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Physik · Klasse 11 · Kapitel

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Einführungsphase: Hypothese, Messung, Messunsicherheit

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

MerkenZwei Arten von Abweichung

Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.

Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben, Mitteln hilft nicht. Zufällig heißt: Streuung nach beiden Seiten, Mitteln hilft.

BeispielSystematisch oder zufällig?

Messreihe 12: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Welche Art von Abweichung entsteht?
Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
Schritt für Schritt
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
  3. Also: eine zufällige Messabweichung
  1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
  2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
  3. Also: eine zufällige Messabweichung
Ergebnis:
eine zufällige Messabweichung

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Messreihe 4: Man liest den Messzylinder jedes Mal schräg von oben ab. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    So fängst du an:
    Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  2. ●2
    Messreihe 6: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier schwankt die Ursache von Messung zu Messung.
    3. Also: eine zufällige Messabweichung
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung
  3. ★3
    Messreihe 12: Ein Luftzug stört die Pendelschwingung mal mehr, mal weniger. Was verringert diese Abweichung am besten?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Art der Abweichung: eine zufällige Messabweichung.
    2. Sie streut nach beiden Seiten, im Mittelwert gleicht sie sich aus.
    3. Also: viele Messungen und ihr Mittelwert
    Ergebnis:
    viele Messungen und ihr Mittelwert

2Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

MerkenAbsolut und relativ

Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.

Die relative Abweichung ist dieser Unterschied geteilt durch den Vergleichswert, meist in Prozent.

BeispielAbsolute Abweichung

Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 2,07 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
Vergleichswert2,012,07Messwert in s
Schritt für Schritt
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 2,07 − 2,01 = 0,06
  3. Die absolute Abweichung beträgt 0,06 s.
  1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
  2. 2,07 − 2,01 = 0,06
  3. Die absolute Abweichung beträgt 0,06 s.
Ergebnis:
0,06 s

AchtungAbsolute und relative Abweichung verwechselt

So nicht
Tisch 2 m ± 1 cm, Münze 2 cm ± 1 mm: Die Münze ist genauer gemessen.
So richtig
Tisch: 1 cm : 200 cm = 0,5 %, Münze: 1 mm : 20 mm = 5 % → der Tisch ist genauer

Dividiere die Abweichung durch den Vergleichswert. Erst der Anteil sagt, wie genau es ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,52 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert0,490,52Messwert in s
    So fängst du an:
    absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 0,52 − 0,49 = 0,03
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,03 s.
    Ergebnis:
    0,03 s
  2. ●5
    Eine Gruppe misst für die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels 2,05 s. Der Vergleichswert ist 2,01 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert2,012,05Messwert in s
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 2,05 − 2,01 = 0,04
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,04 s.
    Ergebnis:
    0,04 s
  3. ★6
    Vier Messungen für die Fallbeschleunigung in m/s²: 9,90; 10,23; 10,10; 10,33. Vergleichswert 9,81 m/s². Bestimme die absolute Abweichung des Mittelwerts.
    Vergleichswert9,8110,33Messwerte in m/s²
    Lösung zeigen
    1. Erst den Mittelwert der vier Messungen bilden, dann seinen Abstand zum Vergleichswert.
    2. Mittelwert: (9,9 + 10,23 + 10,1 + 10,33) : 4 = 10,14
    3. |10,14 − 9,81| m/s² ≈ 0,33 m/s²
    Ergebnis:
    0,33 m/s²

3Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

MerkenMittelwert und Standardabweichung

Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.

Die Standardabweichung misst die Streuung: Abweichungen quadrieren, addieren, durch n − 1 teilen, Wurzel ziehen.

