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Physik · Klasse 13 · Kapitel

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Q4: Atome

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1Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.

MerkenEnergieniveaus des Wasserstoffs

Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².

Ionisiert ist es bei E = 0. Anregung und Ionisation kosten genau den Abstand bis zum Zielniveau.

BeispielEnergiewerte des Wasserstoffatoms

Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre ist im Zustand n = 6. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6E_ion = ?
Schritt für Schritt
  1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
  2. E_6 = −13,6 eV : 36 = −0,378 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 0,378 eV
  1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
  2. E_6 = −13,6 eV : 36 = −0,378 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 0,378 eV
Ergebnis:
0,378 eV

AchtungDas Quadrat vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J

Rechne zuerst v² = v · v aus und schreib die Zeile hin.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre soll vom Grundzustand in den Zustand n = 7 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 0,278 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen?
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7ΔE = ?Wasserstoff
    So fängst du an:
    ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_7 = −0,278 eV, E_1 = −13,6 eV
    3. ΔE = −0,278 eV + 13,6 eV = 13,32 eV
    Ergebnis:
    13,32 eV
  2. ●2
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre soll vom Grundzustand in den Zustand n = 4 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 0,85 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen?
    n = 1n = 2n = 3n = 4ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_4 = −0,85 eV, E_1 = −13,6 eV
    3. ΔE = −0,85 eV + 13,6 eV = 12,75 eV
    Ergebnis:
    12,75 eV
  3. ★3
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre wird vom Zustand n = 4 in den Zustand n = 6 angeregt. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_m − E_n mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_4 = −0,85 eV, E_6 = −0,378 eV
    3. ΔE = −0,378 eV − (−0,85 eV) = 0,47 eV
    Ergebnis:
    0,47 eV

2Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.

MerkenLinienspektrum

Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.

Dann gilt λ = h · c : ΔE. Die Serienformel f = f_R · (1 : n² − 1 : m²) sagt auch unsichtbare Linien voraus.

BeispielSpektrallinien aus dem Niveauschema

Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 2 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVλ = ?Wasserstoff
Schritt für Schritt
  1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 4) = 10,2 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 10,2 eV = 122 nm
  1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 4) = 10,2 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 10,2 eV = 122 nm
Ergebnis:
122 nm

AchtungWert eines Niveaus statt Abstand zweier Niveaus

So nicht
Anregung von n = 1 nach n = 3: ΔE = 1,51 eV
So richtig
ΔE = E_3 − E_1 = −1,51 eV − (−13,6 eV) = 12,09 eV

Zeichne den Sprung als Pfeil ins Schema. Rechne oben minus unten.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 5 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVλ = ?Wasserstoff
    So fängst du an:
    Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 25) = 13,1 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 13,1 eV = 94,7 nm
    Ergebnis:
    94,7 nm
  2. ●5
    Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 4 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 16) = 12,8 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 12,8 eV = 96,9 nm
    Ergebnis:
    96,9 nm
  3. ★6
    Berechne die kürzeste Wellenlänge der Balmer-Serie des Wasserstoffs (Sprünge nach n = 2, Seriengrenze). Liegt sie im sichtbaren Bereich?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVλ = ?Balmer-Serie
    Lösung zeigen
    1. Kürzeste Wellenlänge: größter Sprung, von E = 0 nach n
    2. ΔE = 13,6 eV : 4 = 3,4 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 3,4 eV = 365 nm, ultraviolett
    Ergebnis:
    365 nm

3Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.

MerkenEmission und Absorption

Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.

Oder es wird ionisiert. Beim Zurückfallen sendet es Photonen derselben Energien aus.

BeispielAbsorption und Emission

Kaltes Wasserstoffgas im Grundzustand wird mit Photonen von 9,5 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 9,5 eV
Schritt für Schritt
  1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
  2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
  3. 9,5 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
  1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
  2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
  3. 9,5 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
Ergebnis:
Die Photonen gehen ungehindert durch.

