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Physik · Klasse 13 · Kapitel

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Q4: Atome

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1Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.

MerkenEnergieniveaus des Wasserstoffs

Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².

Ionisiert ist es bei E = 0. Anregung und Ionisation kosten genau den Abstand bis zum Zielniveau.

BeispielEnergiewerte des Wasserstoffatoms

Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre ist im Zustand n = 3. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
n = 1n = 2n = 3E_ion = ?
Schritt für Schritt
  1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
  2. E_3 = −13,6 eV : 9 = −1,51 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 1,51 eV
  1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
  2. E_3 = −13,6 eV : 9 = −1,51 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 1,51 eV
Ergebnis:
1,51 eV

AchtungDas Quadrat vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J

Rechne zuerst v² = v · v aus und schreib die Zeile hin.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Wasserstoffatom ist im Zustand n = 6. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6E_ion = ?
    So fängst du an:
    E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
    Lösung zeigen
    1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
    2. E_6 = −13,6 eV : 36 = −0,378 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 0,378 eV
    Ergebnis:
    0,378 eV
  2. ●2
    Ein Wasserstoffatom soll vom Grundzustand in den Zustand n = 4 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 0,85 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne mit Einheit.
    n = 1n = 2n = 3n = 4ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_4 = −0,85 eV, E_1 = −13,6 eV
    3. ΔE = −0,85 eV + 13,6 eV = 12,75 eV
    Ergebnis:
    12,75 eV
  3. ★3
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre wird vom Zustand n = 2 in den Zustand n = 5 angeregt. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_m − E_n mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_2 = −3,4 eV, E_5 = −0,544 eV
    3. ΔE = −0,544 eV − (−3,4 eV) = 2,86 eV
    Ergebnis:
    2,86 eV

2Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.

MerkenLinienspektrum

Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.

Dann gilt λ = h · c : ΔE. Die Serienformel f = f_R · (1 : n² − 1 : m²) sagt auch unsichtbare Linien voraus.

BeispielSpektrallinien aus dem Niveauschema

Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 6 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVn = 6−0,38 eVλ = ?Wasserstoff
Schritt für Schritt
  1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 36) = 3,02 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 3,02 eV = 411 nm
  1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 36) = 3,02 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 3,02 eV = 411 nm
Ergebnis:
411 nm

AchtungWert eines Niveaus statt Abstand zweier Niveaus

So nicht
Anregung von n = 1 nach n = 3: ΔE = 1,51 eV
So richtig
ΔE = E_3 − E_1 = −1,51 eV − (−13,6 eV) = 12,09 eV

Zeichne den Sprung als Pfeil ins Schema. Rechne oben minus unten.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 6 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVn = 6−0,38 eVλ = ?Wasserstoff
    So fängst du an:
    Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 36) = 3,02 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 3,02 eV = 411 nm
    Ergebnis:
    411 nm
  2. ●5
    Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 4 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 16) = 2,55 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 2,55 eV = 486 nm
    Ergebnis:
    486 nm
  3. ★6
    Berechne die kürzeste Wellenlänge der Paschen-Serie des Wasserstoffs (Sprünge nach n = 3, Seriengrenze). In welchem Spektralbereich liegt sie?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVλ = ?Paschen-Serie
    Lösung zeigen
    1. Kürzeste Wellenlänge: größter Sprung, von E = 0 nach n
    2. ΔE = 13,6 eV : 9 = 1,51 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,51 eV = 821 nm, infrarot
    Ergebnis:
    821 nm

3Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.

MerkenEmission und Absorption

Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.

Oder es wird ionisiert. Beim Zurückfallen sendet es Photonen derselben Energien aus.

BeispielAbsorption und Emission

Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 11 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 11 eV
Schritt für Schritt
  1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
  2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
  3. 11 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
  1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
  2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
  3. 11 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
Ergebnis:
Die Photonen gehen ungehindert durch.

