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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Hypothese, Messung, Messunsicherheit

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

MerkenZwei Arten von Abweichung

Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.

Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben, Mitteln hilft nicht. Zufällig heißt: Streuung nach beiden Seiten, Mitteln hilft.

BeispielSystematisch oder zufällig?

Messreihe 6: Das Lineal ist an der Kante abgenutzt, gemessen wird trotzdem ab dem Ende. Welche Art von Abweichung entsteht?
Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
Schritt für Schritt
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
  3. Also: eine systematische Messabweichung
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
  3. Also: eine systematische Messabweichung
Ergebnis:
eine systematische Messabweichung

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Messreihe 7: Die Zählrate einer Probe schwankt von Messung zu Messung. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    So fängst du an:
    Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
    3. Also: eine zufällige Messabweichung
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung
  2. ●2
    Messreihe 8: Die Waage zeigt ohne Last schon 2 g an. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  3. ★3
    Messreihe 11: Das Thermometer hängt während der Messung in der Sonne. Was verringert diese Abweichung am besten?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Art der Abweichung: eine systematische Messabweichung.
    2. Sie verschiebt jeden Wert gleich, Mitteln hebt sie nicht auf.
    3. Also: die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren
    Ergebnis:
    die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren

2Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

MerkenAbsolut und relativ

Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.

Die relative Abweichung ist dieser Unterschied geteilt durch den Vergleichswert, meist in Prozent.

BeispielAbsolute Abweichung

Eine Gruppe misst für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck 96 °C. Der Vergleichswert ist 100 °C. Bestimme die absolute Abweichung.
Vergleichswert96100Messwert in °C
Schritt für Schritt
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 100 − 96 = 4
  3. Die absolute Abweichung beträgt 4,0 °C.
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 100 − 96 = 4
  3. Die absolute Abweichung beträgt 4,0 °C.
Ergebnis:
4 °C

AchtungAbsolute und relative Abweichung verwechselt

So nicht
Tisch 2 m ± 1 cm, Münze 2 cm ± 1 mm: Die Münze ist genauer gemessen.
So richtig
Tisch: 1 cm : 200 cm = 0,5 %, Münze: 1 mm : 20 mm = 5 % → der Tisch ist genauer

Dividiere die Abweichung durch den Vergleichswert. Erst der Anteil sagt, wie genau es ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,5 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert0,490,5Messwert in s
    So fängst du an:
    absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 0,5 − 0,49 = 0,01
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,01 s.
    Ergebnis:
    0,01 s
  2. ●5
    Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 1,95 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert1,952,01Messwert in s
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 2,01 − 1,95 = 0,06
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,06 s.
    Ergebnis:
    0,06 s
  3. ★6
    Vier Messungen für die Dichte von Aluminium in g/cm³: 2,65; 2,59; 2,71; 2,57. Vergleichswert 2,7 g/cm³. Bestimme die absolute Abweichung des Mittelwerts.
    Vergleichswert2,572,71Messwerte in g/cm³
    Lösung zeigen
    1. Erst den Mittelwert der vier Messungen bilden, dann seinen Abstand zum Vergleichswert.
    2. Mittelwert: (2,65 + 2,59 + 2,71 + 2,57) : 4 = 2,63
    3. |2,63 − 2,7| g/cm³ ≈ 0,07 g/cm³
    Ergebnis:
    0,07 g/cm³

3Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

MerkenMittelwert und Standardabweichung

Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.

Die Standardabweichung misst die Streuung: Abweichungen quadrieren, addieren, durch n − 1 teilen, Wurzel ziehen.

BeispielMittelwert einer Messreihe

Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,7; 100,0; 99,7; 100,3; 99,3. Bestimme den Mittelwert.
99,3100,7Messwerte in °C
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 500 °C
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 100 °C
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 500 °C
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 100 °C
Ergebnis:
100 °C

AchtungDurch die falsche Anzahl geteilt

So nicht
4 Werte: s = √(Summe : 4)
So richtig
4 Werte: s = √(Summe : 3), durch n − 1

Rechne beim Mittelwert mit n, bei der Standardabweichung mit n − 1 im Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,05; 1,98; 2,08; 1,92; 2,01. Bestimme den Mittelwert.
    1,922,08Messwerte in s
    So fängst du an:
    Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 10,04 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,008 s
    Ergebnis:
    2,008 s
  2. ●8
    Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,05; 1,96; 2,09; 1,92; 2,01. Bestimme den Mittelwert.
    1,922,09Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 10,03 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,006 s
    Ergebnis:
    2,006 s
  3. ★9
    Sechs Messungen für die Dichte von Aluminium in g/cm³: 2,75; 2,70; 2,65; 2,73; 1,55; 2,70. Der 5. Wert wurde laut Protokoll falsch abgelesen. Bilde den Mittelwert der übrigen. Berechne mit Einheit.
    1,552,75Messwerte in g/cm³
    Lösung zeigen
    1. Ohne den 5. Wert bleiben fünf Messungen.
    2. Summe der fünf übrigen Werte: 13,53 g/cm³
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,706 g/cm³
    Ergebnis:
    2,706 g/cm³

4Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

MerkenWert und Unsicherheit

Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².

Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Verträglich ist es, wenn der Vergleichswert im Bereich liegt.

BeispielErgebnis mit Unsicherheit angeben

Für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe ergibt die Auswertung den Mittelwert 0,4784 s und die Unsicherheit 0,04 s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
0,440,52Bereich in s
Schritt für Schritt
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,04 s legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 0,4784 → 0,48
  3. Also: (0,48 ± 0,04) s
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,04 s legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 0,4784 → 0,48
  3. Also: (0,48 ± 0,04) s
Ergebnis:
(0,48 ± 0,04) s

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für die Fallbeschleunigung ergibt die Auswertung den Mittelwert 9,811 m/s² und die Unsicherheit 0,2 m/s². Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    9,6110,01Bereich in m/s²
    So fängst du an:
    Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 m/s² legt die letzte Stelle fest.
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 m/s² legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 9,811 → 9,8
    3. Also: (9,8 ± 0,2) m/s²
    Ergebnis:
    (9,8 ± 0,2) m/s²
  2. ●11
    Für die Fallbeschleunigung ergibt die Auswertung den Mittelwert 9,822 m/s² und die Unsicherheit 0,2 m/s². Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    9,6210,02Bereich in m/s²
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 m/s² legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 9,822 → 9,8
    3. Also: (9,8 ± 0,2) m/s²
    Ergebnis:
    (9,8 ± 0,2) m/s²
  3. ★12
    Für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels ergibt die Auswertung den Mittelwert 2,0278 s und die Unsicherheit 0,0355 s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    1,992,07Bereich in s
    Lösung zeigen
    1. Die Unsicherheit auf eine gültige Ziffer runden: 0,0355 → 0,04 s
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 2,0278 → 2,03
    3. Also: (2,03 ± 0,04) s
    Ergebnis:
    (2,03 ± 0,04) s

5Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

MerkenAusgleichsgerade

Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.

Ihre Steigung ist eine Messgröße, etwa der Widerstand im U-I-Diagramm. Vorhersagen kommen von der Geraden, nicht von einem einzelnen Punkt.

BeispielSteigung der Ausgleichsgeraden

Im F-s-Diagramm einer Feder geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (0,05 m | 3 N). Ein Messpunkt: (0,03 m | 1,93 N). Bestimme die Federkonstante aus der Geraden.
s in mF in NGerade: (0,05 | 3)Federkonstante = ?
Schritt für Schritt
  1. Die Steigung der Geraden ist F : s, in N je m.
  2. 3 : 0,05 = 60
  3. Federkonstante: 60 N/m
  1. Die Steigung der Geraden ist F : s, in N je m.
  2. 3 : 0,05 = 60
  3. Federkonstante: 60 N/m
Ergebnis:
60 N/m

AchtungEin Messpunkt statt der ganzen Messreihe

So nicht
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 6,1 V : 0,25 A = 24,4 Ω
So richtig
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 9,2 V : 0,40 A = 23 Ω

Nimm zwei weit entfernte Punkte auf der Ausgleichsgeraden, nicht einen Messpunkt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (10 s | 4 m). Ein Messpunkt: (6 s | 2,23 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.
    t in ss in mGerade: (10 | 4)Geschwindigkeit = ?
    So fängst du an:
    Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
    2. 4 : 10 = 0,4
    3. Geschwindigkeit: 0,4 m/s
    Ergebnis:
    0,4 m/s
  2. ●14
    Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (8 s | 4,8 m). Ein Messpunkt: (4,8 s | 3,02 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.
    t in ss in mGerade: (8 | 4,8)Geschwindigkeit = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
    2. 4,8 : 8 = 0,6
    3. Geschwindigkeit: 0,6 m/s
    Ergebnis:
    0,6 m/s
  3. ★15
    Die Ausgleichsgerade für einen Metallwiderstand geht durch (25 °C | 100 Ω) und (80 °C | 123,7 Ω). Bestimme ihre Steigung in Ω/K.
    ϑ in °CR in Ω(25 °C | 100 Ω)(80 °C | 123,7 Ω)Steigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Steigung = ΔR : Δϑ, aus zwei Punkten der Geraden
    2. ΔR = 123,7 Ω − 100 Ω = 23,7 Ω, Δϑ = 55 K
    3. Steigung = 23,7 Ω : 55 K ≈ 0,431 Ω/K
    Ergebnis:
    0,431 Ω/K

6Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

MerkenLinearisieren

Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.