AchtungAtom nimmt einen beliebigen Teil der Photonenenergie

So nicht
11 eV-Photon: Das Atom nimmt 10,2 eV, 0,8 eV fliegen weiter.
So richtig
11 eV passt auf keinen Übergang → das Photon wird nicht absorbiert

Vergleiche die Photonenenergie mit allen Abständen. Nur ein genauer Treffer oder mehr als die Ionisationsenergie wird aufgenommen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 15 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 15 eV
    So fängst du an:
    Über 13,6 eV kann das Elektron das Atom ganz verlassen.
    Lösung zeigen
    1. Über 13,6 eV kann das Elektron das Atom ganz verlassen.
    2. Oberhalb von E = 0 gibt es keine festen Niveaus mehr.
    3. Der Rest 15 eV − 13,6 eV = 1,4 eV wird Bewegungsenergie.
    Ergebnis:
    Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 1,4 eV davon.
  2. ●8
    Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 12,09 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 12,09 eV
    Lösung zeigen
    1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
    2. E_3 − E_1 = 13,6 eV − 1,51 eV = 12,09 eV
    3. Das passt genau: Die Atome gehen nach n = 3.
    Ergebnis:
    Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 3.
  3. ★9
    Im Licht eines Sterns hinter einer Gaswolke fehlt Licht bei 656 nm: eine dunkle Linie von Wasserstoff. Die Atome senden die aufgenommene Energie doch wieder aus. Warum bleibt die Linie dunkel? Begründe.
    380 nm780 nmAbsorptionsspektrum
    Lösung zeigen
    1. Atome in der kühleren Schicht absorbieren genau Photonen mit 656 nm.
    2. Beim Zurückfallen senden sie Photonen derselben Energie aus, aber in alle Richtungen.
    3. In der ursprünglichen Richtung kommt deshalb viel weniger an: eine dunkle Linie.
    Ergebnis:
    Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.

4Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.

MerkenNiveauschema und Spektralanalyse

Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.

Jedes Element hat sein eigenes Linienmuster: Alle Linien müssen passen, eine einzelne reicht nicht.

BeispielNiveauschema und Spektrum

Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_1 in nm.
E_10 eVE_21,8 eVE_32,9 eVE_43,7 eVλ = ?Energieniveaus
Schritt für Schritt
  1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 2,9 eV − 0 eV = 2,9 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 2,9 eV = 428 nm
  1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 2,9 eV − 0 eV = 2,9 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 2,9 eV = 428 nm
Ergebnis:
428 nm

AchtungFormel falsch umgestellt

So nicht
V = ρ · m
So richtig
ρ = m : V   | · V   | : ρ   →   V = m : ρ

Setz einfache Zahlen ein, zum Beispiel 6 = 12 : 2. Stell zuerst mit Zahlen um, dann mit Buchstaben.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_2 nach E_1 in nm.
    E_10 eVE_21,6 eVE_32,8 eVE_44,1 eVλ = ?Energieniveaus
    So fängst du an:
    ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 1,6 eV − 0 eV = 1,6 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,6 eV = 775 nm
    Ergebnis:
    775 nm
  2. ●11
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_2 in nm.
    E_10 eVE_21,6 eVE_32,8 eVE_44,1 eVλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 2,8 eV − 1,6 eV = 1,2 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,2 eV = 1030 nm
    Ergebnis:
    1030 nm
  3. ★12
    Ein Atom sendet beim Sprung E_4 → E_3 Licht mit 1550 nm aus, beim Sprung E_3 → E_2 mit 1130 nm. Berechne λ für den Sprung E_4 → E_2.
    E_1E_2E_3E_41550 nm1130 nmλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    1. Die Energien addieren sich, nicht die Wellenlängen: 1 : λ = 1 : λ₁ + 1 : λ₂
    2. ΔE₁ = 1240 eV · nm : 1550 nm = 0,8 eV, ΔE₂ = 1,1 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,9 eV = 654 nm
    Ergebnis:
    654 nm

5Ich kann Orbitale als Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons deuten.

MerkenOrbitale

Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.

Es ist keine Bahn. Jede Messung liefert einen Ort, die Verteilung vieler Messungen das Orbital.

