Physik · Klasse 11 · Kapitel

Einführungsphase: Kreisbewegungen

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Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Karussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 5 s
ω ≈ 1,26 1/s

Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
ω = 2π : 5 s
ω ≈ 1,26 1/s

Ergebnis:

1,26 1/s

ÜbenJetzt du

○1
Eine Drehtür dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 8 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 8 s
3. ω ≈ 0,785 1/s
Ergebnis:
0,785 1/s
●2
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 5 s
3. ω ≈ 1,26 1/s
Ergebnis:
1,26 1/s
★3
Eine Bohrmaschine dreht sich gleichmäßig mit 900 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Drehzahl je Sekunde: f = 900 : 60 s = 15 1/s
2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
3. ω = 2π · 15 1/s
4. ω ≈ 94,2 1/s
Ergebnis:
94,2 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Eine Radfahrerin fährt durch eine Kurve mit dem Radius 15 m, gleichmäßig mit 8 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (8 m/s)² : 15 m = 64 m²/s² : 15 m
a_r ≈ 4,27 m/s²

Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
a_r = (8 m/s)² : 15 m = 64 m²/s² : 15 m
a_r ≈ 4,27 m/s²

Ergebnis:

4,27 m/s²

ÜbenJetzt du

○4
Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 100 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (30 m/s)² : 100 m = 900 m²/s² : 100 m
3. a_r ≈ 9 m/s²
Ergebnis:
9 m/s²
●5
Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 12 m, gleichmäßig mit 18 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (18 m/s)² : 12 m = 324 m²/s² : 12 m
3. a_r ≈ 27 m/s²
Ergebnis:
27 m/s²
★6
Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 50 m, gleichmäßig mit 72 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Erst umrechnen: v = 72 km/h : 3,6 ≈ 20 m/s
2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
3. a_r = (20 m/s)² : 50 m
4. a_r ≈ 8 m/s², zur Mitte der Kurve
Ergebnis:
8 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 70 kg bewegt sich mit 8 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 15 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 70 kg · (8 m/s)² : 15 m
F_r ≈ 299 N

Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
F_r = 70 kg · (8 m/s)² : 15 m
F_r ≈ 299 N

Ergebnis:

299 N

ÜbenJetzt du

○7
Ein Kind auf einem Karussell der Masse 50 kg bewegt sich mit 4 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 3 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 50 kg · (4 m/s)² : 3 m
3. F_r ≈ 267 N
Ergebnis:
267 N
●8
Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 75 kg bewegt sich mit 6 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 75 kg · (6 m/s)² : 12 m
3. F_r ≈ 225 N
Ergebnis:
225 N
★9
Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 6 kg auf einem Kreis mit r = 1,8 m, 2,5-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. ω = 2π · f = 2π · 2,5 1/s ≈ 15,7 1/s
2. F_r = m · ω² · r
3. F_r = 6 kg · (15,7 1/s)² · 1,8 m
4. F_r ≈ 2660 N
Ergebnis:
2660 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Der Mond umkreist die Erde. Welche Kraft wirkt als Radialkraft?

Schritt für Schritt

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Gravitationskraft der Erde

Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
Also: die Gravitationskraft der Erde

Ergebnis:

die Gravitationskraft der Erde

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht

sin(30) im Modus RAD → −0,988

So richtig

sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Puck gleitet an einer Schnur auf dem Eis im Kreis um einen Pflock. Welche Kraft hält ihn auf dem Kreis?
So fängst du an:
Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Kraft der Schnur zum Pflock hin
Ergebnis:
die Kraft der Schnur zum Pflock hin
●11
Wäsche kreist in der Trommel einer Waschmaschine. Welche Kraft hält sie auf der Kreisbahn?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
3. Also: die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
Ergebnis:
die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
★12
Eine Kurve im Velodrom ist nach innen geneigt. Wozu dient das?
Lösung zeigen
1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
3. Also: Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.
Ergebnis:
Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Madrid auf einem Kreis mit r = 4850 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
v ≈ 353 m/s

r = 4850 km = 4.850.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
v = 2π · r : T
v = 2π · 4.850.000 m : 86.400 s
v ≈ 353 m/s