AchtungAtom nimmt einen beliebigen Teil der Photonenenergie

So nicht
11 eV-Photon: Das Atom nimmt 10,2 eV, 0,8 eV fliegen weiter.
So richtig
11 eV passt auf keinen Übergang → das Photon wird nicht absorbiert

Vergleiche die Photonenenergie mit allen Abständen. Nur ein genauer Treffer oder mehr als die Ionisationsenergie wird aufgenommen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Wolke aus Wasserstoffatomen im Grundzustand wird mit Photonen von 13 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 13 eV
    So fängst du an:
    Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
    Lösung zeigen
    1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
    2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
    3. 13 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
    Ergebnis:
    Die Photonen gehen ungehindert durch.
  2. ●8
    Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 12,75 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 12,75 eV
    Lösung zeigen
    1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
    2. E_4 − E_1 = 13,6 eV − 0,85 eV = 12,75 eV
    3. Das passt genau: Die Atome gehen nach n = 4.
    Ergebnis:
    Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 4.
  3. ★9
    Im Spektrum eines heißen Sterns fehlt Licht bei 588 nm: eine dunkle Linie von Helium. Die Atome senden die aufgenommene Energie doch wieder aus. Warum bleibt die Linie dunkel? Begründe.
    380 nm780 nmAbsorptionsspektrum
    Lösung zeigen
    1. Atome in der kühleren Schicht absorbieren genau Photonen mit 588 nm.
    2. Beim Zurückfallen senden sie Photonen derselben Energie aus, aber in alle Richtungen.
    3. In der ursprünglichen Richtung kommt deshalb viel weniger an: eine dunkle Linie.
    Ergebnis:
    Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.

4Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.

MerkenNiveauschema und Spektralanalyse

Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.

Jedes Element hat sein eigenes Linienmuster: Alle Linien müssen passen, eine einzelne reicht nicht.

BeispielNiveauschema und Spektrum

Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_1 in nm.
E_10 eVE_22,1 eVE_33 eVE_44,9 eVλ = ?Energieniveaus
Schritt für Schritt
  1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 3 eV − 0 eV = 3 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 3 eV = 413 nm
  1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 3 eV − 0 eV = 3 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 3 eV = 413 nm
Ergebnis:
413 nm

AchtungFormel falsch umgestellt

So nicht
V = ρ · m
So richtig
ρ = m : V   | · V   | : ρ   →   V = m : ρ

Setz einfache Zahlen ein, zum Beispiel 6 = 12 : 2. Stell zuerst mit Zahlen um, dann mit Buchstaben.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_2 in nm.
    E_10 eVE_22,1 eVE_33 eVE_44,9 eVλ = ?Energieniveaus
    So fängst du an:
    ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 3 eV − 2,1 eV = 0,9 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 0,9 eV = 1380 nm
    Ergebnis:
    1380 nm
  2. ●11
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_4 nach E_1 in nm.
    E_10 eVE_21,6 eVE_32,8 eVE_44,1 eVλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 4,1 eV − 0 eV = 4,1 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 4,1 eV = 302 nm
    Ergebnis:
    302 nm
  3. ★12
    Ein Atom sendet beim Sprung E_4 → E_2 Licht mit 496 nm aus, beim Sprung E_2 → E_1 mit 653 nm. Berechne λ für den Sprung E_4 → E_1.
    E_1E_2E_3E_4496 nm653 nmλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    1. Die Energien addieren sich, nicht die Wellenlängen: 1 : λ = 1 : λ₁ + 1 : λ₂
    2. ΔE₁ = 1240 eV · nm : 496 nm = 2,5 eV, ΔE₂ = 1,9 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 4,4 eV = 282 nm
    Ergebnis:
    282 nm

5Ich kann Orbitale als Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons deuten.

MerkenOrbitale

Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.

Es ist keine Bahn. Jede Messung liefert einen Ort, die Verteilung vieler Messungen das Orbital.