BeispielOrbital statt Bahn

Bewegt sich das Elektron im Wasserstoffatom im Zustand n = 3 auf einer Kreisbahn um den Kern?
Bahn?n = 3
Schritt für Schritt
  1. Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
  2. Für das Elektron im Atom gibt es nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
  3. Das Orbital zeigt, wo es oft und wo es selten nachgewiesen wird.
  1. Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
  2. Für das Elektron im Atom gibt es nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
  3. Das Orbital zeigt, wo es oft und wo es selten nachgewiesen wird.
Ergebnis:
Nein: Es gibt nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.

AchtungElektron auf einer festen Bahn um den Kern

So nicht
Das Elektron kreist auf einer festen Bahn um den Kern.
So richtig
Orbital → Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons, keine Bahn

Beschreib nur Messbares: Wo wird das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen?

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Was ändert sich am Orbital des Wasserstoffatoms im Zustand n = 4 gegenüber dem Zustand n = 3?
    größer oder kleiner?n = 4
    So fängst du an:
    E_4 = −13,6 eV : 16 liegt höher als E_3 = −13,6 eV : 9.
    Lösung zeigen
    1. E_4 = −13,6 eV : 16 liegt höher als E_3 = −13,6 eV : 9.
    2. Das Elektron ist schwächer gebunden.
    3. Es wird im Mittel weiter vom Kern entfernt nachgewiesen.
    Ergebnis:
    Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.
  2. ●14
    Wie unterscheidet sich das Orbital des Wasserstoffatoms im Zustand n = 4 gegenüber dem Zustand n = 3?
    größer oder kleiner?n = 4
    Lösung zeigen
    1. E_4 = −13,6 eV : 16 liegt höher als E_3 = −13,6 eV : 9.
    2. Das Elektron ist schwächer gebunden.
    3. Es wird im Mittel weiter vom Kern entfernt nachgewiesen.
    Ergebnis:
    Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.
  3. ★15
    Nach dem Bild der Kreisbahn müsste das Elektron im Wasserstoffatom ständig strahlen und in den Kern stürzen. Warum ist die Bahnvorstellung damit am Ende? Begründe.
    Bahn?n = 1
    Lösung zeigen
    1. Eine kreisende Ladung wird ständig beschleunigt und müsste Strahlung abgeben.
    2. Beobachtet wird: Atome im Grundzustand sind stabil und strahlen nicht.
    3. Die Quantenphysik beschreibt ihn mit fester Energie und Wahrscheinlichkeiten.
    Ergebnis:
    Atome sind stabil: Das Elektron hat keine Bahn, nur feste Energie.

6Ich kann den Franck-Hertz-Versuch auswerten und als Nachweis diskreter Energieniveaus deuten.

MerkenFranck-Hertz-Versuch

Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.

Der Abstand der Strommaxima ist die Anregungsenergie. Quecksilber nur im Lehrerversuch, Neon zeigt leuchtende Schichten.

BeispielFranck-Hertz-Versuch auswerten

Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 8,1 V, 12,9 V, 17,7 V, 22,5 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
U in VI8,112,917,722,5ΔE = ?
Schritt für Schritt
  1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
  2. ΔU = (22,5 V − 8,1 V) : 3 = 4,8 V
  3. ΔE = e · ΔU = 4,8 eV
  1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
  2. ΔU = (22,5 V − 8,1 V) : 3 = 4,8 V
  3. ΔE = e · ΔU = 4,8 eV
Ergebnis:
4,8 eV

AchtungLage des ersten Maximums statt Abstand der Maxima

So nicht
erstes Maximum bei 7,0 V → Anregungsenergie 7,0 eV
So richtig
Maxima bei 7,0 V, 11,9 V, 16,8 V → Abstand 4,9 V → 4,9 eV

