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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Kreisbewegungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
T = 10 sω = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 10 s
  3. ω ≈ 0,628 1/s
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 10 s
  3. ω ≈ 0,628 1/s
Ergebnis:
0,628 1/s

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 6 sω = ?
    So fängst du an:
    Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 6 s
    3. ω ≈ 1,05 1/s
    Ergebnis:
    1,05 1/s
  2. ●2
    Eine Schallplatte dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 1,8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 1,8 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 1,8 s
    3. ω ≈ 3,49 1/s
    Ergebnis:
    3,49 1/s
  3. ★3
    Ein Motor dreht sich gleichmäßig mit 2500 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    2500 Umdrehungen je Minuteω = ?
    Lösung zeigen
    1. Drehzahl je Sekunde: f = 2500 : 60 s = 41,7 1/s
    2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
    3. ω = 2π · 41,7 1/s
    4. ω ≈ 262 1/s
    Ergebnis:
    262 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 300 m, gleichmäßig mit 40 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
r = 300 mv = 40 m/sa_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (40 m/s)² : 300 m = 1600 m²/s² : 300 m
  3. a_r ≈ 5,33 m/s²
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (40 m/s)² : 300 m = 1600 m²/s² : 300 m
  3. a_r ≈ 5,33 m/s²
Ergebnis:
5,33 m/s²

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 120 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 120 mv = 30 m/sa_r = ?
    So fängst du an:
    Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (30 m/s)² : 120 m = 900 m²/s² : 120 m
    3. a_r ≈ 7,5 m/s²
    Ergebnis:
    7,5 m/s²
  2. ●5
    Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 15 mv = 8 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (8 m/s)² : 15 m = 64 m²/s² : 15 m
    3. a_r ≈ 4,27 m/s²
    Ergebnis:
    4,27 m/s²
  3. ★6
    Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 9 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
    r = 10 mv = 9 km/ha_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: v = 9 km/h : 3,6 ≈ 2,5 m/s
    2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
    3. a_r = (2,5 m/s)² : 10 m
    4. a_r ≈ 0,625 m/s², zur Mitte der Kurve
    Ergebnis:
    0,625 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Auto der Masse 1000 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 50 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
r = 50 mv = 12 m/sF_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 1000 kg · (12 m/s)² : 50 m
  3. F_r ≈ 2880 N
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 1000 kg · (12 m/s)² : 50 m
  3. F_r ≈ 2880 N
Ergebnis:
2880 N

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Auto der Masse 1000 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 50 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 50 mv = 10 m/sF_r = ?
    So fängst du an:
    Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 1000 kg · (10 m/s)² : 50 m
    3. F_r ≈ 2000 N
    Ergebnis:
    2000 N
  2. ●8
    Ein Kind auf einem Karussell der Masse 35 kg bewegt sich mit 5 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 2 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 2 mv = 5 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 35 kg · (5 m/s)² : 2 m
    3. F_r ≈ 438 N
    Ergebnis:
    438 N
  3. ★9
    Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 7,26 kg auf einem Kreis mit r = 2 m, 2,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
    r = 2 m2,5 Umdrehungen je SekundeF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. ω = 2π · f = 2π · 2,5 1/s ≈ 15,7 1/s
    2. F_r = m · ω² · r
    3. F_r = 7,26 kg · (15,7 1/s)² · 2 m
    4. F_r ≈ 3580 N
    Ergebnis:
    3580 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Kind wird an den Armen im Kreis herumgeschleudert. Welche Kraft hält es auf dem Kreis?
zur MitteKind von obenF_r kommt woher?
Schritt für Schritt
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
Ergebnis:
die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht
sin(30) im Modus RAD → −0,988
So richtig
sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Hammerwerfer dreht den Hammer an einem Seil. Welche Kraft hält den Hammer auf dem Kreis?
    zur MitteHammerwerfer von obenF_r kommt woher?
    So fängst du an:
    Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
    Ergebnis:
    die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
  2. ●11
    Die Erde läuft auf einer fast kreisförmigen Bahn um die Sonne. Welche Kraft hält sie auf dieser Bahn?
    zur MitteErde von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Gravitationskraft der Sonne
    Ergebnis:
    die Gravitationskraft der Sonne
  3. ★12
    Ein Segelflugzeug fliegt eine waagerechte Kurve. Woher kommt die Radialkraft?
    F_GF_KetteF_rαF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
    3. Also: aus der Auftriebskraft, die durch die Schräglage eine Komponente zur Mitte hat
    Ergebnis:
    aus der Auftriebskraft, die durch die Schräglage eine Komponente zur Mitte hat