BeispielOrbital statt Bahn

Wie unterscheidet sich das Orbital des Wasserstoffatoms im Zustand n = 4 gegenüber dem Zustand n = 3?
größer oder kleiner?n = 4
Schritt für Schritt
  1. E_4 = −13,6 eV : 16 liegt höher als E_3 = −13,6 eV : 9.
  2. Das Elektron ist schwächer gebunden.
  3. Es wird im Mittel weiter vom Kern entfernt nachgewiesen.
  1. E_4 = −13,6 eV : 16 liegt höher als E_3 = −13,6 eV : 9.
  2. Das Elektron ist schwächer gebunden.
  3. Es wird im Mittel weiter vom Kern entfernt nachgewiesen.
Ergebnis:
Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.

AchtungElektron auf einer festen Bahn um den Kern

So nicht
Das Elektron kreist auf einer festen Bahn um den Kern.
So richtig
Orbital → Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons, keine Bahn

Beschreib nur Messbares: Wo wird das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen?

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Das Bild zeigt eine Punktwolke für das Elektron im Wasserstoffatom im Zustand n = 4. Was sagen dicht liegende Punkte aus?
    dichte Punkte?n = 4
    So fängst du an:
    Jeder Punkt steht für einen möglichen Nachweisort.
    Lösung zeigen
    1. Jeder Punkt steht für einen möglichen Nachweisort.
    2. Dichte Punkte heißen: Dort weist man es oft nach.
    3. Das Orbital zeigt Wahrscheinlichkeiten, keine Bahn.
    Ergebnis:
    Dort wird das Elektron oft nachgewiesen.
  2. ●14
    Was ändert sich am Orbital des Wasserstoffatoms im Zustand n = 2 gegenüber dem Zustand n = 1?
    größer oder kleiner?n = 2
    Lösung zeigen
    1. E_2 = −13,6 eV : 4 liegt höher als E_1 = −13,6 eV : 1.
    2. Das Elektron ist schwächer gebunden.
    3. Es wird im Mittel weiter vom Kern entfernt nachgewiesen.
    Ergebnis:
    Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.
  3. ★15
    Man misst zweimal den Ort des Elektrons in genau gleich präparierten Wasserstoffatomen (n = 2). Kommt jedes Mal derselbe Ort heraus? Begründe.
    Messung?n = 2
    Lösung zeigen
    1. Gleich präpariert heißt: gleicher Zustand, gleiche Wahrscheinlichkeiten.
    2. Jede einzelne Messung liefert einen Punkt.
    3. Die Punkte streuen nach der Verteilung, die das Orbital zeigt.
    Ergebnis:
    Nein: Welcher Ort herauskommt, ist zufällig.

6Ich kann den Franck-Hertz-Versuch auswerten und als Nachweis diskreter Energieniveaus deuten.

MerkenFranck-Hertz-Versuch

Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.

Der Abstand der Strommaxima ist die Anregungsenergie. Quecksilber nur im Lehrerversuch, Neon zeigt leuchtende Schichten.

BeispielFranck-Hertz-Versuch auswerten

Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 8,1 V, 13 V, 17,9 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
U in VI8,11317,9ΔE = ?
Schritt für Schritt
  1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
  2. ΔU = (17,9 V − 8,1 V) : 2 = 4,9 V
  3. ΔE = e · ΔU = 4,9 eV
  1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
  2. ΔU = (17,9 V − 8,1 V) : 2 = 4,9 V
  3. ΔE = e · ΔU = 4,9 eV
Ergebnis:
4,9 eV

AchtungLage des ersten Maximums statt Abstand der Maxima

So nicht
erstes Maximum bei 7,0 V → Anregungsenergie 7,0 eV
So richtig
Maxima bei 7,0 V, 11,9 V, 16,8 V → Abstand 4,9 V → 4,9 eV