BeispielMittelwert einer Messreihe

Fünf Messungen für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,49; 0,53; 0,47; 0,45; 0,51. Bestimme den Mittelwert.
0,450,53Messwerte in s
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 2,45 s
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 0,49 s
  1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
  2. Summe aller fünf Werte: 2,45 s
  3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 0,49 s
Ergebnis:
0,49 s

AchtungDurch die falsche Anzahl geteilt

So nicht
4 Werte: s = √(Summe : 4)
So richtig
4 Werte: s = √(Summe : 3), durch n − 1

Rechne beim Mittelwert mit n, bei der Standardabweichung mit n − 1 im Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,0; 100,8; 99,6; 99,5; 100,3. Bestimme den Mittelwert.
    99,5100,8Messwerte in °C
    So fängst du an:
    Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 500,2 °C
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 100 °C
    Ergebnis:
    100 °C
  2. ●8
    Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,3; 99,8; 100,4; 99,5; 100,0. Bestimme den Mittelwert.
    99,5100,4Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 500 °C
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 100 °C
    Ergebnis:
    100 °C
  3. ★9
    Sechs Messungen für die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C in m/s: 347; 339; 350; 337; 343; 201. Der 6. Wert wurde laut Protokoll falsch abgelesen. Bilde den Mittelwert der übrigen.
    201350Messwerte in m/s
    Lösung zeigen
    1. Ohne den 6. Wert bleiben fünf Messungen.
    2. Summe der fünf übrigen Werte: 1716 m/s
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 343,2 m/s
    Ergebnis:
    343,2 m/s

4Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

MerkenWert und Unsicherheit

Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².

Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Verträglich ist es, wenn der Vergleichswert im Bereich liegt.

BeispielErgebnis mit Unsicherheit angeben

Für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck ergibt die Auswertung den Mittelwert 100,054 °C und die Unsicherheit 0,2 °C. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
99,9100,3Bereich in °C
Schritt für Schritt
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 °C legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 100,054 → 100,1
  3. Also: (100,1 ± 0,2) °C
  1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,2 °C legt die letzte Stelle fest.
  2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 100,054 → 100,1
  3. Also: (100,1 ± 0,2) °C
Ergebnis:
(100,1 ± 0,2) °C

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für die spezifische Wärmekapazität von Wasser ergibt die Auswertung den Mittelwert 4,218 kJ/(kg·K) und die Unsicherheit 0,1 kJ/(kg·K). Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    4,124,32Bereich in kJ/(kg·K)
    So fängst du an:
    Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,1 kJ/(kg·K) legt die letzte Stelle fest.
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 0,1 kJ/(kg·K) legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 4,218 → 4,2
    3. Also: (4,2 ± 0,1) kJ/(kg·K)
    Ergebnis:
    (4,2 ± 0,1) kJ/(kg·K)
  2. ●11
    Für die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C ergibt die Auswertung den Mittelwert 341,16 m/s und die Unsicherheit 4 m/s. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    337345Bereich in m/s
    Lösung zeigen
    1. Die gültige Ziffer der Unsicherheit 4 m/s legt die letzte Stelle fest.
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 341,16 → 341
    3. Also: (341 ± 4) m/s
    Ergebnis:
    (341 ± 4) m/s
  3. ★12
    Für die Dichte von Aluminium ergibt die Auswertung den Mittelwert 2,7018 g/cm³ und die Unsicherheit 0,0575 g/cm³. Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    2,642,76Bereich in g/cm³
    Lösung zeigen
    1. Die Unsicherheit auf eine gültige Ziffer runden: 0,0575 → 0,06 g/cm³
    2. Den Mittelwert auf dieselbe Stelle runden: 2,7018 → 2,70
    3. Also: (2,70 ± 0,06) g/cm³
    Ergebnis:
    (2,70 ± 0,06) g/cm³

5Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

MerkenAusgleichsgerade

Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.

Ihre Steigung ist eine Messgröße, etwa der Widerstand im U-I-Diagramm. Vorhersagen kommen von der Geraden, nicht von einem einzelnen Punkt.