Beim freien Fall trägt man s über t² auf, beim Pendel T² über l. Aus der Steigung folgt die gesuchte Größe.

BeispielLinearisieren

Für ein Fadenpendel gilt T = 2π · √l : g. Eine Gruppe misst 7 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
xy7 WertepaareAuftragung = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: T² ~ l.
  3. Also: T² über l
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: T² ~ l.
  3. Also: T² über l
Ergebnis:
T² über l

AchtungDen Faktor ½ vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J

Schreib die Formel ganz hin: E = ½ · m · v². Nimm am Ende die Hälfte.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Für eine Feder gilt E = ½ · D · s². Eine Gruppe misst 11 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy11 WertepaareAuftragung = ?
    So fängst du an:
    Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ s².
    3. Also: E über s²
    Ergebnis:
    E über s²
  2. ●17
    Für die Bewegungsenergie gilt E = ½ · m · v². Eine Gruppe misst 14 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy14 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ v².
    3. Also: E über v²
    Ergebnis:
    E über v²
  3. ★18
    Für den freien Fall aus der Ruhe gilt s = ½ · g · t². Die Auftragung s über t² von 9 Wertepaaren ergibt eine Ursprungsgerade. Was gibt ihre Steigung an?
    t²s9 WertepaareSteigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Schreib das Gesetz als y = Steigung · x mit der Auftragung s über t².
    2. Alles, was vor der aufgetragenen x-Größe steht, ist die Steigung.
    3. Steigung = ½ · g
    Ergebnis:
    ½ · g

7Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

MerkenMessen mit Sensoren

Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

Deshalb erst abgleichen und mit einer einfachen Messung vergleichen, dann der Anzeige trauen.

BeispielAbtastrate eines Sensors

Ein Drucksensor misst mit 25 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
Sensortf = 25 HzΔt = ?
Schritt für Schritt
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 25 = 40
  3. Δt = 40 ms
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 25 = 40
  3. Δt = 40 ms
Ergebnis:
40 ms

AchtungFrequenz und Periodendauer nicht als Kehrwert

So nicht
T = 0,02 s, also f = 0,02 Hz
So richtig
f = 1 : 0,02 s = 50 Hz

Frag, wie viele Schwingungen in eine Sekunde passen: f = 1 : T.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Kraftsensor misst mit 500 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 500 HzΔt = ?
    So fängst du an:
    Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 500 = 2
    3. Δt = 2 ms
    Ergebnis:
    2 ms
  2. ●20
    Ein Drucksensor misst mit 80 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 80 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 80 = 12,5
    3. Δt = 12,5 ms
    Ergebnis:
    12,5 ms
  3. ★21
    Ein Kraftsensor misst mit 100 Hz. Ein Stoß dauert 0,06 s. Wie viele Messwerte fallen etwa in den Stoß? Berechne.
    Sensortf = 100 HzStoß: 0,06 sAnzahl = ?
    Lösung zeigen
    1. In einer Sekunde liefert der Sensor 100 Werte.
    2. 100 · 0,06 = 6
    3. Etwa 6 Messwerte fallen in den Stoß.
    Ergebnis:
    6 Messwerte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    Messreihe 6: Beim Stoppen der Fallzeit drückt man mal etwas zu früh, mal etwas zu spät. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
    3. Also: eine zufällige Messabweichung
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung
  2. ●23
    Gemessen wurde die spezifische Wärmekapazität von Wasser in kJ/(kg·K): 4,23; 4,11; 4,32; 4,09; 4,19. Vergleichswert: 4,19 kJ/(kg·K). Was zeigt die Messreihe vor allem?
    Vergleichswert4,094,32Messwerte in kJ/(kg·K)
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche jeden Wert mit 4,19 kJ/(kg·K): größer oder kleiner?
    2. Einige Werte liegen darüber, andere darunter.
    3. Also: zufällige Abweichungen: Die Werte streuen um den Vergleichswert.
    Ergebnis:
    zufällige Abweichungen: Die Werte streuen um den Vergleichswert.
  3. ●24
    Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 2,11 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert2,012,11Messwert in s
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 2,11 − 2,01 = 0,1
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,10 s.
    Ergebnis:
    0,1 s
  4. ●25
    Gemessen: die spezifische Wärmekapazität von Wasser mit 4,02 kJ/(kg·K). Vergleichswert 4,19 kJ/(kg·K). Bestimme die relative Abweichung in Prozent.
    Vergleichswert4,024,19Messwert in kJ/(kg·K)
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung: |4,02 − 4,19| kJ/(kg·K) = 0,17 kJ/(kg·K)
    2. relative Abweichung = absolute Abweichung : Vergleichswert
    3. 0,17 : 4,19 ≈ 0,041 = 4,1 %
    Ergebnis:
    4,1 %
  5. ●26
    Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,06; 2,08; 1,93; 2,01; 1,97. Bestimme den Mittelwert.
    1,932,08Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 10,05 s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 2,01 s
    Ergebnis:
    2,01 s
  6. ●27
    Vier Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,46; 0,51; 0,49; 0,53. Bestimme die Standardabweichung.
    0,460,53Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 0,4975 s
    2. Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert ≈ 0,00268
    3. s = √Summe : (n − 1) = √0,00268 : 3 ≈ 0,03 s
    Ergebnis:
    0,03 s

