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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Hypothese, Messung, Messunsicherheit

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

MerkenZwei Arten von Abweichung

Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.

Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben, Mitteln hilft nicht. Zufällig heißt: Streuung nach beiden Seiten, Mitteln hilft.

BeispielSystematisch oder zufällig?

Messreihe 6: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Welche Art von Abweichung entsteht?
Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
Schritt für Schritt
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
  3. Also: eine zufällige Messabweichung
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
  3. Also: eine zufällige Messabweichung
Ergebnis:
eine zufällige Messabweichung

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Messreihe 8: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    So fängst du an:
    Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
    3. Also: eine zufällige Messabweichung
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung
  2. ●2
    Messreihe 11: Das Lineal ist an der Kante abgenutzt, gemessen wird trotzdem ab dem Ende. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  3. ★3
    Messreihe 6: Die Waage zeigt ohne Last schon 2 g an. Was verringert diese Abweichung am besten?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Art der Abweichung: eine systematische Messabweichung.
    2. Sie verschiebt jeden Wert gleich, Mitteln hebt sie nicht auf.
    3. Also: die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren
    Ergebnis:
    die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren

2Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

MerkenAbsolut und relativ

Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.

Die relative Abweichung ist dieser Unterschied geteilt durch den Vergleichswert, meist in Prozent.

BeispielAbsolute Abweichung

Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,47 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
Vergleichswert0,470,49Messwert in s
Schritt für Schritt
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 0,49 − 0,47 = 0,02
  3. Die absolute Abweichung beträgt 0,02 s.
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 0,49 − 0,47 = 0,02
  3. Die absolute Abweichung beträgt 0,02 s.
Ergebnis:
0,02 s

AchtungAbsolute und relative Abweichung verwechselt

So nicht
Tisch 2 m ± 1 cm, Münze 2 cm ± 1 mm: Die Münze ist genauer gemessen.
So richtig
Tisch: 1 cm : 200 cm = 0,5 %, Münze: 1 mm : 20 mm = 5 % → der Tisch ist genauer

Dividiere die Abweichung durch den Vergleichswert. Erst der Anteil sagt, wie genau es ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 2,11 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert2,012,11Messwert in s
    So fängst du an:
    absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 2,11 − 2,01 = 0,1
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,10 s.
    Ergebnis:
    0,1 s
  2. ●5
    Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 2,09 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert2,012,09Messwert in s
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 2,09 − 2,01 = 0,08
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,08 s.
    Ergebnis:
    0,08 s
  3. ★6
    Vier Messungen für die spezifische Wärmekapazität von Wasser in kJ/(kg·K): 4,25; 4,43; 4,36; 4,48. Vergleichswert 4,19 kJ/(kg·K). Bestimme die absolute Abweichung des Mittelwerts.
    Vergleichswert4,194,48Messwerte in kJ/(kg·K)
    Lösung zeigen
    1. Erst den Mittelwert der vier Messungen bilden, dann seinen Abstand zum Vergleichswert.
    2. Mittelwert: (4,25 + 4,43 + 4,36 + 4,48) : 4 = 4,38
    3. |4,38 − 4,19| kJ/(kg·K) ≈ 0,19 kJ/(kg·K)
    Ergebnis:
    0,19 kJ/(kg·K)

3Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

MerkenMittelwert und Standardabweichung

Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.

Die Standardabweichung misst die Streuung: Abweichungen quadrieren, addieren, durch n − 1 teilen, Wurzel ziehen.

BeispielMittelwert einer Messreihe

Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,04; 2,06; 1,92; 2,01; 1,96. Bestimme den Mittelwert.
1,922,06Messwerte in s
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 9,99 s
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 1,998 s
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 9,99 s
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 1,998 s
Ergebnis:
1,998 s

AchtungDurch die falsche Anzahl geteilt

So nicht
4 Werte: s = √(Summe : 4)
So richtig
4 Werte: s = √(Summe : 3), durch n − 1

Rechne beim Mittelwert mit n, bei der Standardabweichung mit n − 1 im Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,55; 0,49; 0,46; 0,52; 0,43. Bestimme den Mittelwert.
    0,430,55Messwerte in s
    So fängst du an:
    Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 2,45 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 0,49 s
    Ergebnis:
    0,49 s
  2. ●8
    Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,2; 100,5; 99,4; 100,0; 99,6. Bestimme den Mittelwert.
    99,4100,5Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 499,7 °C
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 99,94 °C
    Ergebnis:
    99,94 °C
  3. ★9
    Sechs Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,01; 2,10; 1,97; 1,95; 2,04; 1,26. Der 6. Wert wurde laut Protokoll falsch abgelesen. Bilde den Mittelwert der übrigen.
    1,262,1Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Ohne den 6. Wert bleiben fünf Messungen.
    2. Summe der fünf übrigen Werte: 10,07 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,014 s
    Ergebnis:
    2,014 s

4Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

MerkenWert und Unsicherheit

Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².

Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Verträglich ist es, wenn der Vergleichswert im Bereich liegt.

BeispielErgebnis mit Unsicherheit angeben

Für die Fallbeschleunigung ergibt die Auswertung den Mittelwert 9,820 m/s² und die Unsicherheit 0,2 m/s². Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
9,6210,02Bereich in m/s²
Schritt für Schritt
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 m/s² legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 9,820 → 9,8
  3. Also: (9,8 ± 0,2) m/s²
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 m/s² legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 9,820 → 9,8
  3. Also: (9,8 ± 0,2) m/s²
Ergebnis:
(9,8 ± 0,2) m/s²

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels ergibt die Auswertung den Mittelwert 2,0086 s und die Unsicherheit 0,05 s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    1,962,06Bereich in s
    So fängst du an:
    Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,05 s legt die letzte Stelle fest.
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,05 s legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 2,0086 → 2,01
    3. Also: (2,01 ± 0,05) s
    Ergebnis:
    (2,01 ± 0,05) s
  2. ●11
    Für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck ergibt die Auswertung den Mittelwert 100,185 °C und die Unsicherheit 0,2 °C. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    100100,4Bereich in °C
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 °C legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 100,185 → 100,2
    3. Also: (100,2 ± 0,2) °C
    Ergebnis:
    (100,2 ± 0,2) °C
  3. ★12
    Für die spezifische Wärmekapazität von Wasser ergibt die Auswertung den Mittelwert 4,1825 kJ/(kg·K) und die Unsicherheit 0,0865 kJ/(kg·K). Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    4,094,27Bereich in kJ/(kg·K)
    Lösung zeigen
    1. Die Unsicherheit auf eine gültige Ziffer runden: 0,0865 → 0,09 kJ/(kg·K)
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 4,1825 → 4,18
    3. Also: (4,18 ± 0,09) kJ/(kg·K)
    Ergebnis:
    (4,18 ± 0,09) kJ/(kg·K)

5Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

MerkenAusgleichsgerade

Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.

Ihre Steigung ist eine Messgröße, etwa der Widerstand im U-I-Diagramm. Vorhersagen kommen von der Geraden, nicht von einem einzelnen Punkt.

BeispielSteigung der Ausgleichsgeraden

Im U-I-Diagramm eines Widerstands geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (0,4 A | 18,8 V). Ein Messpunkt: (0,3 A | 15,09 V). Bestimme den Widerstand aus der Geraden.
I in AU in VGerade: (0,4 | 18,8)Widerstand = ?
Schritt für Schritt
  1. Die Steigung der Geraden ist U : I, in V je A.
  2. 18,8 : 0,4 = 47
  3. Widerstand: 47 Ω
  1. Die Steigung der Geraden ist U : I, in V je A.
  2. 18,8 : 0,4 = 47
  3. Widerstand: 47 Ω
Ergebnis:
47 Ω

AchtungEin Messpunkt statt der ganzen Messreihe

So nicht
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 6,1 V : 0,25 A = 24,4 Ω
So richtig
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 9,2 V : 0,40 A = 23 Ω

Nimm zwei weit entfernte Punkte auf der Ausgleichsgeraden, nicht einen Messpunkt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im F-s-Diagramm einer Feder geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (0,1 m | 8 N). Ein Messpunkt: (0,05 m | 4,2 N). Bestimme die Federkonstante aus der Geraden.
    s in mF in NGerade: (0,1 | 8)Federkonstante = ?
    So fängst du an:
    Die Steigung der Geraden ist F : s, in N je m.
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist F : s, in N je m.
    2. 8 : 0,1 = 80
    3. Federkonstante: 80 N/m
    Ergebnis:
    80 N/m
  2. ●14
    Im m-V-Diagramm eines Stoffs geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (25 cm³ | 20 g). Ein Messpunkt: (12,5 cm³ | 10,5 g). Bestimme die Dichte aus der Geraden.
    V in cm³m in gGerade: (25 | 20)Dichte = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist m : V, in g je cm³.
    2. 20 : 25 = 0,8
    3. Dichte: 0,8 g/cm³
    Ergebnis:
    0,8 g/cm³
  3. ★15
    Die Ausgleichsgerade für einen Metallwiderstand geht durch (20 °C | 100 Ω) und (70 °C | 120 Ω). Bestimme ihre Steigung in Ω/K.
    ϑ in °CR in Ω(20 °C | 100 Ω)(70 °C | 120 Ω)Steigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Steigung = ΔR : Δϑ, aus zwei Punkten der Geraden
    2. ΔR = 120 Ω − 100 Ω = 20 Ω, Δϑ = 50 K
    3. Steigung = 20 Ω : 50 K ≈ 0,4 Ω/K
    Ergebnis:
    0,4 Ω/K

6Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

MerkenLinearisieren

Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.

Beim freien Fall trägt man s über t² auf, beim Pendel T² über l. Aus der Steigung folgt die gesuchte Größe.

BeispielLinearisieren

Für eine Feder gilt E = ½ · D · s². Eine Gruppe misst 13 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
xy13 WertepaareAuftragung = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ s².
  3. Also: E über s²
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ s².
  3. Also: E über s²
Ergebnis:
E über s²

AchtungDen Faktor ½ vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J

Schreib die Formel ganz hin: E = ½ · m · v². Nimm am Ende die Hälfte.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Für die Bewegungsenergie gilt E = ½ · m · v². Eine Gruppe misst 8 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy8 WertepaareAuftragung = ?
    So fängst du an:
    Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ v².
    3. Also: E über v²
    Ergebnis:
    E über v²
  2. ●17
    Für die Radialkraft bei festem m und r gilt F = m · v² : r. Eine Gruppe misst 6 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy6 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: F ~ v².
    3. Also: F über v²
    Ergebnis:
    F über v²
  3. ★18
    Für die Gravitationskraft gilt F = G · M · m : r². Die Auftragung F über 1 : r² von 13 Wertepaaren ergibt eine Ursprungsgerade. Was gibt ihre Steigung an?
    1 : r²F13 WertepaareSteigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Schreib das Gesetz als y = Steigung · x mit der Auftragung F über 1 : r².
    2. Alles, was vor der aufgetragenen x-Größe steht, ist die Steigung.
    3. Steigung = G · M · m
    Ergebnis:
    G · M · m

7Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

MerkenMessen mit Sensoren

Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

Deshalb erst abgleichen und mit einer einfachen Messung vergleichen, dann der Anzeige trauen.

BeispielAbtastrate eines Sensors

Ein Beschleunigungssensor im Smartphone misst mit 10 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
Sensortf = 10 HzΔt = ?
Schritt für Schritt
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 10 = 100
  3. Δt = 100 ms
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 10 = 100
  3. Δt = 100 ms
Ergebnis:
100 ms

AchtungFrequenz und Periodendauer nicht als Kehrwert

So nicht
T = 0,02 s, also f = 0,02 Hz
So richtig
f = 1 : 0,02 s = 50 Hz

Frag, wie viele Schwingungen in eine Sekunde passen: f = 1 : T.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Drucksensor misst mit 125 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 125 HzΔt = ?
    So fängst du an:
    Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 125 = 8
    3. Δt = 8 ms
    Ergebnis:
    8 ms
  2. ●20
    Ein Kraftsensor misst mit 125 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 125 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 125 = 8
    3. Δt = 8 ms
    Ergebnis:
    8 ms
  3. ★21
    Ein Kraftsensor misst mit 200 Hz. Ein Stoß dauert 0,04 s. Wie viele Messwerte fallen etwa in den Stoß? Berechne.
    Sensortf = 200 HzStoß: 0,04 sAnzahl = ?
    Lösung zeigen
    1. In einer Sekunde liefert der Sensor 200 Werte.
    2. 200 · 0,04 = 8
    3. Etwa 8 Messwerte fallen in den Stoß.
    Ergebnis:
    8 Messwerte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    Messreihe 8: Das Lineal ist an der Kante abgenutzt, gemessen wird trotzdem ab dem Ende. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  2. ●23
    Gemessen wurde die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 1,93; 2,05; 2,01; 2,08; 1,96. Vergleichswert: 2,01 s. Was zeigt die Messreihe vor allem?
    Vergleichswert1,932,08Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche jeden Wert mit 2,01 s: größer oder kleiner?
    2. Einige Werte liegen darüber, andere darunter.
    3. Also: zufällige Abweichungen: Die Werte streuen um den Vergleichswert.
    Ergebnis:
    zufällige Abweichungen: Die Werte streuen um den Vergleichswert.
  3. ●24
    Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,5 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert0,490,5Messwert in s
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 0,5 − 0,49 = 0,01
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,01 s.
    Ergebnis:
    0,01 s
  4. ●25
    Gemessen: die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck mit 104 °C. Vergleichswert 100 °C. Bestimme die relative Abweichung in Prozent.
    Vergleichswert100104Messwert in °C
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung: |104 − 100| °C = 4 °C
    2. relative Abweichung = absolute Abweichung : Vergleichswert
    3. 4 : 100 ≈ 0,04 = 4 %
    Ergebnis:
    4 %
  5. ●26
    Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 1,96; 1,96; 2,06; 2,05; 2,01. Bestimme den Mittelwert.
    1,962,06Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 10,04 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,008 s
    Ergebnis:
    2,008 s
  6. ●27
    Vier Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 99,7; 99,7; 100,5; 100,4. Bestimme die Standardabweichung.
    99,7100,5Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 100,1 °C
    2. Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert ≈ 0,567
    3. s = √Summe : (n − 1) = √0,567 : 3 ≈ 0,43 °C
    Ergebnis:
    0,43 °C