BeispielSteigung der Ausgleichsgeraden

Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (5 s | 16 m). Ein Messpunkt: (2,5 s | 7,44 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.
t in ss in mGerade: (5 | 16)Geschwindigkeit = ?
Schritt für Schritt
  1. Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
  2. 16 : 5 = 3,2
  3. Geschwindigkeit: 3,2 m/s
  1. Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
  2. 16 : 5 = 3,2
  3. Geschwindigkeit: 3,2 m/s
Ergebnis:
3,2 m/s

AchtungEin Messpunkt statt der ganzen Messreihe

So nicht
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 6,1 V : 0,25 A = 24,4 Ω
So richtig
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 9,2 V : 0,40 A = 23 Ω

Nimm zwei weit entfernte Punkte auf der Ausgleichsgeraden, nicht einen Messpunkt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im U-I-Diagramm eines Widerstands geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (0,5 A | 6 V). Ein Messpunkt: (0,375 A | 4,19 V). Bestimme den Widerstand aus der Geraden.
    I in AU in VGerade: (0,5 | 6)Widerstand = ?
    So fängst du an:
    Die Steigung der Geraden ist U : I, in V je A.
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist U : I, in V je A.
    2. 6 : 0,5 = 12
    3. Widerstand: 12 Ω
    Ergebnis:
    12 Ω
  2. ●14
    Im s-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (5 s | 12,5 m). Ein Messpunkt: (3,75 s | 8,91 m). Bestimme die Geschwindigkeit aus der Geraden.
    t in ss in mGerade: (5 | 12,5)Geschwindigkeit = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Steigung der Geraden ist s : t, in m je s.
    2. 12,5 : 5 = 2,5
    3. Geschwindigkeit: 2,5 m/s
    Ergebnis:
    2,5 m/s
  3. ★15
    Die Ausgleichsgerade für einen Metallwiderstand geht durch (10 °C | 120 Ω) und (90 °C | 158,4 Ω). Bestimme ihre Steigung in Ω/K.
    ϑ in °CR in Ω(10 °C | 120 Ω)(90 °C | 158,4 Ω)Steigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Steigung = ΔR : Δϑ, aus zwei Punkten der Geraden
    2. ΔR = 158,4 Ω − 120 Ω = 38,4 Ω, Δϑ = 80 K
    3. Steigung = 38,4 Ω : 80 K ≈ 0,48 Ω/K
    Ergebnis:
    0,48 Ω/K

6Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

MerkenLinearisieren

Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.

Beim freien Fall trägt man s über t² auf, beim Pendel T² über l. Aus der Steigung folgt die gesuchte Größe.

BeispielLinearisieren

Für den freien Fall aus der Ruhe gilt s = ½ · g · t². Eine Gruppe misst 7 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
xy7 WertepaareAuftragung = ?
Schritt für Schritt
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: s ~ t².
  3. Also: s über t²
  1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
  2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: s ~ t².
  3. Also: s über t²
Ergebnis:
s über t²

AchtungFalsch linearisiert

So nicht
freier Fall: s über t auftragen, Gerade erwartet
So richtig
s = ½ · g · t² → s über t² ergibt eine Ursprungsgerade

Such im Gesetz, wozu y proportional ist – mit Quadrat oder Kehrwert. Das kommt auf die x-Achse.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Für ein Fadenpendel gilt T = 2π · √l : g. Eine Gruppe misst 6 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy6 WertepaareAuftragung = ?
    So fängst du an:
    Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: T² ~ l.
    3. Also: T² über l
    Ergebnis:
    T² über l
  2. ●17
    Für die Bewegungsenergie gilt E = ½ · m · v². Eine Gruppe misst 10 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy10 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    1. Eine Ursprungsgerade braucht die Form y = Steigung · x.
    2. Im Gesetz steht die eine Größe proportional zu: E ~ v².
    3. Also: E über v²
    Ergebnis:
    E über v²
  3. ★18
    Für ein Fadenpendel gilt T = 2π · √l : g. Die Auftragung T² über l von 8 Wertepaaren ergibt eine Ursprungsgerade. Was gibt ihre Steigung an?
    lT²8 WertepaareSteigung = ?
    Lösung zeigen
    1. Schreib das Gesetz als y = Steigung · x mit der Auftragung T² über l.
    2. Alles, was vor der aufgetragenen x-Größe steht, ist die Steigung.
    3. Steigung = 4π² : g
    Ergebnis:
    4π² : g

7Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

MerkenMessen mit Sensoren

Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

Deshalb erst abgleichen und mit einer einfachen Messung vergleichen, dann der Anzeige trauen.

