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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Kreisbewegungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

MerkenBahn- und Winkelgrößen

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.

Winkelgeschwindigkeit ω = 2π : T = 2π · f, Bahngeschwindigkeit v = 2π · r : T = ω · r.

BeispielWinkelgeschwindigkeit

Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 240 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
T = 240 sω = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 240 s
  3. ω ≈ 0,0262 1/s
  1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
  2. ω = 2π : 240 s
  3. ω ≈ 0,0262 1/s
Ergebnis:
0,0262 1/s

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 6 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 6 sω = ?
    So fängst du an:
    Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 6 s
    3. ω ≈ 1,05 1/s
    Ergebnis:
    1,05 1/s
  2. ●2
    Ein Kinderkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 5 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 5 s
    3. ω ≈ 1,26 1/s
    Ergebnis:
    1,26 1/s
  3. ★3
    Eine Waschmaschinentrommel dreht sich gleichmäßig mit 800 Umdrehungen je Minute. Wie groß ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    800 Umdrehungen je Minuteω = ?
    Lösung zeigen
    1. Drehzahl je Sekunde: f = 800 : 60 s = 13,3 1/s
    2. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π · f
    3. ω = 2π · 13,3 1/s
    4. ω ≈ 83,8 1/s
    Ergebnis:
    83,8 1/s

2Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

MerkenRadialbeschleunigung

Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.

Deshalb ist auch die gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt, zur Mitte hin: a_r = v² : r = ω² · r.

BeispielRadialbeschleunigung

Ein Auto fährt durch eine Kurve mit dem Radius 100 m, gleichmäßig mit 12 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
r = 100 mv = 12 m/sa_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (12 m/s)² : 100 m = 144 m²/s² : 100 m
  3. a_r ≈ 1,44 m/s²
  1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
  2. a_r = (12 m/s)² : 100 m = 144 m²/s² : 100 m
  3. a_r ≈ 1,44 m/s²
Ergebnis:
1,44 m/s²

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Rennwagen fährt durch eine Kurve mit dem Radius 120 m, gleichmäßig mit 50 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 120 mv = 50 m/sa_r = ?
    So fängst du an:
    Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (50 m/s)² : 120 m = 2500 m²/s² : 120 m
    3. a_r ≈ 20,8 m/s²
    Ergebnis:
    20,8 m/s²
  2. ●5
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 300 m, gleichmäßig mit 25 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 300 mv = 25 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (25 m/s)² : 300 m = 625 m²/s² : 300 m
    3. a_r ≈ 2,08 m/s²
    Ergebnis:
    2,08 m/s²
  3. ★6
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 300 m, gleichmäßig mit 72 km/h. Wie groß ist die Radialbeschleunigung, und wohin zeigt sie? Berechne mit Einheit.
    r = 300 mv = 72 km/ha_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: v = 72 km/h : 3,6 ≈ 20 m/s
    2. a_r = v² : r, die Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt.
    3. a_r = (20 m/s)² : 300 m
    4. a_r ≈ 1,33 m/s², zur Mitte der Kurve
    Ergebnis:
    1,33 m/s²

3Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

MerkenRadialkraft

Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Bei gleichem v halbiert doppelter Radius die Kraft, bei gleichem ω verdoppelt er sie.

BeispielRadialkraft berechnen

Ein Wagen der Achterbahn der Masse 400 kg bewegt sich mit 10 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 12 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
r = 12 mv = 10 m/sF_r = ?
Schritt für Schritt
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 400 kg · (10 m/s)² : 12 m
  3. F_r ≈ 3330 N
  1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
  2. F_r = 400 kg · (10 m/s)² : 12 m
  3. F_r ≈ 3330 N
Ergebnis:
3330 N

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 60 kg bewegt sich mit 5 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 20 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 20 mv = 5 m/sF_r = ?
    So fängst du an:
    Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 60 kg · (5 m/s)² : 20 m
    3. F_r ≈ 75 N
    Ergebnis:
    75 N
  2. ●8
    Ein Motorrad mit Fahrer der Masse 250 kg bewegt sich mit 20 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 40 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 40 mv = 20 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 250 kg · (20 m/s)² : 40 m
    3. F_r ≈ 2500 N
    Ergebnis:
    2500 N
  3. ★9
    Ein Hammerwerfer dreht einen Hammer der Masse 4 kg auf einem Kreis mit r = 1,5 m, 2-mal je Sekunde. Welche Kraft braucht er zur Mitte hin? Berechne mit Einheit.
    r = 1,5 m2 Umdrehungen je SekundeF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. ω = 2π · f = 2π · 2 1/s ≈ 12,6 1/s
    2. F_r = m · ω² · r
    3. F_r = 4 kg · (12,6 1/s)² · 1,5 m
    4. F_r ≈ 947 N
    Ergebnis:
    947 N

4Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

MerkenWer liefert die Radialkraft?

Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.

Von außen gesehen gibt es keine Kraft nach außen. Bei schrägen Kräften zählt die Komponente zur Mitte.

BeispielWer liefert die Radialkraft?