Miss die Abstände zwischen den Maxima und bilde ihren Mittelwert.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 7 V, 11,8 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
    U in VI711,8ΔE = ?
    So fängst du an:
    Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    Lösung zeigen
    1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    2. ΔU = 11,8 V − 7 V = 4,8 V
    3. ΔE = e · ΔU = 4,8 eV
    Ergebnis:
    4,8 eV
  2. ●17
    Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 9,3 V, 14,3 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
    U in VI9,314,3ΔE = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    2. ΔU = 14,3 V − 9,3 V = 5 V
    3. ΔE = e · ΔU = 5 eV
    Ergebnis:
    5 eV
  3. ★18
    Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 9,3 V, 14,1 V, 18,9 V, 23,7 V. Welche Wellenlänge hat das Licht, das die angeregten Atome aussenden? Berechne mit Einheit.
    U in VI9,314,118,923,7λ = ?
    Lösung zeigen
    1. Anregungsenergie = Abstand der Maxima, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔU = (23,7 V − 9,3 V) : 3 = 4,8 V, also ΔE = 4,8 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 4,8 eV = 258 nm, ultraviolett
    Ergebnis:
    258 nm

7Ich kann mit dem Modell des Potenzialtopfs Energien berechnen und das Betragsquadrat der Wellenfunktion deuten.

MerkenPotenzialtopf

Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).

Die Nachweiswahrscheinlichkeit folgt |ψ|². Für echte Atome stimmt das Modell nur grob.

BeispielEnergien im Potenzialtopf

Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 1,2 nm. Berechne seine Energie für n = 1 in eV.
ψ01,2 nmE_1 = ?n = 1
Schritt für Schritt
  1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
  2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 4,18 · 10⁻²⁰ J
  3. E_1 = 1 · 4,18 · 10⁻²⁰ J = 4,18 · 10⁻²⁰ J = 0,261 eV
  1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
  2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 4,18 · 10⁻²⁰ J
  3. E_1 = 1 · 4,18 · 10⁻²⁰ J = 4,18 · 10⁻²⁰ J = 0,261 eV
Ergebnis:
0,261 eV

AchtungZwischenergebnis als Antwort

So nicht
Gesamtwiderstand gesucht, Antwort: I = 0,5 A
So richtig
erst I = 0,5 A, dann weiter bis zur gesuchten Größe

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter bis zur gesuchten Größe.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 1 nm. Berechne seine Energie für n = 2 in eV.
    ψ01 nmE_2 = ?n = 2
    So fängst du an:
    E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    Lösung zeigen
    1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 6,02 · 10⁻²⁰ J
    3. E_2 = 4 · 6,02 · 10⁻²⁰ J = 2,41 · 10⁻¹⁹ J = 1,5 eV
    Ergebnis:
    1,5 eV
  2. ●20
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,8 nm. Berechne seine Energie für n = 3 in eV.
    ψ00,8 nmE_3 = ?n = 3
    Lösung zeigen
    1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 9,41 · 10⁻²⁰ J
    3. E_3 = 9 · 9,41 · 10⁻²⁰ J = 8,47 · 10⁻¹⁹ J = 5,29 eV
    Ergebnis:
    5,29 eV
  3. ★21
    Ein Farbstoffmolekül ist ein Potenzialtopf mit L = 1,2 nm. Ein Elektron springt von n = 3 nach n = 2. Berechne λ in nm.
    ψ01,2 nmλ = ?n = 3
    Lösung zeigen
    1. E_n ≈ 0,376 eV · nm² · n² : L²
    2. ΔE = 0,376 eV · nm² · (9 − 4) : (1,2 nm)² = 1,31 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,31 eV = 947 nm
    Ergebnis:
    947 nm

8Ich kann Energiewerte von Ein-Elektronen-Systemen berechnen und das Pauli-Prinzip anwenden.

MerkenEin-Elektronen-Systeme und Pauli

Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².

In Atomen mit mehreren Elektronen kann jeder Zustand nur ein Elektron aufnehmen: Pauli-Prinzip.

BeispielEin-Elektronen-Systeme

Welche Energie ist nötig, um das Li²⁺-Ion (Z = 3) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
n = 1n = 2n = 3Li²⁺-Ion: E_ion = ?
Schritt für Schritt
  1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
  2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
  1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
  2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
Ergebnis:
122 eV

AchtungKernladungszahl vergessen

So nicht
He⁺, n = 1: E_ion = 13,6 eV
So richtig
He⁺, Z = 2: E_ion = 13,6 eV · 2² = 54,4 eV

Multipliziere die Energien des Wasserstoffs mit Z².

