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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Hypothese, Messung, Messunsicherheit

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

MerkenZwei Arten von Abweichung

Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.

Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben, Mitteln hilft nicht. Zufällig heißt: Streuung nach beiden Seiten, Mitteln hilft.

BeispielSystematisch oder zufällig?

Messreihe 3: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Welche Art von Abweichung entsteht?
Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
Schritt für Schritt
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
  3. Also: eine zufällige Messabweichung
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
  3. Also: eine zufällige Messabweichung
Ergebnis:
eine zufällige Messabweichung

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Messreihe 9: Man liest den Messzylinder jedes Mal schräg von oben ab. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    So fängst du an:
    Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  2. ●2
    Messreihe 10: Das Lineal ist an der Kante abgenutzt, gemessen wird trotzdem ab dem Ende. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  3. ★3
    Messreihe 9: Die Waage zeigt ohne Last schon 2 g an. Was verringert diese Abweichung am besten?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Art der Abweichung: eine systematische Messabweichung.
    2. Sie verschiebt jeden Wert gleich, Mitteln hebt sie nicht auf.
    3. Also: die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren
    Ergebnis:
    die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren

2Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

MerkenAbsolut und relativ

Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.

Die relative Abweichung ist dieser Unterschied geteilt durch den Vergleichswert, meist in Prozent.

BeispielAbsolute Abweichung

Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,48 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
Vergleichswert0,480,49Messwert in s
Schritt für Schritt
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 0,49 − 0,48 = 0,01
  3. Die absolute Abweichung beträgt 0,01 s.
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 0,49 − 0,48 = 0,01
  3. Die absolute Abweichung beträgt 0,01 s.
Ergebnis:
0,01 s

AchtungAbsolute und relative Abweichung verwechselt

So nicht
Tisch 2 m ± 1 cm, Münze 2 cm ± 1 mm: Die Münze ist genauer gemessen.
So richtig
Tisch: 1 cm : 200 cm = 0,5 %, Münze: 1 mm : 20 mm = 5 % → der Tisch ist genauer

Dividiere die Abweichung durch den Vergleichswert. Erst der Anteil sagt, wie genau es ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 1,93 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert1,932,01Messwert in s
    So fängst du an:
    absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 2,01 − 1,93 = 0,08
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,08 s.
    Ergebnis:
    0,08 s
  2. ●5
    Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,52 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert0,490,52Messwert in s
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 0,52 − 0,49 = 0,03
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,03 s.
    Ergebnis:
    0,03 s
  3. ★6
    Vier Messungen für die spezifische Wärmekapazität von Wasser in kJ/(kg·K): 4,43; 4,32; 4,26; 4,39. Vergleichswert 4,19 kJ/(kg·K). Bestimme die absolute Abweichung des Mittelwerts.
    Vergleichswert4,194,43Messwerte in kJ/(kg·K)
    Lösung zeigen
    1. Erst den Mittelwert der vier Messungen bilden, dann seinen Abstand zum Vergleichswert.
    2. Mittelwert: (4,43 + 4,32 + 4,26 + 4,39) : 4 = 4,35
    3. |4,35 − 4,19| kJ/(kg·K) ≈ 0,16 kJ/(kg·K)
    Ergebnis:
    0,16 kJ/(kg·K)

3Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

MerkenMittelwert und Standardabweichung

Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.

Die Standardabweichung misst die Streuung: Abweichungen quadrieren, addieren, durch n − 1 teilen, Wurzel ziehen.

BeispielMittelwert einer Messreihe

Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,49; 0,54; 0,47; 0,45; 0,51. Bestimme den Mittelwert.
0,450,54Messwerte in s
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 2,46 s
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 0,492 s
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 2,46 s
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 0,492 s
Ergebnis:
0,492 s

AchtungDurch die falsche Anzahl geteilt

So nicht
4 Werte: s = √(Summe : 4)
So richtig
4 Werte: s = √(Summe : 3), durch n − 1

Rechne beim Mittelwert mit n, bei der Standardabweichung mit n − 1 im Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,4; 99,7; 100,6; 99,3; 100,0. Bestimme den Mittelwert.
    99,3100,6Messwerte in °C
    So fängst du an:
    Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 500 °C
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 100 °C
    Ergebnis:
    100 °C
  2. ●8
    Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,09; 2,01; 1,96; 2,04; 1,94. Bestimme den Mittelwert.
    1,942,09Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 10,04 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,008 s
    Ergebnis:
    2,008 s
  3. ★9
    Sechs Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 99,7; 59,8; 100,7; 100,4; 100,0; 99,4. Der 2. Wert wurde laut Protokoll falsch abgelesen. Bilde den Mittelwert der übrigen.
    59,8100,7Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    1. Ohne den 2. Wert bleiben fünf Messungen.
    2. Summe der fünf übrigen Werte: 500,2 °C
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 100 °C
    Ergebnis:
    100 °C

4Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

MerkenWert und Unsicherheit

Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².

Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Verträglich ist es, wenn der Vergleichswert im Bereich liegt.

BeispielErgebnis mit Unsicherheit angeben

Für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck ergibt die Auswertung den Mittelwert 100,221 °C und die Unsicherheit 0,6 °C. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
99,6100,8Bereich in °C
Schritt für Schritt
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,6 °C legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 100,221 → 100,2
  3. Also: (100,2 ± 0,6) °C
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,6 °C legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 100,221 → 100,2
  3. Also: (100,2 ± 0,6) °C
Ergebnis:
(100,2 ± 0,6) °C

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für die spezifische Wärmekapazität von Wasser ergibt die Auswertung den Mittelwert 4,248 kJ/(kg·K) und die Unsicherheit 0,1 kJ/(kg·K). Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    4,154,35Bereich in kJ/(kg·K)
    So fängst du an:
    Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,1 kJ/(kg·K) legt die letzte Stelle fest.
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,1 kJ/(kg·K) legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 4,248 → 4,2
    3. Also: (4,2 ± 0,1) kJ/(kg·K)
    Ergebnis:
    (4,2 ± 0,1) kJ/(kg·K)
  2. ●11
    Für die Dichte von Aluminium ergibt die Auswertung den Mittelwert 2,6998 g/cm³ und die Unsicherheit 0,03 g/cm³. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    2,672,73Bereich in g/cm³
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,03 g/cm³ legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 2,6998 → 2,70
    3. Also: (2,70 ± 0,03) g/cm³
    Ergebnis:
    (2,70 ± 0,03) g/cm³
  3. ★12
    Für die Fallbeschleunigung ergibt die Auswertung den Mittelwert 9,8920 m/s² und die Unsicherheit 0,0885 m/s². Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    9,89,98Bereich in m/s²
    Lösung zeigen
    1. Die Unsicherheit auf eine gültige Ziffer runden: 0,0885 → 0,09 m/s²
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 9,8920 → 9,89
    3. Also: (9,89 ± 0,09) m/s²
    Ergebnis:
    (9,89 ± 0,09) m/s²

5Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

MerkenAusgleichsgerade

Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.

Ihre Steigung ist eine Messgröße, etwa der Widerstand im U-I-Diagramm. Vorhersagen kommen von der Geraden, nicht von einem einzelnen Punkt.

BeispielSteigung der Ausgleichsgeraden

Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (4 s | 2,4 m). Ein Messpunkt: (2,4 s | 1,34 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.
t in ss in mGerade: (4 | 2,4)Geschwindigkeit = ?
Schritt für Schritt
  1. Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
  2. 2,4 : 4 = 0,6
  3. Geschwindigkeit: 0,6 m/s
  1. Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
  2. 2,4 : 4 = 0,6
  3. Geschwindigkeit: 0,6 m/s
Ergebnis:
0,6 m/s

AchtungEin Messpunkt statt der ganzen Messreihe

So nicht
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 6,1 V : 0,25 A = 24,4 Ω
So richtig
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 9,2 V : 0,40 A = 23 Ω

Nimm zwei weit entfernte Punkte auf der Ausgleichsgeraden, nicht einen Messpunkt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im m-V-Diagramm eines Stoffs geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (40 cm³ | 48 g). Ein Messpunkt: (24 cm³ | 30,82 g). Bestimme die Dichte aus der Geraden.
    V in cm³m in gGerade: (40 | 48)Dichte = ?
    So fängst du an:
    Die Steigung der Geraden ist m : V, in g je cm³.
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist m : V, in g je cm³.
    2. 48 : 40 = 1,2
    3. Dichte: 1,2 g/cm³
    Ergebnis:
    1,2 g/cm³
  2. ●14
    Im F-s-Diagramm einer Feder geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (0,12 m | 4,8 N). Ein Messpunkt: (0,06 m | 2,52 N). Bestimme die Federkonstante aus der Geraden.
    s in mF in NGerade: (0,12 | 4,8)Federkonstante = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist F : s, in N je m.
    2. 4,8 : 0,12 = 40
    3. Federkonstante: 40 N/m
    Ergebnis:
    40 N/m
  3. ★15
    Die Ausgleichsgerade für einen Metallwiderstand geht durch (10 °C | 100 Ω) und (70 °C | 124 Ω). Bestimme ihre Steigung in Ω/K.
    ϑ in °CR in Ω(10 °C | 100 Ω)(70 °C | 124 Ω)Steigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Steigung = ΔR : Δϑ, aus zwei Punkten der Geraden
    2. ΔR = 124 Ω − 100 Ω = 24 Ω, Δϑ = 60 K
    3. Steigung = 24 Ω : 60 K ≈ 0,4 Ω/K
    Ergebnis:
    0,4 Ω/K

6Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

MerkenLinearisieren

Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.