Ein Navigationssatellit kreist um die Erde. Was ist die Radialkraft?
zur MitteNavigationssatellit von obenF_r kommt woher?
Schritt für Schritt
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
  1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
  2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
  3. Also: die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten
Ergebnis:
die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht
sin(30) im Modus RAD → −0,988
So richtig
sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Hammerwerfer dreht den Hammer an einem Seil. Welche Kraft hält den Hammer auf dem Kreis?
    zur MitteHammerwerfer von obenF_r kommt woher?
    So fängst du an:
    Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
    Ergebnis:
    die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
  2. ●11
    Ein Auto fährt auf ebener Straße durch eine Kurve. Welche Kraft hält das Fahrzeug auf der Kreisbahn?
    zur MitteAuto von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Such die Kraft, die zur Mitte des Kreises zeigt.
    3. Also: die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
    Ergebnis:
    die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
  3. ★12
    Bei einem Kettenkarussell hängen die Ketten schräg nach außen. Welche Kraft liefert die Radialkraft?
    F_GF_KetteF_rαF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne alle Kräfte auf den kreisenden Körper, jede mit ihrem Verursacher.
    2. Zerlege schräge Kräfte in eine Komponente zur Mitte und eine senkrecht dazu.
    3. Also: die waagerechte Komponente der Kettenkraft
    Ergebnis:
    die waagerechte Komponente der Kettenkraft

5Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

MerkenKreisbewegungen in Natur und Technik

Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

Zentrifugen erzeugen große Radialbeschleunigungen a_r = ω² · r. Die Radialkraft verrichtet keine Arbeit, die Bewegungsenergie bleibt.

BeispielErddrehung

Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Singapur auf einem Kreis mit r = 6370 km um die Erdachse, einmal in 24 h. Wie schnell bewegt er sich in m/s?
r = ?r = 6370 kmv = ?
Schritt für Schritt
  1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
  1. r = 6370 km = 6.370.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
  2. v = 2π · r : T
  3. v = 2π · 6.370.000 m : 86.400 s
  4. v ≈ 463 m/s
Ergebnis:
463 m/s

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Berlin auf einem Kreis mit r = 3880 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 3880 kmv = ?
    So fängst du an:
    r = 3880 km = 3.880.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    Lösung zeigen
    1. r = 3880 km = 3.880.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 3.880.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 282 m/s
    Ergebnis:
    282 m/s
  2. ●14
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort am Äquator auf einem Kreis mit r = 6371 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 6371 kmv = ?
    Lösung zeigen
    1. r = 6371 km = 6.371.000 m und T = 24 · 3600 s = 86.400 s
    2. v = 2π · r : T
    3. v = 2π · 6.371.000 m : 86.400 s
    4. v ≈ 463 m/s
    Ergebnis:
    463 m/s
  3. ★15
    Reykjavík liegt auf etwa 64,1° Breite. Wie weit kommt die Stadt durch die Erddrehung in einer Stunde? Erdradius 6371 km, eine Umdrehung in 24 h. Berechne mit Einheit.
    r = ?φ = 64,1°Weg in 1 h = ?
    Lösung zeigen
    1. Abstand zur Erdachse: r = R · cos φ = 6371 km · cos 64,1° ≈ 2780 km
    2. Umfang des Kreises: 2π · r ≈ 17.500 km
    3. In einer Stunde schafft die Stadt ein 24stel davon.
    4. s = 2π · r : 24 ≈ 729 km
    Ergebnis:
    729 km

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ein Kettenkarussell dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 5 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 5 sω = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Umdrehung ist der Winkel 2π: ω = 2π : T
    2. ω = 2π : 5 s
    3. ω ≈ 1,26 1/s
    Ergebnis:
    1,26 1/s
  2. ●17
    Ein Karussell hat einen Radius von 4 m und braucht für eine Umdrehung 5 s. Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Rand? Berechne mit Einheit.
    r = 4 mT = 5 sv = ?
    Lösung zeigen
    1. v = 2π · r : T
    2. v = 2π · 4 m : 5 s
    3. v ≈ 5,03 m/s
    Ergebnis:
    5,03 m/s
  3. ●18
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 300 m, gleichmäßig mit 30 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 300 mv = 30 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialbeschleunigung zur Kreismitte: a_r = v² : r
    2. a_r = (30 m/s)² : 300 m = 900 m²/s² : 300 m
    3. a_r ≈ 3 m/s²
    Ergebnis:
    3 m/s²
  4. ●19
    Eine Brotdose liegt auf dem Beifahrersitz. Das Auto fährt in eine Kurve. Wohin rutscht sie, von der Straße aus gesehen?
    Brotdose?
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Geschwindigkeit als Pfeil an zwei Stellen der Bahn, kurz nacheinander.
    2. Der Unterschied der beiden Pfeile zeigt zur Kreismitte. Dorthin zeigt auch die Kraft.
    3. Also: geradeaus weiter, während das Auto in die Kurve abbiegt
    Ergebnis:
    geradeaus weiter, während das Auto in die Kurve abbiegt
  5. ●20
    Eine Radfahrerin mit Rad der Masse 60 kg bewegt sich mit 8 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 20 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 20 mv = 8 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    1. Radialkraft zur Mitte: F_r = m · v² : r
    2. F_r = 60 kg · (8 m/s)² : 20 m
    3. F_r ≈ 192 N
    Ergebnis:
    192 N
  6. ●21
    Durch eine Kurve fährt eine Radfahrerin mit der Radialkraft F_r = 1,8 kN. Wie groß ist sie bei viermal so großer Geschwindigkeit in derselben Kurve? Berechne mit Einheit.
    vorher F_r = 1,8 kNF_r neu = ?
    Lösung zeigen
    1. F_r = m · v² : r, die Geschwindigkeit steht im Quadrat.
    2. viermal so schnell heißt 4² = 16-mal so viel Kraft.
    3. F_r = 16 · 1,8 kN = 28,8 kN
    Ergebnis:
    28,8 kN