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Energie ist nötig, um das He⁺-Ion (Z = 2) aus dem Zustand n = 3 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3He⁺-Ion: E_ion = ?
    So fängst du an:
    Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    Lösung zeigen
    1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    2. E_3 = −13,6 eV · 4 : 9 = −6,04 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 6,04 eV
    Ergebnis:
    6,04 eV
  2. ●23
    Wie viel Energie braucht man, um das Li²⁺-Ion (Z = 3) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3Li²⁺-Ion: E_ion = ?
    Lösung zeigen
    1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
    Ergebnis:
    122 eV
  3. ★24
    Im Li²⁺-Ion (Z = 3) springt das Elektron von n = 4 nach n = 3. Berechne die Wellenlänge des Photons in nm.
    n = 1n = 2n = 3n = 4λ = ?Li²⁺-Ion
    Lösung zeigen
    1. E_n = −13,6 eV · Z² : n², dann ΔE und λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · 9 · (1 : 9 − 1 : 16) = 5,95 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 5,95 eV = 208 nm
    Ergebnis:
    208 nm

9Ich kann aus der kurzwelligen Grenze der Röntgenstrahlung das Wirkungsquantum bestimmen.

MerkenKurzwellige Grenze

Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).

Die Gerade λ_min über 1 : U hat die Steigung h · c : e.

BeispielKurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung

Eine Schulröntgenröhre mit Wolframanode wird mit U = 25 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
λIλ_min = ?λ_min = ?Wolframanode, 25 kV
Schritt für Schritt
  1. λ_min = h · c : (e · U)
  2. e · U = 25 keV = 25.000 eV
  3. λ_min = 1240 eV · nm : 25.000 eV = 0,0496 nm = 49,6 pm
  1. λ_min = h · c : (e · U)
  2. e · U = 25 keV = 25.000 eV
  3. λ_min = 1240 eV · nm : 25.000 eV = 0,0496 nm = 49,6 pm
Ergebnis:
49,6 pm

AchtungUmrechnungszahl falsch

So nicht
2,5 km = 250 m
So richtig
2,5 km = 2,5 · 1000 m = 2500 m

Schreib den Vorsatz als Zahl: k heißt 1000, m heißt ein Tausendstel.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Eine Schulröntgenröhre mit Eisenanode wird mit U = 30 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
    λIλ_min = ?λ_min = ?Eisenanode, 30 kV
    So fängst du an:
    λ_min = h · c : (e · U)
    Lösung zeigen
    1. λ_min = h · c : (e · U)
    2. e · U = 30 keV = 30.000 eV
    3. λ_min = 1240 eV · nm : 30.000 eV = 0,0413 nm = 41,3 pm
    Ergebnis:
    41,3 pm
  2. ●26
    Eine Röntgenröhre mit Kupferanode wird mit U = 50 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
    λIλ_min = ?λ_min = ?Kupferanode, 50 kV
    Lösung zeigen
    1. λ_min = h · c : (e · U)
    2. e · U = 50 keV = 50.000 eV
    3. λ_min = 1240 eV · nm : 50.000 eV = 0,0248 nm = 24,8 pm
    Ergebnis:
    24,8 pm
  3. ★27
    Das Bremsspektrum einer Röntgenröhre mit Eisenanode endet bei λ_min = 20 pm. Mit welcher Spannung wird die Röhre betrieben? Berechne U in kV.
    λIλ_min = 20 pmU = ?Eisenanode
    Lösung zeigen
    1. U = h · c : (e · λ_min)
    2. h · c : λ_min = 1240 eV · nm : 0,02 nm = 62.000 eV
    3. U = 62.000 V = 62 kV
    Ergebnis:
    62 kV

10Ich kann das Röntgenspektrum mit dem Drehkristallverfahren aufnehmen und deuten.