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zwei Arten von Abweichung
Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.
Absolut und relativ
Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.
Mittelwert und Standardabweichung
Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.
Wert und Unsicherheit
Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².
Ausgleichsgerade
Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.
Linearisieren
Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.
Messen mit Sensoren
Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

AchtungAbweichung als Irrtum

So nicht
f = 10 cm, g = 30 cm → b = 10 cm  (Brennweite als Bildweite)
So richtig
b = (f · g) : (g − f) = (10 · 30) : 20 = 15 cm

Jede Messung hat eine Unsicherheit. Sie ist kein Fehler, den man vermeiden müsste, sondern eine Angabe zum Ergebnis.

AchtungZu viele Nachkommastellen

So nicht
G = 4 cm, g = 20 cm, b = 60 cm → B = 4 · 20 : 60 = 1,3 cm
So richtig
B = G · b : g = 4 · 60 : 20 = 12 cm  (das Bild ist größer)

Die Unsicherheit bestimmt, wie viele Stellen sinnvoll sind – nicht der Taschenrechner.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

    28
    Messreihe 7: Die Anzeige schwankt, man liest mal einen höheren, mal einen tieferen Wert ab. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung

  2. Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

    29
    Eine Gruppe misst für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck 98 °C. Der Vergleichswert ist 100 °C. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert98100Messwert in °C
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 °C

  3. Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

    30
    Fünf Messungen für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 1,98; 1,97; 2,08; 2,05; 2,01. Bestimme den Mittelwert.
    1,972,08Messwerte in s
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,018 s

  4. Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

    31
    Für die spezifische Wärmekapazität von Wasser ergibt die Auswertung den Mittelwert 4,1772 kJ/(kg·K) und die Unsicherheit 0,05 kJ/(kg·K). Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    4,134,23Bereich in kJ/(kg·K)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (4,18 ± 0,05) kJ/(kg·K)

  5. Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

    32
    Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (5 s | 3 m). Ein Messpunkt: (3,75 s | 2,09 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.
    t in ss in mGerade: (5 | 3)Geschwindigkeit = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,6 m/s

  6. Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

    33
    Für die Radialkraft bei festem m und r gilt F = m · v² : r. Eine Gruppe misst 10 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy10 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    F über v²

  7. Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

    34
    Ein Lichtsensor misst mit 50 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 50 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 ms

  8. Ich bereite die Klausur vor.

    35
    Messreihe 3: Das Lineal ist an der Kante abgenutzt, gemessen wird trotzdem ab dem Ende. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Steigung
wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Lösungen

  1. eine zufällige Messabweichung
  2. eine systematische Messabweichung
  3. die Ursache beseitigen oder den Wert korrigieren
  4. 0,01 s
  5. 0,06 s
  6. 0,07 g/cm³
  7. 2,008 s
  8. 2,006 s
  9. 2,706 g/cm³
  10. (9,8 ± 0,2) m/s²
  11. (9,8 ± 0,2) m/s²
  12. (2,03 ± 0,04) s
  13. 0,4 m/s
  14. 0,6 m/s
  15. 0,431 Ω/K
  16. E über s²
  17. E über v²
  18. ½ · g
  19. 2 ms
  20. 12,5 ms
  21. 6 Messwerte
  22. eine zufällige Messabweichung
  23. zufällige Abweichungen: Die Werte streuen um den Vergleichswert.
  24. 0,1 s
  25. 4,1 %
  26. 2,01 s
  27. 0,03 s
  28. eine zufällige Messabweichung
  29. 2 °C
  30. 2,018 s
  31. (4,18 ± 0,05) kJ/(kg·K)
  32. 0,6 m/s
  33. F über v²
  34. 20 ms
  35. eine systematische Messabweichung