BeispielAbtastrate eines Sensors

Ein Kraftsensor misst mit 80 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
Sensortf = 80 HzΔt = ?
Schritt für Schritt
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 80 = 12,5
  3. Δt = 12,5 ms
  1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
  2. 1000 : 80 = 12,5
  3. Δt = 12,5 ms
Ergebnis:
12,5 ms

AchtungFrequenz und Periodendauer nicht als Kehrwert

So nicht
T = 0,02 s, also f = 0,02 Hz
So richtig
f = 1 : 0,02 s = 50 Hz

Frag, wie viele Schwingungen in eine Sekunde passen: f = 1 : T.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Drucksensor misst mit 500 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 500 HzΔt = ?
    So fängst du an:
    Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 500 = 2
    3. Δt = 2 ms
    Ergebnis:
    2 ms
  2. ●20
    Ein Kraftsensor misst mit 20 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 20 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    1. Δt = 1 : f, also in Millisekunden 1000 ms : f
    2. 1000 : 20 = 50
    3. Δt = 50 ms
    Ergebnis:
    50 ms
  3. ★21
    Ein Kraftsensor misst mit 1000 Hz. Ein Stoß dauert 0,1 s. Wie viele Messwerte fallen etwa in den Stoß? Berechne.
    Sensortf = 1000 HzStoß: 0,1 sAnzahl = ?
    Lösung zeigen
    1. In einer Sekunde liefert der Sensor 1000 Werte.
    2. 1000 · 0,1 = 100
    3. Etwa 100 Messwerte fallen in den Stoß.
    Ergebnis:
    100 Messwerte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    Messreihe 10: Der Sensor wurde nie auf 0 °C abgeglichen und zeigt immer 1,5 K zu viel. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    1. Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
    2. Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
    3. Also: eine systematische Messabweichung
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung
  2. ●23
    Gemessen wurde die Schwingungsdauer eines 1,00 m langen Pendels in s: 2,18; 2,19; 2,11; 2,16; 2,14. Vergleichswert: 2,01 s. Was zeigt die Messreihe vor allem?
    Vergleichswert2,012,19Messwerte in s
    Lösung zeigen
    1. Vergleiche jeden Wert mit 2,01 s: größer oder kleiner?
    2. Alle Werte liegen auf derselben Seite.
    3. Also: eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
    Ergebnis:
    eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
  3. ●24
    Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,5 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert0,490,5Messwert in s
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
    2. 0,5 − 0,49 = 0,01
    3. Die absolute Abweichung beträgt 0,01 s.
    Ergebnis:
    0,01 s
  4. ●25
    Gemessen: die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck mit 98 °C. Vergleichswert 100 °C. Bestimme die relative Abweichung in Prozent.
    Vergleichswert98100Messwert in °C
    Lösung zeigen
    1. absolute Abweichung: |98 − 100| °C = 2 °C
    2. relative Abweichung = absolute Abweichung : Vergleichswert
    3. 2 : 100 ≈ 0,02 = 2 %
    Ergebnis:
    2 %
  5. ●26
    Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,3; 99,7; 100,6; 99,6; 100,0. Bestimme den Mittelwert.
    99,6100,6Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert = Summe aller Messwerte : Anzahl
    2. Summe aller fünf Werte: 500,2 °C
    3. Mittelwert: Summe : 5 ≈ 100 °C
    Ergebnis:
    100 °C
  6. ●27
    Vier Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,2; 99,6; 100,5; 99,2. Bestimme die Standardabweichung.
    99,2100,5Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 99,88 °C
    2. Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert ≈ 1,03
    3. s = √Summe : (n − 1) = √1,03 : 3 ≈ 0,59 °C
    Ergebnis:
    0,59 °C

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zwei Arten von Abweichung
Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.
Absolut und relativ
Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.
Mittelwert und Standardabweichung
Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.
Wert und Unsicherheit
Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².
Ausgleichsgerade
Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.
Linearisieren
Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.
Messen mit Sensoren
Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.