Miss die Abstände zwischen den Maxima und bilde ihren Mittelwert.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Franck-Hertz-Versuch mit einer Neonröhre liegen die Strommaxima bei 23,4 V, 41,8 V. Bestimme die Anregungsenergie der Neonatome in eV.
    U in VI23,441,8ΔE = ?
    So fängst du an:
    Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    Lösung zeigen
    1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    2. ΔU = 41,8 V − 23,4 V = 18,4 V
    3. ΔE = e · ΔU = 18,4 eV
    Ergebnis:
    18,4 eV
  2. ●17
    Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 9,3 V, 14,2 V, 19,1 V, 24 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
    U in VI9,314,219,124ΔE = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    2. ΔU = (24 V − 9,3 V) : 3 = 4,9 V
    3. ΔE = e · ΔU = 4,9 eV
    Ergebnis:
    4,9 eV
  3. ★18
    In einer Neonröhre liegt das erste Strommaximum bei 21,2 V, der Abstand der Maxima ist 19 V. Wie viele leuchtende Schichten sind bei U = 60 V zu erwarten? Berechne mit Einheit.
    U in VI21,240,259,2U = 60 V
    Lösung zeigen
    1. Jede Schicht ist ein Ort, an dem die Elektronen Neonatome anregen.
    2. Bis 60 V: erstes Maximum bei 21,2 V, dann alle 19 V ein weiteres
    3. 21,2 V + 2 · 19 V liegt unter 60 V: 3 Schichten
    Ergebnis:
    3 Schichten

7Ich kann mit dem Modell des Potenzialtopfs Energien berechnen und das Betragsquadrat der Wellenfunktion deuten.

MerkenPotenzialtopf

Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).

Die Nachweiswahrscheinlichkeit folgt |ψ|². Für echte Atome stimmt das Modell nur grob.

BeispielEnergien im Potenzialtopf

Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,6 nm. Berechne seine Energie für n = 2 in eV.
ψ00,6 nmE_2 = ?n = 2
Schritt für Schritt
  1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
  2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 1,67 · 10⁻¹⁹ J
  3. E_2 = 4 · 1,67 · 10⁻¹⁹ J = 6,69 · 10⁻¹⁹ J = 4,18 eV
  1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
  2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 1,67 · 10⁻¹⁹ J
  3. E_2 = 4 · 1,67 · 10⁻¹⁹ J = 6,69 · 10⁻¹⁹ J = 4,18 eV
Ergebnis:
4,18 eV

AchtungZwischenergebnis als Antwort

So nicht
Gesamtwiderstand gesucht, Antwort: I = 0,5 A
So richtig
erst I = 0,5 A, dann weiter bis zur gesuchten Größe

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter bis zur gesuchten Größe.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 2 nm. Berechne seine Energie für n = 1 in eV.
    ψ02 nmE_1 = ?n = 1
    So fängst du an:
    E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    Lösung zeigen
    1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 1,51 · 10⁻²⁰ J
    3. E_1 = 1 · 1,51 · 10⁻²⁰ J = 1,51 · 10⁻²⁰ J = 0,094 eV
    Ergebnis:
    0,094 eV
  2. ●20
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,3 nm. Berechne seine Energie für n = 2 in eV.
    ψ00,3 nmE_2 = ?n = 2
    Lösung zeigen
    1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 6,69 · 10⁻¹⁹ J
    3. E_2 = 4 · 6,69 · 10⁻¹⁹ J = 2,68 · 10⁻¹⁸ J = 16,7 eV
    Ergebnis:
    16,7 eV
  3. ★21
    Ein Farbstoffmolekül ist ein Potenzialtopf mit L = 1,2 nm. Ein Elektron springt von n = 6 nach n = 5. Berechne λ in nm.
    ψ01,2 nmλ = ?n = 6
    Lösung zeigen
    1. E_n ≈ 0,376 eV · nm² · n² : L²
    2. ΔE = 0,376 eV · nm² · (36 − 25) : (1,2 nm)² = 2,87 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 2,87 eV = 432 nm
    Ergebnis:
    432 nm

8Ich kann Energiewerte von Ein-Elektronen-Systemen berechnen und das Pauli-Prinzip anwenden.

MerkenEin-Elektronen-Systeme und Pauli

Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².

In Atomen mit mehreren Elektronen kann jeder Zustand nur ein Elektron aufnehmen: Pauli-Prinzip.

BeispielEin-Elektronen-Systeme

Wie viel Energie braucht man, um das Li²⁺-Ion (Z = 3) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
n = 1n = 2n = 3Li²⁺-Ion: E_ion = ?
Schritt für Schritt
  1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
  2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
  1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
  2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
Ergebnis:
122 eV

AchtungKernladungszahl vergessen

So nicht
He⁺, n = 1: E_ion = 13,6 eV
So richtig
He⁺, Z = 2: E_ion = 13,6 eV · 2² = 54,4 eV

Multipliziere die Energien des Wasserstoffs mit Z².