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zwei Arten von Abweichung
Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.
Absolut und relativ
Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.
Mittelwert und Standardabweichung
Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.
Wert und Unsicherheit
Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².
Ausgleichsgerade
Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.
Linearisieren
Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.
Messen mit Sensoren
Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

AchtungAbweichung als Irrtum

So nicht
f = 10 cm, g = 30 cm → b = 10 cm  (Brennweite als Bildweite)
So richtig
b = (f · g) : (g − f) = (10 · 30) : 20 = 15 cm

Jede Messung hat eine Unsicherheit. Sie ist kein Fehler, den man vermeiden müsste, sondern eine Angabe zum Ergebnis.

AchtungZu viele Nachkommastellen

So nicht
G = 4 cm, g = 20 cm, b = 60 cm → B = 4 · 20 : 60 = 1,3 cm
So richtig
B = G · b : g = 4 · 60 : 20 = 12 cm  (das Bild ist größer)

Die Unsicherheit bestimmt, wie viele Stellen sinnvoll sind – nicht der Taschenrechner.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

    28
    Messreihe 7: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung

  2. Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

    29
    Eine Gruppe misst für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck 104 °C. Der Vergleichswert ist 100 °C. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert100104Messwert in °C
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 °C

  3. Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

    30
    Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,46; 0,47; 0,52; 0,52; 0,49. Bestimme den Mittelwert.
    0,460,52Messwerte in s
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,492 s

  4. Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

    31
    Für die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C ergibt die Auswertung den Mittelwert 342,11 m/s und die Unsicherheit 8 m/s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    334350Bereich in m/s
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (342 ± 8) m/s

  5. Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

    32
    Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (8 s | 20 m). Ein Messpunkt: (4 s | 10,5 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.
    t in ss in mGerade: (8 | 20)Geschwindigkeit = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,5 m/s

  6. Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

    33
    Für die Gravitationskraft gilt F = G · M · m : r². Eine Gruppe misst 14 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy14 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    F über 1 : r²

  7. Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

    34
    Ein Lichtsensor misst mit 250 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 250 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 ms

  8. Ich bereite die Klausur vor.

    35
    Messreihe 6: Der Sensor wurde nie auf 0 °C abgeglichen und zeigt immer 1,5 K zu viel. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Steigung
wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Lösungen

  1. eine zufällige Messabweichung
  2. eine systematische Messabweichung
  3. die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren
  4. 0,1 s
  5. 0,08 s
  6. 0,19 kJ/(kg·K)
  7. 0,49 s
  8. 99,94 °C
  9. 2,014 s
  10. (2,01 ± 0,05) s
  11. (100,2 ± 0,2) °C
  12. (4,18 ± 0,09) kJ/(kg·K)
  13. 80 N/m
  14. 0,8 g/cm³
  15. 0,4 Ω/K
  16. E über v²
  17. F über v²
  18. G · M · m
  19. 8 ms
  20. 8 ms
  21. 8 Messwerte
  22. eine systematische Messabweichung
  23. zufällige Abweichungen: Die Werte streuen um den Vergleichswert.
  24. 0,01 s
  25. 4 %
  26. 2,008 s
  27. 0,43 °C
  28. eine zufällige Messabweichung
  29. 4 °C
  30. 0,492 s
  31. (342 ± 8) m/s
  32. 2,5 m/s
  33. F über 1 : r²
  34. 4 ms
  35. eine systematische Messabweichung