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
r = ?r = 6370 kmv = ?
Schritt für Schritt
  1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
  1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
Ergebnis:
463 m/s

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 6370 kmv = ?
    So fängst du an:
    r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    Lösung zeigen
    1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 463 m/s
    Ergebnis:
    463 m/s
  2. ●14
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Madrid auf einem Kreis mit r = 4850 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 4850 kmv = ?
    Lösung zeigen
    1. r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 353 m/s
    Ergebnis:
    353 m/s
  3. ★15
    Rom liegt auf etwa 41,9° nördlicher Breite. Wie schnell bewegt sich die Stadt durch die Erddrehung? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
    r = ?φ = 41,9°v = ?
    Lösung zeigen
    1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 41,9° ≈ 4740 km
    2. T = 24 h = 86.400 s
    3. v = 2π · r : T = 2π · 4740 km : 86.400 s
    4. v ≈ 345 m/s
    Ergebnis:
    345 m/s

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 10 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 10 s
    3. ω ≈ 0,628 1/s
    Ergebnis:
    0,628 1/s
  2. ●17
    Ein Windrad hat einen Radius von 60 m und braucht für eine Umdrehung 4 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
    r = 60 mT = 4 sv = ?
    Lösung zeigen
    1. v = 2π · r : T
    2. v = 2π · 60 m : 4 s
    3. v ≈ 94,2 m/s
    Ergebnis:
    94,2 m/s
  3. ●18
    Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 50 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 50 mv = 20 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (20 m/s)² : 50 m = 400 m²/s² : 50 m
    3. a_r ≈ 8 m/s²
    Ergebnis:
    8 m/s²
  4. ●19
    In welche Richtung zeigt die Beschleunigung bei einer gleichförmigen Kreisbewegung?
    Beschleunigung?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
    2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
    3. Also: zum Mittelpunkt des Kreises
    Ergebnis:
    zum Mittelpunkt des Kreises
  5. ●20
    Durch eine Kurve fährt ein Auto mit der Radialkraft F_r = 3 kN. Wie groß ist sie bei dreimal so großer Geschwindigkeit in derselben Kurve? Berechne mit Einheit.
    vorher F_r = 3 kNF_r neu = ?
    Lösung zeigen
    1. F_r = m · v² : r, die Geschwindigkeit steht im Quadrat.
    2. dreimal so schnell heißt 3² = 9-mal so viel Kraft.
    3. F_r = 9 · 3 kN = 27 kN
    Ergebnis:
    27 kN
  6. ●21
    Ein Auto fährt auf trockener Straße durch eine ebene Kurve mit r = 60 m. Die Haftreibungszahl ist 0,7. Mit welcher Geschwindigkeit kann es höchstens fahren? Berechne mit Einheit.
    zur Mitter = 60 m, μ = 0,7v höchstens = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Haftreibung liefert die Radialkraft: m · v² : r = μ · m · g
    2. Die Masse kürzt sich: v = √μ · g · r
    3. v = √0,7 · 9,81 m/s² · 60 m
    4. v ≈ 20,3 m/s
    Ergebnis:
    20,3 m/s

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen
Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung
Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft
Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?
Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik
Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht
m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N
So richtig
F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht
Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.
So richtig
Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

    22
    Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 8 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,785 1/s

  2. Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

    23
    Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 100 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 100 mv = 8 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,64 m/s²

  3. Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

    24
    Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 12 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 10 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 10 mv = 12 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5760 N

  4. Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

    25
    Ein Navigationssatellit kreist um die Erde. Was ist die Radialkraft?
    zur MitteNavigationssatellit von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten

  5. Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

    26
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 6371 kmv = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    463 m/s

  6. Ich bereite die Klausur vor.

    27
    Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 5 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,26 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

  1. 1,05 1/s
  2. 3,49 1/s
  3. 262 1/s
  4. 7,5 m/s²
  5. 4,27 m/s²
  6. 0,625 m/s²
  7. 2000 N
  8. 438 N
  9. 3580 N
  10. die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
  11. die Gravitationskraft der Sonne
  12. aus der Auftriebskraft, die durch die Schräglage eine Komponente zur Mitte hat
  13. 463 m/s
  14. 353 m/s
  15. 345 m/s
  16. 0,628 1/s
  17. 94,2 m/s
  18. 8 m/s²
  19. zum Mittelpunkt des Kreises
  20. 27 kN
  21. 20,3 m/s
  22. 0,785 1/s
  23. 0,64 m/s²
  24. 5760 N
  25. die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
  26. 463 m/s
  27. 1,26 1/s