MerkenRöntgenspektrum

Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

Das Bremsspektrum entsteht beim Abbremsen der Elektronen, die Linien bei Übergängen in den Anodenatomen.

BeispielDrehkristallverfahren

Drehkristallverfahren mit einem Lithiumfluorid-Kristall (d = 201 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 15°. Berechne die Wellenlänge in pm.
θ = 15°LiF, d = 201 pmλ = ?
Schritt für Schritt
  1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
  2. sin 15° = 0,2588
  3. λ = 2 · 201 pm · 0,2588 = 104 pm
  1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
  2. sin 15° = 0,2588
  3. λ = 2 · 201 pm · 0,2588 = 104 pm
Ergebnis:
104 pm

AchtungGlanzwinkel und Ablenkwinkel verwechselt

So nicht
Ring bei r : L = θ, also λ = 2 · d · r : L
So richtig
Ring beim Ablenkwinkel 2θ: r : L ≈ 2θ, also λ ≈ d · r : L

Zeichne den Strahl an der Netzebene. Der Ablenkwinkel ist 2θ, in Bragg steht θ.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Drehkristallverfahren mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 15°. Berechne die Wellenlänge in pm.
    θ = 15°NaCl, d = 282 pmλ = ?
    So fängst du an:
    Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    2. sin 15° = 0,2588
    3. λ = 2 · 282 pm · 0,2588 = 146 pm
    Ergebnis:
    146 pm
  2. ●29
    Drehkristallverfahren mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 5°. Berechne die Wellenlänge in pm.
    θ = 5°NaCl, d = 282 pmλ = ?
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    2. sin 5° = 0,0872
    3. λ = 2 · 282 pm · 0,0872 = 49,2 pm
    Ergebnis:
    49,2 pm
  3. ★30
    Unter welchem Glanzwinkel θ erscheint die Kα-Linie von Molybdän (λ = 71 pm) mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm) in zweiter Ordnung? Berechne θ in Grad.
    θ = ?NaCl, d = 282 pmλ = 71 pm
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, also sin θ = n · λ : (2 · d)
    2. sin θ = 2 · 71 pm : (2 · 282 pm) = 0,2518
    3. θ = 14,6°
    Ergebnis:
    14,6 °

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●31
    Ein Wasserstoffatom soll vom Grundzustand in den Zustand n = 7 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 0,278 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne mit Einheit.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_7 = −0,278 eV, E_1 = −13,6 eV
    3. ΔE = −0,278 eV + 13,6 eV = 13,32 eV
    Ergebnis:
    13,32 eV
  2. ●32
    Ein Photon aus einer Heliumlampe mit 20 eV ionisiert ein Wasserstoffatom im Grundzustand (Ionisierungsenergie 13,6 eV). Welche Bewegungsenergie hat das freie Elektron? Berechne in eV.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVE_Ph = 20 eV
    Lösung zeigen
    1. E_kin = E_Ph − 13,6 eV, denn so viel braucht die Ionisation
    2. E_Ph = 20 eV
    3. E_kin = 20 eV − 13,6 eV = 6,4 eV
    Ergebnis:
    6,4 eV
  3. ●33
    Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 2 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 4) = 10,2 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 10,2 eV = 122 nm
    Ergebnis:
    122 nm
  4. ●34
    Bestimme mit der Serienformel die Frequenz der Wasserstofflinie für den Sprung von m = 4 nach n = 1 in THz (f_R = 3,29 · 10¹⁵ Hz, 1 THz = 10¹² Hz).
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVf = ?Lyman-Serie
    Lösung zeigen
    1. f = f_R · (1 : n² − 1 : m²)
    2. 1 : 1 − 1 : 16 = 0,9375
    3. f = 3,29 · 10¹⁵ Hz · 0,9375 = 3,08 · 10¹⁵ Hz = 3080 THz
    Ergebnis:
    3080 THz
  5. ●35
    Kaltes Wasserstoffgas im Grundzustand wird mit Photonen von 18 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 18 eV
    Lösung zeigen
    1. Über 13,6 eV kann das Elektron das Atom ganz verlassen.
    2. Oberhalb von E = 0 gibt es keine festen Niveaus mehr.
    3. Der Rest 18 eV − 13,6 eV = 4,4 eV wird Bewegungsenergie.
    Ergebnis:
    Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 4,4 eV davon.
  6. ●36
    Wasserstoffatome werden bis in den Zustand n = 4 angeregt. Wie viele verschiedene Spektrallinien können beim Zurückfallen entstehen? Berechne mit Einheit.
    n = 1n = 2n = 3n = 4Linien = ?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Paar von zwei Niveaus gibt eine Linie, auch über Zwischenstufen.
    2. Von 4 Niveaus lassen sich 4 · 3 : 2 Paare bilden.
    3. 4 · 3 : 2 = 6 Linien
    Ergebnis:
    6 Linien