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Energie ist nötig, um das Be³⁺-Ion (Z = 4) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3Be³⁺-Ion: E_ion = ?
    So fängst du an:
    Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    Lösung zeigen
    1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    2. E_1 = −13,6 eV · 16 : 1 = −218 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 218 eV
    Ergebnis:
    218 eV
  2. ●23
    Welche Energie ist nötig, um das Li²⁺-Ion (Z = 3) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3Li²⁺-Ion: E_ion = ?
    Lösung zeigen
    1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
    Ergebnis:
    122 eV
  3. ★24
    Im He⁺-Ion (Z = 2) springt das Elektron von n = 3 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des Photons in nm.
    n = 1n = 2n = 3λ = ?He⁺-Ion
    Lösung zeigen
    1. E_n = −13,6 eV · Z² : n², dann ΔE und λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · 4 · (1 : 4 − 1 : 9) = 7,56 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 7,56 eV = 164 nm
    Ergebnis:
    164 nm

9Ich kann aus der kurzwelligen Grenze der Röntgenstrahlung das Wirkungsquantum bestimmen.

MerkenKurzwellige Grenze

Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).

Die Gerade λ_min über 1 : U hat die Steigung h · c : e.

BeispielKurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung

Eine Röntgenröhre mit Eisenanode wird mit U = 30 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
λIλ_min = ?λ_min = ?Eisenanode, 30 kV
Schritt für Schritt
  1. λ_min = h · c : (e · U)
  2. e · U = 30 keV = 30.000 eV
  3. λ_min = 1240 eV · nm : 30.000 eV = 0,0413 nm = 41,3 pm
  1. λ_min = h · c : (e · U)
  2. e · U = 30 keV = 30.000 eV
  3. λ_min = 1240 eV · nm : 30.000 eV = 0,0413 nm = 41,3 pm
Ergebnis:
41,3 pm

AchtungUmrechnungszahl falsch

So nicht
2,5 km = 250 m
So richtig
2,5 km = 2,5 · 1000 m = 2500 m

Schreib den Vorsatz als Zahl: k heißt 1000, m heißt ein Tausendstel.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Eine Röntgenröhre mit Molybdänanode wird mit U = 40 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
    λIλ_min = ?λ_min = ?Molybdänanode, 40 kV
    So fängst du an:
    λ_min = h · c : (e · U)
    Lösung zeigen
    1. λ_min = h · c : (e · U)
    2. e · U = 40 keV = 40.000 eV
    3. λ_min = 1240 eV · nm : 40.000 eV = 0,031 nm = 31 pm
    Ergebnis:
    31 pm
  2. ●26
    Eine Schulröntgenröhre mit Kupferanode wird mit U = 35 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
    λIλ_min = ?λ_min = ?Kupferanode, 35 kV
    Lösung zeigen
    1. λ_min = h · c : (e · U)
    2. e · U = 35 keV = 35.000 eV
    3. λ_min = 1240 eV · nm : 35.000 eV = 0,0354 nm = 35,4 pm
    Ergebnis:
    35,4 pm
  3. ★27
    Das Bremsspektrum einer Röntgenröhre mit Wolframanode endet bei λ_min = 25 pm. Mit welcher Spannung wird die Röhre betrieben? Berechne U in kV.
    λIλ_min = 25 pmU = ?Wolframanode
    Lösung zeigen
    1. U = h · c : (e · λ_min)
    2. h · c : λ_min = 1240 eV · nm : 0,025 nm = 49.600 eV
    3. U = 49.600 V = 49,6 kV
    Ergebnis:
    49,6 kV

10Ich kann das Röntgenspektrum mit dem Drehkristallverfahren aufnehmen und deuten.

MerkenRöntgenspektrum

Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

Das Bremsspektrum entsteht beim Abbremsen der Elektronen, die Linien bei Übergängen in den Anodenatomen.