AchtungAbweichung als Irrtum

So nicht
f = 10 cm, g = 30 cm → b = 10 cm  (Brennweite als Bildweite)
So richtig
b = (f · g) : (g − f) = (10 · 30) : 20 = 15 cm

Jede Messung hat eine Unsicherheit. Sie ist kein Fehler, den man vermeiden müsste, sondern eine Angabe zum Ergebnis.

AchtungZu viele Nachkommastellen

So nicht
G = 4 cm, g = 20 cm, b = 60 cm → B = 4 · 20 : 60 = 1,3 cm
So richtig
B = G · b : g = 4 · 60 : 20 = 12 cm  (das Bild ist größer)

Die Unsicherheit bestimmt, wie viele Stellen sinnvoll sind – nicht der Taschenrechner.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.

    28
    Messreihe 7: Die Anzeige schwankt, man liest mal einen höheren, mal einen tieferen Wert ab. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert4,85,3Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    eine zufällige Messabweichung

  2. Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.

    29
    Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,46 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
    Vergleichswert0,460,49Messwert in s
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,03 s

  3. Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.

    30
    Fünf Messungen für die Siedetemperatur von Wasser bei Normaldruck in °C: 100,0; 100,8; 99,8; 99,5; 100,2. Bestimme den Mittelwert.
    99,5100,8Messwerte in °C
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    100,1 °C

  4. Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.

    31
    Für die spezifische Wärmekapazität von Wasser ergibt die Auswertung den Mittelwert 4,2068 kJ/(kg·K) und die Unsicherheit 0,05 kJ/(kg·K). Gib das Ergebnis sinnvoll gerundet an.
    4,164,26Bereich in kJ/(kg·K)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (4,21 ± 0,05) kJ/(kg·K)

  5. Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.

    32
    Im F-s-Diagramm einer Feder geht die Ausgleichsgerade durch (0 | 0) und (0,1 m | 2,5 N). Ein Messpunkt: (0,05 m | 1,31 N). Bestimme die Federkonstante aus der Geraden.
    s in mF in NGerade: (0,1 | 2,5)Federkonstante = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 N/m

  6. Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.

    33
    Für eine Feder gilt E = ½ · D · s². Eine Gruppe misst 9 Wertepaare. Welche Auftragung zeigt einen proportionalen Zusammenhang?
    xy9 WertepaareAuftragung = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    E über s²

  7. Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.

    34
    Ein Lichtsensor misst mit 40 Hz. Bestimme den Zeitabstand zwischen zwei Messwerten in ms (1 s = 1000 ms).
    Sensortf = 40 HzΔt = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 ms

  8. Ich bereite die Klausur vor.

    35
    Messreihe 11: Man liest den Messzylinder jedes Mal schräg von oben ab. Welche Art von Abweichung entsteht?
    Vergleichswert55,35Beispiel in Einheit
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    eine systematische Messabweichung

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Steigung
wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Lösungen

  1. eine systematische Messabweichung
  2. eine zufällige Messabweichung
  3. viele Messungen und ihr Mittelwert
  4. 0,03 s
  5. 0,04 s
  6. 0,33 m/s²
  7. 100 °C
  8. 100 °C
  9. 343,2 m/s
  10. (4,2 ± 0,1) kJ/(kg·K)
  11. (341 ± 4) m/s
  12. (2,70 ± 0,06) g/cm³
  13. 12 Ω
  14. 2,5 m/s
  15. 0,48 Ω/K
  16. T² über l
  17. E über v²
  18. 4π² : g
  19. 2 ms
  20. 50 ms
  21. 100 Messwerte
  22. eine systematische Messabweichung
  23. eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
  24. 0,01 s
  25. 2 %
  26. 100 °C
  27. 0,59 °C
  28. eine zufällige Messabweichung
  29. 0,03 s
  30. 100,1 °C
  31. (4,21 ± 0,05) kJ/(kg·K)
  32. 25 N/m
  33. E über s²
  34. 25 ms
  35. eine systematische Messabweichung