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Energieniveaus des Wasserstoffs
Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².
Linienspektrum
Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.
Emission und Absorption
Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.
Niveauschema und Spektralanalyse
Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.
Orbitale
Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.
Franck-Hertz-Versuch
Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.
Potenzialtopf
Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).
Ein-Elektronen-Systeme und Pauli
Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².
Kurzwellige Grenze
Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).
Röntgenspektrum
Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

AchtungElektron kreist auf einer Bahn

So nicht
Blitz gesehen, nach 6 s Donner → das Gewitter ist 6 km weit weg
So richtig
s = 340 m/s · 6 s ≈ 2040 m ≈ 2 km  (Schall braucht rund 3 s je Kilometer)

Das Bohrsche Bild erklärt die Energiewerte, aber keine Bahn. Das Orbital ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

AchtungVorzeichen der Energie

So nicht
lauter gezupft → der Ton wird höher
So richtig
lauter gezupft → größere Amplitude → lauter. Höher wird er nur bei größerer Frequenz (kürzere Saite)

Gebundene Zustände haben negative Energie; null heißt: Das Elektron ist gerade frei.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.

    37
    Ein Wasserstoffatom ist im Zustand n = 4. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4E_ion = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,85 eV

  2. Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.

    38
    Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 7 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVn = 6−0,38 eVn = 7−0,28 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    397 nm

  3. Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.

    39
    Kaltes Wasserstoffgas im Grundzustand wird mit Photonen von 9,5 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 9,5 eV
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Photonen gehen ungehindert durch.

  4. Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.

    40
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_4 nach E_2 in nm.
    E_10 eVE_22,1 eVE_33 eVE_44,9 eVλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    443 nm

  5. Ich kann mit dem Modell des Potenzialtopfs Energien berechnen und das Betragsquadrat der Wellenfunktion deuten.

    41
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,5 nm. Berechne seine Energie für n = 4 in eV.
    ψ00,5 nmE_4 = ?n = 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24,1 eV

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Steigung
wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Wahrscheinlichkeit
wie sicher etwas passiert

Lösungen

  1. 0,378 eV
  2. 12,75 eV
  3. 2,86 eV
  4. 411 nm
  5. 486 nm
  6. 821 nm
  7. Die Photonen gehen ungehindert durch.
  8. Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 4.
  9. Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.
  10. 1380 nm
  11. 302 nm
  12. 282 nm
  13. Dort wird das Elektron oft nachgewiesen.
  14. Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.
  15. Nein: Welcher Ort herauskommt, ist zufällig.
  16. 4,8 eV
  17. 5 eV
  18. 258 nm
  19. 1,5 eV
  20. 5,29 eV
  21. 947 nm
  22. 6,04 eV
  23. 122 eV
  24. 208 nm
  25. 41,3 pm
  26. 24,8 pm
  27. 62 kV
  28. 146 pm
  29. 49,2 pm
  30. 14,6 °
  31. 13,32 eV
  32. 6,4 eV
  33. 122 nm
  34. 3080 THz
  35. Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 4,4 eV davon.
  36. 6 Linien
  37. 0,85 eV
  38. 397 nm
  39. Die Photonen gehen ungehindert durch.
  40. 443 nm
  41. 24,1 eV