BeispielDrehkristallverfahren

Drehkristallverfahren mit einem Lithiumfluorid-Kristall (d = 201 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 5°. Berechne die Wellenlänge in pm.
θ = 5°LiF, d = 201 pmλ = ?
Schritt für Schritt
  1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
  2. sin 5° = 0,0872
  3. λ = 2 · 201 pm · 0,0872 = 35 pm
  1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
  2. sin 5° = 0,0872
  3. λ = 2 · 201 pm · 0,0872 = 35 pm
Ergebnis:
35 pm

AchtungGlanzwinkel und Ablenkwinkel verwechselt

So nicht
Ring bei r : L = θ, also λ = 2 · d · r : L
So richtig
Ring beim Ablenkwinkel 2θ: r : L ≈ 2θ, also λ ≈ d · r : L

Zeichne den Strahl an der Netzebene. Der Ablenkwinkel ist 2θ, in Bragg steht θ.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Drehkristallverfahren mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 5°. Berechne die Wellenlänge in pm.
    θ = 5°NaCl, d = 282 pmλ = ?
    So fängst du an:
    Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    2. sin 5° = 0,0872
    3. λ = 2 · 282 pm · 0,0872 = 49,2 pm
    Ergebnis:
    49,2 pm
  2. ●29
    Drehkristallverfahren mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 15°. Berechne die Wellenlänge in pm.
    θ = 15°NaCl, d = 282 pmλ = ?
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    2. sin 15° = 0,2588
    3. λ = 2 · 282 pm · 0,2588 = 146 pm
    Ergebnis:
    146 pm
  3. ★30
    Unter welchem Glanzwinkel θ erscheint die Kα-Linie von Kupfer (λ = 154 pm) mit einem Lithiumfluorid-Kristall (d = 201 pm) in zweiter Ordnung? Berechne θ in Grad.
    θ = ?LiF, d = 201 pmλ = 154 pm
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, also sin θ = n · λ : (2 · d)
    2. sin θ = 2 · 154 pm : (2 · 201 pm) = 0,7662
    3. θ = 50°
    Ergebnis:
    50 °

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●31
    Ein Wasserstoffatom ist im Zustand n = 7. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7E_ion = ?
    Lösung zeigen
    1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
    2. E_7 = −13,6 eV : 49 = −0,278 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 0,278 eV
    Ergebnis:
    0,278 eV
  2. ●32
    Ein Photon aus einer Heliumlampe mit 14 eV ionisiert ein Wasserstoffatom im Grundzustand (Ionisierungsenergie 13,6 eV). Welche Bewegungsenergie hat das freie Elektron? Berechne in eV.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVE_Ph = 14 eV
    Lösung zeigen
    1. E_kin = E_Ph − 13,6 eV, denn so viel braucht die Ionisation
    2. E_Ph = 14 eV
    3. E_kin = 14 eV − 13,6 eV = 0,4 eV
    Ergebnis:
    0,4 eV
  3. ●33
    Berechne mit der Serienformel die Frequenz der Wasserstofflinie für den Sprung von m = 2 nach n = 1 in THz (f_R = 3,29 · 10¹⁵ Hz, 1 THz = 10¹² Hz).
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVf = ?Lyman-Serie
    Lösung zeigen
    1. f = f_R · (1 : n² − 1 : m²)
    2. 1 : 1 − 1 : 4 = 0,75
    3. f = 3,29 · 10¹⁵ Hz · 0,75 = 2,47 · 10¹⁵ Hz = 2470 THz
    Ergebnis:
    2470 THz
  4. ●34
    In einer Spektralröhre erreichen die Atome höchstens den Zustand n = 3. Wie viele verschiedene Spektrallinien können beim Zurückfallen entstehen? Berechne mit Einheit.
    n = 1n = 2n = 3Linien = ?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Paar von zwei Niveaus gibt eine Linie, auch über Zwischenstufen.
    2. Von 3 Niveaus lassen sich 3 · 2 : 2 Paare bilden.
    3. 3 · 2 : 2 = 3 Linien
    Ergebnis:
    3 Linien
  5. ●35
    Eine unbekannte Gasentladung zeigt helle Linien bei 588 nm und 668 nm. Welches Element leuchtet? Nutze die Tabelle im Bild.
    gemessen: 588 nm und 668 nmWasserstoff656 nm, 486 nm, 434 nmNatrium589 nm, 590 nmHelium588 nm, 668 nm, 502 nmLithium671 nm, 610 nmKalium766 nm, 770 nm, 404 nm
    Lösung zeigen
    1. Jedes Element hat sein eigenes Linienmuster wie einen Fingerabdruck.
    2. Vergleiche alle Linien mit der Tabelle: 588 nm, 668 nm und 502 nm
    3. Alle passen auf Helium, Abweichungen von 1 nm sind Messgenauigkeit.
    Ergebnis:
    Helium: Alle Linien passen.
  6. ●36
    Wie unterscheidet sich das Orbital des Wasserstoffatoms im Zustand n = 2 gegenüber dem Zustand n = 1?
    größer oder kleiner?n = 2
    Lösung zeigen
    1. E_2 = −13,6 eV : 4 liegt höher als E_1 = −13,6 eV : 1.
    2. Das Elektron ist schwächer gebunden.
    3. Es wird im Mittel weiter vom Kern entfernt nachgewiesen.
    Ergebnis:
    Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Energieniveaus des Wasserstoffs
Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².
Linienspektrum
Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.
Emission und Absorption
Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.
Niveauschema und Spektralanalyse
Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.
Orbitale
Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.
Franck-Hertz-Versuch
Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.
Potenzialtopf
Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).
Ein-Elektronen-Systeme und Pauli
Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².
Kurzwellige Grenze
Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).
Röntgenspektrum
Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