Beim freien Fall trägt man s über t² auf, beim Pendel T² über l. Aus der Steigung folgt die gesuchte Größe.

BeispielLinearisieren

Für die Radialkraft bei festem m und r gilt F = m · v² : r. Eine Gruppe misst 8 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
xy8 WertepaareAuftragung = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: F ~ v².
  3. Also: F über v²
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: F ~ v².
  3. Also: F über v²
Ergebnis:
F über v²

AchtungDen Faktor ½ vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J

Schreib die Formel ganz hin: E = ½ · m · v². Nimm am Ende die Hälfte.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Für den freien Fall aus der Ruhe gilt s = ½ · g · t². Eine Gruppe misst 12 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy12 WertepaareAuftragung = ?
    So fängst du an:
    Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: s ~ t².
    3. Also: s über t²
    Ergebnis:
    s über t²
  2. ●17
    Für den freien Fall aus der Ruhe gilt s = ½ · g · t². Eine Gruppe misst 7 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy7 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: s ~ t².
    3. Also: s über t²
    Ergebnis:
    s über t²
  3. ★18
    Für den freien Fall aus der Ruhe gilt s = ½ · g · t². Die Auftragung s über t² von 14 Wertepaaren ergibt eine Ursprungsgerade. Was gibt ihre Steigung an?
    t²s14 WertepaareSteigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Schreib das Gesetz als y = Steigung · x mit der Auftragung s über t².
    2. Alles, was vor der aufgetragenen x-Größe steht, ist die Steigung.
    3. Steigung = ½ · g
    Ergebnis:
    ½ · g

7Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

MerkenMessen mit Sensoren

Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

Deshalb erst abgleichen und mit einer einfachen Messung vergleichen, dann der Anzeige trauen.

BeispielAbtastrate eines Sensors

Ein Beschleunigungssensor im Smartphone misst mit 400 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
Sensortf = 400 HzΔt = ?
Schritt für Schritt
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 400 = 2,5
  3. Δt = 2,5 ms
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 400 = 2,5
  3. Δt = 2,5 ms
Ergebnis:
2,5 ms

AchtungFrequenz und Periodendauer nicht als Kehrwert

So nicht
T = 0,02 s, also f = 0,02 Hz
So richtig
f = 1 : 0,02 s = 50 Hz

Frag, wie viele Schwingungen in eine Sekunde passen: f = 1 : T.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Lichtsensor misst mit 500 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 500 HzΔt = ?
    So fängst du an:
    Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 500 = 2
    3. Δt = 2 ms
    Ergebnis:
    2 ms
  2. ●20
    Ein Lichtsensor misst mit 50 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 50 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 50 = 20
    3. Δt = 20 ms
    Ergebnis:
    20 ms
  3. ★21
    Ein Kraftsensor misst mit 250 Hz. Ein Stoß dauert 0,06 s. Wie viele Messwerte fallen etwa in den Stoß? Berechne.
    Sensortf = 250 HzStoß: 0,06 sAnzahl = ?
    Lösung zeigen
    1. In einer Sekunde liefert der Sensor 250 Werte.
    2. 250 · 0,06 = 15
    3. Etwa 15 Messwerte fallen in den Stoß.
    Ergebnis:
    15 Messwerte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    Messreihe 12: Die Waage zeigt ohne Last schon 2 g an. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  2. ●23
    Gemessen wurde die spezifische Wärmekapazität von Wasser in kJ/(kg·K): 4,38; 4,46; 4,43; 4,52; 4,39. Vergleichswert: 4,19 kJ/(kg·K). Was zeigt die Messreihe vor allem?
    Vergleichswert4,194,52Messwerte in kJ/(kg·K)
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche jeden Wert mit 4,19 kJ/(kg·K): größer oder kleiner?
    2. Alle Werte liegen auf derselben Seite.
    3. Also: eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
    Ergebnis:
    eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
  3. ●24
    Eine Gruppe misst für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck 102 °C. Der Vergleichswert ist 100 °C. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert100102Messwert in °C
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 102 − 100 = 2
    3. Die absolute Abweichung beträgt 2,0 °C.
    Ergebnis:
    2 °C
  4. ●25
    Gemessen: die Dichte von Aluminium mit 2,65 g/cm³. Vergleichswert 2,7 g/cm³. Bestimme die relative Abweichung in Prozent.
    Vergleichswert2,652,7Messwert in g/cm³
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung: |2,65 − 2,7| g/cm³ = 0,05 g/cm³
    2. relative Abweichung = absolute Abweichung : Vergleichswert
    3. 0,05 : 2,7 ≈ 0,019 = 1,9 %
    Ergebnis:
    1,9 %
  5. ●26
    Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,0; 100,8; 99,7; 99,4; 100,3. Bestimme den Mittelwert.
    99,4100,8Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 500,2 °C
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 100 °C
    Ergebnis:
    100 °C
  6. ●27
    Vier Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,04; 2,08; 1,92; 2,01. Bestimme die Standardabweichung.
    1,922,08Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 2,013 s
    2. Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert ≈ 0,0139
    3. s = √Summe : (n − 1) = √0,0139 : 3 ≈ 0,068 s
    Ergebnis:
    0,068 s