Ergebnis:

353 m/s

ÜbenJetzt du

○13
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
So fängst du an:
r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
Lösung zeigen
1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 463 m/s
Ergebnis:
463 m/s
●14
Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
1. r = 4740 km = 4.740.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
2. v = 2π · r : T
3. v = 2π · 4.740.000 m : 86.400 s
4. v ≈ 345 m/s
Ergebnis:
345 m/s
★15
Berlin liegt auf etwa 52,5° Breite. Wie weit kommt die Stadt durch die Erddrehung in einer Stunde? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 52,5° ≈ 3880 km
2. Umfang des Kreises: 2π · r ≈ 24.400 km
3. In einer Stunde schafft die Stadt ein 24stel davon.
4. s = 2π · r : 24 ≈ 1020 km
Ergebnis:
1020 km

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 10 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
2. ω = 2π : 10 s
3. ω ≈ 0,628 1/s
Ergebnis:
0,628 1/s
●17
Eine Zentrifuge im Training von Astronauten hat einen Radius von 8 m und braucht für eine Umdrehung 2 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. v = 2π · r : T
2. v = 2π · 8 m : 2 s
3. v ≈ 25,1 m/s
Ergebnis:
25,1 m/s
●18
Eine Achterbahn fährt durch einen Bogen mit dem Radius 10 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
2. a_r = (20 m/s)² : 10 m = 400 m²/s² : 10 m
3. a_r ≈ 40 m/s²
Ergebnis:
40 m/s²
●19
Ein Hammerwerfer lässt den Hammer los. In welche Richtung fliegt der Hammer im Moment des Loslassens?
Lösung zeigen
1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
3. Also: tangential, in die Richtung seiner Geschwindigkeit
Ergebnis:
tangential, in die Richtung seiner Geschwindigkeit
●20
Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 60 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 20 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
2. F_r = 60 kg · (10 m/s)² : 20 m
3. F_r ≈ 300 N
Ergebnis:
300 N
●21
Durch eine Kurve fährt eine Radfahrerin mit der Radialkraft F_r = 3 kN. Wie groß ist sie bei gleicher Geschwindigkeit in einer Kurve mit dreifachem Radius? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. F_r = m · v² : r, bei gleichem v steht der Radius unter dem Bruchstrich.
2. 3-facher Radius heißt ein Drittel der Kraft.
3. F_r = 3 kN : 3 = 1 kN
Ergebnis:
1 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen: Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung: Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft: Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?: Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik: Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht

m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N

So richtig

F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht

Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.

So richtig

Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.
22
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,26 1/s
Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.
23
Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 80 m, gleichmäßig mit 15 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,81 m/s²
Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.
24
Ein Auto der Masse 800 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 50 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3600 N
Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.
25
Ein Kind wird an den Armen im Kreis herumgeschleudert. Welche Kraft hält es auf dem Kreis?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.
26
Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
Lösung zeigen
Ergebnis:
463 m/s
Ich bereite die Klausur vor.
27
Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,05 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius: vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

0,785 1/s
1,26 1/s
94,2 1/s
9 m/s²
27 m/s²
8 m/s²
267 N
225 N
2660 N
die Kraft der Schnur zum Pflock hin
die Kraft der Trommelwand, die nach innen drückt
Die Normalkraft der Fahrbahn bekommt eine Komponente zur Mitte.
463 m/s
345 m/s
1020 km
0,628 1/s
25,1 m/s
40 m/s²
tangential, in die Richtung seiner Geschwindigkeit
300 N
1 kN
1,26 1/s
2,81 m/s²
3600 N
die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
463 m/s
1,05 1/s