s ≈ 12,6 1/s
    2. F_r = m · ω² · r
    3. F_r = 6 kg · (12,6 1/s)² · 2 m
    4. F_r ≈ 1890 N
    Ergebnis:
    1890 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen. Welche Kraft lenkt ihn auf die Kreisbahn?
zur MitteZug von obenF_r kommt woher?
Schritt für Schritt
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
Ergebnis:
die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht
sin(30) im Modus RAD → −0,988
So richtig
sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Puck gleitet an einer Schnur auf dem Eis im Kreis um einen Pflock. Welche Kraft hält ihn auf dem Kreis?
    zur MittePuck von obenF_r kommt woher?
    So fängst du an:
    Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Kraft der Schnur zum Pflock hin
    Ergebnis:
    die Kraft der Schnur zum Pflock hin
  2. ●11
    Ein Güterzug fährt durch einen Gleisbogen. Welche Kraft lenkt ihn auf die Kreisbahn?
    zur MitteGüterzug von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
    Ergebnis:
    die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
  3. ★12
    Eine Inlineskaterin legt sich in die Kurve. Warum muss sie sich nach innen neigen?
    F_GF_KetteF_rαF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
    3. Also: Die Straße drückt dann schräg, die Kraft hat eine Komponente zur Mitte.
    Ergebnis:
    Die Straße drückt dann schräg, die Kraft hat eine Komponente zur Mitte.

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
r = ?r = 3190 kmv = ?
Schritt für Schritt
  1. r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 232 m/s
  1. r = 3190 km = 3.190.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 3.190.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 232 m/s
Ergebnis:
232 m/s

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Berlin auf einem Kreis mit r = 3880 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 3880 kmv = ?
    So fängst du an:
    r = 3880 km = 3.880.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    Lösung zeigen
    1. r = 3880 km = 3.880.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 3.880.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 282 m/s
    Ergebnis:
    282 m/s
  2. ●14
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 6371 kmv = ?
    Lösung zeigen
    1. r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 463 m/s
    Ergebnis:
    463 m/s
  3. ★15
    Kapstadt liegt auf etwa 33,9° Breite. Wie weit kommt die Stadt durch die Erddrehung in einer Stunde? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
    r = ?φ = 33,9°Weg in 1 h = ?
    Lösung zeigen
    1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 33,9° ≈ 5290 km
    2. Umfang des Kreises: 2π · r ≈ 33.200 km
    3. In einer Stunde schafft die Stadt ein 24stel davon.
    4. s = 2π · r : 24 ≈ 1380 km
    Ergebnis:
    1380 km

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 8 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 8 s
    3. ω ≈ 0,785 1/s
    Ergebnis:
    0,785 1/s
  2. ●17
    Ein Kettenkarussell hat einen Radius von 7 m und braucht für eine Umdrehung 7 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
    r = 7 mT = 7 sv = ?
    Lösung zeigen
    1. v = 2π · r : T
    2. v = 2π · 7 m : 7 s
    3. v ≈ 6,28 m/s
    Ergebnis:
    6,28 m/s
  3. ●18
    Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 6 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 10 mv = 6 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (6 m/s)² : 10 m = 36 m²/s² : 10 m
    3. a_r ≈ 3,6 m/s²
    Ergebnis:
    3,6 m/s²
  4. ●19
    Ein Auto fährt mit 50 km/h geradeaus und dann mit 50 km/h durch eine Kurve. Wann wirkt eine Gesamtkraft auf das Auto?
    Auto?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
    2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
    3. Also: nur in der Kurve, dort zur Mitte hin
    Ergebnis:
    nur in der Kurve, dort zur Mitte hin
  5. ●20
    Durch eine Kurve fährt ein Zug mit der Radialkraft F_r = 1,2 kN. Wie groß ist sie bei gleicher Geschwindigkeit in einer Kurve mit vierfachem Radius? Berechne mit Einheit.
    vorher F_r = 1,2 kNF_r neu = ?
    Lösung zeigen
    1. F_r = m · v² : r, bei gleichem v steht der Radius unter dem Bruchstrich.
    2. 4-facher Radius heißt ein Viertel der Kraft.
    3. F_r = 1,2 kN : 4 = 0,3 kN
    Ergebnis:
    0,3 kN
  6. ●21
    Ein Auto fährt auf leicht feuchter Straße durch eine ebene Kurve mit r = 40 m. Die Haftreibungszahl ist 0,6. Mit welcher Geschwindigkeit kann es höchstens fahren? Berechne mit Einheit.
    zur Mitter = 40 m, μ = 0,6v höchstens = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Haftreibung liefert die Radialkraft: m · v² : r = μ · m · g
    2. Die Masse kürzt sich: v = √μ · g · r
    3. v = √0,6 · 9,81 m/s² · 40 m
    4. v ≈ 15,3 m/s
    Ergebnis:
    15,3 m/s

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen
Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung
Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft
Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?
Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik
Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht
m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N
So richtig
F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht
Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.
So richtig
Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

    22
    Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 10 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,628 1/s

  2. Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

    23
    Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 15 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 12 mv = 15 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18,8 m/s²

  3. Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

    24
    Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 350 kg bewegt sich mit 20 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 20 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 20 mv = 20 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7000 N

  4. Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

    25
    Wäsche kreist in der Trommel einer Waschmaschine. Welche Kraft hält sie auf der Kreisbahn?
    zur MitteTrommel von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt

  5. Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

    26
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Oslo auf einem Kreis mit r = 3190 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
    r = ?r = 3190 kmv = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232 m/s

  6. Ich bereite die Klausur vor.

    27
    Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 3 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 3 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,09 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

  1. 3,49 1/s
  2. 0,628 1/s
  3. 314 1/s
  4. 4,5 m/s²
  5. 2,88 m/s²
  6. 2,5 m/s²
  7. 2700 N
  8. 4800 N
  9. 1890 N
  10. die Kraft der Schnur zum Pflock hin
  11. die Kraft der äußeren Schiene auf die Spurkränze der Räder
  12. Die Straße drückt dann schräg, die Kraft hat eine Komponente zur Mitte.
  13. 282 m/s
  14. 463 m/s
  15. 1380 km
  16. 0,785 1/s
  17. 6,28 m/s
  18. 3,6 m/s²
  19. nur in der Kurve, dort zur Mitte hin
  20. 0,3 kN
  21. 15,3 m/s
  22. 0,628 1/s
  23. 18,8 m/s²
  24. 7000 N
  25. die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
  26. 232 m/s
  27. 2,09 1/s