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zwei Arten von Abweichung
Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.
Absolut und relativ
Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.
Mittelwert und Standardabweichung
Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.
Wert und Unsicherheit
Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².
Ausgleichsgerade
Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.
Linearisieren
Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.
Messen mit Sensoren
Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

AchtungAbweichung als Irrtum

So nicht
f = 10 cm, g = 30 cm → b = 10 cm  (Brennweite als Bildweite)
So richtig
b = (f · g) : (g − f) = (10 · 30) : 20 = 15 cm

Jede Messung hat eine Unsicherheit. Sie ist kein Fehler, den man vermeiden müsste, sondern eine Angabe zum Ergebnis.

AchtungZu viele Nachkommastellen

So nicht
G = 4 cm, g = 20 cm, b = 60 cm → B = 4 · 20 : 60 = 1,3 cm
So richtig
B = G · b : g = 4 · 60 : 20 = 12 cm  (das Bild ist größer)

Die Unsicherheit bestimmt, wie viele Stellen sinnvoll sind – nicht der Taschenrechner.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

    28
    Messreihe 4: Das Thermometer hängt während der Messung in der Sonne. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung

  2. Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

    29
    Eine Gruppe misst für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck 95 °C. Der Vergleichswert ist 100 °C. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert95100Messwert in °C
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 °C

  3. Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

    30
    Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,7; 100,0; 99,8; 100,3; 99,5. Bestimme den Mittelwert.
    99,5100,7Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    100,1 °C

  4. Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

    31
    Für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels ergibt die Auswertung den Mittelwert 1,9917 s und die Unsicherheit 0,07 s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    1,922,06Bereich in s
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (1,99 ± 0,07) s

  5. Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

    32
    Im F-s-Diagramm einer Feder geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (0,08 m | 4,8 N). Ein Messpunkt: (0,04 m | 2,23 N). Bestimme die Federkonstante aus der Geraden.
    s in mF in NGerade: (0,08 | 4,8)Federkonstante = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60 N/m

  6. Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

    33
    Für die Bewegungsenergie gilt E = ½ · m · v². Eine Gruppe misst 10 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy10 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    E über v²

  7. Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

    34
    Ein Beschleunigungssensor im Smartphone misst mit 500 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 500 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 ms

  8. Ich bereite die Klausur vor.

    35
    Messreihe 11: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Steigung
wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Lösungen

  1. eine systematische Messabweichung
  2. eine systematische Messabweichung
  3. die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren
  4. 0,08 s
  5. 0,03 s
  6. 0,16 kJ/(kg·K)
  7. 100 °C
  8. 2,008 s
  9. 100 °C
  10. (4,2 ± 0,1) kJ/(kg·K)
  11. (2,70 ± 0,03) g/cm³
  12. (9,89 ± 0,09) m/s²
  13. 1,2 g/cm³
  14. 40 N/m
  15. 0,4 Ω/K
  16. s über t²
  17. s über t²
  18. ½ · g
  19. 2 ms
  20. 20 ms
  21. 15 Messwerte
  22. eine systematische Messabweichung
  23. eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
  24. 2 °C
  25. 1,9 %
  26. 100 °C
  27. 0,068 s
  28. eine systematische Messabweichung
  29. 5 °C
  30. 100,1 °C
  31. (1,99 ± 0,07) s
  32. 60 N/m
  33. E über v²
  34. 2 ms
  35. eine zufällige Messabweichung