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bahn- und Winkelgrößen
Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung.
Radialbeschleunigung
Auf dem Kreis ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Radialkraft
Die Radialkraft F_r = m · v² : r = m · ω² · r zeigt zur Mitte.
Wer liefert die Radialkraft?
Die Radialkraft liefern echte Kräfte wie Reibung, Seil oder Gravitation.
Kreisbewegungen in Natur und Technik
Ein Ort auf der Erde kreist um die Erdachse mit r = R · cos φ.

AchtungZentrifugalkraft als Ursache

So nicht
m = 5 kg, a = 2 m/s²: F = 50 N · 2 = 100 N
So richtig
F = m · a = 5 kg · 2 m/s² = 10 N  (50 N ist die Gewichtskraft)

Von außen betrachtet zieht nichts nach außen. Ohne Radialkraft fliegt der Körper tangential geradeaus weiter.

Achtungv und ω verwechselt

So nicht
Der Wagen rollt gleichförmig, also wirkt eine Kraft in Fahrtrichtung.
So richtig
Gleichförmig heißt: Die Kräfte heben sich auf. Antrieb = Reibung, Summe = 0 N

v in m/s ist der Weg je Zeit auf dem Kreis, ω in 1/s der Winkel je Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Kreisbewegung mit Periodendauer, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.

    22
    Ein Windrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 4 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 4 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,57 1/s

  2. Ich kann die gleichförmige Kreisbewegung als beschleunigte Bewegung erklären und die Radialbeschleunigung berechnen.

    23
    Ein Zug fährt durch einen Gleisbogen mit dem Radius 500 m, gleichmäßig mit 20 m/s. Wie groß ist die Radialbeschleunigung? Berechne mit Einheit.
    r = 500 mv = 20 m/sa_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,8 m/s²

  3. Ich kann die Radialkraft berechnen und ihre Abhängigkeit von Masse, Geschwindigkeit und Radius begründen.

    24
    Ein Auto der Masse 1500 kg bewegt sich mit 15 m/s auf einem Kreisbogen mit r = 40 m. Wie groß ist die nötige Radialkraft? Berechne mit Einheit.
    r = 40 mv = 15 m/sF_r = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8440 N

  4. Ich kann angeben, welche Kraft die Radialkraft liefert, und Kräfte bei Kurvenfahrten in Komponenten zerlegen.

    25
    Ein Kind wird an den Armen im Kreis herumgeschleudert. Welche Kraft hält es auf dem Kreis?
    zur MitteKind von obenF_r kommt woher?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet

  5. Ich kann Kreisbewegungen der Erde, von Satelliten und Zentrifugen berechnen und deuten.

    26
    Durch die Erddrehung kreist ein Ort in Rom auf einem Kreis mit r = 4740 km um die Erdachse, einmal je Tag. Wie schnell bewegt er sich in m/s? Berechne mit Einheit.
    r = ?r = 4740 kmv = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    345 m/s

  6. Ich bereite die Klausur vor.

    27
    Ein Riesenrad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine Umdrehung T = 300 s. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? Berechne mit Einheit.
    T = 300 sω = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,0209 1/s

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand

Lösungen

  1. 1,05 1/s
  2. 1,26 1/s
  3. 83,8 1/s
  4. 20,8 m/s²
  5. 2,08 m/s²
  6. 1,33 m/s²
  7. 75 N
  8. 2500 N
  9. 947 N
  10. die Seilkraft, die zur Hand hin zieht
  11. die Haftreibung zwischen Reifen und Straße, zur Mitte hin
  12. die waagerechte Komponente der Kettenkraft
  13. 282 m/s
  14. 463 m/s
  15. 729 km
  16. 1,26 1/s
  17. 5,03 m/s
  18. 3 m/s²
  19. geradeaus weiter, während das Auto in die Kurve abbiegt
  20. 192 N
  21. 28,8 kN
  22. 1,57 1/s
  23. 0,8 m/s²
  24. 8440 N
  25. die Zugkraft der Arme, nach innen gerichtet
  26. 345 m/s
  27. 0,0209 1/s