AchtungElektron kreist auf einer Bahn

So nicht
Blitz gesehen, nach 6 s Donner → das Gewitter ist 6 km weit weg
So richtig
s = 340 m/s · 6 s ≈ 2040 m ≈ 2 km  (Schall braucht rund 3 s je Kilometer)

Das Bohrsche Bild erklärt die Energiewerte, aber keine Bahn. Das Orbital ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

AchtungVorzeichen der Energie

So nicht
lauter gezupft → der Ton wird höher
So richtig
lauter gezupft → größere Amplitude → lauter. Höher wird er nur bei größerer Frequenz (kürzere Saite)

Gebundene Zustände haben negative Energie; null heißt: Das Elektron ist gerade frei.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.

    37
    Ein Wasserstoffatom ist im Zustand n = 4. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4E_ion = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,85 eV

  2. Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.

    38
    Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 4 nach n = 3. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1880 nm

  3. Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.

    39
    Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 9,5 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 9,5 eV
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Photonen gehen ungehindert durch.

  4. Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.

    40
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_1 in nm.
    E_10 eVE_21,9 eVE_33,2 eVE_44,4 eVλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    388 nm

  5. Ich kann Energiewerte von Ein-Elektronen-Systemen berechnen und das Pauli-Prinzip anwenden.

    41
    Welche Energie ist nötig, um das Be³⁺-Ion (Z = 4) aus dem Zustand n = 3 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3Be³⁺-Ion: E_ion = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24,2 eV

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Steigung
wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Wahrscheinlichkeit
wie sicher etwas passiert

Lösungen

  1. 13,32 eV
  2. 12,75 eV
  3. 0,47 eV
  4. 94,7 nm
  5. 96,9 nm
  6. 365 nm
  7. Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 1,4 eV davon.
  8. Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 3.
  9. Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.
  10. 775 nm
  11. 1030 nm
  12. 654 nm
  13. Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.
  14. Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.
  15. Atome sind stabil: Das Elektron hat keine Bahn, nur feste Energie.
  16. 18,4 eV
  17. 4,9 eV
  18. 3 Schichten
  19. 0,094 eV
  20. 16,7 eV
  21. 432 nm
  22. 218 eV
  23. 122 eV
  24. 164 nm
  25. 31 pm
  26. 35,4 pm
  27. 49,6 kV
  28. 49,2 pm
  29. 146 pm
  30. 50 °
  31. 0,278 eV
  32. 0,4 eV
  33. 2470 THz
  34. 3 Linien
  35. Helium: Alle Linien passen.
  36. Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.
  37. 0,85 eV
  38. 1880 nm
  39. Die Photonen gehen ungehindert durch.
  40. 388 nm
  41. 24,2 eV